Optimale verzekeringscontracten bij verzekeraars met beperkte aansprakelijkheid

(1)

Optimale verzekeringscontracten bij

verzekeraars met beperkte

aansprakelijkheid

Shivam Hardwarsing

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics Auteur: Shivam Hardwarsing Studentnr: 10014306

Email: shivamhardwarsing@gmail.com Datum: 23 juni 2014

(2)

(3)

Optimale verzekeringscontracten — Shivam Hardwarsing iii

Abstract

In deze scriptie is er onderzoek gedaan naar optimale verzekeringscon-tracten bij verzekeraars met beperkte aansprakelijkheid. Ge¨ınspireerd door het model van Biffis en Millossovich (2012) zijn verscheidene mo-dellen ge¨ıntroduceerd om de optimale premies te bestuderen. Bij de optimale premie van de verzekeraar behaalt die zijn maximale ver-wachte winst en is er voldaan aan vereisten van de verzekerde. Er wordt inzicht verkregen in het effect dat het risico op faillissement heeft op verzekeringen. Uit het onderzoek blijkt dat de verzekerings-koper een hoge risico op faillissement bij de verzekeraar niet wenst, behalve als er een vergoedingsregeling bestaat. Voor de gevonden op-timale premies geldt in de meeste gevallen dat de kans op faillissement gelijk is aan 0.

(4)

Inhoudsopgave

Voorwoord v

1 Inleiding 1

2 Theoretisch kader 2

2.1 Relevante theorie . . . 2

2.2 Het Biffis-Millossovich model . . . 3

3 Onderzoeksopzet 5

3.1 Definities . . . 5

3.2 Het model . . . 5

3.3 Uitbreiding van het model . . . 6

4 Resultaten en analyses 8

4.1 Modellen met ´e´en verzekeringskoper . . . 8

4.2 Modellen met meerdere verzekeringskopers. . . 11

4.3 Vergelijkingen tussen de verschillende modellen . . . 14

5 Conclusie 17

Appendix 18

Bibliografie 24

(5)

Voorwoord

Graag wil ik in dit voorwoord mijn dankbaarheid uiten aan een ie-der die heeft bijgedragen aan het tot stand komen van deze scriptie. Allereerst dank ik mijn begeleider dr. Tim Boonen. Ik ben hem zeer dankbaar voor zijn uitstekende adviezen, feedback, uitleg en onder-steuning waarmee het mij gelukt is deze scriptie te voltooien. Ik ben verder dank verschuldigd aan drs. Rob van Hemert voor zijn hulp bij het schrijven van deze scriptie. Ook dank aan mijn zus Divya voor het nalezen van mijn tekst. In het bijzonder dank ik mijn ouders, voor de onvoorwaardelijke steun en voor de kans die zij mij hebben geboden om in het buitenland te studeren. Hun liefde en vertrouwen doen mij geloven in mezelf. Met het schrijven van deze scriptie heb ik veel er-varing opgedaan. Deze erer-varing zal mij zeker ten goede komen in mijn verdere ontwikkeling.

(6)

(7)

Hoofdstuk 1

Inleiding

Vanwege de grote verliezen die kunnen optreden bij een financi¨ele crisis, riskante beleg-gingen en ernstige rampen (zoals aardbevingen, overstromingen en terroristische aansla-gen) lopen verzekeringsmaatschappijen een risico op faillissement. Dit risico, dat onder meer bekend staat als kredietrisico en insolventierisico, treedt op als een verzekeraar niet aan zijn verplichtingen kan voldoen. Tijdens de afgelopen financi¨ele crisis werd dit risico door de onzekere positie van vooral hypotheekverzekeraars een actueel onderwerp. Het kredietrisico is een tegenpartijrisico waarmee de polishouder wordt geconfronteerd. De polishouder loopt het risico dat de tegenpartij, in dit geval de verzekeringsmaatschappij, haar verplichtingen niet nakomt.

Beperkte aansprakelijkheid kan ervoor zorgen dat verzekeringsmaatschappijen een verhoogd kredietrisico lopen, doordat de aandeelhouders gestimuleerd worden om het risico te verhogen over hun vermogen en verplichtingen. De aandeelhouders voelen zich beschermd, omdat zij bij een faillissement niet voor de gehele verplichtingen aansprake-lijk zijn. Een verhoging van het risico kan leiden tot een verhoogde kans op faillissement. De prijs van een verzekeringsproduct hangt onder meer af van de kans op faillissement van de verzekeraar. Als deze kans groot is, is het niet in het belang van een consument om deze verzekering aan te schaffen. Volgens Biffis en Millossovich (2012) kan een ver-zekerde bij faillissement van de verzekeraar op twee manieren worden benadeeld. Ten eerste als hij te maken krijgt met het gerealiseerde risico, waarvoor hij was verzekerd en die nu waarschijnlijk niet volledig wordt uitbetaald. Ten tweede verliest de verzekerde de door hem betaalde premie.

In deze scriptie staat het effect van kredietrisico op verzekeringsproducten centraal. Er wordt onderzocht hoe het optimale verzekeringscontract eruitziet, wanneer er reke-ning wordt gehouden met de belangen van de verzekeraar en de verzekerde. Dit wordt gedaan door het opstellen en analyseren van een model dat afgeleid is van het model ge¨ıntroduceerd door Biffis en Millossovich (2012). Er wordt uitgegaan van een risico-averse verzekerde en een risico-neutrale verzekeraar. We maximaliseren de winst van de verzekeraar zodanig dat er wordt voldaan aan de vereisten van de verzekerde. De premie, waarvoor de winst maximaal is en waarvoor wordt voldaan aan de vereisten van de ver-zekerde, is dan de optimale premie. Het model wordt verder op verschillende manieren uitgebreid, waarna er ook van de uitgebreide modellen analyses worden gedaan.

De rest van deze scriptie is als volgt ingedeeld. In Hoofdstuk 2 wordt het theoretisch kader weergegeven. In Hoofdstuk 3 volgt er een opzet van het onderzoek. Vervolgens staan in Hoofdstuk 4 de resultaten van de analyses. Hierin zijn de modellen ook onderling met elkaar vergeleken. Ten slotte wordt deze scriptie in Hoofdstuk 5 afgesloten met de conclusie.

(8)

Hoofdstuk 2

Theoretisch kader

Dit hoofdstuk bespreekt, verdeeld over twee paragrafen, de relevante theorie¨en. In de eerste paragraaf worden artikelen van Filipovi´c, Kremslehner en Muermann (2014) en Ibragimov, Jaffee en Walden (2010) besproken. Vervolgens komt in de tweede paragraaf een artikel van Biffis en Millossovich (2012) aan bod. Het model dat is ge¨ıntroduceerd in dit artikel komt grotendeels overeen met het model dat wordt gedefinieerd in Hoofdstuk 3 en gebruikt wordt bij de analyses in Hoofdstuk 4.

