Hoofdstuk 5: Evenredigheden

(1)

Hoofdstuk 5:

Evenredigheden.

1.

a. Per 108 meter horizontaal daalt Moerad 24 meter. Per meter daalt hij 29 m. In 36 meter dus

 

2

9 36 8 m daling. b.

c. Ja, de hangglider gaat in een rechte lijn naar beneden. D.w.z. dat hij in elke meter horizontaal steeds hetzelfde aantal meters daalt.

d. Carolien heeft gelijk.

e. Ja, als de horizontale afstand 0 is, is Moerad 0 meter gedaald. f.  2

9

D HA

g. Nu daalt hij 24 meter in 216 meter horizontaal. Dus  24   1

216 9

D HA HA

2. c 12,5

3.

a. slecht voorbeeld. Je betaalt de verpakking ook en je koopt steeds een kilopak suiker. De ene keer zit daar iets meer in en de andere keer weer iets minder. De prijs is hetzelfde.

b. ja.

c. nee, voor een brief tussen de 0 en 20 gram betaal je hetzelfde tarief namelijk 44 cent.

4.

a. 0,256 24 , 3,750,4 9, 4 , dus x en y zijn niet evenredig.

b.   6  4 0,25 4 1 en 1,5 getallenpaar: (1; 1,5)   6  2,4 0,25 2,4 0,6 en 2,5 _{getallenpaar: (0,6; 2,5)} c. d.   2  3 3,75 2,5 6 2,5 4 1,5 1,5 1 1,5 ... e. constante is 1,5 f. 1 1,51,5 y x x    1,5 x y 1,5 en x y 5. a. 1,91 0,11 0,21  3 0,07 0,21  5,25 0,04 0,21  10,50 0,02 0,21  b. R A 0,21  R 0,21 A A 0,21R

6. K is rechtevenredig met _{M , dat wil zeggen:}1 K c  1  c M M HA in meters D in meters 12 2,67 40 8,89 72 16 108 24 x 0,25 0,4 0,6 0,75 1 1,2 1,5 y 6 3,75 2,5 2 1,5 1,25 1 1 x 4 2,5 123 131 1 56 23

(2)

7.

a.

b./c. A 6 r  2 en I 1 r  3

d.

e. rechte lijn door de oorsprong. De constante staat voor de helling van de lijn.

8. a. R 0,0075 v  2 b. v2 6400     2  v 6400 80 km/u R 0,0075 80 48 m

c. A: v 1225 35 km/u B: v 2500 50 km/u D: v 10000 100 km/u

E: v 14400 120 km/u 9. 3 2 2 3 A 216 I dus I A ~ 10. a. OA 6 1 112 12 13,5 OB    6 3 3 54 1 1 1 A ₂ ₂ ₂ I 1 1 1  3,375 I_B   3 3 3 27 b./c. 13,5 4 54  _en3,375 8 27  11. a. OB600 25 24 25 O    A5 O2 A 3 B A A I 1000 125 8 125 I    5 I

b. k 2,5 _{, dus de oppervlakte wordt met}_2,52 __6,25_{vergroot en de inhoud met}_2,53 __15,625

c. Inieuw (k r) 3 k r3 3 k I3 oud r r2 _r3 _A _I 1 1 1 6 1 2 4 8 24 8 3 9 27 54 27 4 16 64 96 64 5 25 125 150 125 10 100 1000 600 1000 r^2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 10 20 30 40 50 60 70 -10 r 1 2 3 4 5 10 I2 ₁ ₆₄ ₇₂₉ ₄₀₉₆ ₁₅₆₂₅ _1000000 A3 ₂₁₆ ₁₃₈₂₄ ₁₅₇₄₆₄ _{884736 3375000 216000000}

(3)

12.

a. Tussen de oppervlakte A en de straal r bestaat een kwadratische evenredigheid. b. Tussen de inhoud I en de straal r bestaat een kubieke evenredigheid.

