Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1981
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a a r 1,981WE
81-19...
K L A S S I E K E BESCHRIJVING V A N EEN DYNAMISCH MODEL
...
8DE MODALE ANALYSE. THEORIE EN MEETPRQCEDUWE
...
. I 2 3.1 I n l e i d i n g...
123 . 2 B e s c h r i j v i n g van e e n rekenmodel i n h e t LAPLACE-domein
...
I 2 3 . 3 B e s c h r i j v i n g van h e t rekenmodel i n h e t f r e q u e n t i e - d o . e i n..
1 8 3.3.1 Qngedempte systemen...
3 . 3 . 2 P r o p o r t i o n e l e demping...
.4 3 . 4 H e t meten van de f r e q u e n t i e - r e s p o n s...
.42 3 . 4 . 2 A l i a s i n o - f o u t b r o n n e n...
4. 3 . 4 . 1 Ana loog-di g i t aa l o m z e t t i n g...
423.4-3
A f r o n d i n g s f o u t e n i n de A D C...
= . . . 4 4 3 . 4 . 4 S i g n a a l - l e k...
. . 4 . 3 . 4 . 5 F o u t e n d i e o n t s t a a n d o o r h e t random g e d r a g...
50 3 . 4 . 5 . 1 L i n e a ir
Spek t r u m S x ( f l p S y ( f1
...
-51 3 . 4 . 5 . 2 Auto-poldger Spektrum G y x ( f ).
G Y y ( fl m
...
- 5 1
3 . 4 . 5 . 3 Cross-Power Spektrum...
= 5 2 3 . 4 . 6 E x c i t a t i e - t e c h n i e k e n...
56 3.4.6.1 pseudo fan$om...
56 3 . 4 . 6 . 4 P e r i o d i e k Random...
57 3 . 4 . 5 . 4 K o h e r e n t i e - f u n k t i edu'x(f)
...
53 3 . 4 - 5 . 5 De F r e q u e n t i e - r e s p o n s...
.54 3 . 4 . 6 . 2 P e r i o d i c c h i r p s...
..57 3 . 4 . 6 . 3 Buur Random...
. . . 5 7 3 . 4 . 6 . 5 I m p a c t e x c i t a t i e...
. . . ~ 5 7 3 . 4 . 7 H e t meten van e e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s...
58 3 . 5 H e t b e r e k e n e n van de modale p a r a m e t e r s...
58 3.5.1 Q u a d r a t u r e - f i t...
5. 3 . 5 . 2 C i r c l e - f i t...
.0 3 . 5 . 3 V o l l e d i g e f i t...
3.5.3.1
C u r v e f i t i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n...
60 3 . 5 . 3 . 2 C u r v e - f i t i n h e t t i jddomein (Rergeay,1980)..
613.5.3.3
C u r v e - f i t i n h e t t i j d - e n f r e q u e n t i e - d o m e i n . 6 2 MAAP PROGRAMMA...
63.
.
.
LITERATUUR...
s y m b o l e n l i j s t CA,] r e s i d u m a t r i x b i j p o o l pK B,,.,,,, M a x i ma l e b a n d b r e e d t e CCI D e m p i n g s m a t r i x E E n e r g i e f f r e q u e n t i e A f O p l o s s e n d vermogen i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n C f 3 K r a c h t - k o l o m - m a t r i x G,, ( f l , G y y ( f 1 Auto-power S p e k t r u m G , ( f 1 C r o s s - p o w e r S p e k t r u m C H ( p ) l T r a n s f e r - f u n k t i e m a t r i x H i j ( p 1 T r a n s f e r - f u n k t i e H ( f 1 F r e q u e n t i e - r e s p o n s H i j ( W 1 F r e q u e n t i e r e s p o n s h i j ( t 1 Impu 1 s - r e s p o n s IC11 j V e k t o r t e r L e n g t e 1 l a n g s i m a g i n a i r e a s C K I
CMI
Macsamat r i x m R e s i d u e l e m a s s a P O n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e i n L a p l a c e - d o m e i n P K P o o l n r . k i n h e t L a p l a c e d o m e i n S , ( f ) , S , ( f > L i n e a i r S p e k t r u m S!! R e s i d u e l e f l e x i b i l i t e i tiJ
m e e t t i j d t t i j dA
t t i j d t u s s e n b e m o n s t e r i n g e n Cx3 v e r p l a a t c i n g s - k o l o m - m a t r i x&)
d i r a c - f u n k t i e w h o e k s n e l h e i d Qdk g e d e m p t e n a t u u r l i j k e e i g e n f r e q u e n t i ek%f
e i g e n t r i L l i n g c v o r m b i j p o o l p Kffk
d e m p i n g c v e r h o u d i n g b i j p o o e p K I d e n t i t e i t s-mat r i x S t i j f h e i dsmat r i x(f)
k oh e r e n t i e -f u nk t i e o n g e d e m p t e n a t u u r i i j k e e i g e n f r e q u e n t i ec.
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c-I CN/ml Ck g1 Ck g l cc”1
cc-’ 1c.
. I Cm/Nl cs 1 cs1
cs 1 Cm 1 c-7c.
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C l L S 3 cs-‘1
c.
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c-I
r - -1E e n g r o t e k l a s s e v a n p r o b l e m e n i n de w e r k t u i g b o u w w o r d t gevormd d o o r h e t a l d a n n i e t o p t r e d e n v a n t r i l l i n g e n . S i n d s l a n g e t i j d i s e e n b e k e n d e s t r a t e g i e op t r i l l i n g s p r o b l e m e n a a n t e p a k k e n h e t g e b r u i k v a n de zogenaamde " m o d a l e a n a l y s e " , w a a r o n d e r men h e t o p s p o r e n v a n e i g e n f r e q u e n t i e s en b i j b e h o r e n d e d e m p i n g e n e n t r i l l i n g s v o r m e n v e r s t o n d . De l a a t s t e t i j d w o r d t de naam " m o d a l e a n a l y s e " v r i j w e l u i t s l u i t e n d g e b r u i k t om e e n e x p e r i m e n t e l e t e c h n i e k a a n t e d u i d e n w a a r b i j o . a . g e b r u i k g e m a a k t w o r d t v a n d i g i t a l e a n a l y z e r s e n k o m p u t e r s . De k l a s s e v a n p r o b l e m e n w a a r i n m o d a l e a n a l y s e i n z i c h t k a n k r e n g e n k a n g e k e n s c h e t s t w o r d e n met: - I s m i j n b e r e k e n i n g s m e t h o d e op b a s i s v a n de e l e m e n t e n m e t h o d e w e l - Z i j n e r zwakke p l e k k e n i n d e z e k e n s t r u k t i e a a n t e w i j z e n ? - Z i j n e r b e p a a l d e p r o b l e m e n m i s s c h i e n h e t g e v o l g v a n o n g u n s t i g e -Op w e l k e p l a a t s e n i n de k o n s t r u k t i e k a n i k h e t b e s t e b e g i n n e n j u i s t ? d y n a m i s c h e e i g e n s c h a p p e n ? met l a w a a i b e s t r i j d i n g ? V o o r d a t we b e g i n n e n met de t h e o r i e v a n de m o d a l e a n a l y s e t e b e h a n d e l e n z u l l e n we e e r s t de m e e t p r o c e d u r e z e e r summier b e k i j k e n om e e n i n d r u k t e g e v e n v a n h e t h e l e p r o c e s . We g a a n a l s v o l g t t e w e r k : - V e r d e e l de s t r u k t u u r i n e e n a a n t a l d i s k r e t e p u n t e n . I -Meet e e n k o l o m v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s m a t r i x . D . W . Z . E e n p u n t e x c i t e r e n e n v a n a l l e a n d e r e p u n t e n de v e r p l a a t s i n g , s n e l h e i d o f v e r s n e l l i n g r e g i s t r e r e n o f de r e s p o n s i n e e n p u n t r e g i s t r e r e n e n a l l e a n d e r e p u n t e n a c h t e r e e n v o l g e n s e x c i t e r e n . - B e p a a l u i t de m e t i n g e n de e i g e n f r e q u e n t i e s , d e m p i n g e n e n e i g e n t r i l l i n g s v o r m e n ( r e k e n p r o g r a m m a ) -Geef u i t g e b r e i d e u i t v o e r m o g e l i j k h e d e n , b . v . p l o t s , t a b e l l e n , g e a n i m e e r d e b e e l d e n .
