Random processen, theorie deel 2: T.F.A.-kursus

(1)

Random processen, theorie deel 2

Citation for published version (APA):

van Heck, J. G. A. M. (1982). Random processen, theorie deel 2: T.F.A.-kursus. (DCT rapporten; Vol. 1982.019). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1982 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

RANDOM PROCESSEN, THEORIE DEEL

2 T. F.

A. -kur s us j u n i 1982

WE 82.19

(3)

Inhoud

1

OVERZICHT

...

4

2 DE EXPECTED VALUE OPERATOR

...

7

3 EEN RANDOM VARIABELE

...

10

4 TWEE RANDOM VARIABELEN

...

14

5 HET SCHATTEN VAN EEN EVENTUEEL LINEAIR VERBAND

...

1 7 6 RANDOM VARIABELEN, SAMENVATTING

...

20

7 EEN RANDOM PROCES. BESCHRIJVING I N HET TIJDDOMEIN

...

21

8 EEN RANDOM PROCES. BESCHRIJVING I N HET FREQUENTIEDOMEIN

...

25

9 TWEE RANDOM PROCESSEN. BESCHRIJVING I N HET TIJDDOMEIN

...

28

10

TWEE RANDOM PROCESSEN, BESCHRIJVING I N HET FREQUENTIEDOMEIN

...

30

11

HET SCHATTEN VAN EEN LINEAIR VERBAND

...

3 4 1 2 RANDOM PROCESSEN (TIJDDOMEIN). SAMENVATTING

...

3 9 13 RANDOM PROCESSEN (FREQUENTIEDOmIN) SAPENVATTING

...

40

(4)

symbolenli j st

N

T t

VK

( f

,

T ) X

Y

k o n s t a n t e n voor l i n e a i r systeem V a r i a n t i e f u n k t i e voor x ( t ) C o v a r i a n t i e f u n k t i e t u s s e n x ( t ) en y ( t > f r e q u e n t i e f r e q u e n t i e r e s p o n s voor l i n e a i r systeem Impulsrespons g e t a l met l e n g t e

1

langs i m a g i n a i r e as a a n t a l m i d d e l i n g e n v e r s t o r i n g i n d e vorm v a n random v a r i a b e l e R u i s s i g n a a l i n d e vorm v a n random p r o c e s E i n d i g F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n n d t ) K a n p e r d e l i n g c f u n k t i e v a n random v a r i a b e l e x A u t o k o r r e l a t i e f u n k t i e v a n x ( t > C r o s s k o r r e l a t i e f u n k t i e t u s s e n x ( t ) en y ( t > Auto spektrum v a n x ( t ) Auto spektrum v a n y i t ) C r o s s spektsUm t ü s s e ï ì x ( t > en y ( t ) A u t o spektrum v a n d e r u i s n ( t ) Koherent o u t p u t spektrum v a n v( t ) Meettijd t i j d Koh er e n t e o u t p u t s i g n aal E i n d i g F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n v ( t ) Random v ari a b e l e Random p r o c e s R e a l i s a t i e v a n random p r o c e s x ( t ) E i n d i g F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n x k ( t > Random v a r i a b e l e Random p r o c e s k

(5)

F

-

3-

Y

,(f

,T)

of

r e a l i s a t i e u i t y ( t > E i n d i g F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n yK ( t ) Kans Koh er e n t i e

f

unkt

i

e V a r i a n t i e v a n d e random v a r i a b e l e x V a r i a n t i e i n y als g e v o l g v a n v a r i a n t i e i n x V a r i a n t i e i n y als g e v o l g v a n v a r i a n t i e i n n Mean s q u a r e v a l u e G emi d d e Id e Kor r e

1

z t i e k o e f f i c i e n t

(6)

1

OVERZICHT V o o r d a t w e b e g i n n e n a a n d e b e s c h r i j v i n g v a n random p r o c e s s e n e n a a n d e a f l e i d i n g v a n b e s c h r i j v e n d e mathematische f u n k t i e s v o o r d e z e p r o c e s s e n z u l l e n w e eerst e n k e l e b e g r i p p e n u i t d e s t a t i s t i e k b e k i j k e n . Omdat random p r o c e s s e n e e n g e n e r a l i s e r i n g vormen v a n random v a r i a b e l e n i s h e t l o g i s c h om a l l e d e f i n i t i e s e n a f l e i d i n g e n v a n u i t d e s t a t i s t i e k op t e bouwen. De a f g e l e i d e t h e o r i e n e n f u n k t i e s z i j n e c h t e r ook b i j n a a l t i j d v a n t o e p a s s i n g op d e t e r m i n i s t i s c h e p r o c e s s e n . E e r s t w o r d t e e n b e s c h r i j v i n g g e g e v e n v a n d e " e x p e c t e d value"-operator, e e n o p e r a t o r waar i n d i t v e r h a a l z e e r v e e l g e b r u i k v a n wordt gemaakt. V e r v o l g e n s wordt i n h e t k o r t h e r h a a l d h o e men h e t s t a t i s t i s c h g e d r a g v a n e e n random v a r i a b e l e kan b e s c h r i j v e n . Een e n a n d e r w o r d t g e i l l u s t r e e r d met e e n a a n t a l v o o r b e e l d e n . V e r v o l g e n s w o r d t bekeken hoe d e i n t e r a k t i e d i e e v e n t u e e l t u s s e n twee random v a r i a b e l e n aanwezig i s b e s c h r e v e n k a n worden met f u n k t i e s u i t d e s t a t i s t i e k . T e n s l o t t e wordt aangegeven h o e u i t d e b e s c h r i j v e n d e f u n k t i e s e e n s c h a t t i n g kan worden gemaakt v a n e e n e v e n t u e l e l i n e a i r e r e l a t i e t u s s e n twee random v a r i a b e l e n . Ook h i e r w o r d t d e t h e o r i e weer t o e g e l i c h t met e e n a a n t a l v o o r b e e l d e n .

Het doel v a n h e t h e r h a l e n v a n reeds bekende b e g r i p p e n u i t d e s t a t i s t i e k is om de d e f i n i t i e s d i e g e g e v e n z u l l e n worden voor random p r o c e s s e n t e kunnen i d e n t i f i c e r e n met d e d e f i n i t i e s u i t de l i n e a i r e regressie, z o d a t de i n t e r p r e t a t i e v a n d e b e g r i p p e n w a t e e n v o u d i g e r z a l z i j n . N a d e i n l e i d e n d e h e r h a l i n g v o l g e n d e f i n i t i e s e n f u n k t i e s waarmee e e n random p r o c e s i n h e t t i j d d o m e i n b e s c h r e v e n kunnen worden. D e d e f i n i t i e s worden v a n u i t d e s t a t i s t i e k opgebouwd. V e r v o l g e n s worden d e z e l f d e f u n k t i e s g e g e v e n maar nu i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n . D e i n f o r m a t i e Ls hetzelfde, a l l e e n d e p r e s e n t a t i e i s a n d e r s . N a d e b e s c h r i j v i n g v a n e e n random p r o c e s v o l g t de b e s c h r i j v i n g v a n twee random p r o c e s s e n . Ook h i e r worden weer e e n a a n t a l f u n k t i e s g e g e v e n n a a r a n a l o g i e met d e d e f i n i t i e s voor random v a r i a b e l e n . De f u n k t i e s worden zowel i n h e t t i j d d o m e i n a l s i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n g e g e v e n . T e n s l o t t e v o l g t e e n b e s c h r i j v i n g h o e u i t d e g e g e v e n d e f i n i t i e s een e v e n t u e l e l i n e a i r e r e l a t i e t u s s e n twee random p r o c e s s e n k a n worden gevonden.

(7)

-

5-

BESCHRIJVING INTERAKTIE TUSSEN TWEE RANDOM VARIABELEN

RANDOM VARIABELE

(8)

BESCHRIJVING INTERAKTIE TWEE

RANDOM

PROCESSEN

covari a n t i e f u n k t i e cros s k o r r e

1

a t i e 4 -RANDOM PROCES G e d d d e

1

d e V a r i a n t i e f u n k t i e A u t o k o r r e

1

at i e f u n k t i e

SCHATTEN LINEAIR SYSTEEM i m p u l s r e s p o n s RANDOM PROCES G emi dd e I d e V a r i a n t i e f u n k t i e A u t o k o r r e l at i e f u n k t i e BESCHRIJVING INTERAKTIE TUSSEN TWEE PROCESSEN %=. C r o s s s p e k t r u m 4 Y . . I

I

I 4 SCEALTEM LINEAIR

SYSTEEM

F r e q u e n t i e r e s p o n s

koh e r e n t i e f u n k t i e

RANDOM PROCES BESCHRI JVIh7G

RANDOK

PROCES

Auto s p e k t r u m AQtQ Spektrum

(9)

-

7-

2 DE EXPECTED VALUE OPERATOR

D e E x p e c t e d v a l u e o p e r a t o r o f kortweg d e E-operator kan worden t o e g e p a s t op random v a r i a b e l e n of op f u n k t i e s v a n random v a r i a b e l e n . Met d e E-operator kan de verwachte waarde v a n zo"n random v a r i a b e l e of van e e n f u n k t i e v a n d i e random v a r i a b e l e worden b e r e k e n d . Het h e e f t g e e n e n k e l e z i n om d e E-operator t o e t e p a s s e n op d e t e r m i n i s t i s c h e v a r i a b e l e n of f u n k t i e s d a a r v a n

d a a r d e f u n k t i e w a a r d e v a n d e E - o p e r a t i e dan g e l i j k i s aan d e o n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e z e l f . ( D e v e r w a c h t e waarde v a n

1

is

g e l i j k a a n

1).