c. r 4 : A 4 4    2 64 en I   43 43 8531

2 4 3 1

3 3

r 10 : A 4 10    400 en I   10 1333 

De straal is 2,5 keer zo groot geworden. De oppervlakte 40064 6,25 2,5 2 keer zo groot en de inhoud 31 1 3 1333 ₃ 85 15,625 2,5     keer. d. Inieuw   43 (f r)3  34 f r3 3f3 34 r3f I3 oud

13. De schaal op bladzijde 26 is 3 keer zo klein, dus de oppervlakte 9 keer zo klein.

14. a. 50 1₂ 25_maar 1 2 100 50 35 b. 25₅₀ 3,54 35₁₀₀ 3,5 43₁₅₀ 3,51 55₂₅₀ 3, 48 ₃₀₀61 3,52 en 75₄₅₀ 3,54 15. a. K h met evenredigheidsconstante 3,5 K 3,5 h K 3,5 610 86 km     

b. De kijkafstand wordt met 4 2 vergroot. c. Ongeveer 9 3 keer zo klein.

16.

a./b. K_oud 3,5 h

nieuw oud

K 3,5 f h 3,5 f     h f 3,5 h  f K

17. De hoogte van de Oldehoeve is verkleind met factor ₁₁₄40 0,35_{: 65% kleiner.}

De kijkafstand wordt verkleind met factor 0,35 0,59 : 41% kleiner.

18.

a. Q 1,35 P _{: als P 3 keer zo groot wordt, wordt Q} ₃_{keer zo groot.}

2

Q 2,18P : als P 3 keer zo groot wordt, wordt Q ₃2 _₉_{keer zo groot.}

1 Q 0,7

P

 _{ : als P 3 keer zo groot wordt, wordt Q 3 keer zo klein.}

b. Als Q 5 keer zo groot wordt, wordt P in de eerste formule ₅2 _₂₅_{zo groot, in de tweede} formule 5 keer zo groot en in de derde formule 5 keer zo klein.

(4)

19. a. r2 K2 (r h) 2 2 2 2 2 2 K (r h) r K (r h) r       b. _K_ _{(r h)}_ 2 __r2 _ _r2__{2rh h}_ 2 __r2 _ _{2rh h}_ 2 _ _{(2r h) h}_ _{ } _{2r h}_{ } _h c. h is verwaarloosbaar klein ten opzichte van 2r

d. K 2r h  h  2r h 2 6370000  h 3569 h meter 3,5 h km   

20.

a. Als L rechtevenredig is met het omgekeerde van d, dan moet er een constante c zijn zodat   1 c L d ; ofwel d L c    1 63 63 maar 1,5 28 42 63   b.

c. Als L en d2_{omgekeerd evenredig zijn, dan}

bestaat er een constante c zodat L d 2 c. En dat klopt, want _{L d} 2 ₆₃

d. 1₂

d langs de horizontale as en L langs de verticale as.

e. L 63₂ 0,02

55 watt/m2.

21.

a. Als het boloppervlak 10 keer zo groot wordt, zal L 10 keer zo klein worden.

b. Indien d acht keer zo groot wordt, wordt het denkbeeldige boloppervlak 82 64 keer zo groot, en dus L 64 keer zo klein.

c. 6 keer zo ver. Dus op d 2, 45 meter.

22. L_oud  c 1₂ d               nieuw 1 2 21 2 12 12 12 12 12 oud L c c c c L (f d) f d f d f d f

23. Als d 5 keer zo groot wordt, wordt de lichtsterkte 25 keer zo klein. Dus L moet 25 keer zo groot worden: 2500 Watt.

24. a. 1       2 2 3 10 30 94 m2. b.         1 2 A 2 r h r h c.   h c dus A c r  d in meter L in watt/m2 _d2 1 63 1 1,5 28 2,25 2 15,75 4 3 7 9 4 3,94 16 10 0,63 100

(5)

25.

a. T is omgekeerd evenredig met de derdemacht van p: T p 3 c

Als je p 2 keer zo klein maakt, wordt T ₂3 _₈_{keer zo groot. Als je p 5 keer zo groot maakt,} wordt T ₅3 _₁₂₅_{keer zo klein.}

b.