We b e s c h o u w e n e e n ongedempt s y s t e e m met b e w e g i n g s v e g e l i j k i n g e n : C # l € X < t > >
+
C K l C x ( t ) I=
C f ( t > I (2.1 A a n s t o t e n met e e n h a r m o n i s c h e f u n k t i e L e v e r t i n de s t e a d y s t a t e : C - d C M 1+
C K I I C X I=
C F I( 2 . 2 1
M e t : € f ( t > I=
C P 3 . e x p ( j . C L ) . t ) C x ( t 1 3=
€ X 3 . e x p ( j . W . t ) O p l o s s e n v a n h e t homogene d e e l L e v e r t a l l e e n i n t e r e s s a n t e o p l o s s i n g e n b i j d e e i g e n w a a r d e n : C C K I - ’ C M l-
~ 2 C I l l C X >=
€0)( 2 . 3 )
1 D e z e e i g e n w a a r d e n worden met de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g b e r e k e n d : d e t ( C C K l - ’ C M 3-
G‘CI71)=
O ( 2 . 4 ) i D i t g e e f t e e n a a n t a l e i g e n w a a r d e n ( k = l , . . , n 9 met b i j b e h o r e n d e e i g e n v e k t o r e náw~
I = De e i g e n v e k t o r e n z i j n op e e n k o n s t a n t e f ak t o r n a b e p a a I d . De e i genvek t o r e n (ook e i g e n t r i L l i n g s v o r m e n , modes genoemd) w o r d e n o p g e b o r g e n i n e e n m a t r i x :cy3
= [Cur, I C 7v;I.. . c l y n > 3A
is
we d e e i g e n w a a r d e r- riet G i j b e h s r e n d e e i genven t o r t e r u g s u b s t i t u e r e n i n ( 2 . 2 ) k r i j g e n we: - W ~ C l i l C ~ > 9 C K l C ~ , l =€03
T V o o r v e r m e n i gvu l d i g e n met C I g e e f t : ( 2 . 5 ) A l s we h e t L i n k e r e n h e t r e c h t e r l i d t r a n s p o n e n e r e n ( s c a l a r s ! ) d a n k r i j g e n we, g e b r u i k m a k e n d v a n de s y m m e t r i e i n Clv13 e n C K 3 : We s c h r i j v e n ( 2 . 5 ) n o g e e n s op v o o r mode s en v e r m e n i g v u l d i g e n v o o r metc
y T , f :
-d:C ~ , - 3 C M l € ~ s T I+
C’l&23CKl€?& 3=
O ( 2 . 8 1 A l s we (2.71 e n ( 2 . 8 ) v a n e l k a a r a f t r e k k e n k r i j g e n we: z T (W,
-
W ~ ) C T ~ ~ C M I C Y ~ 3 = O A l s Ld,#lJ3, v o l g t h i e r u i t met(2.7):
r = s (2.91
7-
T A l s r=s d a n z i j n de s c a l a r s C?lr73CM7Cvs3 e n C v r > C K l C Y T j 3 n i e t g e l i j k a a n n u L , maar e e n p o s i t i e f g e t a l : d e m o d a l e i n e r t i a (2.101 de m o d a l e s t i j f h e i d C y K > w o r d t z o g e s c h a a l d d a t m k = l ; we s p r e k e n d a n v a n de genorma L i s e e r d e modevorm. Met d e z e o r t h o g o n a l i t e i t s e i g e n s c h a p p e n k u n n e n b e w e g i n g s v e r g e li j k i n g e n a Ls vo l g t o n t k o p p e l e n : we de Me b e s c h o u w e n e l k e v e r v o r m i n g s v e k t o r C x ( t 1 3 a l s e e n l i n e a i r e k o m b i n a t i e v a n de modevormen. D i t L e v e r t de v o l g e n d e t r a n s f o r m a t i e : (2.111 C x ( t 1 3 = C V l C q ( t 1 3I-
I n v u 1 Len e n v o o r v e r m e n i gvu L d i g e n met
Cvl
l e v e r t :T ?- C v 3 C M l C v 3 < q ( t 1 3
+
C ~ $ C K I C ~ l C q ( t 1 3=
C y l t f ( t 1 3 (2.121 Ort h o g o n a L i t e i t e i s t : ( 2 . 1 2 1 g a a t nu o v e r i n e e n s e t d i i i e r e n t i a a i v e r g e t i j k i n g e n :-r
[ml€6
( t 1 3+
rkJ Cq ( t 1 3=
C v l C f ( t 1 3 O f v o o r mode k :T
m
9
( t 1 +
k k q (t1=
Cvk
3 C f ( t 1 3 k on t k oppe Lde ( 2 . 1 3 a ) ( 2 . 1 3 b 13
.I
I n l e i d i n g I n d i t h o o f d s t u k z a l d e m e e t p r o c e d u r e v o o r de m o d a l e a n l y s e e n de a c h t e r l i g g e n d e t h e o r i e i n h o o f d l i j n e n w o r d e n b e s p r o k e n . i n p a r . 3 . 2 w o r d t v o o r e e n d y n a m i k a - m o d e l e e n r e l a t i e g e l e g d t u s s e n e n e r z i j d s e e n massa-, s t i j f h e i d s - e n d e m p i n g s m a t r i x e n a n d e r z i j d s de zogenaamde m o d a l e p a r a m e t e r s . V e r v o l g e n s z u l l e n i n p a r . 3 . 3 e n 3 . 4 e n k e l e o p m e r k i n g e n g e p l a a t s t w o r d e n o v e r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s e n h e t meten v a n d e z e f u n k t i e met e e n d i g i t a l e s i g n a l - a n a l y z e r . T e n s l o t t e w o r d e n i n p a r . 3 . 5 e n k e l e a l g o r i t m e n b e s p r o k e n om u i t g a a n d e v a n e e n a a n t a l gemeten f r e q u e n t i e - r e s p o n s i e s de m o d a l e p a r a m e t e r s v a n de s t r u k t u u r t e b e p a l e n . Met b e h u l p v a n d e z e p a r a m e t e r s z i j n we i n s t a a t e e n m e c h a n i s c h e s t r u k t u u r t e v e r g e l i j k e n met e e n r e k e n m o d e l . 3 . 2 B e s c h r i j v i n g v a n e e n r e k enmode L i n h e t LAPLACE-domei nW e
g a a n u i t v a n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n v o o r e e n v i s k e u s gedempt s y s t e e m met m e e r d e r e g r a d e n v a n v r i j h e i d :d e m a t r i c e s [ M l , CCI e n CKI z i j n s y m m e t r i s c h , t e r w i j l CNI e n CK3 b o v e n d i e n s e m i - p o s i t i e f d e f i n i e t z i j n . bde b e k i j k e n h e t s y s t e e m i n h e t L a p l a c e d o m e i n . De t r a n s f o r m a t i e i s l i n e a i r e n g e l d t a l i e e n v o o r L i n e a i r e s y s t z n ì e n . I n k e t L a p l a c e - d n m e i n b e s c h r i j v e n we h e t s y s t e e m met k o m p l e x e g e t a l l e n . D i t d o m e i n b e z i t de a a r d i g e e i g e n s c h a p d a t e e n r e s p o n s g e s c h r e v e n k a n w o r d e n a l s h e t p r o d u k t v a n e e n t e r m d i e v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l a f h a n g t en e e n t e r m d i e a l l e e n s y s t e e m - a f h a n k e l i j k i s . We k r i j g e n d a n : H i e r i n i s
cx
( p ) > e e n k o l o m m a t r i x met de L a p l a c e - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n de v e r p l a a t s i n g e n e n C F ( p I 3 d e L a p l a c e - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n de k r a c h t e n . P i s de o n a f h a n k e l i j k e L a p l a c e - v a r i a b e l e . V e r d e r z i j n de b e g i n w a a r d e n€ k ( O > > = € x
( O > > = c O >
v e r o n d e r s t e l d . We k u n n e n s c h r i j v e n : m e t : C B ( p > 3 . € X ( p > 3=
< F ( p ) > CB(p13 = C p 2 . C N l+
p . C C 1+
CKIJ A L S we h e t s t e l s e l(3)
op k u n n e n L o s s e n g e l d t :(3)
H i e r i n i s C H ( p ) 3 d e TRANSFER-FUNKTIE-MATRIX. b e p a a l d w o r d e n met de r e g e l v a n C r a m e r : C H ( p ) J k a nCH(p13
=
C B ( p ) I - '=
C D ( p ) l / d e t C B ( p ) l( 4 )
C D ( p ) l i s de g e a d j u g e e r d e v a n C B ( p ) l met a l s r e c e p t :-
B e p a a l v o o r i e d e r e t e r m v a n C B ( p ) l de o n d e r d e t e r m i n a n t-
V e r m e n i g v u l d i g de t e r m e n w a a r b i j d e som v a n de i n d i c e s-
T r a n s p o n e e r de a l d u s v e r k r e g e n m a t r i x o n e v e n i s met de f a k t o r-1.