2.1 Relevante theorie

In het artikel van Ibragimov et al. (2010) wordt onder veronderstelling van beperkt kapi-taal en beperkte aansprakelijkheid bestudeerd wat de optimale prijsstructuur, kapikapi-taal- kapitaal-en kostkapitaal-enallocatie dikapitaal-ent te zijn voor ekapitaal-en multiline1 verzekeringsmaatschappij. Beperkt kapitaal en beperkte aansprakelijkheid kunnen in de praktijk ervoor zorgen dat de ver-zekeraar niet aan zijn verplichtingen kan voldoen. Daarnaast nemen de auteurs aan dat in geval van faillissement de verzekeraar zijn beschikbaar vermogen verdeelt onder de polishouders op basis van het aandeel van de claim van elke verzekerde. Deze regeling staat bekend als ex post pro rata. Voor de introductie van de ex post regel werd de ex ante regel veel gebruikt. De ex ante regel verdeelt het beschikbaar vermogen bij faillisse-ment op basis van het aandeel van de verwachte claim van elke verzekerde. Bij de ex ante regel zijn er echter wel twee nadelen: het is gebaseerd op het nog niet geobserveerde ver-wachte verlies en het kan voorkomen dat een polishouder met een verver-wachte lage claim betalingen moet doen aan een polishouder met een verwachte hoge claim. Verder gaan de onderzoekers uit van kosten bij het houden van intern kapitaal. De reden hiervoor is dat het houden van kapitaal nadelige gevolgen kan hebben voor de belastingen.

Ibragimov et al. (2010) maken gebruik van een methode, waarbij ze het risico op faillissement zien als een putoptie in handen van de aandeelhouders. Deze putoptie verschaft de aandeelhouders de mogelijkheid om de schadeclaims niet uit te betalen. De prijs van de premie wordt vervolgens berekend als het verwachte verlies minus de waarde van de putoptie. Een ander belangrijk vraagstuk is hoe kapitaal verdeeld dient te worden binnen de verzekeringsmaatschappij. Dit doen Ibragimov et al. (2010) door middel van een marginale methode. De dekking van een verzekeringsproduct wordt met kleine waarden verlaagd, waarna de som van de kapitaalallocaties moet voldoen aan de adding constraint. Volgens de adding constraint moet de som van de kapitaalallocaties precies gelijk zijn aan de totale waarde van het beschikbaar kapitaal. Ibragimov et al. (2010) concluderen dat de ex post regel heel andere resultaten oplevert dan de ex ante regel. Het heeft niet de nadelen en is dus beter toepasbaar in de praktijk.

Naast het artikel van Ibragimov et al. (2010) is ook het artikel van Filipovi´c et al. (2014) relevant voor deze scriptie. In dit artikel wordt onderzoek gedaan naar de belan-genstrijd tussen aandeelhouders van een verzekeringsmaatschappij en de verzekerden.

1_{Verzekeringsmaatschappij die een reeks aan verzekeringsproducten aanbiedt.} 2

(9)

Optimale verzekeringscontracten — Shivam Hardwarsing 3

De premies, die worden betaald door de verzekerden, worden beheerd door de directie van de verzekeringsmaatschappij. De directie is volgens de onderzoekers eerder geneigd te handelen in het voordeel van de aandeelhouders. De verzekerden krijgen daardoor te maken met het agency problem dat veroorzaakt wordt door beperkte aansprakelijkheid. De bescherming die wordt geboden door beperkte aansprakelijkheid zorgt ervoor dat de verzekeringsmaatschappij meer risico neemt over haar vermogen en verplichtingen. Dit kan zij bijvoorbeeld doen door risicovoller te investeren. De risicoverhoging leidt tot een groter risico op faillissement en zorgt ervoor dat de polishouders minder waarde hechten aan het verzekeringsproduct. Daarmee verlaagt het de premie die de polishouder bereid is te betalen.

Filipovi´c et al. (2014) introduceren in hun artikel een raamwerk waarmee de belan-genstrijd tussen aandeelhouders en verzekerden kan worden bestudeerd. In het artikel wordt aan de aandeelhouders de mogelijkheid aangeboden om te kiezen hoeveel van het vermogen wordt ge¨ınvesteerd in een risicovolle investering. Afhankelijk van het gekozen deel van het vermogen bestaat er een kans op faillissement. Er wordt dus in feite gekozen uit verschillende risicoprofielen.

In het artikel van Filipović et al. (2014) wordt getoond dat er voor elk nutsniveau een Pareto optimum bestaat. Ook worden de condities hiervoor aangegeven. Hierna wordt het agency problem onderzocht. Bij dit probleem is er sprake van een situatie waarbij de aandeelhouders niet overtuigend kunnen inzetten op een specifieke investe-ringsstrategie, voordat er polissen zijn verkocht en premies betaald zijn. In de meeste gevallen levert dit suboptimale investeringsstrategieën en premies. Vervolgens wordt de solvabiliteitsregeling in de context van het agency problem geanalyseerd. Deze regeling legt een beperking op bij de verzameling van mogelijke investeringsstrategieën en pre-miebeleid. Aangetoond wordt dat er een unieke investeringsstrategie en premieniveau zijn die het agency problem oplossen bij de solvabiliteitsregeling. Ten slotte wordt het model gekalibreerd door middel van data van een schadeverzekeraar die afkomstig zijn van de Quantative Impact Study 3 (QIS3). De exogene variabelen van het model worden hierdoor vastgesteld. Investeringsstrategieën en het premiebeleid zijn uiteindelijk door Filipović et al. (2014) gekarakteriseerd bij Pareto optimum, bij het agency problem en bij de solvabiliteitsregeling.

Filipovi´c et al. (2014) concluderen dat het verhogen van het risico over het vermo-gen van de verzekeraar wel in het belang is van de aandeelhouders, maar niet in het belang van de verzekerden. Het kan er zelfs voor zorgen dat verzekerden niet meer zullen participeren in de verzekering.

2.2 Het Biffis-Millossovich model

Het artikel, dat het meest relevant is voor deze scriptie, is het artikel van Biffis en Millossovich (2012) getiteld ‘Optimal insurance with counterparty default risk’. In dit artikel wordt het effect van tegenpartij-faillissementsrisico op verzekeringen onderzocht. Door onder andere rampen en crisissen is het risico op faillissement groot en varieert het van tijd tot tijd. Tegenpartijrisico kan worden verkleind door verzekeringsproducten verspreid bij een groot aantal verzekeraars te kopen, maar in geval van systematische risico heeft dit weinig zin, want dan wordt de hele verzekeringssector geraakt en kunnen meerdere verzekeraars tegelijkertijd failliet gaan.

In het model van Biffis en Millossovich (2012) wordt verondersteld dat faillissement endogeen wordt veroorzaakt door interactie van de verzekeringspremie, de schadever-goedingsregeling en het vermogen van de verzekeraar. Dit maakt het beter mogelijk om de wisselwerking te begrijpen die optreedt tussen een verzekeraar en een verze-kerde bij optimale contracten. Een belangrijke uitkomst in het artikel is een expliciete karakterisering van deze wisselwerkingen. Er wordt aangetoond dat bij optimale verze-keringscontracten alleen de middelgrote risico’s worden verzekerd en dat de kleine en

(10)

4 Shivam Hardwarsing — Optimale verzekeringscontracten

grote risico’s worden gehandhaafd.

Biffis en Millossovich (2012) tonen aan dat faillissementskosten, de aanwezigheid van eigen risico en een bovengrens op de dekking kunnen verklaren bij optimale contracten. Faillissementskosten brengen met zich mee dat er voor verschillende verliezen bij opti-male contracten geen dekking mogelijk is. Dit kan op twee manieren: er is sprake van een eigen risico, of er is sprake van een bovengrens op de dekking. In welke vorm dit gebeurt hangt af van de manier waarop het vermogen van de verzekerde be¨ınvloedt wordt door het mogelijke verlies. Als het vermogen negatief wordt be¨ınvloed door de opgetreden verliezen, bevatten optimale contracten een eigen risico. Door het eigen risico wordt de premie lager en wordt er geld bespaard door de verzekerde. Deze besparing heeft een bufferwerking als er sprake is van een hoge kans op faillissement en de verzekerde dus ook kwetsbaarder is. In de andere situatie, wanneer het vermogen juist positief wordt be¨ınvloed door de opgetreden verliezen (denk aan hedging of overheidsgaranties), be-vatten optimale verzekeringscontracten een bovengrens op de dekking. De vraag naar verzekeringen is laag in een dergelijke situatie en een bovengrens kan er dan voor zorgen dat de verzekeraar niet te veel faillissementsrisico loopt.