c. T p 3 31,25 2 3 250

26.

a. Als p a dan moet gelden p c a  ofwel p c_a 

Nu is _{57,91 10}88_ 6 1,52 10 6, _{108,21 10}225_ 6 2,08 10 6 en 11,86 365,25_{778,41 10} _ 6 5,57 10 6 b. c. 1,94 10₇₇₄₄ 23 _2,51 10_ 19 24 25 26 7 27 8 28 8 28 9 1,27 10 19 50625 1,18 10 19 471969 4,72 10 19 1,88 10 2,90 10 19 1,16 10 2,36 10 19 9,43 10 9,10 10 19 3,63 10 2,51 10 2,50 10 2,51 10 2,50 10 2,50 10 2,51 10                      

d. De omlooptijd p van de aarde is 365,25 dagen. a_p32 2,51 10 19

3 19 2 24 24 6 3 a 2,51 10 (365,25) 3,35 10 a 3,35 10 149,6 10 km          e. 199 3 (5,91352 10 ) 2 9 2,51 10 p  8,24 10     9 p 8,24 10 90768 dagen 248,51 jaar 27. a. 3 6,75 12

20 0,15 , 30 0,225 , 40 0,3 en dat zou dan constant moeten zijn. b. Als de snelheid verdubbelt (van 20 naar 40) wordt de remweg 4 keer zo groot.

Als de snelheid 3 keer zo groot wordt, wordt de remweg 9 keer zo groot. c. Dit lijkt wel op een kwadratische evenredigheid.

2 2 2 6,75 3 12 20 0,0075 , 30 0,0075 , 40 0,0075 ... d. Ja die is 0,0075: dus _{R 0, 0075 v}_ _ 2 p 1 2 3 4 5 10 20 T 250 31,25 9,26 3,91 2 0,25 0,03 planeet p a (in km) p2 _a3 Mercurius 88 dagen _{57,91 10}_ 6 ₇₇₄₄ _{1,94 10}_ 23 Venus 225 dagen _{108,21 10}_ 6 ₅₀₆₂₅ _{1,27 10}_ 24 Mars 687 dagen _{227,94 10}_ 6 ₄₇₁₉₆₉ _{1,18 10}_ 25 Jupiter 11,86 jaar _{778, 41 10}_ 6 _{1,88 10}_ 7 _{4,72 10}_ 26 Saturnus 29,45 jaar _{1, 426 10}_ 9 _{1,16 10}_ 8 _{2,90 10}_ 27 Uranus 84,07 jaar _{2,87 10}_ 9 _{9, 43 10}_ 8 _{2,36 10}_ 28 Neptunes 164,89 jaar _{4,498 10}_ 9 _{3,63 10}_ 9 _{9,10 10}_ 28

(6)

28.

a. E m (rechtevenredig) en _{E v}_ 2_{(kwadratisch evenredig)} b. E ₂1mv2 2 2 mv 2E 2E v m 2E v m    dus v E en v 1 m 

c. Als de massa wordt verdubbelt, wordt de kinetische energie ook twee keer zo groot en als de snelheid 3 keer zo groot wordt, wordt de kinetische energie ₃2 _₉_{keer zo groot. In totaal} wordt de kinetische energie dus 18 keer zo groot.

29.

a. De lengte van de tijger is 180₄₅ 4_{keer zo groot; het gewicht wordt dan}₄3 _₆₄_{keer zo groot.} De tijger weegt 256 kilogram.

b. De oppervlakte van de tijger (dwarsdoorsnede van de poot) is 16 keer zo groot, terwijl het gewicht 64 keer zo groot wordt. Dus dikkere poten.

c. De huidoppervlak van een tijger is 16 keer zo groot als de huidoppervlak van een poes. De tijger zal meer last van de kou hebben.