H e t nul s t e l l e n van de noemer i n
( 4 )
L e v e r t de k a r a k t e r i s t i e k ev e r g e l i j k i n g : (de v e r p l a a t s i n g e n i n ( 3 ) worden d a n o n e i n d i g g r o o t )
d e t C B ( p ) l
=
O(5)
( p ) v a n C H ( p ) l i s e e n q u o t i e n t van t w e e polynomen i n p: term
Hij
We b e k i j k e n v e r d e r a l l e e n nog o n d e r k r i t i s c h gedempte systemen. De w o r t e l s v a n de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g z i j n d a n komplexe g e t a l l e n e n z i j komen i n g e k o n j u g e e r d e p a r e n v o o r . We kunnen d a n v o o r
( 6 )
s c h r i j v e n : R e t : c o = k o n c t a n t e p k = w o r t e i van Be k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e L i j h i n g c f p s s ! pk=
komplex g e k o n j u g e e r d e v a n p o o l p,. P a r t i e e l b r e u k c p l i t s e n l e v e r t : O f w e l :v o o r e l k e r i j v a n C D ( p & ) I . D a a r d e t r a n s f e r - f u n k t i e - m a t r i x C H ( p > l o p e e n f a k t o r d e t C B ( p 1 7 n a g e l i j k i s a a n d e g e a d j u g e e r d e v a n C B ( p ) l ( = C D ( p > I ) k u n n e n we d e v o l g e n d e b e l a n g r i j k e k o n k l u s i e t r e k k e n :
ELKE R I J
O F
KOLOM V A M D E TRANSFER-FUNKTIE-MATRIX C H ( p ) l BEPAALTD E EIGENTRILLINGSVORMEN V A N HET S Y S T E E M VOLKONEN.
U i t ( 9 ) b l i j k t d a t e l k e k o m p o n e n t H i j
( P I
v a n d e t r a n s f e r - f u n k t i e - m a t r i x C H ( p > l b e p a a l d w o r d t d o o r k s e t s v a n t w e e ( k o m p l e x e ) p a r a m e t e r s : d e p o o l P k e n h e t b i j d i e p o o l b e h o r e n d e r e s i d u [ A k l . De p o l e n z i j n v o o r a l l e t r a n s f e r - f u n k t i e s b i n n e n C H ( p ) l g e l i j k , de r e s i d u e n v e r s c h i l l e n e c h t e r v a n k o m p o n e n t t o t k o m p o n e n t . S a m e n v a t t e n d k u n n e n we k onk l u d e r e n :>
H e t g e d r a g v a n e e n op v i s k e u z e d e m p i n g g e b a s e e r d d y n a m i k a - r e k e n m o d e l w o r d t v o l l e d i g b e s c h r e v e n d o o r e e n i n h e t L a p l a Ce-domei n g e d e f i n i e e r d e t r a n s f e r - f u n k t i e-ma t r i x C H ( p 11.>
E l k e k o m p o n e n t Hij ( p ) v a n CH(p)3 v l / A k u n n e n we s c h r i j v e n a l s :>
De e i g n t r i l l i n g s v o r m e n C V k > wo d e n v o l k o m e n b e p a a l d d o o 1 r i j o f 1 k o l o m v a n de t r a n s f e r - f u n k t i e - m a t r i x C H ( p > J>
C H ( p ) l k a n b e s c h r e v e n w o r d e n met d e z o g e n a a m d e m o d a l e p a r a m e t e r s d i e v o o r e l k e e i g e n t r i l l i n g s v o r r n k b e s t a a n u i t e e n p o o l p k e n e e n b i j b e h o r e n e r e s i d u m a t r i x CA,].3.3
B e s c h r i j v i n g v a n h e t r e k e n m o d e l i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n A l s de b e s c h r i j v i n g i n h e t L a p l a c e - d o m e i n b e k e n d i s k a n de o v e r g a n g n a a r h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n e e n v o u d i g u i t g e v o e r d w o r d e n d o o r p=j.,(d t e s u b s t i t u e r e n , w a a r b i j IA) d e h o e k f r e q u e n t i e v o o r s t e l t . I n f i g u u r 1 k u n n e n we d i t v o o r s t e l l e n a l s e e n d o o r s n i j d i n g v a n de g r a f i e k met e e n v l a k d o o r d e i m a g i n a i r e a s l o o d r e c h t op de r e ë e l e a s . We z u l l e n e e r s t d e b e s c h r i j v i n g v a n d e f r e q u e n t i e - r e s p o n s e n de p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k b e k i j k e n , d a a r n a w o r d e n e n k e l e k o r t e o p m e r k i n g e n g e p l a a t s t o v e r s p e c i a l e g e v a l l e n z o a l s o n g e d e m p t e s y s t e m e n e n p r o p o r t i o n e e l g e d e m p t e s y s t e m e n-
A l l e r e e r s t w o r d t v e r g e l i j k i n g ( 9 ) o m g e w e r k t . d e r e s i d u m a t r i x C A k l d i e g e v u l d i s m e t d e r e s i d u e n i s op e e n k o n c t a n t e f a k t o r ‘ i , k n a g e l i j k a a n C D ( p k ) l : We h e b b e n i n p a r . 1 . 2 g e z i e n d a t e l k e r i j e n e l k e k o l o m i n 6 D ( p k ) 3 o p e e n k o n s t a n t e n a g e l i j k i s a a n d e e i g e n t r i l l i n g s v o r m(yK
3 .