(11)

Hoofdstuk 3

Onderzoeksopzet

In dit hoofdstuk wordt het model gespecificeerd, dat is afgeleid van het model ge¨ıntroduceerd door Biffis en Millossovich (2012). In de eerste paragraaf staan de basisdefinities en aan-names die worden gehanteerd. Vervolgens defini¨eren we het volledige model in de tweede paragraaf. Het model wordt op verscheidene manieren uitgebreid. Deze uitbreidingen staan in Paragraaf 3.3.

3.1 Definities

In de beginsituatie die in deze scriptie wordt bekeken, wordt uitgegaan van een model met twee agenten: een verzekeraar en een verzekeringskoper. De verzekeringskoper is risico-avers en bezit initieel een vermogen groot w ≥ 0. Verder loopt hij een risico X en worden zijn preferenties weergegeven door een nutsfunctie u: R → R. Er wordt verondersteld dat de nutsfunctie u tweemaal continu differentieerbaar is en dat er voor de afgeleiden geldt: u0 > 0 en u00< 0. Deze veronderstellingen zijn voor de risico-averse verzekeringskoper. Het risico X neemt willekeurig waarden aan in een interval [0, y]. De verzekeringskoper kan het risico dat hij loopt dekken voor een premie p ≥ 0. De verzekeraar is risico-neutraal en heeft bezittingen ter waarde van A > 0.

3.2 Het model

Er wordt van uitgegaan dat het model een duur heeft van één periode. Een CARA (Con-stant absolute risk aversion) nutsfunctie u met coëfficiënt van absolute risico-aversie ge-lijk aan λ wordt gebruikt, waarbij voldaan wordt aan de eis dat deze tweemaal continu differentieerbaar is. De nutsfunctie is: u(x) = −e(−λx), x ∈ R. Na het einde van de peri-ode heeft de verzekeringskoper verlies geleden en bezit hij een vermogen groot w − X. Hij heeft dan het nut u(w − X) als hij geen verzekering aanschaft. Als de verzekerings-koper wel beslist om de verzekering aan te schaffen, betaalt hij de premie en loopt hij het risico X niet meer. Er wordt uitgegaan van een rente van nul. Het vermogen van de verzekeraar bedraagt dan A + p aan het einde van de periode. De verzekeraar gaat fail-liet als zijn vermogen onvoldoende is om het bij de verzekeringskoper opgetreden verlies te dekken. Dit gebeurt bij dit model als A + p − X < 0. Beperkte aansprakelijkheid beschermt de verzekeraar en hij verliest niet meer dan A + p.

Bij tegenpartijrisico is er sprake van een belangenstrijd, waarbij er een verzekeraar is die zijn winst probeert te maximaliseren. Dit kan ten koste gaan van de verzeke-ringskoper. De modellen, die in dit hoofdstuk worden opgesteld, onderzoeken wat de verwachte maximale winst is voor een verzekeraar, wanneer er rekening wordt gehouden met de verzekeringskoper. Belangrijk is dat de verzekering interessant genoeg moet zijn voor hem. De verwachte winst wordt gemaximaliseerd door het verwachte eindvermogen te maximaliseren. Dit kan doordat de winst gelijk is aan het eindvermogen minus het beginvermogen. Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar wordt gegeven door

(12)

E((A + p − X)+), waarbij X+= max{X, 0}. De verzekeringskoper zal de verzekering

al-leen aanschaffen als zijn verwachte nut in dat geval groter of gelijk is aan zijn verwachte nut als hij de verzekering niet aanschaft. Het model ziet er dan als volgt uit:

max

p E((A + p − X)+) (3.1)

zodanig dat

E(u(w − p − X · 1(A+p−X<0))) ≥ E(u(w − X)) (3.2)

De verzekering zal alleen worden aangeschaft door de verzekeringskoper als voldaan wordt aan (3.2). Als de verzekeringskoper de verzekering koopt, loopt hij echter wel het risico dat de verzekeraar failliet gaat. De functie 1_(A+p−X<0)aan de linkerzijde van (3.2) is een indicatorfunctie die 1 als uitkomst geeft als er sprake is van faillissement bij de verzekeraar en 0 als dit niet zo is. Deze is in de voorwaarde geplaatst, omdat in geval van faillissement de verzekeringskoper ook nog te maken krijgt met het verlies X dat hij heeft geleden. Het verwachte eindvermogen (3.1) wordt gemaximaliseerd zodanig dat voldaan wordt aan (3.2).

3.3 Uitbreiding van het model

Het model kan op verscheidene wijzen worden uitgebreid. Eén mogelijkheid is om te veronderstellen dat er niet één, maar meerdere verzekeringskopers zijn. Er kunnen bij-voorbeeld n verzekeringskopers zijn die allemaal het risico Xi, i ∈ N, i.i.d. lopen en

premie p betalen. Het model ziet er dan als volgt uit:

max p E((A + n ∗ p − n X i=1 Xi)+) (3.3) zodanig dat E(u(wi− p − Xi· 1(A+n∗p−Pn i=1Xi<0))) ≥ E(u(wi− Xi)) (3.4) Hier moet voldaan zijn aan in totaal n voorwaarden. Die zijn elk bijna hetzelfde als in het vorige model. Alleen de indicatorfunctie verschilt.

Het model kan ook uitgebreid worden door een vergoedingsregeling in beschouwing te nemen. Bij faillissement van de verzekeraar kan het vermogen, dat hij op dat moment bezit, gaan naar de verzekeringskoper. Hiermee kan hij dan gedeeltelijk zijn opgelopen verlies dekken. Het nut van de verzekeringskoper na het kopen van de verzekering wordt dan gegeven door:

E(u(w − p − (X − (A + p))+· 1(A+p−X<0))) (3.5)

Het verwachte eindvermogen en het nut als de verzekeringskoper de verzekering niet koopt, is hetzelfde als respectievelijk in (3.1) en de rechterzijde van (3.2). Indien er n verzekerden zijn wordt er gebruik gemaakt van de ex post regel. De vergoeding van een verzekerde hangt dan af van het aandeel van zijn gerealiseerde risico.

E(u(wi− p − (Xi− ( Xi Pn i=1Xi ) ∗ (A + n ∗ p))+· 1(A+n∗p−Pn i=1Xi<0))) (3.6) Hier worden het verwachte eindvermogen en het nut als de verzekeringskopers de verzekering niet kopen, gegeven door respectievelijk (3.3) en de rechterzijde van (3.4).

(13)

Een vergoedingsregeling verhoogt het nut van de verzekerde dus aanzienlijk bij het failliet gaan van de verzekeraar.