30.

a. V is rechtevenredig met d, maar omgekeerd evenredig met h. b. V 1_h ; V 170 0,50_h 85 1_h c. 170 d 51  51 170 d 0,30_{meter; 30 cm dik.} d. V d ; V 170 d 85 d 4    

e. Als een rechte lijn door de oorsprong. f. V c  1_h 2 2 1 h c V 1 h c V    

g. Als h 4 keer zo hoog wordt, wordt de windsnelheid 4 2 keer zo klein. Als d 2 keer zo dik wordt, wordt v ook 2 keer zo groot. Dus de wind hoeft niet te veranderen.

h. 1700,25_h 50 2 170 0,25 h 0,85 50 h 0,85 0,7225 meter     

(7)

T_1. A en B zijn recht evenredig: een rechte lijn door de oorsprong 3 A en B zijn omgekeerd evenredig: B en _{A zijn recht evenredig}1 2 A en B zijn niet evenredig 1

T_2. De hoogte moet 48032 15 keer zo groot worden. Het gewicht wordt dan 153 3375 keer zo groot. Het bouwwerk wordt 60.750 kilo.

T_3. a. Een wortelevenredigheid: 500 5 600 6 500 c 600 c     b. A 5₆ 360.000 500 m 2 c. A 56 8 2,36 m 2

d. Als G wordt verdubbeld, moet het vleugeloppervlak 2 keer zo groot worden.

e. Als het vleugeloppervlak 4 keer zo klein gemaakt wordt, wordt het draagvermogen ₄2 _₁₆_keer zo klein; dus 30.000 kg.

T_4.

a. Als L en Z omgekeerd evenredig zijn dan geldt: Z L c  ; ofwel het totale zuurstofverbruik bij het afleggen van 1 km is constant.

b. hazelmuis: 2,321 0,032 0, 0074  _hond:0,271 20 5, 42  _leeuw:0,126 220 27,72 

giraf: 0,084 680 57,12  _{en neushoorn:}0,055 2400 132  _{. De laatste dus het meest.}

c. _{0,032 2,321}_ 3 __{0, 40} _{20 0,271}_ 3 __{0, 40} _{220 0,126}_ 3 __{0, 44} _{680 0,084}_ 3 __{0, 40}_en

3

2400 0, 055 0, 40 Dus L_Z13

d. Het gewicht van een neushoorn is dan ₂3 _₈_{keer zo groot.}

e. De kaapse buffel verbruikt 3₃_{keer zo weinig zuurstof als de antiloop.}

T_5.

a.

b. Voor alle waarden geldt: G h 30 

De grafiek wordt een rechte lijn door de oorsprong met richtingsgetal 30.

c. Als de hoogte 4 keer zo groot wordt, wordt G 4 keer zo klein. De zijde wordt dan 4 2 keer zo klein.

d. _{G z}_ 2 2 2 2 z h 30 30 1 h 30 z z      G h 10 3 8 3,75 6 5 4 7,5 2 15

(8)

T_6. a. Q 1 P 1₂ _{: rechtevenredig} 4 9 1 P 4 R   _{, dus} 4 9 P 4 R_{: rechtevenredig} 2 3 Q 6 R  _{: rechtevenredig. Dat}P 1₂ S

 _{kan ik niet verzinnen.}

b. Omdat P Q ₍P c Q ₁ _{) en}_{P R} (P c R 2 ) geldt dat P2 c Q c R c c Q R c QR1  2  1 2   3 dus is P2 QR

c. Uit opdracht b volgt dat P c QR3  c3  Q R . En omdat P_S12 (P c 4_S12 ) is ook 2 3 4 2 3 4 2 Q R 1 P c Q R c c c S S          , dus 2 2 QR P S  d. 2 2 QR P 4 en 0,0036 S   . De evenredigheidsconstante is 0,00364 1102

e. Als Q en R 2 keer zo groot worden, wordt QR 2 2 2  keer zo groot. S wordt ook 2 keer zo groot. Dan wordt _S2_{4 keer zo groot en}

2 QR

S 0,5 keer zo groot. Ofwel P

2_{wordt 2 keer zo}