We k u n n e n C D ( p k ) l nu s c h r i j v e n a l s h e t p r o d u k t v a nCT+>
e n z i j n g e t r a n s p o n e e r d e : TCA,l=c,,, C D ( p K ) l
=
c , , ~ .clar<€?yk><y,
3( 1 4 )
k on s t a n t 2,k
C4,k e n c D i t l e v e r t o n s met ( 9 ) : S p l i t s e n i n r e e e l e e n i m a g i n a i r e d e l e n m e t : pL<=pk
+ j=%
ac(i%.k]iWkr= “ijk +j.vijk
e n o v e r g a a n v a n n e t i a p i a c e - d o m e i n n a a r h e t d o o r s u b s t i t u t i e v a n p
=
j . @ l e v e r t : a l s a l g e m e n e f o r m u l e v o o r d e f r e q u e n t i e - r e s p o n s . We g e v e n n o g t w e e e x t r a d e f i n i t i e s d i e a a n s l u i t e n b i j b e k e n d e k l a s s i e k e b e g r i p p e n : De o n g e d e m p t e n a t u u r l i j k e e i g e n f r e q u e n t i e v a n mode k : E n de d e m p i n g s v e r h o u d i n gA l v o r e n s d e p r e s e n t a t i e v a n d e f r e q u e n t i e - r e s p o n s i n h e t k o m p l e x e v l a k t e b e k i j k e n , b e s c h o u w e n we e e r s t e d e f u n k t i e : m e t p k e n 'V r e ë e l e n k o n s t a n t . D e z e f u n k t i e b l i j k t v o o r - í P < W
< m
e e n c i r k e l i n h e t k o m p l e x e v l a k t e b e s c h r i j v e n m e t e e n m j d d e l p u n t (-f/Z$RO) e n e e n s t r a a l vanj1/2/uvJ. ( z i e f i g u u r2 . 1
fm / m - v . p R e W v -ci - * - $ I$
D r a w i n g assumes'1
t'.
pco u>o
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'mR . W * V - I U * r Y
-
p" i ( W-
v) U - I V -(I+If&J*V) U * r V U - t V-
p+ ilw -VI-
ge i l w + v) f i g u u r 2 De f r e q . r e s p o n s i n h e t k o m p l e x e v l a k ( n = l ) . De b i j d r a g e v a n 1 mode k i n v e r g e l i j k i n g ( 1 9 ) b e s t a a t u i t t w e e f u n k t i e s v a n h e t t y p e(20)
d i e a l l e e n g e b r u i k t w o r d e n v o o r O<
Jtuijk+vij,',
e n v e r d r a a i d o v e r e e n h o e k m e t e e n t a n g e n s v a n "ijk /'Jijk r e s p . -Vij1(1
Uijk.
De t o t a l e f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t v e r k r e g e n d o o r v o o r e l k e t r i L l i n g s v o r m d e z e c i r k e l b o g e n op t e t e l l e n . I n f i g u u r 2 w o r d t e e n e n a n d e r v e r d u i d e l i j k t . Mennoemt de p r e s e n t a t i e van de f r e q u e n t i e - r e s p o n s i n h e t komplexe v l a k vaak een N Y Q U I S T - D I A G R A M .
R '7
R e
We b e k i j k e n h e t r e k e n m o d e l e e r s t i n h e t L a p l a c e - d o m e i n . Omdat b i j o n g e d e m p t e s y s t e m e n de m a t r i x CCI = C O 7 i n v e r - g e l i j k i n g
(2)
komen e r i n de m a t r i c e s C B ( p ) I e n C D ( p ) I a l l e e n e v e n m a c h t e n v a n p v o o r . De p o l e n u i t de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g z i j n dan z u i v e r i m a g i n a i r e n komen v o o r i n k o m p l e x g e k o n j u g e e r d e p a r e n . De m a t r i x C D ( p ) l b e s t a a t d a n ook u i t z u i v e r r e e e l e k o m p o n e n t e n . A l s we d u s de r e s i d u m a t r i c e sCAhJ
b e h o r e n d e b i j d e z u i v e r i m a g i n a i r e p o l e n g a a n b e p a l e n d a n b l i j k t d a t d e z e r e s i d u m a t r i c e s u i t z u i v e r i m a g i n a i r e k o m p o n e n t e n b e s t a a n . A l s we v a n u i t h e t L a p l a c e - d o m e i n n a a r h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n o v e r g a a n d o o r p = j . W t e s u b s t i t u e r e n k r i j g e n we met pK=/IAk+j.Vk=j.LK ( p o l e n z i j n z u i v e r i m a g i n a i r ) : PK=,hk i-jd,,
=j.gK
v o o r v e r g e l i j k i n g ( 1 9 ) : ( r e s i d u e n z u i v e r i m a g . ) De f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t o n e i n d i g g r o o t a l s0
ge t i j k w o r d t a a n LilK ( d e e i g e n f r e q u e n t i e ) . I n h e t k o m p l e x e v l a k w o r d t de f r e q u e n t i e - r e s p o n s w e e r g e g e v e n dooi. e e n L i j n o v e r de r e ë e l e a s v a n -90 n a a r go.
~ e z e p r e s e n t a t i e i s n i e t z i n v o l e n n e t i s v e r s t a n d i g e r n a a r a n d e r e p r e s e n t a t i e s ( b . v . B o d e - d i a g r a m ) t e k i j k e n .3.3.2
P r o p o r t i o n e Le d e m p i n g . E e n s y s t e e m n o e m t men p r o p o r t i o n e e l g e d e m p t a l s d e b e w e g i n g s v e r g e l j k i n g e n t e o n t k o p p e l e n z i j n met d e e i g e n v e k t o r e n d i e g e v o n d e n z i j n d o o r h e t o p l o s s e n v a n h e t o n g e d e m p t e s y s t e e m . N o d i ge e n v o l d o e n d e v o o r w a a r d e n h i e r v o o r z i j n o p g e s t e l d d o o r C a u g h l y & O ' K e l l y (1965); e e n v o l d o e n d e v o o r w a a r d e i s b i j v o o r b e e l d d a t de d e m p i n g s m a t r i x e e n L i n e a i r e k o m b i n a t i e i s v a n de m a s s a - e n de s t i j f h e i d s m a t r i x . E e n g e v o l g v a n p r o p o r t i o n e l e d e m p i n g i s d a t , h o e w e l de p o l e n g e w o n e k o m p l e x e g e t a l l e n z i j n , de r e s i d u e n w e e r z u i v e r i m a g i n a i r z i j n : V o o r d e f r e q u e n t i e - r e s p o n s v o l g t d a a r m e e :P k s - k
+j
Lk,
i
%
.
.xj
=
j.
'/..I,
Y
( 2 2 1
I n h e t N y g u i c t d i a g r a m w o r d e n d e c i r k e l s u i t v e r g e l j k i n g
(20)
I g e d r a a i d o v e r+ Z / 2
r e s p- 1 2 / 2 .