D e v e r w a c h t e waarde v a n een random v a r i a b e l e wordt v o l g e n s : g e d e f i n i e e r d Ecx] =

J@

x . p ( x ) . d x

(1)

-00

H e t : xirandom v a r i a b e l e p(x)=kansverdelingsfunktie

De waarde d i e e e n v a r i a b e l e aan k a n nemen w o r d t v e r m e n i g v u l d i g d met d e kans d a t d i e waarde o p t r e e d t . D i t produkt wordt gesommeerd over a l l e m o g e l i j k e uitkomsten v a n x .

Voorbeeld

1:

(10)

normaal met gemiddelde m e n v a r i a n t i e

1

V o o r b e e l d 3: Dobbe

1s

t een: E [ x ] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5 B i j d i s k r e t e k a n s v e r d e l i n g e n wordt weer e l k e u i t k o m s t d i e m g e l i j k i s v e r m e n i g v u l d i g d met de kans d a t d i e u i t k o m s t o p t r e e d t en d e z e p r o d u k t e n worden o p g e t e l d voor a l l e m o g e l i j k e u i t k o m s t e n , D e E - o p e r a t o r w o r d t zoals e e r d e r g e z e g d n i e t a l l e e n t o e g e p a s t op

random v a r i a b e l e n , maar ook op f u n k t i e s v a n random v a r i a b e l e n . D e d e f i n i t i e w o r d t dan:

co

E [ f ( x ) ] = j f ( x ) . p ( x ) . d x

(2)

-ca3 M e t : x = random v a r i a b e l e f ( x ) = f u n k t i e v a n x p ( x ) = k a n s v e r d e l i n g s f u n k t i e v a n x D e f u n k t i e w a a r d e v a n x w o r d t v e r m e n i g v u l d i g d met d e kans dat x o p t r e e d t . D e p r o d u k t e n worden weer gesommeerd over a l l e m o g e l i j k e u i t k o m s t e n v a n x. Zo wordt d e v e r w a c h t e w a a r d e v a n d e f u n k t i e w a a r d e v a n e e n random v a r i a b e l e b e p a a l d . V o o r b e e l d 4 : IL D e z e l f d e k a n s v e r d e l i n g a l s i n v o o r b e e l d

1,

met f ( x ) = x E [ x 2 ] =

:

j

. p ( x ) . d x =

’7.

. d x =

0.33*(0.125+0.125)

=

1/12

-03

-

1/2 Let op: E [ X ~

J

#

( E ~ x ] ) ” ! V o o r b e e l d 5: D e z e l f d e k a n s v e r d e l i n g a l s i n v o o r b e e l d

2,

f ( x ) = (x

- m)

2

(11)

-

9-

@

00

2 4 1. -/x-iYp

E[(x-ni)’

1

= /(x-m) . p ( x ) . d x =&i- /(x-m) .exp(

7

) . d x =

1

Voorbeeld 6 , de d o b b e l s t e e n , f ( x ) = x z

-4 -to

E [ x Z

1

= (1+4+9+16+25+36)/6 =

15.2f

( E [ x ] ) * !

We hebben i n d e v o o r b e e l d e n a l g e z i e n d a t E [ x . x ]

#

E [ x ] . E [ x ]

I n h e t algemeen g e l d t d a t v o o r twee random v a r i a b e l e n x en y d a t

de r e l a t i e

(12)

3 EEN RANDOM VARIABELE.

Voordat random p r o c e s s e n bekeken worden z u l l e n eerst e n k e l e b e g r i p p e n voor random v a r i a b e l e n behandeld worden. Een random v a r i a b e l e i s e e n g r o o t h e i d waaraan e e n waarde kan worden t o e g e k e n d . Deze waarde i s min o f meer a f h a n k e l i j k v a n h e t t o e v a l . D e s t a t i s t i s c h e e i g e n s c h a p p e n v a n zo n v a r i a b e l e worden b e s c h r e v e n d o o r e e n k a n s v e r d e l i n g s f u n k t i e . Als d e z e f u n k t i e bekend i s kunnen e e n a a n t a l i n t e r e s s a n t e g r o o t h e d e n berekend worden waarmee d e s t a t i s t i s c h e s t r u k t u u r v a n d e random v a r i a b e l e

kan worden g e k a r a k t e r i s e e r d . Let w e l : h e t g a a t h i e r n i e t om e e n v o l l e d i g e b e s c h r i j v i n g , maar on; e e n a a n t a l g e t a l l e n waarmee e n k e l e k a r a k t e r i s t i e k e n worden v a s t g e l e g d .

De b e l a n g r i j k s t e g r o o t h e d e n z i j n : Het g e m i d d e l d e

Het g e m i d d e l d e v a n e e n random v a r i a b e l e i s dus g e l i j k a a n d e v e r w a c h t e w a a r d e v a n x .

De "mean s q u a r e value" 'I&::

x2=

E [ x 2 ] ( 5 )

De mean s q u a r e value van x i s g e l i j k a a n d e v e r w a c h t e waarde v a n h e t k w a d r a a t v a n x . D e "Root mean s q u a r e va1ue"wordt g e d e f i n i e e r d door d e wortel u i t

x2*

De v a r i a n t i e

$':

De v a r i a n t i e v a n x i s g e l i j k aan d e v e r w a c h t e waarde v a n h e t k w a d r a a t v a n de a f w i j k i n g v a n x t . o . v . z i j n gemiddelde waarde. D e r e l a t i e d i e b e s t a a t t u s s e n de d r i e g e d e f i n i e e r d e b e g r i p p e n l u i d t : V o o r b e e l d 7 : k a n s v e r d e l i n g s f u n k t i e u i t v o o r b e e l d

1:

/c-'x = E [ x ] = O ( z i e v o o r b e e l d

1)

yx'

= E [ x 2 =

1/12

( z i e v o o r b e e l d 4) V o o r b e e l d 8 :

kansve r d e lings funk t i e u i t v o o r b ee I d

2

= E [ x ] = m ( z i e v o o r b e e l d 2 )

1 2

(13)

-

11-

2 =

/UA2+

F,‘

= I n 2

+

1.

Voorbeeld 9 , D o b b e l s t e e n :

/c”x

= E [ x ] = 3.5 ( z i e voorbeeld 3) IC

%:=

E [ x

1

=

15.2

( z i e v o o r b e e l d 6 ) E r b e s t a a n nog meer g r o o t h e d e n d i e de s t a t i s c h e s t r u k t u u r v a n d e random variabele x nog verder i n d e t a i l b e s c h r i j v e n , I n d e p r a k t i j k b l i j k t echter d a t h e t gemiddelde e n de v a r i a n t i e vaak v o l d o e n d e z i j n . We z u l l e n ons daarom b e p e r k e n t o t d e genoemde g r o o t h e d e n .

I n d e p r a k t i j k i s d e k a n s v e r d e l i n g vaak n i e t bekend e n kunnen w e h e t g e m i d d e l d e , de v a r i a n t i e e n d e mean s q u a r e v a l u e n i e t exact b e p a l e n met de f o r m u l e s

(4),(5)>(6)

e n ( 7 ) . A l s w e dan t o c h i e t s over d e s t a t i s c h e s t r u k t s u r w i l l e n z e g g e n moeten w e g e b r u i k maken v a n schatters

fix,

g r o o t h e d e n

/ . ,

f2

,

v&‘.

