H1: Rijen en webgrafieken

Hoofdstuk 1:

Rijen en webgrafieken.

V_1. a. Marcel: un   7 2 n b. Marijke: un  3 2,50n c. 7 2 n 3 2,50n 0,50 4 8 n n   

Als ze beiden 8 ronden lopen krijgen ze ieder € 23.

V_2. Er komt elk jaar 4% rente bij. Elk jaar wordt het bedrag vermenigvuldigd met 1,04

1 1,04 n n u _  u met u0 500. V_3. a. s8     2 5 8 11 14 17 20 23 100    b. s8  u1 u2  u3 u4  u5 u6 u7u8  ( 3) ( 6) ( 9) ( 12) ( 15) ( 18) ( 21) 8 84 160 a a a a a a a a a                    8 76 9,5 a a   V_4. a. u6  18 r b. u4  183 6 c. 1 2 9 3 n n u _{ }  2 7 3 8 4 9 18 18 18 1458 u r u r u r        2 3 6 3 3 2 1 3 2 1 3 9 2 u u u      1 4 4 ₈₁ 81 3 r r    V_5. a. 2, 3, 4, 5

b. Het verschil tussen twee opeenvolgende termen is steeds één groter. 5 6 6 15 6 21 v u u     6 7 7 21 7 28 v u u     c. v_n         2 1 (n 1) 2 n 1 1 n

V_6. a. 0,3; 0,3; 0,3; 0,3 u10 0,3 b. 96; 153,6; 245,76; 393,22 u10 u11u10 6597 c. 1,386; 0,811; 0,575; 0,446 121 0 11 10 ln121 ln100 ln100 ln1, 21 0,191 u u u         d. -3, -3, -3, -3 u10  3 e. -400, -200; -100; -50 u10  0,78 f. -0,33; -0,08; -0,03; -0,02 1 10 660 0, 0015 u      V_7. a. un  2 3(n  1) 2 3n   3 1 3n b. 1 1 20 2 20 (2 ( 1 3 20)) 2 20 (2 59) 610 s             V_8. a. 10 1 1 1 2 2 2 1 10 (50 55) 527 k k u      



10 12 11 1 0 2 1 ( ) 50 99,95 1 k k t      



b.    t1 t2 t1 12,5 50  12,5 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6, 25 12,5 6, 25 3,125 6, 25 3,125 1,5625 3,125 1,5625 0,78125 1,5625 0,78125 t t t t t t t t t t t t                             V_9. a. b. tn  sn sn1(n2 n) ((n1)2 (n 1))n2 n (n22n   1 n 1) _n2_{ n n}2_{2n   1 n 1 2n2} V_10. a. Voor t1 is s1t1. 1 1 1 1 2 4 2 s t t t      2 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 s t t t t t           3 3 1 2 3 3 3 2 3 2 4 2 1 s t t t t t t            t2 1 t3 12 1 4 4 1 2 3 4 2 4 1 4 2 1 4 4 2 3 2 4 2 s t t t t t t t t              b. 2 3 4 12 t t t t t t  1 1 2 2 ( )n n t    n 1 2 3 4 5 sn 0 2 6 12 20 tn 0 2 4 6 8

1. 2. 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 n

u 2n 1





0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 2 n

u (n 1)

 

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 1 2 3 4 5 6 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 1 2 3 4 5 6 1 n ₂

u sin(



 

n)

n n

u

 

( 1)

-4 -2 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 n 1 n ₂

u ( 1) n

   

n

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 2 n n 4 v n 2    0 0,05 0,1 0,15 0,2 0 1 2 3 4 5 6 n logn w n  -4 -3 -2 -1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 3 n

x 3sin(2n 1)





3,95 4 4,05 4,1 4,15 4,2 0 1 2 3 4 5 6 n

y



15



n

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 n 6n 18 z n 3    2

₂

n n

u



n



3

n

u



n

 

n

De termen van de rij un zijn afwisselend positief en negatief; de termen van de rij vn worden steeds groter; van de termen van wn en xn is niets opvallends op te merken; de termen van de rij yn worden steeds groter en de termen van de rij zn zijn constant.

3. a. 1 4 4 4( 5) 4( 6) (4 20) (4 24) 6 5 ( 5)( 6) ( 5)( 6) n n n n n n n a a a n n n n n n                      4 20 4 24 4 0 ( 5)( 6) ( 5)( 6) n n n n n n    _  _

    voor elke waarde van n.