Nog een mogelijkheid is om de rente niet meer nul te veronderstellen. Het vermogen van de verzekeraar kan worden ge¨ınvesteerd en het groeit dan aan tot de waarde (A + p) ∗ (1 + α ∗ R). Hierbij staat R voor het rendement dat de verzekeraar behaalt op zijn investering en α staat voor het deel van het vermogen dat gekozen wordt om ge¨ınvesteerd te worden. Bij ´e´en verzekeringskoper is het model als volgt gedefinieerd:

max

p E(((A + p) ∗ (1 + α ∗ R) − X)+) (3.7)

zodanig dat

E(u(w − p − X · 1(((A+p)∗(1+α∗R)−X)<0))) ≥ E(u(w − X)) (3.8)

Bij n verzekeringskopers ziet het model er als volgt uit:

max p E(((A + n ∗ p) ∗ (1 + α ∗ R) − n X i=1 Xi)+) (3.9) zodanig dat E(u(wi− p − Xi· 1(((A+n∗p)∗(1+α∗R)−Pn i=1Xi)<0))) ≥ E(u(wi− Xi)) (3.10) Als laatst bestaat er de mogelijkheid om een gehele andere nutsfunctie te gebruiken. In het basismodel wordt er gekeken naar een CARA nutsfunctie, maar het is ook mogelijk om een zogenaamde CRRA (Constant relative risk aversion) nutsfunctie te bekijken. De CRRA nutsfunctie is als volgt gedefinieerd:

u(x) =

(_x(1−γ)

1−γ als γ ≥ 0, γ 6= 1

ln(x) als γ = 1 (3.11)

Waarbij geldt dat x > 0. Dit is een nadeel van deze nutsfunctie, want er kan geen nut worden uitgerekend voor een negatief getal. Dit betekent dat het vermogen van de verzekeringskoper positief moet worden gehouden en dat ook bij het failliet gaan van de verzekeraar, de verzekeringskoper genoeg vermogen moet hebben om alle risico’s te dekken.

(14)

Hoofdstuk 4

Resultaten en analyses

In dit hoofdstuk worden de resultaten gerapporteerd die zijn voortgekomen uit de analy-ses van de modellen beschreven in het vorige hoofdstuk. Er is hierbij gebruikgemaakt van het programma Matlab (http://www.mathworks.nl/products/matlab). In de eerste paragraaf staan de resultaten van modellen met enkel ´e´en verzekeringskoper. Vervolgens staan in de tweede paragraaf resultaten afkomstig van modellen met meerdere verzeke-ringskopers. Ten slotte worden in Paragraaf 4.3 verschillende modellen vergeleken met elkaar.

4.1 Modellen met ´

e´

en verzekeringskoper

Voordat de analyses worden uitgevoerd, moet eerst worden bepaald welke waarden worden gegeven aan het beginvermogen van de verzekeringskoper, het interval waarin het risico waarden aanneemt en de grootte van de bezittingen van de verzekeraar. In geval er niets anders staat vermeld wordt er uitgegaan van een vermogen w groot 1₂ van de verzekeringskoper, de risico’s die hij loopt zijn discreet Uniform [0, 10] verdeeld en het vermogen A van de verzekeraar is gelijk aan 3. Hierbij bestaat er een reële kans dat de verzekeraar failliet gaat. Voor de CARA nutsfunctie wordt uitgegaan van een lage coëfficiënt van absolute risico-aversie 1 (λ = 1). Als gevolg van één van de eigenschappen van de CARA nutsfunctie, is het bij deze nutsfunctie niet van belang hoe groot het initieel vermogen w is.

Opgemerkt moet worden dat in de grafieken van dit hoofdstuk het verwachte eind-vermogen als 0 wordt weergegeven, indien niet voldaan is aan de voorwaarde van de verzekeringskoper. Dit is gedaan om duidelijk te kunnen waarnemen voor welke premie niet wordt voldaan aan de voorwaarde. Het echte eindvermogen is dan gelijk aan A, want de verzekeringskoper koopt geen verzekering. De verzekeraar houdt dus gewoon zijn be-ginvermogen (A). Indien het verwachte eindvermogen niet 0 is, bestaat er een verwachte winst of verlies die kan worden afgeleid uit de grafiek als het verwachte eindvermogen minus A.

In het standaardmodel loopt de verzekeringskoper een risico dat maximaal gelijk kan zijn aan 10. Een zo dergelijk grote risico kan door hem het beste worden verzekerd. Indien de verzekeringskoper, de verzekering daadwerkelijk koopt, heeft de verzekeraar voor een gerealiseerde risico groter dan 3 niet genoeg vermogen om het te dekken. De verzekeraar moet dus een premie ontvangen die groot genoeg is om in alle gevallen het risico te kunnen dekken, anders kan hij failliet gaan. De vraag hierbij is echter of de verzekeringskoper bereid is om deze premie te betalen. Hiervoor moet worden voldaan aan voorwaarde (3.2). Voor de zekerheid wordt ook gekeken naar de situatie voor A = 4. Uit Figuur 4.1 (a) is af te lezen dat voor A = 3, 7 de laagst mogelijke premie is waarvoor wordt voldaan aan voorwaarde (3.2) van de verzekeringskoper. Voor A = 4 (b) is die premie gelijk aan 6. Hieruit volgt dat de verzekeringskoper bereid is om de verzekering te kopen voor een hoge premie, zodat de verzekeraar hiermee precies genoeg

(15)

(a) (b)

Figuur 4.1: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij het standaardmodel met 1 verzekeringskoper. Voor A = 3 (a) en A = 4(b).

vermogen heeft om zelf het hoogst mogelijke risico te dekken. Met een premie van 7 heeft de verzekeraar in totaal een vermogen van 10, waarmee hij dan ook het maximale risico van 10 kan dekken. De kans op faillissement is dan 0. De maximale verwachte winst voor de verzekeraar wordt behaald bij een premie gelijk aan 8. Hoger dan dat bedrag is de verzekeringskoper niet bereid te betalen. In de twee grafieken is er ook voor een premie van 0 een verwacht eindvermogen voor de verzekeraar. Hij lijdt dan wel verlies, doordat het verwachte eindvermogen lager is dan het beginvermogen. De verzekeraar zal dus nooit gratis de risico’s dekken van de verzekerde, want dan lijdt hij verlies en loopt hij risico op faillissement.

In een model met ´e´en verzekeringskoper en een vergoedingsregeling ontvangt de verzekeringskoper bij faillissement een vergoeding. De vergoeding is echter in geen geval zo hoog dat de verzekeraar erna meer bezit dan hij ervoor had.

Figuur 4.2: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij het model met 1 ver-zekeringskoper en een vergoedingsregeling.

Figuur 4.2 laat zien dat in het model met een vergoedingsregeling alle premies onder 8 voldoen aan de voorwaarde gegeven in (3.5). Dit komt doordat de verzekeringskoper bij faillissement van de verzekeraar altijd zijn premie terugkrijgt plus de bezittingen A van de verzekeraar. Het is dus altijd beter voor hem om de verzekering te kopen, omdat hij dan zelfs in het geval van het failliet gaan van de verzekeraar zijn risico beter kan dekken dan wanneer hij de verzekering niet koopt. De verzekeraar zal de verzekering niet voor alle premies onder 8 verkopen, omdat hij bij de meeste verlies lijdt. Pas bij 4,7 is er sprake van winst. Bij deze premie is er een kans op faillissement gelijk aan

3

(16)

is de verzekeringskoper niet bereid meer dan 8 te betalen aan premie, waardoor de verzekeraar zijn verwachte maximale winst behaalt voor deze premie.

In het model met de rente ongelijk aan nul en een stochastisch rendement op de in-vesteringen van de verzekeraar, wordt verondersteld dat er twee mogelijke rendementen zijn: -0,1 en 0,15. Elk van deze twee mogelijke rendementen op de investeringen hebben een kans van 1₂. Hierdoor is het verwachte rendement positief. Er wordt gekeken naar de situaties waar de verzekeraar de helft van zijn vermogen belegt (α = 1₂) en waar hij zijn gehele vermogen belegt (α = 1).