De schatters worden berekend u i t een a a n t a l waarnemingen v a n d e variabele x , ook s t e e k p r o e v e n genaamd.,, Zo kan h e t g e m i d d e l d e a f g e s c h a t worden met de schatter

I!=

x4, w a a r b i j xi é é n waarneming v a n d e random variabele x v o o r s t e l t . Het is d u i d e l i j k d a t deze schatter i n de p r a k t i j k n i e t nauwkeurig genoeg is. E e n maat voor de nauwkeurigheid v a n e e n b e p a a l d e s c h a t t e r w o r d t g e g e v e n door h e t b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l . D i t wordt b e r e k e n d u i t d e k a n s v e r d e l i n g s f u n k t i e v a n de schatter. I n h e t g e v a l d a t d e schatter gevormd wordt door &n waarneming v a n d e random v a r i a b e l e g e l d t :

‘Vk

voor de A schatter: /la= x, A v a r i a n t i e : varyJL] = varix]

A l s de kans d a t w e e e n s t e e k p r o e f t r e k k e n met e e n waarde g r o t e r dan

,$+

n,$ of k l e i n e r d a n

/J?-

n.$ g e l i j k is a a n 6 / 2 dan i s d e i n t e r v i

1

kans d a t d e g e z o c h t e grootheid

b $

i n h e t

(14)

t

cr+)

**betrcl*uba/keìd**

s-

in

kefUS1 V o o r b e e l d

10

: We beschouwen h e t g e w i c h t v a n p a k j e s b o t e r . Aangenomen w o r d t d a t h e t g e w i c h t v a n e e n p a k j e b o t e r e n random v a r i a b e l e i s met e e n normale k a n s v e r d e l i n g met een g e m i d d e l d e v a n

250

g r en e e n We nemen e e n s t e e k p r o e f u i t d e v e r z a m e l i n g p a k j e s b o t e r e n meten e e n g e w i c h t v a n 247 g r . . A l s w e d i t g e w i c h t g e b r u i k e n a l s s c h a t t e r v o o r h e t gemiddelde g e w i c h t v a n de p a k j e s b o t e r dan i s v a r i a n t i e v a n 9 g r 2

.

h e t 95%

i&uel:

(247-1.96*34:( 247+1.96*3) o f : (241.14)$4 252.9)

Het

is

d u i d e l i j k d a t d e z e s c h a t t e r n i e t nauwkeurig genoeg i s om t w i j f e l s op t e bouwen d a t h e t gemiddelde g e w i c h t v a n d e p a k j e s b o t e r n i e t g e l i j k i s a a n

250

g r . .

(15)

s t e e k p r o e v e n u i t d e verzameling t e t r e k k e n e n d e g e w i c h t e n t e middelen. We k r i j g e n d a n a l s r e s u l t a a t : n v a r i a n t i e : v a r w x ] = v a r [ x I / ~ Door h e t a a n t a l m i d d e l i n g e n op t e v o e r e n kan d e v a r i a n t i e i n d e s c h a t t e r en d u s ook h e t b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l v e r k l e i n d worden. Voorbeeld 11 : A l s we nu v i e r s t e e k p r o e v e n nemen u i t de v e r z a m e l i n g p a k j e s b o t e r u i t v o o r b e e l d 10 en h e t gemiddelde g e w i c h t b e d r a a g t 247 g r . dan kunnen we h e t 95% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l berekenen met: 4 c ).lx-.l .96*3*0.5 < ~ g < ~ ~ l

-

96*3*0.5 Of: E r b e s t a a t nu r e d e n om t e t w i j f e l e n a a n d e u i t s p r a a k d a t h e t gemiddelde g e w i c h t van de p a k j e s b o t e r 250 g r . b e d r a a g t .

We hebben g e z i e n d a t we een s c h a t t e r kunnen b e r e k e n e n voor h e t gemiddelde v a n e e n random v a r i a b e l e . Zo kunnen w e ook s c h a t t e r s d e f i n i e r e n v o o r d e v a r i a n t i e van d e random v a r i a b e l e . We kunnen de v a r i a n t i e a f s c h a t t e n m e t : r 2 4 L e t op: g e e n v a r i a n t i e : v a r [ c i ,

I

= 2 . a ( 1 0 ) normale v e r d e l i n g ! Of b e t e r m e t : Uoorbeeld 12 : We nemer, h e t p a k j e b o t e r u i t v o o r b e e l d 1 O h m e t g e w i c h t 247 g r . . De v a r i a n t i e kunnen w e d a n a f s c h a t t e n op

a;'

= (247-250)' = 9 g r ?

.

( d a t d i t p r e c i e s goed g e s c h a t i s i s l o u t e r t o e v a l , de opzoeken i n b i j v o o r b e e l d

v.

W i j v e k a t e (1972) d a t h e t 95% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l voor deze s c h a t t i n g g e l i j k i s a a n (O.Ol<C245.2).

---

v a i i a n t i e

-

ir; 62 s c h a t t e r is nuaeliji. 192 g r 4 M ~ X kan

x

A l s w e

= 9 g r ? ,

,

d a n i s h e t 95% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l g e l i j k aan (6.74.qt411.7) a

(16)

4 TWEE RAMDOM VARIABELEN.

Soms z i j n e r twee random v a r i a b e l e n d i e w e samen w i l l e n o b s e r v e r e n om e e n e v e n t u e l e samenhang t e ontdekken. Om l i n e a i r e v e r b a n d e n t e ontdekken kan met s u c c e s g e b r u i k gemaakt worden v a n de c o v a r i a n t i e cov[x,y] t u s s e n d e random v a r i a b e l e n x e n y. D e c o v a r i a n t i e w o r d t g e d e f i n i e e r d v o l g e n s : c o v [ x , y I = E[(x-,h,>.(y-p9)1 Of:

(12)

c o v [ x , y l = /"(x-$j 3

1.

(y-,h? . p ( x , y > . d x . d y - @ A l s x e n y o n a f h a n k e l i j k random v a r i a b e l e n z i j n d a n g e l d t m.b.v. (3) d a t C O V [ X , Y ] = E[(~-=~>].E[(y-)y>1 = O A l s er e e n z u i v e r l i n e a i r v e r b a n d b e s t a a t t u s s e n x en y, b . v . y = a . x + b , dan g e l d t : cov[x,y] = E[(x-p#). ( a . x + b - a y X - b ) l 2 c o v [ x , y ] = a.E[(x-SJ*) ] = a.varlx1 = y v a r [ x ] . v a r g H i e r u i t b l i j k t d a t h e t dus m o g e l i j k i s om met d e c o v a r i a n t i e t e onderzoeken o f er e e n l i n e a i r verband b e s t a a t t u s s e n x e n y. A l s w e p ( x , y ) kennen is h e t "eenvoudig" om m e t ( 1 2 ) d e c o v a r i a n t i e t e berekenen. I n d e p r a k t i j k kennen w e p ( x , y ) e c h t e r b i j n a n o o i t , w e moeten d e c o v a r i a n t i e d a n a f s c h a t t e n m.b.v. s c h a t t e r s d i e w e berekenen u i t e e n o f meer s t e e k p r o e v e n : De v a r i a n t i e i n d e z e s c h a t t e r i s a f h a n k e l i j k v a n de r e l a t i e t u s s e n x en y. We v o l s t a a n h i e r met e e n v e r w i j z i n g n a a r Hays ( 1 9 8 1 ) . V o o r b e e l d 13 :

We g a a n temperatuur meten met een thermokoppel e n e e n v e r s t e r k e r

.

Om d e V e r s t e r k e r t e i j k e n meten w e e e n a a n t a l t e m p e r a t u r e n m e t b i j b e h o r e n d e o u t p u t v o l t a g e s . E r z i j n g e e n s t o o r s i g n a l e n

(17)

-

15- aanwezig d i e t o e v a l l i g e a f w i j k i n g e n v e r o o r z a k e n i n y d i e n i e t h e t g e v o l g z i j n van t e m p e r a t u u r v a r i a t i e s . We verzamelen d e meetwaarden i n o n d e r s t a a n d e t a b e l : XL YK t e m p e r a t u u r v o l t a g e

f"c1

[VI [v." c ] 10 1 .o0 -62.5 20 2.00 -22.5 30 3 .O0

-

2.5 40 4.00 2.5 50 5.00 22.5 60 6.00 62.5 r L f i /crx = 3 5

&=

3 . 5 0 c o v [ x , y ] = 29.2

e

= 252

%i=

2.92

%.tj

= 29.2 We z i e n d u s d a n i n h e t g e v a l van e e n p e r f e k t l i n e a i r verband d e c o v a r i a n t i e t u s s e n x en y g e l i j k i s a a n de w o r t e l u i t h e t p r o d u k t van d e v a r i a n t i e s van d e a f z o n d e r l i j k e g r o o t h e d e n x en Y - Voorbeeld 14 : I n d e v e r s t e r k e r u i t v o o r b e e l d 13 r a a k t nu e e n d r a a d j e l o s ; h e t o u t p u t v o l t a g e i s g e e n f u n k t i e meer van d e t e m p e r a t u u r maar e e n o n a f h a n k e l i j k e random v a r i a b e l e u i t e e n normale v e r d e l i n g m e t gemiddelde

/Ur=

3 V . en een v a r i a n t i e

@i=

3 V.

.