1 :

n n n

a _ a a is monotoon dalend.

b. Nee, dat hoeft niet. Neem bijvoorbeeld de rijen: ( 1)n n p   en ( 1)n 1 n q    Dan is _{( 1)}n _{( 1)}n 1 ₀ n s _{   }  _{ en ( 1) ( 1)}n n 1 ₁ n

t _{   }  _{  . Beide rijen zijn niet alternerend.}

4. a. De rij ( 1) 1 n n p n  

 is begrensd door -1 en 1 omdat ( 1) 1 n

  voor de even waarden van n en ( 1)_ n _{ }1

voor de oneven waarden van n. De noemer wordt steeds groter, de breuk steeds kleiner. Dus 1 ( 1) 1 1 n n      . b. 1 3 3 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 ( )3 ( )3 27( 1) 27 27( 3 3 1) 27 n n n n n w w w  n n n n n n               V 1 2 27(3n 3n 1) 0

    , dus wn is monotoon stijgend. c. De rijen kn, qn en tn zijn ook begrensd.

d. De rijen kn, ln, mn (vanaf n15), un (vanaf n2) en wn zijn monotoon stijgend. De rijen mn (tot n15),qn (vanaf n2) zijn monotoon dalend.

De rijen pn en tn (vanaf n2) zijn alternerend.

5. a./c. b. 1 1 1 2 0 2 2 2 0 ( 1) ( ) ( 1) (1 (2 1)) ( 1) (2 2) 2 1 n n k n k s u n u u n n n n n n  



                   d. De rijen zijn beide monotoon stijgend.

6. a. b. 1 5 5n n _{ en} 1 1 1

5n 5n voor alle waarden van n, dus un is monotoon dalend.

2 5 2, 24

u   en als n , dan gaat 1 ₀

c. _{ln ln} 1n 1 _ln ln n n n w n n n     . d. _{f x}'( ) x 1x ₂lnx 1 ln₂ x x x      '( ) 0 ln 1 2,7 f x x x e    

Voor x e is de afgeleide negatief en de functie dus dalend. De functie ylnx is een stijgende functie, dus voor n3 is de rij wn dalend.

Als n , gaat lnn 0

n  en wn 1.

e. un en wn gaan beide naar 1 als n heel erg groot wordt.

7.

a. Als de rij stijgend is, dan is Vun un1un 0.

De verschilrij kan stijgend, dalend en constant zijn. In het laatste geval is de verschilrij begrensd.

b. Vsn sn1 sn un10. De rij sn monotoon stijgend. c. Bijvoorbeeld: 1 1

2 2

sin( ) n

a   n n. Je moet er maar opkomen!

8. a. 9 14 10 110 15 115 a  en a  1 1 10 1024 15 32768 b   en b  b. ₁ n 1₁ n 1 ₂ 1 n n n n n a _{ }  _{    .} 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) 2 2 n n n n n n b            . c. d. ₂ 1 n n a   : 1 ₀

n  voor alle waarden van n, dus an 2. e. Als n  dan 1 2 (_ )n _0 . 9. Als n  dan 3 2 2 4 4 0,5 0,5 n n n n  _{ }  Als n  dan 3 2 2 2 4 0,5n 0,5n 0,5n n n n n         0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 1 n n a = 2--1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 0 1 2 3 4 5 6 n 1 n 2 b = -(- )

10.

a.

b. De rijen pn, tn en qn zijn begrensd. c. tn en un zijn monotoon stijgend.

d. tn convergeert naar 5, qn convergeert naar 0.

11.

a. De uitspraak A is niet juist. Een tegenvoorbeeld is de qn uit opdracht 10.

b. De uitspraak B is natuurlijk juist. Je mag de uitspraak niet omdraaien! c. Een tegenvoorbeeld is de rij: 1, 2, 3, 4, ...

d. Een tegenvoorbeeld is de rij: 1, -1, 1, -1, ...

12.

a. De rij un convergeert naar 1 en de rij vn convergeert naar 0. b. n5 51n

n

u   : als n heel groot wordt, wordt 1

n heel erg klein en nadert de rij un de waarde 0

5 1

Voor grote waarden van n, wordt ln n ook heel groot. De rij wn convergeert dan naar 0.

13. a. 1 1 2 2 ( )n ( 1) ( )n n n u      De factor ( 1)_ n

zorgt voor het alterneren van de termen. 12 1 2 12 2 12 ( ) 10 2 10 log10 39,86 n n n      Vanaf n40 geldt ₁₀ 12 ₁₀ 12 n u      b. wn convergeert naar 2. c. De term 6 0

2n3 voor alle waarden van n. Alle termen van de rij wn zijn kleiner dan 4 2 10  4 4 4 6 10 6 2 2 10 2 3 6 10 2 3 2 3 60000 2 59997 29998,5 n n n n n               Vanaf n29999geldt: 2 10 4 wn 2 10 4       -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 n n p = (-1) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 1 1 n n 2 t = {5n + sinπ(2n - ) } -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 4-n n q =2 cos(πn) 0 0,25 0,5 0,75 1 0 1 2 3 4 5 6 n u =log(n)

14.

a. P0   3 6 18 en P1    3 4 ( 6) 2413

b. Ko bestaat uit 3 lijnstukjes; K1 uit 3 4 12  lijnstukjes; K2 uit 12 4 3 4 4 3 4      2 48 lijnstukjes; …; K5 bestaat uit 3 4 5 3072 lijnstukjes.