(a) (b)

Figuur 4.3: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij het model met 1 ver-zekeringskoper en stochastisch rendement. Voor α = 1₂ (a) en α = 1 (b).

Uit Figuur 4.3 (a) is te zien dat de eerste premie waarvoor de voorwaarde (3.8) voldoet en waar er dus een verwachte winst is, gelijk is aan 7,6 bij α = 1₂ . Hierbij is de kans op faillissement 0. Voor α = 1 (b) is er zelfs geen enkele premie waarvoor er een verwachte winst bestaat. De laagst mogelijke premie is bij dit model hoger dan in het standaardmodel (Figuur 4.1 (a)). Dit komt doordat er nu onzekerheid bestaat over het vermogen waarmee de verzekeraar het gerealiseerde risico zal dekken. Met een premie van 7,6 is er bij de slechtste scenario, waarbij er een negatief rendement wordt behaald, precies genoeg vermogen om alle mogelijke risico’s te dekken. De hoogste verwachte winst is niet veel hoger dan in het standaardmodel en wordt voor α = 1₂ behaald bij een premie van 8. Wanneer het volledige vermogen wordt ge¨ınvesteerd door de verzekeraar is de verzekeringskoper voor geen enkele premie geneigd om de verzekering aan te schaffen. Er is dan teveel risico en onzekerheid rondom het vermogen van de verzekeraar voor de verzekeringskoper, waardoor hij besluit om het risico zelf te dragen.

Bij het model waar er niet met de CARA nutsfunctie wordt geanalyseerd, maar met de CRRA nutsfunctie, wordt gekozen voor γ = 1. De nutsfunctie is dan gelijk aan de natuurlijke logaritme ln(x). Aangezien er bij deze functie geldt dat x > 0 moeten de waarden voor w en A worden aangepast. Beide waarden worden verhoogd naar 11, waardoor er geen kans bestaat op faillissement bij dit model met 1 verzekeringskoper. De formules voor dit model zijn hetzelfde als (3.1) en (3.2).

In Figuur 4.4 is te zien dat er al voor hele lage premies wordt voldaan aan de voor-waarde (3.2). Dit is zoals verwacht, omdat de verzekeringskoper zelf al genoeg vermogen heeft om risico X te dekken en er ook geen risico op faillissement van de verzekeraar bestaat. De meeste verwachte eindvermogens zijn lager dan de verzekeraar zijn beginver-mogen, daarom zal hij de verzekering nooit voor die premies verkopen. De winstgevende premies zijn groter dan 5. De verzekeringskoper is niet bereid meer dan 6 te betalen voor de verzekering en de verzekeraar behaalt bij deze premie zijn maximale verwachte winst.

Er wordt bij de modellen vooral gezocht naar de premie waarvoor de verwachte winst wordt gemaximaliseerd. In Tabel 4.1 zijn de uitkomsten weergegeven. De maximale verwachte winst wordt berekend als het maximale verwachte eindvermogen minus A.

(17)

Figuur 4.4: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij het model met 1 ver-zekeringskoper en een CRRA nutsfunctie.

Zoals te zien gelden er bij de modellen met een CARA nutsfunctie precies dezelfde resultaten. Het model met stochastisch rendement toont een klein verschil, omdat er daar gebruik is gemaakt van simulatie. Bij de CRRA nutsfunctie gelden er andere waarden voor A en w, waardoor er daar hele andere resultaten zijn. Voor de CARA modellen blijkt 8,0 vaak de hoogste premie te zijn, waarvoor het nut van de verzekeringskoper nog net hoger is als hij de verzekering koopt. Zoals te zien gelden voor alle optimale premies een kans op faillissement gelijk aan 0.

Model Max. Verwachte winst Premie P(faillissement)

Standaardmodel 3,0 8,0 0

+ Vergoeding 3,0 8,0 0

+ Stoch. Rendement (α = 1₂) 3,14 8,0 0

+ Stoch. Rendement (α = 1) N/A N/A N/A

CRRA nutsfunctie 1,0 6,0 0

Tabel 4.1: Maximale verwachte winsten met bijbehorende premies en kansen op faillis-sement voor modellen met 1 verzekeringskoper.

4.2 Modellen met meerdere verzekeringskopers

Bij de modellen met meerdere verzekeringskopers wordt uitgegaan van dezelfde waar-den voor het vermogen van de verzekeraar en verzekeringskoper zoals in het begin van Paragraaf 4.1 is aangegeven. Ook voor het risico Xigelden dezelfde waarden. Alle n

ver-zekeringskopers hebben dus een even groot vermogen wi, maar zoals al eerder vermeld

is de grootte van wi niet van belang bij de CARA nutsfunctie. De modellen behandeld

in deze paragraaf zijn allemaal geanalyseerd door middel van simulaties. Er is gekozen voor een n gelijk aan 100. Deze waarde is realistisch en goed uit te voeren in simulaties. In het ‘standaardmodel’ zijn er dus 100 verzekeringskopers die elk een risico lopen dat een waarde kan hebben van 0 tot 10. De risico’s zijn onderling onafhankelijk. Opnieuw wordt de situatie voor de zekerheid ook bekeken voor een andere waarde van A.

Figuur 4.5 (a) laat zien dat de verzekeringskopers allemaal bereid zijn de verzeke-ring te kopen voor een premie van 5,9. De verzekeraar behaalt een verwachte maximale winst van ongeveer 300 voor een premie van 8. Voor de optimale premie 8 is de kans op faillissement 0, maar voor 5,9 bestaat er een kleine kans gelijk aan 0,0017. Bij het stan-daardmodel met ´e´en verzekeringskoper in Paragraaf 4.1 veranderde de laagst mogelijke premie, indien er een andere waarde voor A werd gekozen (zie Figuur 4.1). In Figuur 4.5

(18)

(a) (b)

Figuur 4.5: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij het standaardmodel met 100 verzekeringskopers. Voor A = 3 (a) en A = 6 (b).

(b) is te zien dat ook voor A = 6 de laagste premie die de verzekeraar kan vragen gelijk is aan 5,9. Dit komt waarschijnlijk doordat in vergelijking met het premie-inkomen, het initieel vermogen heel weinig bedraagt. De risico’s worden dus grotendeels gedekt met het premie-inkomen. Zolang A laag blijft zal de laagste premie niet veranderen. Pas bij een A van ongeveer 20 begint de premie te dalen, omdat met A zelf dan een klein deel van de risico’s kan worden vergoed.

Als er gekeken wordt naar het model met 100 verzekeringskopers en een vergoe-dingsregeling, wordt de vergoeding bepaald door het aandeel van een risico in de totale som van de 100 risico’s. Indien een verzekeringskoper een risico loopt van 5 en de totale som van risico’s gelijk is aan 300, is zijn aandeel ₆₀1. Bij faillissement van de verzekeraar krijgt hij dus ₆₀1 van het vermogen vergoed.

Figuur 4.6: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij 100 verzekeringskopers en een vergoedingsregeling.