U i t e e n

z e s t a l s t e e k p r o e v e n s t e l l e n w e d e v o l g e n d e t a b e l samen: n xu Yk (XK-p,) 0

(Yk.-/&)

t e m p e r a t u u r v o l t a g e [ O

cl

tv3

[ v .

cl

10 3.52 -13.0 2û 4.65 -24.8 3 0 1.27 8.7 4 0 5 . 4 s 12.4 50 4.84 27.6 60 1 . 8 6 -28 a 5 35 Mj=3.00 C O V [ X , Y ] = -2.93

V.

C 292 qa3.00

t."y

= L / ? a

. J

7 f7.

e

A

e =

Y D e c o v a r i a n t i e i s n i e t p r e c i e s g e l i j k a a n n u l z o a l s verwacht kan worden b i j t w e e o n a f h a n k e l i j k e random v a r i a b e l e n omdat w e h i e r s l e c h t s m e t e e n s c h a t t e r v o o r d e w e r k e l i j k e g r o o t h e i d t e maken hebben. Deze s c h a t t e r wordt nauwkeuriger door h e t a a n t a l s t e e k p r o e v e n op t e v o e r e n .

Voorbeeld 15 :

I n d e v e r s t e r k e r u i t v o o r b e e l d 1 3 wordt b i j h e t o u t p u t v o l t a g e een random r u i s v o l t a g e gesommeerd a m e t e e n gemiddelde spanning

/XAn=

O

V.

e n e e n v a r i a n t i e

$

= 0.8 V .

.

We verzamelen weer z e s s t e e k p r o e v e n i n e e n t a b e l :

(18)

X k Yu ["Cl

[VI

t e m p e r a t u u r v o 1 t a g e 10 -0.06 20 1.50 30 3 .O9 4 0 3.14 5 0 5.84 60 6.38

i:

= 35

-

3.32

8%

=252

$1

5 . 0 9 A

[v.'c]

8 4 . 5 27.3 1 . 2 -0.9 4 5 . 9 76.5 P c o v [ x , y ] = 37.725 V.'C &a!$, = 38.552 V.*C U i t d e v o o r b e e l d e n b l i j k t d a t h e t d u s m o g e l i j k i s om m e t d e c o v a r i a n t i e l i n e a i r e r e l a t i e s t u s s e n t w e e random v a r i a b e l e n t e ontdekken. I n d e v o l g e n d e p a r a g r a a f z a l d a a r n a d e r op worden ingegaan e n z a l worden gedemonstreerd hoe h e t m o g e l i j k i s om u i t een a a n t a l o b s e r v a t i e s van d e twee random v a r i a b e l e n een s c h a t t e r t e berekenen v o o r h e t e v e n t u e e l l i n e a i r verband w a t e r t u s s e n d i e v a r i a b e l e n b e s t a a t .

(19)

-

17-

5 HET SCHATTEN VAN EEN EVENTUEEL LINEAIR VERBAND.

I n d e z e p a r a g r a a f g a a n we u i t v a n h e t v o l g e n d e model:

Een l i n e a i r systeem wordt a a n d e ingang b e l a s t met e e n random v a r i a b e l e x . B i j d e u i t g a n g v a n h e t systeem v w o r d t e e n o n a f h a n k e l i j k e random v a r i a b e l e n o p g e t e l d , z o d a t e e n nieuwe random u i t g a n g s v a r i a b e l e y o n t s t a a t . x en y kunnen g e o b s e r v e e r d worden; h e t l i n e a i r e systeem en d e r u i s n z i j n onbekend.

Voor d e c o v a r i a n t i e t u s s e n x e n y g e l d t : Voor d e v a r i a n t i e i n y g e l d t : x en n z i j n o n a f h a n k e l i j k ! We kunnen nu i n z i e n d a t : a b s (cov[x,y]

)d

-

4

want :

(20)

k o r r e l a t i e k o e f f i c i e n t t u s s e n x en y : A l s er e e n z u i v e r e l i n e a i r e r e l a t i e b e s t a a t t u s s e n x en y , d.w.z. v a r [ n ] = O , d a n g e l d t :

eyx

= +1 o f -1. ( a f h . v a n s i g n ( a ) ) A l s e r g e e n l i n e a i r e r e l a t i e b e s t a a t (d.w.z. a = O ) dan i s d e k o r r e l a t i e k o e f f i c i e n t g e l i j k a a n n u l . Met d e k o r r e l a t i e k o e f f i c i e n t i s dus i n t e z i e n i n h o e v e r r e er s p r a k e i s v a n e e n l i n e a i r v e r b a n d t u s s e n twee random v a r i a b e l e n . r B i j v o o r b e e I d : A

I n v o o r b e e l d 13:

egr=

cov[x,y]/?/v^ar[x] .vâr[y]’ = +1 I n v o o r b e e l d 14:

eYx

= 0 . 1 (geen l i n e a r v e r b a n d )

( p e r f e k t l i n e a i r v e r b a n d )

A

I n v o o r b e e l d 15:

e%=

0.98 ( l i n e a i r v e r b a n d met r u i s )

Als-we gek-onstätëerd hebben d a t e r min o f -meer e e n l i n e a i r v e r b a n d b e s t a a t t u s s e n twee random v a r i a b e l e n e n we w i l l e n d a t v e r b a n d z o g o e d m o g e l i j k a f s c h a t t e n kunnen w e g e b r u i k maken v a n d e c o v a r i a n t i e t u s s e n x e n y e n d e v a r i a n t i e i n x . Volgens (14) g e l d t n a m e l i j k : a = c o v [ ~ , y j / v a r [ x ] (18) h

We kunnen A e n schatte: a v o o r d e g r o o t h e i d a berekenen u i t s c h a t t e r s cov[x,y] en v a r [ x ] voor cov[x,y] e n v a r [ x ] . Het is d u i d e l i j k d a t e v e n a l s d e s c h a t t e r s c%v[x,y] e n &r[x] v o o r z i e n z a l z i j n v a n t o e v a l l i g e a f w i j k i n g e n . Voor h e t a f s c h a t t e n v a n var[$] w o r d t v e r w e z e n n a a r Bosch/Kamps e n Hays (1981). D e s c h a t t e r

%

w o r d t berekend v o l g e n s : P De s c h a t t e r b /- a voor b

côv

Ix,yl

var

1x3

: v o l g t u i t d e r e l a t i e : A A A ! .

/y

-

a r x

( 1 9 ) (20: B i j d e g e g e v e n v o o r b e e l d e n : A b /r v b 13: a = cov[x,y]/var[x] = 29.2/292 = 0 . 1 A 4 A b

=/uy-

a.pg

= O [ V I v b 14:

2

= -2.93/292 = -0.01 [V’C-’]; b = 3+0.01*35 = 3.35

[VI

v b 15: a = 37.7/292 = 0.129 [V@C1‘

3 ;

b = 3.32

-

4.52 = -1.2iVI [ V o d

1

A A A

(21)

-

19-

3t

Met behulp van de korrelatiekoefficient kunnen we afschatten welk deel van de v a r i a n t i e i n y een gevolg was van de v a r i a n t i e i n x en welk deel veroorzaakt werd door de v a r i a n t i e i n de r u i s

n . U i t

(15)

v o l g t : v a r [ y l = a 2 . v a r [ x l + var in] met (14): v a r i y j = v a r i n j

+

cov2 [ x , y j / v a r i x j 1 Of: v a r [ n ] =

(1

-

Cyx

1

.var[yl 2

Dus van de v a r i a n t i e i n y i s een f r a k t i e

(1

-

& y ) van de r u i s n afkomstig. Het gedeelte i n v a r l y ] dat veroorzaakt wordt door de r u i s n i s g e l i j k aan:

En het gedeelte dat door x veroorzaakt wordt:

(22)

6 RANDOM VARIABELEN, SAMENVATTING. De v o l g e n d e b e g r i p p e n z i j n behandeld: De e x p e c t e d vit l u e o p e r a t o r : go € E x 7 = - g o /x.p(x).dx Go EEf ( x ) f

=

/f (x).p(x).dx -co

B e s c h r i j v i n g van een random v a r i a b e l e : G r o o t h e i d

pX=

ECx3 2

%=

EEx2S s c h a t t e r gemi dde l d e va r i a n t i e mean square v a l u e

B e s c h r i j v i n g van twee random v a r i a h e Len: c o v a r i a n t i e

M

/z 1 -

covEx,y3

=

EC(x-/.rx> (y-Py)II CGVCX,y3

L

(X, (y

yL)

Opsporen van een e v e n t u e l e l i n e a i r e r e l a t i e t u s s e n x en y: U= 1 k o r r e l a t i ekoef f i c i e n t : cov cx, y3 A l s y=a.x

+

b dan z i j n s c h a t t e r s v o o r a en

b:

A a = cSvEx,y3/vârCx;

(23)

-

21-

7 EEN RANDOM PROCES, BESCHRIJVING

IN

HET TIJDDOMEIN.

