uitwerkingen 4 havo D H5

(1)

Hoofdstuk 5:

Vlakken.

1.

a. voor  2

b. Lijn m gaat door D(0, 0, 6) en alleen de y-coördinaat varieert. Dus lijn m is de lijn door D en G. c. 0 4 0 8 0 2 0 6 1 6 6 3 0 0 x y z              _ _{ } _{ }   _               _                d. L(4, 6, 3) 4 4 1    6 e. 0 4 0 8 0 0 2 0 1 0 1 6 3 0 0 0 x y z                  _ _{ } _{ }   _ _{ }                  _                   

Dat is een lijn door A(8, 0, 0) en alleen de y-coördinaat varieert. Dus de lijn AB. f. 0 4 0 0 4 0 0 6 1 6 0 6 3 0 6 3 x y z                  _ _{ } _{ }   _ _{ }                  _      _             

Dat is een lijn door G evenwijdig aan AD; de lijn door G, L en B. 2. a. Q(x, 6, 6) z-coördinaat: 36 y-coördinaat: 3  2 3 6 2   1 3 1   1 2 3 3 8 4 1 2 x    b. A:   0 P:  2 en  0 Q:  2 en 1 3 1   C: 0 en  2 c. Om in F te komen moet de x-coördinaat gelijk zijn aan 8; dus  0.

De z-coördinaat van F is 6, dus moet 2 zijn. Maar dan is de y-coördinaat 0 2 1 0 3 2     en niet 6. F ligt niet in het vlak ACQP.

d. De snijlijn van de vlakken ABFE en BCGF is BF. Een lijn in vlak ABFE snijdt een lijn in vlak BCGF in een punt op lijn BF (tenzij ze evenwijdig zijn).

e. x-coördinaat moet 8 zijn:  0 en de y-coördinaat moet 6 zijn:  6

f. S(8, 6, 18) 3. a. 0 1 4           b. 4 1 0 PQ      _{ }     uuur en 2 3 4 PR        _    uuur c. 0 4 2 1 1 3 4 0 4 x y z              _ _  _{ }                 _          4. 3 1 1 : 0 4 0 5 6 1 x ABC y z              _ _ _ _                          

(2)

5. 0 1 2 : 2 3 1 6 4 6 x KLM y z              _ _ _ _                 _          6. Voor 1 2

    kom je terecht in punt 1 1

2 2 ( ,1, 1 ) . 3 3 0 2 1 0 1 2 1 2 3        _{ } _{  }         _           en 6 3 0 6 2 0 3 2 5 2 3        _{ } _{  }        _            7.

a. Omdat DF loodrecht staat op EG (diagonalen van een vierkant) en loodrecht staat op AE. b. 6 6 0 DF            uuur 0 0 6 AE            uuur 6 6 0 EG             uuur

c. _{DF AE}uuur uuur_ _{      }_{6 0 6 0 0 6 0} en _{DF EG}uuur uuur_ _{       }_{6 6 6 6 0 0 0}

d. 6 6 6 AG             uuur

en DF AGuuur uuur        6 6 6 6 0 6 0, dus DFuuur uuurAG

8. a. 6 1 1 : 0 0 1 0 1 0 x ACD y z                _ _  _                           b.       1 a 0 b 1 c 0 en       1 a 1 b 0 c 0 a c a b 9. 1 5        2 3 c 2 5 6 2c   1 2c0 1 2 c  10.

a. omdat de normaalvector loodrecht staat op beide richtingsvectoren (inproduct is 0) b. 2a b 2c 0 10 8 2 0 12 9 0 4 3 0 a b c a b a b        c. a3 :b 4 en c       5 3 4 4 1

d. b4 :a 3 en c      5 3 4 4 1. De waarden zijn gelijk maar tegengesteld. e. Als je één 0 kiest, worden de andere ook 0.

f. 3 4 2 V n      _ _     uur en 2 3 1 4 5 1 x y z           _{  } _            _        1 1 1 ACD n            uuuur

(3)