Wanneer in eerste instantie naar Figuur 4.6 en naar de resultaten van het model wordt gekeken lijkt het alsof de laagst mogelijke premie, waarbij de voorwaarde (3.6) voldoet, gelijk is aan 3,7. Na verder onderzoeken blijkt dat de voorwaarde voor alle premies onder 8 voldoet, maar dat het verwachte eindvermogen gelijk is aan 0. Dit betekent dat de verzekeraar failliet gaat voor premies onder 3,7. De premie waarbij de verzekeraar naar verwachting winst begint te maken is 4,7, welke nog steeds lager is dan in het standaardmodel. Voor 4,7 geldt nog wel een hoge kans op faillissement van 0,8016. De verzekeraar kan zijn verzekering nu voor een lagere premie verkopen, omdat de verzekeringskoper ook nog dekking krijgt bij faillissement. Hij verkoopt zijn verzekering echter het liefst voor een winst maximaliserende premie van 8.

(19)

Bij 100 verzekeringskopers zal ook alleen naar α = 1₂ en α = 1 gekeken worden bij het model met stochastisch rendement. Het rendement is verder verdeeld zoals in Paragraaf 4.1 en het vermogen waar er van kan worden ge¨ınvesteerd is gelijk aan A + n ∗ p.

(a) (b)

Figuur 4.7: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij 100 verzekeringskopers en stochastisch rendement. Voor α = 1₂ (a) en α = 1 (b)

Uit Figuur 4.7 (a) is af te lezen dat voor α = 1₂ de laagste mogelijke premie stijgt naar 6,2 ten opzichte van 5,9 bij het standaardmodel. De kans op faillissement bij 6,2 is heel klein en gelijk aan 2 ∗ 10−4. Voor α = 1 (b) is de laagst mogelijke premie 6,7 en bestaat er voor die premie geen kans op faillissement. De reden van de stijging van de laagst mogelijke premie is opnieuw de onzekerheid over het vermogen van de verzekeraar, die ontstaat doordat er risicovol wordt ge¨ınvesteerd. De verwachte winst behaald bij de hoogst mogelijke premie 8 is verder niet veel hoger dan in het standaardmodel. Voor α = 1₂ en α = 1 stijgt het respectievelijk naar 310 en 320. Het is echter geen slecht idee om te investeren, zeker niet als de optimale premie wordt gevraagd. Aangezien voor de optimale premie de kans op faillissement 0 is voor beide α.

In het model met de CRRA nutsfunctie en 100 verzekeringskopers, wordt ervan uitgegaan dat ze alle 100 hetzelfde vermogen van 11 hebben. De formules voor het verwachte eindvermogen en de voorwaarde van de verzekeringskoper zijn hetzelfde als in (3.3) en (3.4). Volgens Figuur 4.8 is de laagst mogelijke premie gelijk aan 5,3. De verwachte winst voor deze premie is gelijk aan 31,62 en de kans op faillissement be-draagt 0,0917. In de figuur is verder te zien dat voor 6,0 het verwachte eindvermogen word gemaximaliseerd, en dus ook de verwachte winst. De verwachte winst bedraagt 100,19. Voor de optimale premie 6 bestaat er bij dit model wel een hele kleine kans op faillissement van 1 ∗ 10−4.

Figuur 4.8: Verwachte eindvermogen voor variabele premie p bij het model met 100 verzekeringskopers en een CRRA nutsfunctie.

(20)

Opnieuw wordt er aan het eind van de paragraaf de maximale verwachte winst, bij-behorende premies en kansen op faillissement weergegeven in een tabel (zie Tabel 4.2). De maximale verwachte winst wordt uitgerekend als het maximale verwachte eindver-mogen minus A. De resultaten van de modellen met CARA nutsfunctie komen weer grotendeels overeen. De verwachte winsten zijn allemaal rond de 300 en de optimale premie is overal gelijk aan 8. Verder bestaat er geen kans op faillissement bij de opti-male premies. Bij de CRRA nutsfunctie is er een maxiopti-male verwachte winst van 100,19 voor een optimale premie van 6. Er bestaat wel een kleine kans op faillissement.

Model Max. Verwachte winst Premie P(faillissement) Standaardmodel (100 verz.) 300,18 8,0 0

+ Vergoeding 300,18 8,0 0

+ Stoch. Rendement (α = 1₂) 310,33 8,0 0 + Stoch. Rendement (α = 1) 320,39 8,0 0 CRRA nutsfunctie (100 verz.) 100,19 6,0 1 ∗ 10−4

Tabel 4.2: Maximale verwachte winsten met bijbehorende premies en kansen op faillis-sement voor modellen met 100 verzekeringskopers.

4.3 Vergelijkingen tussen de verschillende modellen

In deze paragraaf worden de verschillende modellen onderling vergeleken. Uit de vo-rige twee paragrafen is gebleken dat de modellen niet veel verschillen in de optimale premies, maximale verwachte winsten en de bijbehorende kansen op faillissement. Bij de vergelijkingen wordt er daarom ook gekeken naar de verschillen in de laagst moge-lijke premies. De laagst mogemoge-lijke premie is de laagste premie waarvoor wordt voldaan aan de voorwaarde van de verzekeringskoper. In de onderstaande tabel zijn die gegeven voor alle behandelde modellen met de bijbehorende verwachte winsten en kansen op faillissement.

Model Laagst mogelijke premie Verw. winst P(faillissement)

Standaardmodel (1 verz.) 7,0 2,0 0

+ Vergoedingsregeling 0* -2,45 ₁₁7

+ Stoch. Rendement (α = 1₂) 7,6 2,68 0

+ Stoch. Rendement (α = 1) N/A N/A N/A

CRRA nutsfunctie (1 verz.) 0* -5,0 0

Standaardmodel (100 verz.) 5,9 90,19 0,0017

+ Vergoeding 0* Failliet 1

+ Stoch. Rendement (α = 1₂) 6,2 127,48 2 ∗ 10−4

+ Stoch. Rendement (α = 1) 6,7 187,80 0

CRRA nutsfunctie (100 verz.) 5,3 31,62 0,0917

Tabel 4.3: Laagst mogelijke premies met de bijbehorende verwachte winsten en kansen op faillissement. Een paar van de laagst mogelijke premies zijn gelijk aan 0. Zoals te zien worden voor zulke lage premies verlies geleden. In ´e´en geval gaat de verzekeraar zelfs failliet.

Een vergelijking die zeker moet worden gemaakt, is die tussen de twee zogenaamde ‘standaardmodellen’. Er zou een soort diversificatie effect moeten optreden bij het stan-daardmodel met 100 verzekeringskopers, doordat er dan minder kans is op een extreme uitkomst. Bij 1 verzekeringskoper moet rekening gehouden worden met alle risico’s, om-dat op elk van die risico’s een zelfde kans bestaat. Bij het grotere model is om-dat niet

(21)

zo, doordat de kans op een extreme uitkomst klein is. De kans dat bijvoorbeeld elke verzekerde een risico oploopt van 8,9 of 10 is zo extreem klein dat we het in principe gelijk aan 0 kunnen veronderstellen. In Tabel 4.3 is daarom ook te zien dat de laagst mogelijke premie daalt bij 100 verzekeringskopers. Er hoeft niet meer zoveel premie te worden gevraagd zodat de verzekeraar zelfs de meest extreme uitkomst kan dekken. De kans op faillissement is klein, maar bestaat wel bij de laagst mogelijke premie van het model met 100 verzekeringskopers. Terwijl bij het model met 1 verzekeringskoper er pas een premie voldoet als daar de kans op faillissement 0 is.