We z u l l e n i n d e z e p a r a g r a a f f u n k t i e b e k i j k e n d i e h e t g e d r a g v a n random p r o c e s s e n b e s c h r i j v e n . A l l e r e e r s t moeten w e e e n random p r o c e s d e f i n i e r e n .

*

e e n random p r o c e s i s e e n g r o o t h e i d w a a r v a n d e waarde d i e d a a r a a n k a n worden toegekend a f h a n k e l i j k i s v a n h e t toeval en v a n een a n d e r e o n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e ( b i j v o o r b e e l d d e t i j d ) . V o o r b e e l d e n v a n random p r o c e s s e n z i j n :

-

D e o u t p u t v a n e e n r u i s g e n e r a t o r

-

D e g e l u i d s d r u k

tij

e e n onweersbui

-

D e h o o g t e v a n h e t water op e e n b e p a a l d e p l a a t s i n e e n haven. I n o n d e r s t a a n d f i g u u r i s e e n v o o r s t e l l i n g g e g e v e n v a n e e n random p r o c e s ; a l l e m o g e l i j k e v e r l o p e n a l s f u n k t i e v a n d e t i j d moeten b i j d e a n a l y s e worden bekeken! I , _/ / T /

I

/ - 9 / We noemen d e verzameling v a n m o g e l i j k e v e r l o p e n a l s f u n k t i e v a n d e t i j d e e n ensemble. ( v e r g e l i j k b a a r m e t h e t b e g r i p p o p u l a t i e ) . Een t i j d s v e r l o o p u i t d e v e r z a m e l i n g h e e t e e n e n s e m b l e l i d o f e e n r e a l i s a t i e v a n h e t p r o c e s . ( v e r g e l i j k b a a r met s t e e k p r o e f ) We kunnen nu d e z e l f d e d e f i n i t i e s g e b r u i k e n a l s i n p a r a g r a a f

2;

w e moeten o n s e c h t e r w e l r e a l i s e r e n d a t d e z e g r o o t h e d e n e e n f u n k t i e z i j n v a n d e t i j d . Het g e m i d d e l d e v a n h e t random p r o c e s w o r d t g e d e f i n i e e r d d o o r :

(24)

(23)

(k = ensemble-index) I n woorden u i t g e d r u k t berekenen we h e t gemiddelde van een random p r o c e s v o o r een bepaalde waarde van t d o o r de waarde van e l k e r e a l i s a t i e u i t h e t ensemble b i j d i e t t e v e r m e n i g v u l d i g e n met cie kans d a t d i e r e a l i s a t i e o p t r e e d t en d i e u i t k o m s t t e sommeren o v e r a l l e m o g e l i j k e r e a l i s a t i e s . A l s ,Nr(t) en a l l e andere funk t i e s d i e ka rak t e r i s t i eken v o o r h e t s t a t

i

s t i sc h ge d r a g van h e t p r o c e s b e s c h r i j v e n o n a f h a n k e l i j k z i j n van de t i j d dan noemen we h e t p r o c e s STATIONAIR. In h e t g e v a l van een s t a t i o n a i r p r o c e s ge l d t v o o r h e t gemi dde lde:

We kunnen nu v e r v o l g e n s de v a r i a n t i e d e f i n i e r e n n a a r a n a l o g i e met (6) e n

(23).

Het b l i j k t e c h t e r s l i m t e z i j n om de e x t r a d i m e n s i e t i j d nu ook i n de d e f i n i t i e s t e b e t r e k k e n ende t e d e f i n i e r e n f u n k t i e s een e x t r a d i m e n s i e geven. Zo kunnen we een va r i a n t ! e-funk t i e d e f i n i e r e n vo lgens: w a a r i n 't: een t i j d v e r s c h i j v i n g v o o r s t e l t . Voor T = O v i n d e n we de o r i g i n e l e d e f i n i t i e v o o r de v a r i a n t i e maar dan nu a l s f u n k t i e van de t i j d : A l s h e t p r o c e s s t a t i o n a i r i s dan i s de v a r i a n t i e f u n k t i e o n a f h a n k e l i j k van de t i j d , Me k r i j g e n dan: H i e r i n i s

R,,

(T) de zooenaamde a u t o k o r r e l a t i e f u n k t i e . Deze f u n k t i e wordt a l l e e n v o o r s t a t i o n a i r e processen g e d e f i n i e e r d wo 1 gen s : Voorbeeld 16 Me beschouwen h e t random p r o c e s x,(t)

=

X . s i n ( 2 3 T f 0 t +&(k))

D i t i s een s i n u s v o r m i g e f u n k t i e waarvan de fasehoek &k) een random g e t a l i s u i t h e t i n t e r v a l ( O J f l ) . De k a n s v e r d e l i n g van

4.

( k > i s u n i f o r m o v e r d i t i n t e r v a l . laie berekenen v o o r h e t gemi dde l d e : )í,(t>

=

ECxk(t)3

=

o De v a r i a n t i e - f u n k t i e CX4 (t,t+T) wordt:

(25)

-

23-

x2

Y X (tft+T)

=

cos (2zf07)

Zowel),(t) a l s Cx,(t,t+T) z i j n onafhankelijk van de t i j d . Men neemt i n zo'n geval vaak aan dat het proces dan s t a t i o n a i r i s . Theoretisch moet men nog aantonen dat a l l e andere mogelijke f u n k t i e s d i e het gedrag van het proces b e s c h r i j v e n ook onafhankelijk van de t i j d z i j n .

De auto-korrelatie f u n k t i e Rxx (TI i s g e l i j k aan:

Tot nu toe i s gesproken a l s o f de kansverdelingsfunktie van het random proces bekend i s . Met behulp van deze kansverdeling kunnen we dan met de E-operator werken en a l l e gedefinieerde begrippen berekenen. De kancverdelingsfunktie i s i n de p r a k t i j k echter b i j n a n o o i t bekend. Verder z i j n de leden van het proces vaak n i e t allemaal van t

=

-00 t o t t =+ca bekend. a.de z u l l e n

dus gebruik moeten maken van schatters voor de geintroduceerde begrippen.

Schatters voor de d i v e r s e funkties z i j n :

A 1 N /ux(t3=

6 c

x p 3

(30)

k-l A

.IN.

(t,t+T)

-

.L

(Xk(t)-px(t)). (xk(t+T)-px(t+T)) (31) (32)

( R x x ( T ) i s a l l e e n gedefinieerd voor s t a t i o n a i r e processen!)

-

k-4

%%

A

R Y X W

=

i

f

X k ( t ) . X k ( t + K l

AJ

uzi

We noemen deze s c h a t t e r s "ensemble gemidde lden" omdat we een a a n t a l leden u i t het ensemble bekijken en de eigenschappen daarover middelen. Het i s d u i d e l i j k dat we h i e r n i e t de grootheden z e l f berekenen, maar s l e c h t s schatters voor deze grootheden; we nemen namelijk maar een beperkt deel van het ensemble over een beperkt t i jdsinterva

L

i n beschouwing. De schatters z i j n random variabelen met een bepaalde v a r i a n t i e . Onder bepaalde kondi t i e s kan h i e r u i t een betrouwbaarheidsinterval worden berekend. (Benda

t

(19581, Bendat, P i e r s o l (1971))

Ais we van een s t a t i o n a i r proces s i e c h t s één ensernbiëijcâ kuñneñ

r e a l i s e r e n kunnen we gebruik maken van een a a n t a l schatters d i e gebaseerd z i j n op tijdgemiddelden. We observeren een bepaolde grootheid gedurende een bepaalde t i j d en nemen het gemidde lde van een bepaalde f u n k t i e over d i t t i j d s i n t e r v a l :

I T

jx

=f

{x(t).dt

(33)

A

R d O

-

T o

oj;T-L.X(t+T).dt ( 3 4 )

A l s voor T -*a geldt dat de tijdgemiddelden g e l i j k z i j n aan de overeenkomstige ensemblegemiddelden voor td 3 0 3 8 dan noemen we het proces ergodisch. I n de p r a k t i j k b l i j k e n deze ergodische processen zeer vaak voor t e komen.

Voorbeeld 17: We beschouwen weer het random proces u i t voorbee Id 16.

(26)

x K ( t ) = X . s i n ( 2 f i f o t

+

@(k))

%(k) i s een random v a r i a b e l e met een uniforme verdeling op i n t e r v a l (0,2T.)

.