Z e l i g g e n d a n s y m m e t r i s c hI
-
S a m e n v a t t e n d k o m e n we t o t d e v o l g e n d e o p m e r k i n g e n o v e r d e b e s c h r i j v i n g v a n h e t r e k e n m o d e l i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n : -De a l g e m e n e f o r m u l e v o o r d e f r e q u e n t i e
-
r e s p o n s l u i d t : -De p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k k a n a l s * v o o r e l k e t r i l l i n g s v o r m t w e e c i r k e l b o g e n m e t g e k o n s t r u ee r d w o r d e n :I
e n m i d d e l p u n t<-1/2
v e r g r o t e n met f a k
(LA$;
+
VijZ,'
* C i r k e l s d r a a i e n o v e r d e h o e k e n( 1 9 )
v o L g t
- V o o r o n g e d e m p t e s y s t e m e n g e l d t : *De p o l e n z i j n z u i v e r i m a g i n a i r *De r e s i d u m a t r i c e s z i j n z u i v e r i m a g i n a i r *De u i t d r u k k i n g v o o r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t : i *De p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k i s e e n l i j n op de r e g e l e a s . - V o o r p r o p o r t i o n e e l g e d e m p t e s y s t e m e n g e l d t : *De p o l e n z i j n n o r m a l e k o m p l e x e g e t a l l e n *De r e s i d u m a t r i c e s z i j n z u i v e r i m a g i n a i r *De f r e q u e n t i e - r e s p o n s i s : * B i j d e p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k w o r d t de f r e q u e n t i e - r e s p o n s s a m e n g e s t e l d u i t e e n a a n t a l c i r k e l b o g e n d i e s y m m e t r i s c h z i j n t e n o p z i c h t e v a n de i m a g i n a i r e a s . 3 . 4 H e t m e t e n v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s . Wanneer we h e t d y n a m i s c h g e d r a g e e n k o n s t r u k t i e e x p e r i m e n t e e l w i l l e n b e p a l e n i s h e t h a n d i g a l s we k u n n e n b e s c h i k k e n o v e r e e n m e e t t e c h n i e k d i e m e t i n g e n i n h e t L a p l a c e - d o m e i n m o g e l i j k maakt. Daarmee k u n n e n we d a n p o l e n e n de b i j b e h o r e n d e r e s i d u m a t r i c e s o p s p o r e n , H e l a a s b e s c h i k k e n we n i e t o v e r z o ' n m e e t t e c h n i e k en k u n n e n we s l e c h t s m e t i n g e n v e r r i c h t e n i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n ; d . w . z . we k u n n e n de T r a n s f e r - f u n k t i e a i i e e n m e t e n v o o r z u i v e r i m a g i n a i r e p - w a a r d e n , We h e b b e n i n de v o r i g e p a r a g r a a f g e z i e n d a t d a t o n s de f r e q u e n t i e - r e s p o n s L e v e r t . V o o r h e t m e t e n v a n z o S n f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t t e g e n w o o r d i g v e e l g e b r u i k gemaakt v a n e e n d i g i t a l e " s i g n a l a n a l y z e r " , w a a r i n de s i g n a l e n g e d i g i t a l i s e e r d M o r d e n e n v e r v o l g e n s n a a r h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n g e t r a n s f o r m e e r d w o r d e n d o o r e e n m i k r o - p r o c e s s o r met e e n " F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m : : a i g o r i t m e . i n d e z e p a r a g i a a f Wûi.den enke!.e a s p e k t e n v a n h e t meten met z o ' n a n a l y z e r a a n g e t i p t . V o o r v e r d e r e i n f o r m a t i e w o r d t v e r w e z e n n a a r A l l e m a n g ( 1 9 8 0 a ) , Brown ( 1 9 8 0 a 1 , V a n h o n a c k e r ( 1 9 8 0 1 , K l o s t e r m a n ( 1 9 7 1 1 , V . L o o n ( 1 9 7 4 ) e n v . d . S t a a y ( 1 9 7 9 ) . 3
- 4
-1
Ana L o o g - d i g i t aa 1 omzet t i n g . Omdat de m e e t s i g n a l e n v e r w e r k t m o e t e n w o r d e n d o o r e e n m i k r o p r o c e s s o r , i s h e t n o d i go m
d e a n a l o g e s i g n a l e n a a n t e b i e d e n i n e e n d i g i t a l e vorm. D a a r t o e w o r d t na e l k e t i j d s i n t e r v a l v a nA
t s e k o n d e de w a a r d e v a n de i n g a n g s s i g n a l e n gemeten e n d i g i t a a l o p g e l a g e n t o t d a t e e n t o t a a l v a n N b e m o n s t e r i n g e n genomen i s . V o l g e n s h e t t h e o r e m a v a n S h a n n o n g e l d e n de v o l g e n d e r e l a t i e s ( z i e b . v. B e n d a t & P i e r s o l ( 1 9 7 1 ) ) :F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e m.b.v. N b e m o n s t e r i n g e n met t i j d s i n t e r v a l A t b e r e k e n d k a n w o r d e n i s : ( 2 4 ) - H e t f r e q u e n t i e - i n t e r v a l t u s s e n de d i s k r e t e u i t k o m s t e n v a n d e Fou r i e r - t r a n s f o r m a t i e i s :
A f
=
1 / T ( 2 5 ) D i t h e e f t o n d e r a n d e r e d e v o l g e n d e g e v o l g e n : - W i l men d e b a n d b r e e d t e v e r k l e i n e n , . d a n w o r d t de m e e t t i j d l a n g e r .- O m
e e n t r i l l i n g s v o r m g o e d t e b e s c h r i j v e n i s h e t n o d i g o v e r e e n g r o o t o p l o s s e n d v e r m o g e n i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n t e b e s c h i k k e n . Omdat d a a r e e n L a n g e m e e t t i j d v o o r n o d i g i s k a n de b e s c h r i j v i n g v a n h e t s i g n a a l i n h e t t i j d d o m e i n o n n a u w k e u r i g w o r d e n o m d a t de b e m o n s t e r i n g e n m e t t e g r o t e t i j d s i n t e r v a l l e n p l a a t s v i n d e n . ' D i t k a n m e t name b i j i m p a c t - e x c i t a t i e t e c h n i e k e n p r o b l e m e n o p l e v e r e n .3 . 4 . 2
A l i a c i n g - f o u t b r o n n e n . i n d i e n we d e i n g a n g s s i g n a l e n v o l g e n s d e " F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m " w i l l e n b e h a n d e l e n w o r d e n d e r e s u l t a t e n b e i n v l o e d d o o r e v e n t u e l e s i g n a l e n met e e n f r e q u e n t i e d i e b u i t e n d e i n g e s t e l d e b a n d b r e e d t e v a l t . H e t v e r b a n d t u s s e n t o e g e v o e r d e e n g e m e t e n f r e q u e n t i e i s w e e r g e g e v e n i n f i g u u r3.
f i g u u r 3 . A li a c i n g H e t i s d u s b e i a n g r i jk om f r e q u e n t i e s b u i t e n d e i n g e s t e i a i e b a n d b r e e d t e t e e l i m i n e r e n . I n d i e n e r g e b r u i k g e m a a k t w o r d t v a n k o m p l e t e a n a l y z e r - s y s t e m e n z i j n d e z e a n t i - a l i a s i n g f i l t e r s r e e d s i n g e b o u w d e n h o e f t men z i c h g e e n z o r g e n t e maken o v e r d e z e f o u t b r o n . Omdat e r g e e n i d e a l e a f k a p f i l t e r s b e s t a a n w o r d t e r b i j d e z e s y s t e m e n vaak met e e n t w e e k e e r z o g r o t e f r e q u e n t i e b e m o n s t e r d d a n t h e o r e t i s c h n o o d z a k e l i j k i s v o o r de g e w e n s t e b a n d b r e e d t e . 3 . 4 . 3 A f r o n d i n g s f o u t e n i n de A D C Omdat h e t s i g n a a l v a n e e n a n a l o g e n a a r e e n d i g i t a l e vorm w o r d t omgezet i n de A-D k o n v e r t e r z u l l e n e r a f r o n d i n g s f o u t e n o p t r e d e n d i e de m e e t r e s u l t a t e n n a d e l i g b e i n v l o e d e n . H e t i s d u s b e l a n g r i j k d a t de a n a l o g e w a a r d e n a d i g i t a l i s e r i n g d o o r v o l d o e n d e b i t s w o r d t w e e r g e g e v e n . ( B i j 8 b i t s i s de m a x i m a l e a f r o n d i n a s f o u t 0 . 4 % ) A f r o n d i n g s f o u t e n k u n n e n b e l a n g r i j k e m e e t f o u t e n v e r o o r z a k e n i n d i e n de t o e g e v o e r d e s i g n a l e n e e n g r o t e h a r m o n i s c h e o f s t a t i s c h e komponent b e v a t t e n ; h e t d y n a m i s c h e d e e l w o r d t d a n met a a n z i e n l i j k e a f r o n d i n g s f o u t e n b e s c h r e v e n . ( z i e f i g u u r 4
1
f i g u u r
4.