Wanneer er gekeken wordt naar de modellen met een vergoedingsregeling valt op dat in beide gevallen alle premies onder 8 voldoen aan de voorwaarde van de verzeke-ringskoper. De vergoedingsregeling geeft bij beide modellen steeds minstens een groot deel van de premie terug als er een relatief hoog risico wordt geleden. Hierdoor kiest de verzekeringskoper al gauw ervoor om de verzekering te kopen. Lage premies zorgen niet voor winst, maar verlies en bij het model met 100 verzekeringskopers zelfs voor het failliet gaan van de verzekeraar. Voor lage premies gelden er dus ook hoge kansen op faillissement. Opvallend is dat voor beide modellen de eerste premie, waarvoor er naar verwachting winst wordt gemaakt gelijk is aan 4,7. Die winst is dan heel klein.

Bij de modellen met rente niet gelijk aan nul en een stochastisch rendement, zijn er vergeleken met andere modellen hogere laagst mogelijke premies. De oorzaak hiervan is, zoals eerder uitgelegd, de onzekerheid die gecre¨eerd wordt bij het risicovol investeren. Een hogere premie compenseert voor die onzekerheid, doordat er bij een negatief ren-dement alsnog voldoende vermogen is om risico’s te dekken. Bij 100 verzekeringskopers stijgt de laagst mogelijke premie minder ten opzichte van het standaardmodel, dan bij 1 verzekeringskoper. Risicovol investeren heeft naar het schijn een minder ernstig effect op de dekking bij meerdere verzekeringskopers. Hier kan opnieuw het zogenaamde effect van diversificatie worden aangehaald. Alhoewel de mogelijke risico’s hetzelfde zijn bij elke verzekeringskoper, is de kans op een extreme uitkomst veel kleiner bij meerdere verzekeringskopers. Om alle risico’s te kunnen dekken moet er voor de zekerheid bij 1 verzekeringskoper meer premie worden gevraagd, dit is in mindere mate het geval bij 100.

Een andere vergelijking die kan worden gemaakt, is eentje tussen het CARA model en het CRRA model. Het beste is om hier de parameters bij beide modellen dezelfde waarden te geven. Ook bij het CARA model zijn w en A dan gelijk aan 11.

Figuur 4.9 laat zien dat de hoogst mogelijke, oftewel de optimale, premies bij beide nutsfuncties verschillen. Bij de CARA nutsfunctie is de verzekeringskoper niet bereid meer dan 8 te betalen en bij de CRRA nutsfunctie niet meer dan 6. De resultaten la-ten duidelijk zien dat de nutsfunctie heel belangrijk is bij het bepalen van de optimale premie, doordat in de voorwaarde het nut wordt berekend van de verzekeringskoper bij het kopen of niet kopen van de verzekering. Bij de modellen met ´e´en verzekeringskoper zijn alle premies mogelijk onder de optimale premie. De verzekeraar heeft zelf genoeg beginvermogen om alle mogelijke risico’s te dekken en loopt dus geen risico op faillis-sement. Voor veel premies onder de optimale premie maakt hij echter geen winst. Bij meerdere verzekeringskopers kan de verzekeraar de risico’s niet meer met alleen zijn be-ginvermogen dekken en heeft hij voldoende premie-inkomsten nodig, waardoor hij risico op faillissement loopt en het interval van mogelijke premies kleiner is.

Het is verder belangrijk om te onderzoeken wat er gebeurt met de optimale premie als λ wordt veranderd bij de CARA nutsfunctie. En bestaat er een λ waarvoor de optimale premie niet hetzelfde is voor de verschillende modellen. Bij het verhogen van λ stijgt de optimale premie. Zo is bijvoorbeeld voor λ = 3 de optimale premie 9,2. Voor nog hogere λ stijgt het verder totdat zelfs de maximale premie 10 van het model wordt bereikt. Hierbij blijft de optimale premie hetzelfde voor verschillende modellen. Indien λ wordt verlaagd, is in eerste instantie te zien dat de optimale premies ook verlagen voor waarden van λ tussen 0,5 en 1. Er bestaat nog steeds geen verschil tussen de optimale

(22)

(a) (b)

(c) (d)

Figuur 4.9: Verwachte eindvermogen voor premie p bij 1 verzekeringskoper en CRRA nutsfunctie (a), 1 verzekeringskoper en CARA nutsfunctie (b), 100 verzekeringskopers en CRRA nutsfunctie (c) en 100 verzekeringskopers en CARA nutsfunctie (d).

premies van de verschillende modellen. Voor de modellen met 1 verzekeringskoper en stochastisch rendement bestaan er voor beide α geen mogelijke winstgevende premies. De verzekeringskoper wilt de verzekering alleen dan afsluiten als de premie rond de 0 is. Voor nog lagere λ bestaan er bij meer modellen geen winstgevende premies. De premies liggen rond de 0 of er bestaan gewoon geen mogelijke premies. Wanneer er hoge winstgevende premies mogelijk zijn, bestaat er nu een klein verschil tussen de modellen. Tabel 4.4 laat voor lage waarden van λ het verschil zien tussen de optimale premies bij de modellen. Model λ = 0, 2 λ = 0, 1 λ = 0, 05 λ = 0, 05 Standaardmodel (1 verz.) 0,2 0,3 0,4 0,5 + Vergoedingsregeling 5,8 5,2 4,9 4,6 + Stoch. Rendement (α = 1₂) 0,1 0,3 0,4 0,5 + Stoch. Rendement (α = 1) 0,1 0,3 0,5 0,6 Standaardmodel (100 verz.) 5,9 N/A N/A N/A

+ Vergoeding 5,9 5,4 5,2 4,8

+ Stoch. Rendement (α = 1₂) N/A N/A N/A N/A + Stoch. Rendement (α = 1) N/A N/A N/A N/A

(23)

Hoofdstuk 5

Conclusie

In deze scriptie is het model van Biffis en Millossovich (2012) als inspiratie gebruikt om verschillende modellen te introduceren. Met deze modellen is onderzocht wat de optimale verwachte winst is van de verzekeraar, wanneer er rekening wordt gehouden met de belangen van de verzekerde. Voor de verzekerde is het belangrijk dat hij zijn nut verhoogt bij het kopen van de verzekering. Bij de optimale verwachte winst hoort er een optimale premie.

In het model met één verzekeringskoper is ontdekt dat de verzekeringskoper altijd precies genoeg premie betaalt aan de verzekeraar om die in staat te stellen alle mogelijke risico’s te dekken. Bij meerdere verzekeringskopers is dat niet het geval, doordat er dan geen kans is op een extreme uitkomst. Uit de resultaten blijkt dat de verzekeringskoper een hoge risico op faillissement bij de verzekeraar niet wenst, behalve als hij een com-pensatie ontvangt via een vergoedingsregeling. Voor de optimale premies gelden bijna altijd dat de kans op faillissement gelijk is aan 0. De verzekeraar en verzekerde hebben dus beide voordeel, indien de verzekering wordt afgesloten voor de optimale premie. Eén van de opvallende resultaten van het onderzoek is de optimale premie die bij alle CARA modellen gelijk is aan 8. Deze stijgt of daalt wanneer er een grotere of juist lagere λ wordt gekozen voor de nutsfunctie. Voor λ lager dan 1₂ is ontdekt dat er wel verschillen zijn tussen de optimale premies.

Vervolgonderzoek kan worden gedaan naar de situatie waarbij er een ondergrens of bovengrens bestaat op de dekking. Verder kan er gekeken worden naar de rol van een toezichthouder en hoe die verzekerden kan beschermen tegen faillissement van de verzekeraar.

(24)

Appendix

Bijlage 1 Matlab script van het standaardmodel met 1 verzekeringskoper.