11. 1 0 3 AB            uuur en 1 1 9 AC             uuur

. Een normaalvector is: 3 1 b        _   . 1 3 1 9 1 3 9 12 0 12 0 3 1 12 2 1 b b b b x y z                          _ _             _        12. a. 0 2 3 1 1 3 0       b. 3 0 2           1 2 0   _        of 1 1 1           13. 3 0 3 : 1 4 2 0 3 0 x V y z              _ _  _                           14. a. b. 1 1 1 BD         _   uuur 6 0 1 : 3 1 0 6 1 1 x V y z              _ _  _                           c. 6 0 1 : 6 1 0 6 1 1 x W y z              _ _  _                           d. 0 1 1 CD      _{ }     uuur en 2 1 2 CP      _{ }     uuur Een normaalvector is 1 1 a           1 2 2a 1 1 2 1 2a 1 0 a           15. a. 2 3 2 AB            uuur 4 4 6 BC       _ _ _    uuur 2 1 4 AC       _ _ _    uuur 2 5 3 2 2 2 0        ,         4 5 4 2 6 2 0,         2 5 1 2 4 2 0 b. 5(x2) 2( y 1) 2(z3) 5 x10 2 y 2 2z 6 5x2y2z 6 0 5x2y 2z6 c. A: 5 2 2 1 2 3 10 2 6 6          B: 5 4 2 2 2 5 20 4 10 6         C: 5 0 2 2 2 1 0 4 2 6           16.

a. Omdat alle vlakken evenwijdig aan V staan loodrecht op _nur. b. 5 1 2 2 2 3 5 4 6         5 : 5 2 2 5 T x y z   1 2 1 1 CDP n             uuuur

(4)

17. a. 4 2 1 W n       _ _     uur b. 0 1 2           en 1 0 4           c. 0 0 5           18. a. 4 3 V n b             uur b. 2 5 0 6 3 15 0 3 3 4 0 9 19 0 a b c a b c a b c a c            4 2 7 3 5 7 7 0 1 : 4 3 5 b b b V x y z               19 : 9 7 : 19 7 9 89 a c en b W a y z          19. a. 0 1 2 : 4 2 0 6 0 3 x V y z              _ _  _                 _          b. 2 1 V n c      _{ }     uur 1 3 2 2 1 0 3 4 3 0 1 c c c            : 6 3 4 12 V x y z  c. 6x12 4z12 6 4 3 8 4      4 12 2 (2, 0, 0) x 3 (0, 0, 3) z 3 (4, 8, 3)   d. 20. a. 1 1 0 1 1 5 0 0 2 x y z              _ _  _                           b. 0 0 1 1 3 0 2 2 0 x y z              _{  }  _                           c. 1 2 2 z 1 2 0 1 0 0 0 1 2 0 0 x y z              _ _  _                           d. 2x y 4 0 1 0 4 2 0 0 0 1 x y z              _ _  _                           21.

a. H ligt achter het vlak en F er voor.

(5)

c. 2(3) 4 2  2  6 282 6 12 12 1 2 1 2 12 6 (3 , 1, 1) S    22. 4( 4 ) 3 2(5 2 )   16 4  310 4    6 3 15 3 21 7 ( 11, 21, 19) S        23. a. 2a3b c 0 2a b 0 2 0 4 2 0 2 a b c b c c b       2 2 4 27 b a x y z       b.   ( 1 2 ) 2( 1 3 ) 4(4      ) 1 2   2 616 4 15 8  27 1 2 1 1 2 2 8 12 1 (2, 3 , 5 ) S   24. a. 3(1 3 ) 2 2 2(4 4 ) 12        b. 3( 3 2 ) 2       2( 2 ) 12  3 9 4 8 8 7 12 5 (16, 2, 16) S             9 6 2 4 9 12 kan niet           c. 3(2 2 ) 2    2(3 2 ) 12   6 6 2 6 4 12 12 12         

Dit is waar voor alle waarden van  , dus n ligt in W. d. De normaalvector van W is:

3 2 2   _       

en die staat loodrecht op de richtingsvector van

m: 3 2 2 1 2 2 0       25. a. A(6, 0, 0): 2 6 2 0 3 0 12      D(0, 0, 4): 2 0 2 0 3 4 12      F(6, 6, 4): 2 6 2 6 3 4 12      b. CE: 0 3 6 3 0 2 x y z           _ _ _                    c. 2 3  2 (6 3 ) 3 2    612 6 61812 12 1 3 2 3 18 24 1 (4, 2, 2 ) S   

(6)

d. CG: 0 0 6 0 0 1 x y z           _ _                     2 0 2 6 3 12 3 12 3 24 8                S(0, 6, 8) e. PQ: 6 6 6 3 2 2 x y z           _ _             _        2 (6 6 ) 2 (6 3 ) 3 (2 2 ) 12 12             12 6  6 6  6 12 Dus PQ loopt evenwijdig aan ADF.

26. a. A(-4, -4, 0) B(4, -4, 0) C(4, 4, 0) D(-4, 4, 0) T(0, 0, 8) P(2, -2, 4) Q(3, 3, 2) R(-2, 2, 4) b. 4 1 : 4 1 0 2 x AT y z           _{ } _                     3 1 5 : 3 5 1 2 2 2 x PQR y z              _ _  _               _  _          5 2 0 5 2 0 4 4 0 5 2 6 2 0 3 a b c a b c a b a b b b c b c c b                 1 1 3 : 3 12 PQR n PQR x y z               uuuur 1 2 1 1 2 2 ( 4 ) ( 4 ) 3 2 8 8 12 8 20 2 ( 1 , 1 , 5) S                      c. BD // PR, dus BD // PQR 27. a. De normalen 2 3 1 V n         _    uur en 4 1 3 W n             uur

zijn niet gelijk of veelvouden van elkaar. Dus de vlakken zijn niet evenwijdig.

b. 4x6y2z26 4 3 6 5 5 20 4 x y z y z y z         c. y 0 :z 4 en 2x     3 0 4 2x 4 13 1 2 2 9 4 x x     ( 4 , 0, 4) 21  d. z0 :y 4 en 2x    3 4 0 2x12 13 1 2 2x 1 x     (21, 4, 0)

(7)

e. 1 2 4 1 : 0 1 4 1 x l y z            _ _            _          f. y 1:z 3 en 1 2 3 x   en als y 2 :z 2 en 1 2 2 x  1 2 3 1 : 1 1 3 1 x l y z            _ _            _          28.

a. Elimineer z: neem x 0 neem y 0

6 6 3 21 3 2 3 3 9 8 24 x y z x y z x y            3 2 0 2 3 7 1 y z z         2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 0 7 1 x z z           0 8 : 3 9 1 2 x l y z           _ _             _       

b. Een vector loodrecht op 0 1 1        _   is 1 1 a          

en moet ook loodrecht staan op 1 2 0           . 2 1 0 0 2 a a    

  Een vergelijking van W is: 2x y z   5 Elimineer z: y 12 2 12 5 2 17 (1, 12, 15) (0, 12, 17) x z x z en          0 1 : 12 0 17 2 x m y z          _ _           _          29. a. 2(2) 2(2   ) ( 1  ) 7 4 2 4 2 1 7 2 12                b. 0en 12 : (2, 12, 13) en 6en 0 : (8,12, 1) c. 2 1 : 12 0 13 2 x l y z          _ _           _          30. a. 1 1 1 6 2 4 : 1 ABC x y z  2x6y 3z12 b. 1 1 3 2 : 1 DEF x y  z 2x6y3z6

(8)

31.

a. Punt A ligt ook in beide vlakken. De snijlijn is dus AQ:

4 2 0 0 0 1 x y z            _ _                     b. De vlakken AKL en PQG vallen samen.

c. De lijn BR ligt in het vlak BCGF, dat is dan ook de snijlijn:

4 2 6 0 0 1 x y z            _ _                     32. a. P(2, 4, 0) Q(0, 4, 2) R(0, 2, 4) S(2, 0, 4) T(4, 0, 2) U(4, 2, 0) b. 1 1 1 4 4 4 : 1 ACD x y z x y z  4 c. QR: 0 0 4 2 2 2 x y z           _ _ _                    4 2 0 2 4 2        2 2 2 6 (0, 0, 6) z   

d. met de y-as: (RQ verlengen) met de x-as: (ST verlengen): (6, 0, 0) 2 2 0 1 4 1 2 6 (0, 6, 0) y           e. x y z  6

f. De coëfficiënten van x, y en z zijn gelijk: ze hebben dezelfde normaalvector. 33. a. B(8, 5, 0) 4 5 8 HB        _    uuur en 2 4 8 JK        _    uur

: ze zijn niet evenwijdig. b. Beide lijnen liggen in het vlak BCDE.

c. 8 8 : 0 5 5 8 x EC y z            _ _             _        en 4 4 : 0 5 8 8 x HB y z           _ _             _        8 8   4 4 Uit vergelijking 2 volgt:   5 5 5 8 8 8         128 8 4 4 4        1 3 1 2 1 3 3 3 (5 , 1 , 5 ) S  

d. Dat is vlak BCDE:

0 1 0 0 0 1 8 0 1 x y z              _ _  _                  _         e. nur uuurOD c: 0 : 8 5 0 nur uuurOB a b 5 8 0 n             ur

(9)

f. De snijlijn is de lijn BD: 0 8 0 5 8 8 x y z           _ _             _        34. a. 0 1 : 0 0 5 0 x ED y z           _ _                     0 1 : 5 0 5 0 x FG y z           _ _                     2 0 5 5 2 10 5         1 2 2 5 5 5 2 5 2         Punt E 1 2 (2 , 5, 5) b.

c. 2y z 6 is de vergelijking van een vlak. d. (x, 0, 6) en (x, 3, 0) voor iedere waarde van x. e. Elimineer z door de vergelijkingen bij elkaar op te

tellen: 2x3y 11

De snijlijn gaat door de punten: (1, 3, 0) en (4, 1, 4):

1 3 3 2 0 4 x y z           _ _ _                    35. a. 1 1 2 : 6 2 2 0 2 1 x ABC y z               _ _  _               _           

1  2  7 uit de derde vergelijking volgt:  210 6 2 2 2 2 10           13 122(2 10) 3 19 7               4 en 2     

Invullen in de tweede vergelijking: klopt, dus D ligt in het vlak ABC. b. a2b2c 0 2 2 0 3 3 0 a b c a c a c      

 Een normaal van V is: 1 2 1 1           ofwel 2 1 2           Een vergelijking van V wordt dan: 2x y 2z8

c. 4 8 8 AB        _    uuur 4 4 2 BC             uuur 4 8 8 CD       _ _     uuur en 4 4 2 AD             uuur

4 4 8 4       8 2 0 dus ABuuurBCuuur

4 4 4 8 2 8 0

         dus BCuuur uuurCD 4 hoeken van 90o_{dus een rechthoek} 4 4 8 4 8 2 0

         dus CDuuurADuuur

2 2 2 2 2 2

4 8 ( 8) ( 4) 4 2 12 6 72

(10)

36. In vlak AOF: In vlak BOF: AC: 1 2 10 z  x en DF: z 2x16 BC: 2 3 10 z  y en EF: 1 3 1 16 z  y 1 2 1 2 1 10 2 16 1 6 4 (4, 0, 8) x x x x S        2 1 3 3 2 3 2 10 1 16 6 9 (0, 9, 4) y y y y S        1 2 4 4 : 0 9 8 4 x S S y z           _ _ _                    37. a. 1 1 1 10x8y4z1 4x5y10z40 b. 10 5 5 0 4 0 0 0 2 x y z              _ _  _                           c. 4x5y 10z0 38. a. W x y1:  2z12

b. Nee, punt Q ligt in vlak V.