We hadden i n voorbeeld 16 reeds berekend:

het

/ & = O

Rxr (I3

=

g

cos ( 2 Z f 0 ? 3

We gaan nu schatters berekenen door een v i j f t a l

q ( k >

t e trekken u i t een uniforme verdeling (0,23L) om daarmee v i j f r e a l i s a t i e s van het random proces t e berekenen.

rnd(0,l) $[radl x

(0)

x ( - 1 P o .71 4.46 -0.97X -0.25X 0.97X 0.25X -0.97X

.23

1.45 0.99X 0.13X -0.99X -0.13X 0.99X .35 2.20 0.81X -0.59X -0.81X 0.59X 0.81X .SO 3.14

o

-1

O

1

0 .46 2.89 0.25X -0.97X -0.25X 0.97X 0.25X ),<t) 0.22X -0.54X -0.22X 0.54X 0.22X

Het i s d u i d e l i j k t e z i e n dat de s c h a t t e r voor het gemiddelde een random v a r i a b e l e i s ; de uitkomsten z i j n voorzien van a a n z i e n l i j k e t o e v a l l i g e afwijkingen. De v a r i a n t i e i n de s c h a t t e r kunnen we m.b.v. (9) afschatten:

varCPx(t)3 A

=

varCxK(t)3/N

=

(R,,(O)

-,,h:)/5

=

Xz/10

=

0.1X2

De a u t o k o r r e l a t i e f u n k t i e RXx

(TI

schatten we a f volgens:

4.46 0.94 X' 0.24 X2 -0.94 X" -0.24 X2 0.94 X 2 î.45 0.98 X'-

0.13

Xa -0.58 X z

-0.13

X: 0.58 X" 2.20 0.66 X1 -0.48 X2 -0.66 Xz 0.48 X 0.66 Xc 3.14

o

O O O 2.89 0.66 X2 -0.24 X'

-0.06

X* 8.24 Xz

0.06

Xz A Rxx(T)0.53 X 2

-0.35

X2

-0.53

Xz 0.35 X2

0.53

X I

Uok n i e r z i j n Oe t o e v a i i i g e afwijkingen i n de ccTiatter b ü S b e i f j k

t e zien. Deze t o e v a l l i g e afwijkingen worden weer k l e i n e r a l s het aanta L r e a l i sat i e s waarover gemiddeld wordt toeneemt

.

Voos het afschatten van deze t o e v a l l i g e afwijkingen z i e Bendat

(1958)

.

I n t e r p r e t a t i e van de autokorre l a t i e funkt i e :

De a u t o k o r r e l a t i e funktie kan vaak geinterpreteerd worden door uitspraken i n de geest van: "De omhullende van de auto-korre l a t i e f u n k t i e bepaa Lt i n hoerverre e r een uitsproak gedaan kan worden over de waarde van x,(t+y) a l s de x $ t ) bekend i s . " . i n voorbeeld 16 b l i j k t een omhullende van de a u t o k o r r e l a t i e funktie konstant t e z i j n ; a l s de waarde van x , ( t ) bekend i s kangi( berekend worden en i s de het verloop van x K

( k )

inderdaad voor elke (t+'O bekend!

(27)

-

25-

8 EEN RANDOIVI PROCES, BESCHRIJVING IN HET FREQUENTIEDOffiEIN. I n de vorige paragraaf hebben we gezien dat we een random proces kunnen beschrijven met een aantal funkties, waarvan het gemiddelde de v a r i a n t i e - funktie en de a u t o k o r r e l a t i e f u n k t i e behandeld z i j n . De a u t o k o r r e l a t i e f u n k t i e i s een f u n k t i e d i e een t i j d s v e r s c h u i v i n g a l s onafhankelijke v a r i a b e l e heeft. Informatie d i e i n R, (TIaanwezig i s wordt v o l l e d i g gehandhaafd

a l s we op deze f u n k t i e een Fouriertransformatie uitvoeren:

*

S , , ( f )

=

s R X x

(2))

=

I R n x (~).exp(-j.Z.~~f.r).d.r: ( 3 5 )

We noemen S,, ( f ) het autospektrum van het random proceslx,(t)]. S , , ( f ) kan ook nog op twee andere wijzen worden gedefinieerd:

go

-Go

3 *

Met analoge f i Ltering:

(36)

x ( f , A f , t ) = output van smalbandfilter met m i ddenf requentie f en

bandbreedte A f waaraan x ( t > wordt toegevoerd.

*

Met e i ndi ge Four i er-get ransf o rmeerde X k(f ,TI

=

i x ,(t

1 -

exp C-j.

2 .r.

f. t ) = dt

1

O

Vroeger werd u i t s l u i t e n d met

(36)

gewerkt. Nu de d i g i t a l e

technieken z o ' n opmars hebben gemaakt worat v r i j w e i steeds van

( 3 7 ) gebruik gemaakt. B i j het meten van een a u t o k o r r e l a t i e

f u n k t i e wordt z e l f s e e r s t met

( 3 7 )

'$,,<f) bepaald om v i a een

'inverse Fouriertransformatie

&,

(0

t e berekenen. Wij z u l l e n i n het vervolg van d i t verhaal u i t s l u i t e n d met

(35)

en

(371

werken.

Dat de d r i e d e f i n i t i e s gelijkwaardig z i j n wordt bewezen i n Bendat, P i e r s o l J1971). De grootheid Sxx kunnen we schatten

door de

s c h a t t e r

s x x m

volgens:

..

I n onderstaande f i g u u r i s de vermenigvuldiging i n het komplexe vlak schematisch weergegeven voor gen frequentie.

(28)

D

r A S,,(f) een sche p r i s moe- weer r e k e n i n g gehouden worden

met t o e v a l l i g e a f w i j k i n g e n . De v a r i a n t i e i n deze s c h a t t e r kan worden a f g e s c h a t met:

varCS,,(f>~ =

s , ~ ( ~ ) / M

c 'ixx(f)/N (39) (Bendat, P i e r s o l (1986), v. Heck (19821 Woor

N>25

i s de v e r d e l i n g ongeveer normaal en kan h e t 95% b e t rouw baar he i d s i n t erva 1 berekend worden met :

A

2

/z 2

S x x ( f ) . ( l - ' ) < SJf)

<

S x s ~ f ) * ( l + $ j ) A

w

In onderstaande f i g u u r i s CCSyx(f)7/S3,(f) u i t g e z e t tegen h e t a a n t a l m i d d e l i n g e n

N.

(29)

-

27-

Het autopowerspektrum bJOrdt vaak g e b r u i k t om t e b e k i j k e n wat voor f r e q u e n t i e s i n een b e p a a l d s i g n a a l aanwezig z i j n . Ook de v a r i a n t i e kan eenvoudig bepaald worden door h e t o p p e r v l a k onder de kromme t e i n t e g r e r e n . De reden d a t men daarvoor h e t auutospektrum g e b r u i k t en n i e t de F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e i s d a t h e t a u t o s p e k t r u m geen f a s e - i n f o r m a t i e b e v a t en o n a f h a n k e l i j k van h e t b e g i n p u n t van de m e t i n g de g r o o t h e i d v o l g e n s

(381

geschat kan worden. De F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e b e v a t w e l f a s e - i n f o r m a t i e , deze fasehoek i s a f h a n k e l i j k van h e t b e g i n van de met i n g

.

B i j h e t ensemb lemi dde l e n van een F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e z a l dus a l t i j d de s c h a t t e r naar O gaan a l s e r s p r a k e i s van een beginpunt van de m e t i n g d a t z u i v e r toeva 1 l i g i s.

In de appendix i s een voorbeeld gegeven van de berekening van

een a u t o s p e k t r u m v o o r h e t proces van v o o r b e e l d 16. Daar i s ook d u i d e l i j k t e z i e n d a t h e t autospektrum n i e t a f h a n k e l i j k i s van h e t b e g i n van de m e t i n g t e r w i j l de F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e d a t wel i s .

(30)

9 TWEE RANDOM PROCESSER, BESCHRIJVIEtG

I R

HET TIJ DDOMEIEL

We w i l l e n nu twee random processen t e g e l i j k bekijken om een eventuele i n t e r a k t i e tussen de twee processen t e bestuderen. Daartoe d e f i n i e r e n we weer een a a n t a l begrippen naar analogie met par. 4, nu echter een f u n k t i e van een t i j d v e r s c h u i v i n g rt'. We moeten daartoe gepaarde r e a l i s a t i e s u i t de random processen x ( t ) en y ( t ) bekijken.

We d e f i n i e r e n nu een c o v a r i a n t i e funktie naar analogie met

(25):

CYX!tit+t)

=

EECx c t > - & l Ct)), C y p T ? - Ct+T))l.