% The model

% Set parameter values

A = 3; % assets of the insurer

w = 1/2; % The initial wealth of the policyholder

Xi = 0:10; % possible values for the loss

Pr = 1/11*ones(1,11); % probability of each loss % Define utility function of policyholder

u = @(x) -exp(-1.*x); p = 0:0.1:10;

% Loop to calculate max E((A+p-Xi))

for i = 1:length(p)

Y = max(A+p(i)-Xi,0); %winst

Verw Y = dot(Pr,Y);

Uxi = u(w-p(i)-(Xi.*(A+p(i)-Xi<0))); %utility when buying insurance

Verw Uxi = dot(Pr,Uxi);

Uw = u(w-Xi); %utility when not buying insurance

Verw Uw = dot(Pr,Uw);

if Verw Uxi>=Verw Uw %condition

MaxY(i,:) = Verw Y;

else MaxY(i,:)= 0;

end end

% Gives p together with corresponding max E(A+p-Xi)

p MaxY=[p;MaxY']; plot(p,MaxY,'-') xlabel('p')

ylabel('Verwachte eindvermogen')

title('Verwachte eindvermogen voor premie p')

Bijlage 2 Matlab script voor het model met 1 verzekeringskoper en vergoeding.

% The model

u = @(x) -exp(-1.*x); p = 0:0.1:10;

(25)

for i = 1:length(p)

Y = max(A+p(i)-Xi,0); %profit

Verw Y = dot(Pr,Y);

Uxi = u(w-p(i)-(max(Xi-(A+p(i)),0).*(A+p(i)-Xi<0))); Verw Uxi = dot(Pr,Uxi);

MaxY(i,:) = Verw Y;

else MaxY(i,:)= 0;

end end

Bijlage 3 Matlab script voor alle modellen met stochastisch rendement. Voor elk ander model kan n en α worden veranderd.

% The model

u = @(x) -exp(-1.*x);

alfa= 1; %amount of assets invested

p = 0:0.1:10; n = 1;

Uw = u(w-Xi); %utility wheen not buying insurance

for i = 1:length(p) for q = 1:10000 getal=round(rand(1,1)); if getal<=0 returninv=-0.10; else returninv=0.15; end risicos =randi([0,10],n,1); R = sum(risicos);

Y(q) = max((1+(alfa*returninv))*(A+n*p(i))-sum(risicos),0);%profit

Uxi(q) = u(w-p(i)-(risicos(1)*(((1+(alfa*returninv)) *(A+n*p(i))-sum(risicos))<0))); if _{A+n*p(i)-sum(risicos)<0} indicator(q) = 1; else indicator(q) = 0; end mijnrisico(q)=risicos(1); end Corrmatrix= corrcoef(mijnrisico,indicator); defaultrisico(i)= mean(indicator);

(26)

correlatie(i)=Corrmatrix(1,2); Verw Uxi= mean(Uxi);

Verw Y= mean(Y); if Verw Uxi>=Verw Uw MaxY(i,:) = Verw Y; else MaxY(i,:)= 0; end end

Bijlage 4 Matlab script voor het model met 1 verzekeringskoper en de CRRA nutsfunctie(γ = 1).

% The model

w = 11; % The initial wealth of the policyholder

u = @(x) log(x) ; %gamma is 1

p = 0:0.1:10;

for i = 1:length(p)

Y = max(A+p(i)-Xi,0); %profit

Verw Y = dot(Pr,Y);

Uxi = u(w-p(i)-(Xi.*(A+p(i)-Xi<0))); %utility when buying insurance

Verw Uxi = dot(Pr,Uxi);

MaxY(i,:) = Verw Y;

else MaxY(i,:)= 0;

end end

Bijlage 5 Matlab script voor het standaardmodel met 100 verzekeringskopers.

% The model

(27)

% Define utility function of policyholder

u = @(x) -exp(-1.*x); p = 0:0.1:10; n = 100; for i= 1:100000 x =randi([0,10],100,1); Y(i) =sum(x); end Z= Y(1,:);

T= tabulate(Z); %makes a frequency table with all the simulated values

for i = 1:length(p) Y = max(A+n*p(i)-T(:,1),0); %profit Verw Y = dot(T(:,3)/100,Y); for q = 1:10000 risicos =randi([0,10],n,1); R = sum(risicos); Uxi(q) = u(w-p(i)-(risicos(1)*(A+n*p(i)-sum(risicos)<0))); if _{A+n*p(i)-sum(risicos)<0} indicator(q) = 1; else indicator(q) = 0; end mijnrisico(q)=risicos(1); end Corrmatrix= corrcoef(mijnrisico,indicator); correlatie(i)=Corrmatrix(1,2); defaultrisico(i)=mean(indicator); Verw Uxi= mean(Uxi);

MaxY(i,:) = Verw Y;

else MaxY(i,:)= 0;

end end

Bijlage 6 Matlab script voor het model met 100 verzekeringskopers en een vergoe-dingsregeling.

% The model

u = @(x) -exp(-1.*x); p = 0:0.1:10;

n = 100;

(28)

x =randi([0,10],100,1); Y(i) =sum(x);

end

Z= Y(1,:);

T= tabulate(Z); %frequency table

for i = 1:length(p) Y = max(A+n*p(i)-T(:,1),0); %profit Verw Y = dot(T(:,3)/100,Y); for q = 1:10000 risicos =randi([0,10],n,1); R = sum(risicos); Uxi(q) = u(w-p(i)-(max(risicos(1)-(risicos(1)/R) *(A+n*p(i)),0).*(A+n*p(i)-sum(risicos)<0))); if _{A+n*p(i)-sum(risicos)<0} indicator(q) = 1; else indicator(q) = 0; end mijnrisico(q)=risicos(1); end Corrmatrix= corrcoef(mijnrisico,indicator); correlatie(i)=Corrmatrix(1,2); defaultrisico(i)=mean(indicator); Verw Uxi= mean(Uxi);

MaxY(i,:) = Verw Y;

else MaxY(i,:)= 0;

end end

Bijlage 7 Matlab script voor het model met 100 verzekeringskopers en een CRRA nutsfunctie.

% The model

w = 11; % The initial wealth of the policyholder

u = @(x) log(x); p = 0:0.1:10; n = 100; for i= 1:100000 x =randi([0,10],100,1); Y(i) =sum(x); end Z= Y(1,:);

T= tabulate(Z); %makes a frequency table with all the simulated values

(29)

for i = 1:length(p) Y = max(A+n*p(i)-T(:,1),0); %profit Verw Y = dot(T(:,3)/100,Y); for q = 1:10000 risicos =randi([0,10],n,1); R = sum(risicos); Uxi(q) = u(w-p(i)-(risicos(1)*(A+n*p(i)-sum(risicos)<0))); if _{A+n*p(i)-sum(risicos)<0} indicator(q) = 1; else indicator(q) = 0; end mijnrisico(q)=risicos(1); end Corrmatrix= corrcoef(mijnrisico,indicator); correlatie(i)=Corrmatrix(1,2); defaultrisico(i)=mean(indicator); Verw Uxi= mean(Uxi);

MaxY(i,:) = Verw Y;

else MaxY(i,:)= 0;

end end

(30)

Bibliografie

Biffis, E. and Millossovich, P. (2012). Optimal insurance with counterparty default risk. Available at SSRN 1634883.

Filipovi´c, D., Kremslehner, R., and Muermann, A. (2014). Optimal investment and premium policies under risk shifting and solvency regulation. Journal of Risk and Insurance. Forthcoming.

Ibragimov, R., Jaffee, D., and Walden, J. (2010). Pricing and capital allocation for multiline insurance firms. Journal of Risk and Insurance, 77(3):551–578.