A f r o n d i n g s f o u t e n i n d e A D C .3 . 4 . 4
S ì g n a a ì - ì e k E e n v a n d e m e e s t v o o r k o m e n d e f o u t b r o n n e n b i j h e tmeten
v a n
f r e q u e n t i e - r e s p o n s i e s m e t d i g i t a l e a p p a r a t u u r i s d e z o g e n a a m d e " s i g n a a l - l e k " . D e z e f o u t o n t s t a a t o m d a t we n i e t i n s t a a t z i j n d e i n g a n g s s i g n a l e n g e d u r e n d e s n e ì n d ì g e t i j d t e o b s e r v e r e n , z o a l s de F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e v o o r s c h r i j f t . A l s we h e t s i n u s v o r m i g e s i g n a a l u i t f i g u u r 5 a w i l l e n a n a l y s e r e n , w o r d t d i t s i g n a a l s l e c h t s g e d u r e n d e e e n e i n d i g e t i j d f i g u u r S a t e v e r m e n i g v u l d i g e n met e e n r e c h t h o e k i g e f u n k t i e u i t f i g u u r 5 b . Z o ' n f u n k t i e w o r d t i n d i t v e r b a n d v a a k e e n " w i n d o w f u n c t i o n " genoemd. H e t r e s u I t a a t v a n d e v e r m e n i g v u l d i g i n g i s w e e r g e g e v e n i n f i g u u r 5 c . y e o b c e r v z e r d - E f t l ü n f i e n E s v o o r c t e ! ! e n d = = r h e t s i g n a a ! g f tf i g u u r 5a. T e a n a l y s e r e n s i n u s v o r m i g s i g n a a l . f i g u u r 5b. Window f u n c t i o n f i g u u r 5c. S i g n a a l d a t i n w e r k e l i j k h e i d g e a n a l y s e e r d w o r d t . De v e r m e n i g v u l d i g i n g v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l m e t e e n w i n d o w f u n c t i o n h e e f t t o t g e v o l g d a t i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n d e F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e n v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l e n v a n de w i n d o w f u n c t i o n g e k o n v o l u e e r d w o r d e n . ( H e t p r o d u k t v a n t w e e f u n k t i e s i n h e t t i j d d o m e i n k o m t o v e r e e n met de k o n v o l u t i e v a n de g e t r a n s f o r m e e r d e n v a n d e z e f u n k t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n ; H u r t y & R u b i n s t e i n ( 1 9 6 4 1 ) . D o o r d e z e k o n v o l u t i e w o r d t h e t g e m e t e n s p e k t r u m v e r v o r m d ; e e n e n a n d e r i s d u i d e l i j k t e z i e n i n f i g u u r 6.
~ f i g u u r 6a. F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n s i g n a a l u i t f i g u u r Sa. F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n w i n d o w f u n e t i o m u i t f i g u u r 5b.
3
K o n v o l u t i e v a n f i g . 6 a & 6b; h e t g e m e t e n s p e k t r u m . ( = F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n f i g . 5 c ) S i g n a a l - l e k i s e e n f o u t b r o n d i e t h e o r e t i s c h g e z i e n n i e t t e o m z e i L e n i s ; men k a n n u e e n m a a l n i e t g e d u r e n d e e e n o n e i n d i g e t i j d m e t e n . E r z i j n e c h t e r w e l m o g e l i j k h e d e n om d e v e r v o r m i n g v a n h e t s p e k t r u m t e b e p e r k e n . b i j v o o r b e e l d : - Z o r g e r v o o r d a t de s i g n a l e n p e r i o d i e k z i j n met e e n p e r i o d e t i j d d i e g e l i j k i s a a n de m e e t t i j d T . D i t w o r d took w e l p e r i o d i e k e e x c i t a t i e genoemd e n h e e f t a l s e f f e k t d a t de s p e k t r a a l l i j n e n v a n h e t s p e k t r u m p r e c i e s s a m e n v a l l e n met de nu l d o o r g a n g e n v a n de F o u r i e r - g e t r a n s f o r mee r d e v a n de w i ndow-f unk t i e . Z i e v e r g e l i j k i n g ( 2 5 ) e n f i g u u r 7 . -De m e e t t i j d v e r l e n g e n p d . w . z . h e t o p l o s s e n d v e r m o g e n i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n v e r g r o t e n . - G e b r u i k maken v a n a n d e r e window f u n c t i o n s i n p l a a t s v a n de r e c h t h o e k i g e f u n k t i e u i t f i g u u r 5b. V e e l g e b r u i k t e window f u n c t i o n s z i j n : 2 H a n n i n g : s i n (7t t / T ) Hamming: 0 . 0 8
+
s i n ’ ( 7 t t l T ) E x p o n e n t i e e l : e x p ( - o T t ) B i j d e z e f u n k t i e s z i j n de t o p p e n v a n de z i j l o b b e n v e e l m i n d e r h o o g ; d e h o o g s t e t o p w o r d t e c h t e r b r e d e r . ( V e r l i e s aan s e l e k t i v i t e i t . 1 S i g n a a l l e k i s vaak t e h e r k e n n e n a a n e e n s l e c h t e k o h e r e n t i e ( z i e p a r 3 . 4 . 5 ) b i j d e r e s o n a n t i e - f r e q u e n t i e s .I ;
i
I
I
, ' ~~ f i g u u r ?a. De i n g a n g s s i g n a l e n z i j n p e r i o d i e k met de m e e t t i j d . E P o n c t a a t geen s i g n a a l - l e k .f i g u u r 7b. De i n g a n g s s i g n a l e n z i j n n i e t p e r i o d i e k met de m e e t t i j d . E r o n t s t a a t s i g n a a l - l e k . 3 . 4 . 5 F o u t e n d i e o n t s t a a n d o o r n e t random g e d r a g . De i n g a n g s s i g n a l e n z i j n b i j n a a l t i j d s i g n a l e n met e e n random k a r a k t e r ; d . w . z . hun v e r l o o p k a n n i e t v o o r s p e l d w o r d e n maar t o e v a 1 li ge h a n g t a f v a n e e n a a n t a l m i n o f o m s t a n d i g h e d e n . Z i j d i e n e n d a n ook a l s z o d a n i g b e h a n d e l d t e w o r d e n . K a r a k t e r i s t i e k e n v a n e e n random p r o c e s k u n n e n we ook n o o i t p r e c i e s b e p a i e n t o n d e r a i i ë m o g e i i j i c e v e r i o p e n v a n h e t p r o c e s i n b e s c h o u w i n g t e nemen. I n de p r a k t i j k k u n n e n we d u s a l l e e n s p r e k e n v a n SCHATTER§ v o o r d i e k a r a k t e r i s t i e k e n ; b i j e l k e s c h a t t e r h o o r t e e n BETROUWBAARHEIDSINTERVAL. De s c h a t t e r s w o r d e n b e p a a l d u i t o b s e r v a t i e v a n e e n o f meer r a n d o m p r o c e s s e n g e d u r e n d e e e n e i n d i g t i j d s i n t e r v a l . D o o r de p r o c e s s e n l a n g e r t e o b s e r v e r e n w o r d e n de s c h a t t e r s n e u w k e u r i g e r b e p a a l d e n w o r d t h e t b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l k l e i n e r , D i t i s ook h e t g e v a l i n d i e n de s c h a t t e r s e e n a a n t a l k e e r b e p a a l d w o r d e n ( t e l k e n s u i t e e n a n d e r e o b s e r v a t i e v a n h e t random p r o c e s ) e n g e m i d d e l d w o r d e n . We z u l l e n n u e n k e l e f u n k t i e s b e k i j k e n d i e de random i n - e n u i t g a n g s s i g n a l e n v a n e e n l i n e a i r s y s t e e m i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n b e s c h r i j v e n e n v o o r de m o d a l e a n a l y s e v a n b e l a n g z i j n . meer