c. Richtingsvectoren van W3 zijn:

0 3 3 PQ        _    uuur en 1 1 2 V n      _{ }     uur 3 1 1 1 1 2 1 0 1 : 6 a a a W x y z                d. De x elimineren: x y   2 3 3 3 9 3 z z   3 (0, 3, 3) ( 3, 0, 3) x y en     0 1 3 1 3 0 x y z           _ _                     e. PQ n W₄ uuur uuur 4: 6 3 3 6 6 W y z           

(11)

T-1. a. HJK: 3 0 0 0 1 0 0 0 1 x y z              _ _  _                           b. ACI: 6 1 1 0 1 0 0 0 2 x y z                _ _  _                           c. 3 1 1 6 1 0 0 0 2 x y z                _ _  _                           T-2. a.       1 4 2 1 2 1 0, maar 2 4 1 1       1 1 8 0 b.  a 2b2c0 2a4b4c0 2 0 5 3 0 3, 5 4 a b c b c b c en a          3 4 1 3 2 5 x y z           _ _ _                    c. 3 5 4 4 2 3 1 2 5 x y z              _ _  _ _             _             T-3. a. 3a b c  0 3 0 4 4 0 a b c a c a c     

  Een normaal van V is: 1 2 1        _   : 2 6 V x y z  b. 0 1 0 1 0 4 2 0 3 x y z             _{  }  _             _              T-4. a. 0 1 0 1 8 1 x y z           _ _              _       b.       8   8 12 4 (4, 4, 4) S  c. 1 1 0 AC             uuur staat loodrecht op 1 1 1 V n            uur

want het inproduct is 0, dus AC // PQR. d. 5     4 3  12 klopt, dus l ligt in PQR.

(12)

T-5. a. De normaal van U is 1 8 4   _       

Deze staat niet loodrecht op de richtingsvectoren van vlak V, dus U en V snijden elkaar. De normaal van U staat wel loodrecht op beide richtingsvectoren van W. Het punt (-8, 3, 1) ligt niet in U, dus U en W zijn evenwijdige vlakken.

b. (10) 8( 12  ) 4(7   ) 74 10 96 8 28 4 4 12 5 134 74 12 5 60                   5, 0 : (10, 7, 2)      en  0,  10 : (0, 12, 3)  10 2 7 1 2 1 x y z          _{ } _                     T-6. a. 0 3 6 : 0 0 6 4 1 1 x KLM y z              _ _  _                _  _         6 6 1    3 6 02      4 2 1 5 z    

klopt niet: G ligt niet in vlak KLM. b. BD en MG zijn kruisend. In vlak ABGD ligt BD in z’n geheel en MG alleen met G.

c. 0 1 : 6 1 0 1 x CE y z           _ _  _                   d. 1 2 (3, 3, 3 ) P

Voor de x- en z-coördinaat zou  3 moeten zijn, maar dat klopt niet met y. T-7. a. 6 6 : 0 6 0 5 x AK y z            _ _                     en 0 1 0 : 0 0 8 5 0 5 x DEM y z              _ _  _                 _          Een vergelijking van DEM is: 5y8z40

4 7 3 6 4 7 7 7 5 6 8 5 70 40 (2 , 3 , 2 ) S         b. 0 6 : 6 6 5 1 x KL y z           _ _              _       6 0 6 5 1 8 0 KL DEM

(13)

c. 5y8z92 d. 5y8z70 e. vlak OCGD

(0, 4, 12) ligt in dit vlak: de x-coördinaat is 0. T-8. 2( 3 5    ) (3 2    ) 3(3 3 ) 24    6 10 2 3 2 9 9 24 12 12 24 2                      

De snijlijn l van V en U gaat door: (7, -1, 3) en (-1, 1, 9).

7 4 : 1 1 3 3 x l y z           _{  } _            _       

l snijden met vlak W:

(7 4 ) 3( 1 ) 4(3 3 ) 21 7 4 3 3 12 12 21 19 19 1                            S(3, 0, 6)