C401

K - - - / - x - - -

/ s

A l s de t i j d v e r s c h u i v i n g <==O dan vinden we weer de d e f i n i t i e

voor de k o v a r i a n t i e van een random variabele; maar dan nu a l s f u n k t i e van de t i j d :

C ( t , t )

=

cov[x,yl(t)

=

EE(xk(t)-p,(t)). ( y k ( t ) - y 2 t ) ) l ( 4 1 )

B i j s t a t i o n a i r e processen v e r v a l t de afhankelijkheid van t ; we kunnen dan een c r o s s k o r r e l a t i e f u n k t i e d e f i n i e r e n naar analogie met ( 2 9 ) volgens:

Yx

(31)

-

29-

Voorbeeld 18: We voeren het random proces u i t voorbeeld 16 toe

aan de ingang van een systeem met een vaste l o o p t i j d t o . Het random proces aan de uitgang van het systeem heet y ( t ) . E r geldt :

We berekenen naar analogie met voorbeeld

16

de c o v a r i a n t i e

f u n k t i e en de c r o s s k o r r e l a t i e funktie:

x2

C y x ( t , t + Ï 3

=

<

cos(2.-n’.f0.(~-t,))

R y p

=

~ 2 c o s ( 2 7 C . f , . ~ ~ - t , ) ) 2

De c r o s s k o r r e l a t i e f u n k t i e wordt vaak gebruikt b i j onderzoek aan systemen met een zuivere l o o p t i j d , zoals i n het v o r i ç e voorbeeld of b i j geluidsproblematiek. De c r o s s k o r r e l a t i e funkt i e v o o r c - t o ) i s g e l i j k aan de a u t o k o r r e l a t i e fuunktie van de ingang van het systeem v o o r T . - Door de beide funkties t e

meten kan de Looptijd t o bepaald worden. Voor voorbeelden van toepassingen b i j b i jvoorbeeld ge luidsproblemen wordt verwezen naar Bendat, P i e r s o l ( 1 9 8 0 ) .

De c r o s s k o r r e l a t i e

of voor ergodi sche

f u n k t i e kan worden afgeschat door de formule:

processen :

A

7‘

( 4 4 )

De v a r i a n t i e i n deze schatt&s i s a f h a n k e l i j k van Ret verband tussen x ( t ) en y ( t ) . Het afschatten van deze v a r i a n t i e wordt

gedemonstreerd i n Bendat (19581 en Bendat, F i e r s o l i1971i.

i n

de

p r a k t i j k wordt tegenwoordig nog weinig met ( 4 4 ) en

(45)

gewerkt.

Het moderrie USyi take techriieken uorbt

eerst

h e t C Ï Û S S - S ~ ~ ~ ~ Ï U ~ tussen x ( t ) en y ( t ) ( z i e volgende paragraaf) geschat. Daarna

(32)

I O TWEE RARDOM PROCESSEA, BESCHRIJVIltG IK HET FREQUEhTIEDOMEIR.

kt z o a l s b i j de b e r e k e n i n g van een random p r o c e s kunnen we ook de b e s c h r i j v e n d e f u n k t i e s van twee random processen zonder v e r l i e s van i n f o r m a t i e F o u r i e r - t r a n s f o r m e r e n :

*

S y x ( f )

=

F R (TI) = j R y x (~).exp(-j.2.76:f0r).dr (46) bde noemen S,,(f) h e t cross-spektrum t u s s e n de random processen x ( t ) en y ( t ) . Ede kunnen h e t cross-spektrum ook d e f i n i e r e n door g e b r u i k t e maken van de e i n d i g e F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e n van b e i d e processen: go Y% - G o

*

X,(f,T)

=

/l

xK(t).exp

C-j

. 2 T . f.t).dt ' T o ' Y, (f,T) = JyJt).exp(-j.2flT.f.t).dt

Een s c h a t t e r voor S,(f) wordt berekend door de E-operator t e vervangen door een e i n d i g ensemb legemi dde lde :

Deze v e r m e n i g v u l d i g i n g i n h e t komplexe v l a k i s i n onderstaande figuur weergegeven voor een f r e q u e n t i e en een r e a l i s a t i e u i t h e t ensemb le.

I n de f i g u u u r i s d u i d e l i j k t e z i e n d a t de fasehoek g e l i j k i s aan h e t v e r s c h i l i n de fasehoeken van de b e i d e g e t r a n s f o r m e e r d e n X,(f,T> en Y,(f,T). A l s b e i d e processen b i j deze f r e q u e n t i e een o o r z a k e l i j k verband b e z i t t e n dan m i d d e l t

";y,

( f ) n a a r een gemiddelde w2arde; z i j n de fasehoeken e c h t e r o n a f h a n k e l i j k dan k o n v e r g e e r t S,,(f) n a a r nul. Een en ander i s i n onderstaande f i g u u r weergegeven,

(33)

-

31-

i

+

metingen

VR

et-i

ngen

Re

(34)

Re

-

gemiddeld

Het cross-spektrum i s een k r a c h t i g h u l p m i d d e l b i j h e t zoeken naar r e l a t i e s t u s s e n twee random s i g n a l e n . Het cross-spektrum i s daarom zonder meer v e r g e l i j k b a a r met de c o v a r i a n t i e b i j random variabelen; nu i s e r e c h t e r voor e l k e f r e q u e n t i e een c o v a r i a n t i e en een f a s e d r a a i n g ( " l o o p t i j d " ) gegeven. Vaak i s de i n t e r p r e t a t i e van h e t cross-spektrum v e e l eenvoudiger dan d i e van de c r o s s k o r r e l a t i e f u n k t i e .

De t o e v a l l i g e a f w i j k i n g e n b i j h e t s c h a t t e n van S y x ( f ) met (481 kunnen a f g e s c h a t worden met de formule:

(49) H i e r i n i s $Jf) de zogenaamde k o h e r e n t i e - f u n k t i e , deze z a l i n de io!geride p a r a g r a a f UUR de crde kernen. IR m d e r s t u a o d e figmr

i s CCIS,(f)l I/

IS,(f>l

u i t g e z e t a l s f u n k t i e van de k o h e r e n t i e - f u n k t i e en h e t a a n t a l middelingen.

A 2 2

v a r o s (f))]

=

I

syx(f)l

/(

yyx(f).N)

(35)

-

33-

In de appendix wordt een voorbeeld gegeven van het cross-spektrum tussen de ingang en de uitgang van een systeem met z u i v e r e l o o p t i j d t o r waarvan de ingang b e l a s t wordt met een

(36)

11

HET SCHATTEN VAN EEN LINEAIR VERBAND.

I n p a r a g r a a f 5 hebben w e g e z i e n hoe h e t m o g e l i j k i s om e e n l i n e a i r v e r b a n d t u s e n twee random v a r i a b e l e n t e o n t d e k k e n u i t d e b s c h r i j v e n d e g r o o t h e d e n voor deze random v a r i a b e l e n ; d e c o v a r i a n t i e cov[x,y] en d e v a r i a n t i e s v a r [ x ] en v a r [ y ] . E r werd een g r o o t h e i d g e d e f i n i e e r d d i e a a n g a f i n h o e v e r r e h e t v e r b a n d l i n e

arr

was ( d e k o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t ) e n e r werd a a n g e g e v e n h o e s c h a t t e r s v o o r h e t l i n e a i r e systeem werden berekend u i t s c h a t t e r s v o o r d e c o v a r i a n t i e e n d e v a r i a n t i e s . Nu w e d e g r o o t h e d e n d i e random v a r i a b e l e n b e s c h r e v e n u i t g e b r e i d hebben n a a r d e b e s c h r i j v i n g v a n random p r o c e s s e n g a a n w e b e k i j k e n of h e t ook m o g e l i j k i s o m t e b e p a l e n w e l k l i n e a i r v e r b a n d e r b e s t a a t t u s s e n twee random p r o c e s s e n x ( t ) e n y ( t ) . We g a a n d a a r b i j u i t v a n h e t v o l g e n d e model: ( x ( t > e n n ( t ) z i j n o n a f h a n k e l i j k ! ) Het v e r b a n d t u s s e n v ( t ) e n x ( t ) i s een k o n v o l u t i e i n t e g r a a l ,

zodat w e veer h e c verband ctissec x!t> e n y!t> b e r e k e n e n :

y ( t ) = h ( t ) x ( t ) + n ( t ) H i e r i n i s h ( t ) d e impulsrespons v a n h e t l i n e a i r e systeem. Hiermee b e r e k e n e n w e : / O o x ( t ) . y ( t + T ) =

J

h ( r ) - x ( t ) . x ( t + T - + x ( t > . n ( t + T ) O De v e r w a c h t e waarde v a n

(51)

i s : ( n ( t ) e n x ( t ) o n a f h . ! ) o f : R

_Y*

(2)

= h(z) @ R%(T) ( 5 3 )

Het i s dus m o g e l i j k om d e impulsrespons v a n een systeem t e b e p a l e n d o o r s c h a t t e r s

fi,

( T ) e n

g8x(T)

t e b e p a l e n e n ( 5 3 ) i n d i e n

m o g e l i j k op t e l o s s e n . D i t z a l v a a k op zeer g r o t e m o e l i j k h e d e n s t u i t e n e n v o o r s l e c h t s e n k e l e g e v a l l e n i s de u i t k o m s t z o n d e r meer d u i d e l i j k ( b i j v o o r b e e l d v o o r een impulsvormige i n p u t ) o