e n h e t u i t g a n g s s i g n a a l y ( t ) v a n h e t s y s t e e m t e T r a n s f o r m e r e n v o l g e n s F o u r i e r : ( 2 6 ) H e t i s i n de p r a k t i j k n i e t m o g e l i j k om g e d u r e n d e e e n o n e i n d i g e t i j d t e m e t e n . H e t m i d d e l e n v a n de s c h a t t e r s S , ( f ) e n S , ( f ) w o r d t b e m o e i l i j k t d o o r h e t f e i t d a t de f a s e a f h a n k e l i j k i s v a n h e t b e g i n t i j d s t i p v a n de m e t i n g . D i t i s de b e l a n g r i j k s t e r e d e n d a t h e t l i n e a i r s p e k t r u m v r i j w e l n o o i t g e b r u i k t w o r d t . 3 . 4 . 5 . 2 A u t o - p o w e r S p e k t r u m G,, ( f ) , G y y ( f ) D e z e f u n k t i e w o r d e n vaak g e b r u i k t om d e f r e q u e n t i e - i n h o u d v a n e e n s i g n a a l t e b e s t u d e r e n . ( U i t w e l k e f r e q u e n t i e s e n i n w e l k e v e r h o u d i n g e n i s m i j n i n g a n g s s i g n a a l o p g e b o u w d ? ) . De b e r e k e n i n g g a a t v o l g e n s : ( 2 7 ) D o o r h e t L i n e a i r S p e k t r u m met z i j n k o m p l e x g e k o n j u g e e r d e t e v e r m e n i g v u l d i g e n r a a k t de f a s e - i n f o r m a t i e v e r l o r e n t e r w i j i de a m p l i t u d e S n f o r r n a t i e v a n h e t l i n e a i r s p e k t r u n b e h o u d e n b l i j f t . H e t i s nu w e l m o g e l i j k om s c h a t t e r s v o o r
G x x i t )
e n G y , i i j t e m i a a e i e n . A i s e r e e n s c h a t t e r v o o r h e t A u t o - p o w e r s p e k t r u r n b e p a a l d i s d a n k a n h e t b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l r o n d d i e s c h a t t e r b e r e k e n d w o r d e n M e t : * G ( f >=
Auto-Power S p e k t r u m * $ ( f l=
s c h a t t e r v o o r G ( f ) *n=
a a n t a l v r i j h e i d s g r a d e n v a n de y : - v e r d e l i n g=
2 * a a n t a 1 met i n g e n .*xi
=
C h i - s q u a r e v e r d e l i n g met k g r a d e n v a n v r i j h e i d . I R t a b e l 1 i s e e n v o o r b e e l d g e g e v e n v o o r e e n 90 % b e t rouwbaa r h e i ds i n t e r v a LT a b e l 1,90% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n v o o r G ( f ) B i j d e m o d a l e a n l y s e w o r d t h e t A u t o - P o w e r S p e k t r u m v a a k g e b r u i k t om t e k o n t r o l e r e n o f a l l f r e q u e n t i e s d i e g e w e n s t z i j n v o l d o e n d e i n h e t i n g a n g s s i g n a a l v e r t e g e n w o o r d i g d z i j n .
3 . 4 . 5 . 3
C r o s s - P o w e r S p e k t r u m@.&).
H e t C r o s s - P o w e r S p e k t r u m w o r d t b e r e k e n d m e t : D i t s p e k t r u m w o r d t g e b r u i k t om d e r e l a t i e t u s s e n t w e e s i g n a l e n t e b e s t u d e r e n . De a m p l i t u d e v a n G y x ( f ) i s h e t p r o d u k t v a n d e a m p l i t u d e s v a n S y ( f ) e n S,(f), t e r w i j l d e f a s e h e t v e r s c h i l i s v a n d e f a s e h o e k e n v a n S y ( f ) e n S x ( f ) . H e t i s d u s m o g e l i j k om t e m i d d e l e n i n d i e n e r e e n d u i d e l i j k v e r b a n d b e s t a a t t u s s e n i n - e n u i t g a n g s s i g n a a l . ( d a n i s h e t f a s e v e r s c h i l k o n s t a n t ) D i t w o r d t i n f i g u u r 8 t o e g e l i c h t i n h e t k o m p l e x e v l a k v o o r e e n b e p a a i d e f r e q u e n t i e f f B e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n w o r d e n w e e r b e r e k e n d m e t( 2 8 ) .
t figuur
8a
fl'a l l e vermogen b i j deze f r e q u e n t i e i s i n b e i d e s i g n a l e n van d e z e l f d e bron afkomstig.
metingen gemidde I d
f i g u u r
ab
Cross power v o o r f r e q u e n t i efl'
a l l e vermogen b i j deze f r e q u e n t i e i s v o o r b e i d e s i g n a l e n v a n een andere bron a f k o m s t i g ,
m e t i n g e n gemiddeld
I"
F i g u u rQ
Cross-power b i j f r e q i ; e n t i e fEen gedee v a n h e t vermogen i n b e i d e s i g n a l e n i s van d e z e l f d e bron zflaomstig, een g e d e e l t e ni
2
3 . 4 . 5 . 4
K o h e r e n t i e - f u n k t i etYy
( f ) . I I U i t f i g u u r 8 b l i j k t d a t we m e t h e t C r o s s - P o w e r S p e k t r u m G,(f) i n s t a a t z i j n s i g n a a l - k o m p o n e n t e n m e t e e n k o n s t a n t f a s e v e r s c h i l i n x ( t > e n y ( t ) t e s c h e i d e n v a n s i g n a a l k o m p o n e n t e n met e e n r a n d o m f a s e v e r s c h i 1. (b. v. r u i s , v r e e m d e i n g a n g s s i g n a l e n e n z . ) D o o r h e t C r o s s - P o w e r S p e k t r u m t e s c h a l e n t u s s e n n u l e néén
k u n n e n p e r f r e q u e n t i e k e t p e r c e n t a g e " k o h e r e n t " s i g n a a l a f l e z e n ; we n o e m e n de a l d u s v e r k r e g e n f u n k t i e d e k o h e r e n t i e - f u n k t i e . De kokerent ie-funk t i e*
( f ) w o r d t b e r e k e n d m e t : Y Y "( 3 0 )
De k o h e r e n t i e - f u n k t i e b e v a t g e e n f a s e - i n f o r m a t i e .I
5
B e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n v o o r
be rek end worden met: s c h a t t e r s
l u x
( f1
kunnen(31
n=
2
*
a a n t a l m i d d e l i n g e n z c u l r=
z-waarde b i j n o r m a l e v e r d e l i n g b i j gegeven twee-zi j d i g e o v e r s c h r i j d i n g s k a n s nv200r e e n ( 1-
6-
1 O O % b e t r o u w b a a r h e i dc
i n t e r va1
r on db/J#').
D e z e f ormu l e i s u i t g e w e r k t v o o r e e n b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l v a n 90% i n t a b e l2 .
T a b e l 2,90% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n v o o r d y Y3.4.5.5
De F r e q u e n t i e - r e s p o n sH(.f).
We hebben de f r e q u e n t i e - r e s p o n s g e d e f i n i e e r d d o o r de t r a n s f e r - f u n k t i e H i j d i e a a n h e t k o m p l e x e g e t a l p e e n komplex g e t a l H i j ( p ) t o e v o e g t , a l l e e n t e b e k i j k e n v o o r z u i v e r i m a g i n a i r e waarden v o o r p <p=j.k),
w a a r b i j Cu r e ë e l i s ) . E r g e l d t v o l g e n s ( 3 ) : H i j ( p )=
X ( p ) / F ( p )(33)
D i t komt met *p=
j . W * X ( j . W1
4
S x ( f )=
F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e vano v e r e e n m e t : H ( f > = S , ( f ) / S , ( f
1
( 3 4 )
D a a r S x ( f ) e n S , ( f ) m o e i l i j k v o l d o e n d n a u w k e u r i g t e meten z i j n w o r d t de o v e r d r a c h t c f u n k t i e b e r e k e n d met: D a a r G u x ( f ) e n G , , ( f ) w e l g o e d g e m e t e n k u n n e n w o r d e ni s
d e z e methode v e e 1 nauwkeu r i ge r . B e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n r o n d de s c h a t t e r H ( f ) w o r d e n b e r e k e n d v o l g e n s :. T
(36)
A2
r2(0
p - 2 ) 2 ; n - x ; H H i e r i n i s : S 2 ( f )=
9 e s t r a a l v a n e e n c i r k e l i n h e t k o m p l e x e v l a k r o n d H ( f ) w a a r i n H ( f ) met e e n b e t r o u w b a a r h e i d v a n ( 1-
c Y ) . I O O X l i g t . n = 2*
a a n t a l m i d d e l i n g e n . F 2;n-2=
F - v e r d e l i n g met 2 en met n-2 v r i j h e i d c g r a d e n ?yx ( f ) $ , , , ( f > . G , , ( f > : s c h a t t e r s v o o r h e t A u t o - P o w e r S p e k t r u m G X X ( f ) e n G Y y ( f ) . H e t i s d u i d e l i j k d a t a l s de g e m e t e n k o h e r e n t i e - f u n k t i e g e i i j k i s a a n1
de f o u t a o o r h e trandom
g e d r a g v a nd e
s i g n a l e n i n a < f > g e l i j k i s a a n 8 . S c h a t t e r v o o r de k o h e r e n t i e - f u n k t i exy'x
( f ) S a m e n v a t t e n d k u n n e n we de b e s p r o k e n f u n k t i e s d i e de random s i g n a l e n x ( t ) e n y ( t ) e n h u n o n d e r l i n g e r e l a t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n b e s c h r i j v e n p l a a t s e n z o a l s i n f i g u u r 9 .f i g u u r 9. S y s t e e m r e l a t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n . 3 . 4 -6 E x c i t a t i e - t e c h n i e k e n . O m e e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s met e e n d i g i t a l e s i g n a l - a n a l y z e r t e m e t e n moet de k o n s t r u k t i e i n a l l e f r e q u e n t i e s b i n n e n de i n g e s t e l d e b a n d b r e e d t e a a n g e s t o t e n w o r d e n . H i e r v o o r b e s t a a n e e n a a n t a l t e c h n i e k e n d i e nu k o r t b e s p r o k e n z u l l e n w o r d e n met hun s p e c i f i e k e v o o r - e n n a d e l e n .
3.4.6.9
p s e u d o random. E r w o r d t e e n g e w e n s t e x c i t a t i e k r a c h t - s p e k t r u m i n de k o m p u t e r b e r e k e n d . M e e s t a l b e s t a a t d i t u i t e e n s p e k t r u m met e e n a m p l i t u d e d i e v o o r a l l e f r e q u e n t i e s g e l i j k i s met e e n random f a s e ; e r b e s t a a t e c h t e r ook de m o g e l i j k h e i d t e k o r r i g e r e n v o o r b i j v o o r b e e l d d e bewegende m a s s a v a n de e x c i t a t o r . V e r v o l g e n s w o r d t h e t b e r e k e n d e s p e k t r u m n a a r h e t t i j d s d o m e i n g e t r a n s f o r m e e r d e n n a a r d e e x c i t a t o r opgebouwd e n d a a r n a n a a r h e t t i j d d o m e i n g e t r a n s f o r m e e r d i s , i s h e t k r a c h t v e r l o o p p e r i o d i e k met de m e e t t i j d . H e t i s nu m o g e l i jk s i g n a a l - l e k t e v o o r k o m e n d o o r d e k o n s t r u k t i e met h e t p e r i o d i e k e s i g n a a l a a n t e s t o t e n e n d e m e t i n g e n t e b e g i n n e n a l s de i n s c h a k e l v e r s c h i j n s e l e n u i t g e s t o r v e n z i j n . E e n g r o o t n a d e e l v a n d e z e methode i s d a t d o o r de p e r i o d i e k e e x c i t a t i e e v e n t u e l e L o s s e o n d e r d e l e n v a n de k o n s t r u k t j e mee k u n n e n g a a n t r i l l e n . D e z et r i
L l i n g e n z i j n k o h e r e n t met de e x c i t a t i e e n k u n n e n d u s n i e t d o o r m i d d e l e n v e r w i j d e r d w o r d e n . o m d a t h e t s i g n a a i i n h e t Z - - - . . - - & ' g e v o e r d . I r e q u r r i L . i = d û ï i ì e 5 ~e x c i t a t i e . H i e r b i j w o r d t h e t k r a c h t v e r l o o p e c h t e r n i e t i n h e t f r e q u e n t i e-domei n be rek e n d maa r e l e k t r o n i s ch g e r e a l i s e e r d d o o r e e n s i n u s i n de m e e t t i j d d e f r e q u e n t i e b a n d t e l a t e n d o o r l o p e n . De m e e t p r o c e d u r e v e r l o o p t h e t z e l f d e a l s b i j d e p s e u d o - r a n d o m e x c i t a t i e . 3 . 4 . 6 . 3 P u u r Random. H i e r b i j w o r d t de s t r u k t u u r a a n g e s t o t e n met e e n p u u r random s i g n a a l . ( m e e s t a l " w i t t e r u i s " ) D i t s i g n a a l w o r d t vaak e l e k t r o n i s c h o p g e w e k t e n i s n i e t t e b e i n v l o e d e n . Omdat h e t s i g n a a l n i e t p e r i o d i e k i s o n t s t a a t e r s i g n a a l - l e k d i e b . v . d o o r e e n g e s c h i k t e window f u n c t i o n g e r e d u c e e r d k a n w o r d e n . D e z e e x c i t a t i e v o r m i s vaak e e n v o u d i g t e r e a l i s e r e n e n w o r d t daarom vaak t o e g e p a s t . 3 - 4 . 5 - 4 P e r i o d i e k Random. De p e r i o d i e k e random e x c i t a t i e k o m b i n e e r t de v o o r d e l e n v a n p u r e r a n d o m e n p s e u d o - r a n d o m e x c i t a t i e . E r w o r d e n e e n a a n t a l m e t i n g e n g e d a a n met p s e u d o - r a n d o m e x c i t a i t e w a a r b i j h e t g e g e n e r e e r d e k r a c h t v e r l o o p t e l k e n s o p n i e u w i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n b e r e k e n d w o r d t e n d u s o n g e k o r r e l e e r d i s met de v o o r g a a n d e m e t i n g e n . T e n s l o t t e w a r d e n de m e t i n g e n gemi dde I d . A l s e n i g e n a d e l e n g e l d e n de o m v a n g r i j k e i n s t a l l a t i e d i e n o d i g i s en de t i j d r o v e n d e m e e t p r o c e d u r e .