(37)

-

35-

Daarom w o r d t tegenwoordig b i j n a a l t i j d g e b r u i k gemaakt v a n b e s c h r i j v i n g e n i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n . A l s w e e e n F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e u i t v o e r e n op v e r g e l i j k i n g (53) k r i j g e n w e m.b.v. (35) e n (46): (Esmeyer 1 9 8 1 , Bendat, P i e r s o l ( 1 9 7 1 ) ) S y x ( f ) = H (f).S,,(f)

5K

H

!F ( f ) = G h ( t ) ) H i e r i n i s H ( f ) d e f r e q u e n t i e r s p o n s v a n h e t systeem; met _!3x ( 5 4 ) De k o n v o l u t i e i n t e g r a a l i s nu verdwenen e n h e e f t p l a a t s gemaakt v o o r e e n s i m p e l e v e r m e n i g v u l d i g i n g . H e t systeem i s dus v e e l e e n v o u d i g e r t e b e p a l e n u i t s c h a t t e r s voor S ( f ) en S,,(f): _Yx fi A A H y x ( f ) = SYx(f)/SXx(f) (55)

We kunnen v e r d e r u i t ( 5 0 ) berekenen d a t voor

T

+@ g e l d t :

De v e r w a c h t e w a a r d e v a n ( 5 7 ) i s g e l i j k a a n : ( 5 8 ) of met ( 5 4 ) :

s

( f ) =

-

i- S,,(f) = S,(f) + S,,(f) ( 5 9 )

s,,

cel

2

29

Van h e t a u t o s p e k t r u m Sb9!f) i s d u s e e n g e d e e l t e \ S y x (f ) ] /S,,(f) afkomstig va^ h e t i q g a r g s s i g n a a l x ( t > e n e e n g e d e e l t e S ( Ç j n f i X A ' a f k o m s t i g v a n d e r u i s n ( t ) . Er g e l d t :

We noemen (&(f) d e k o h e r e n t i e f u n k t i e . Sv,(f) noemen w e h e t k o h e r e n t a u t o s p e k t r u m . A l s w e v e r g e l i j k i n g ( 6 1 ) e n ( 6 2 ) v e r g e l i j k e n met

(21)

e n ( 2 2 ) dan z i e n we d a t de k o h e r e n t i e f u n k t i e b i j random p r o c e s s e n d e z e l f d e f u n k t i e v e r v u l t a l s d e k o r r e l a t i e k o e f f i c i e n t b i j random v a r i a b e l e n . D e g r o o t h e d e n d i e i n deze p a r a g r a a f g e d e f i n i e e r d z i j n kunnen w e a f s c h a t t e n met de v o l g e n d e s c h a t t e r s : A A

syx(

f ) / S $ $ ( f

1

(38)

Door d e s i g n a l e n x ( t > en y ( t ) waar t e nemen e n s c h a t t e r s t e maken v o o r S X g ( f ) , S,,!f> e n S y $ f ) i s h e t m o g e l i j k s c h a t t e r s t e maken v o o r d e f r e q u e n t i e r e s p o n s , de k o h e r e n t i e f u n k t i e d$x(f), h e t k o h e r e n t e o u t p u t spektrum en h e t a u t o s p e k t r u m v a n d e r u i s S ( f ) . nh I n t e r p r e t a t i e : D e f r e q u e n t i e r e s p o n s wordt v a a k g e i n t e r p r e t e e r d d o o r t e k i j k e n w e l k e f r e q u e n t i e s g e m a k k e l i j k d o o r h e t systeem d o o r g e g e v e n worden. De k o h e r e n t i e f u n k t i e g e e f t p e r f r e q u e n t i e a a n i n hoeverre er Sprake i s v a n e e n l i n e a i r v e r b a n d t u s s e n x ( t ) e n b e t e k e n t p e r f e k t l i n e a i r v e r b a n d ~ Het k o h e r e n t e o u t p u t spektrum S,,(f> g e e f t p e r f r e q u e n t i e a a n h o e v e e l vermogen a a n d e u i t g a n g v e r o o r z a a k t Bs d o o r h e t i n g a n g s s i g n a a l x ( t > . T e n s l o t t e g e e f t h e t a u t o s p e k t r u m v a n d e r u i s S ( f ) a a n h o e v e e l v a n h e t vermogen a a n d e u i t g a n g h e t g e v o l g is v a n s i g n a l e n d i e o n a f h a n k e l i j k z i j n v a n x ( t ) e n v a n n i e t l i n e a i r e e f f e k t e n v a n h e t systeem, D e v a r i a n t i e i n d e s c h a t t e r s H y x ( f ) , Y,,(f) en S,,,(f) kan g e s c h a t worden met d e r e l a t i e s : (Bendat, P i e r s o l (19801, Bendat ( 1 9 7 8 1 , v.Heck (1982)) y ( t > . $,(f> = O b e t e k e n t g e e n l i n e a i r v e r b a n d , ' f & ( f )

= 1

HyI A 2 A A Voor

Ni25

g e l d t d a t d e v e r d e l i n g e n v a n de d i v e r s e s c h a t t e r s o n g e v e e r normaal z i j n , ( b e n d a t , P i e r s o l !1?8o>>

(39)

(40)

0.011 I I 1 1 l 1 1 1 I I I I I I I I I

50

100

_{_ .}200 500 1.000 2,OOû 5,000 10.000

(41)

-

39-

12

RANDOM PROCESSEN (TIJDDOMEIN), SAMENVATTING.

STATIONAIR: b e s c h r i j v e n d e g r o o t h e d e n o n a f h a n k e l i j k v a n d e t i j d .

STATIONAIR ERGODISCH: De Ensemblegemiddelden voor d e

b e s c h r i j v e n d e g r o o t h e d e n z i j n g e l i j k a a n d e t i j d g e m i d d e l d e n .

.

. . .

.EEN RANDOM PROCES..

.

Groot h e i d S c h a t t e r Gemiddelde S t a t i o n a i r e r g o d i s c h : D V a r i a n t i e - f u n k t i e : E r g o d i s c h : R e l a t i e :

. . .

-TWEE RAhTDOM PROCESSEN..

.

Cova r i a n t i e funk t i e

S t a t i o n a i r E r g o d i s c h :

C r o s s - k o r r e l a t i e f u n k t i e

(42)

13 RANDOM PROCESSEN (FREQUENTIEDOMEIN) SAMENVATTING. D e b e g r i p p e n processen. g r o o t h e i d z i j n a l l e e n g e d e f i n i e e r d voor s t at i on a i re s c h a t t e r

. . .

.EEN RANDOM PROCES.. * .

A u t o S p e k t r u m

.

* . .TWEE

RANDOM

PROCESSEN..

.

e C r o s s spektrum.

(43)

-

41- 1 4 LITERATUUR

R

Allemang

Frequency Response Concepts

Seminar on modal a n a l y s i s , u n i v e r s i t y o f Leuven (1980) J. Bendat

P r i n c i p l e s and a p p l i c a t i o n o f random n o i s e t h e o r y John Wiley and Sons I n c . , New York 1958.

J. Bendat

S t a t i s t i c a l e r r o r s i n measurement of c o h e r e n c e f u n c t i o n s and Journal of Cound and V i b r a t i o n (1978), 59(3), pp405-421

i n p u t / o u t p u t q u a n t i t i e s .

J. Bendat, A. P i e r s o l

Random d a t a, a n a l y s i s and measurement p r o c e d u r e s . John Wiley and Sons Inc.,New York 1 9 7 1 .

J. Bendat, A. P i e r s o l

Eng i ne e r i ng ap p l i c at

i

ons o f s p e c t r a l and cor re

1

a t i on a n a l y s i s John Wiley and Sons I n c .

,

New York 1980.

A. Bosch,

H

Kamps S t a t i s t i s c h compendium D i k t a a t 2218, T.H. Eindhoven.

W.

Esmeyer N o t i t i e s b i j h e t c o l l e g e random t r i l l i n g e n T.H. eindhoven, 1 9 8 1 . 'w. Nays S t a t i s t i c s H o l t Saunders i n t e r n a t i o n a l e d i t i o n s , 1 9 8 1 .

__

J.

v . Heck De modale a n a l y s e , e x p e r i m e n t e l e mechanika T.H. eindhoven, n a j a a r 1 9 8 1 .

J. v.

Heck T o e v a l l i g e a f w i j k i n g e n b i j h e t meten v a n eigenschappen v a n random s i g n a l e n

T . n . ñinbhûven, maart i982

D. Newland An i n t r o d u c t i o n t o random v i b r a t i o n s and s p e c t r a l a n a l y s i s Longman, London 1 9 7 5 .

M.

v . W i j v e k a t e V e r k l a r e n d e S t a t i s t i ek A u l a 3 9 , 1972