c. De lengte van een lijnstuk van Ko is 6; die van K1 is 6 13 2; die van K2 is 2

1 1 1 1

3 3 3 3

2     6 6 ( ) ; … Kn bestaat uit 3 4 n lijnstukjes die elk 6 ( )13 n  lang zijn. Dus 1 1 1 4 3 3 3 3 3 4 6 ( )n n 3 4 6 ( )n n 18 ( )n n P           

d. De groeifactor is groter dan 1, dus Pn wordt bij toenemende n steeds groter.

e. 4 3 18 ( )_ n _100000 Voer in: 4 1 18 ( )3 x y   en y2 100000 intersect: x29,97 Dus als n30 is de omtrek groter dan 100000.

f. De oppervlakte van een driehoek is: 1

2basis hoogte . In een gelijkzijdige driehoek is de lengte van de hoogtelijn 1

2 3 basis . Van Ko is de oppervlakte 1 1

2 6 2 3 6 9 3  .

Bij K1 komt daar nog eens drie gelijkzijdige driehoekjes met zijde 2 bij. Van K1 is de oppervlakte 1 1 2 2 9 3 3   2 3 2 12 3  . g. Als n , dan 4 9 ( )n _0 , dus 3 3 4 3 5 5 9 5 (1 _{ }( ) ) 9 3n _{  }1 9 3 14, 4_{ } 3 . Conclusie: de oppervlakte is eindig.

15.

a.

b.  1 sin( ) 1n  voor alle waarden van n. Dus 1 sin( )n 1

n n n

 _{ }

c.

d. Die convergeert ook met limiet 0.

16. a. n5 5 5 5 0 1 1 n n n e e n n       b. vn 0 en 1 n w n 

c. Volgens de insluitstelling volgt nu dat un ook convergeert met limiet 0.

n 1 2 3 4 5 u(n) 0,84 0,45 0,05 -0,19 -0,19 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 -1 -2 g h

17. a.  1 cos( ) 1n  2 2 0 cos ( ) 1 10cos ( ) 10 0 n n n n     Neem vn 0 en 10 n w n

 , beide met limiet 0. Voor de rij un geldt vn un wn en daarmee volgt m.b.v. de insluitstelling dat un ook een limiet 0 heeft.

b.  1 sin( ) 1n  50 50sin( ) 50 5 5 5 n n n n       . Neem 50 5 n v n    en 50 5 n w n 

 , beide met limiet 0. Voor de rij n

u geldt vn un wn en daarmee volgt m.b.v. de insluitstelling dat un ook een limiet 0 heeft. c. ₂10 5 (sin₂ cos ) 10₂ 4 4 4 n n n n n n n n  _  _    d. 2 2 2 20( 2) 5( 2)(sin 3cos ) 20( 2) 4 4 4 n n n n n n n n   _   _     e. 0 1₂ 2 1 n n n     f. 2 2 2 sin( ) 1 1 1 n n n n n n n  _  _    18. a. 2 2 1 1 1 n n n n n n n  _{   } b. 2 ₁ 100 000 000 n n  _ 2 2 1 100 000 000 100 000 000 1 0 100 000 000 n n n n n      

c. lim_nun bestaat niet. d. lim_n 1 0 n u   19. a. lim_nun 0 ( 2 1) ( 1 ) 2 0 n w  n  n  n  n  n  n 

V . Deze rij is dus monotoon

stijgend. Met andere woorden: lim_nwn bestaat niet.

b. 0 1 1

1 2

n n n

 

  . Met behulp van de insluitstelling volgt nu dat 1 lim 0 n n w  

20. ( )( ) 1 A B A B A B A B A B A B A B A B A B              21. a. 2 5 2 3 (2 5) (2 3) 8 2 5 2 3 2 5 2 3 n n n n n n n n               8 lim( 2 5 2 3) lim 0 2 5 2 3 n n  n n _{n  n} 

b. Voor grote waarden van n is deze wortelvorm te schrijven als:

2n 5 2n 3 2n 2n 2 2n en dat wordt heel groot als n heel groot wordt. De limiet bestaat niet.

22. a. 12 1 2 u  1 1 1 1 3 2 2 2 4 4 1 2 (2 ) 2 2 u      1 1 1 1 1 1 7 2 4 8 8 2 4 2 1 3 (2 ) 2 2 u        rangnummerformule: 2 1 1 2 1 ( )2 2 2 n n n n u     recursievergelijking: un1  2un met u1  2 b. lim( )12 0 n n  , dus 1 2 1 ( ) lim n lim 2 n 2 n u n      23.

a. u0 8: monotoon stijgende rij met limiet 20. 0 30

u  : monotoon dalende rij met limiet 20. b. c. d. un110 0,5 un 10 0,5 y  x 24. a. y0, 7x12: blauwe lijn b. u10,7 u0 12 15,5 c. A(5;15,5) en A'(15,5;15,5) d. u2 0,7 15,5 12 22,85   B(15,5; 22,85) '(22,85; 22,85)B 3 0, 7 22,85 12 28 u     C(22,85; 28) en C'(28, 28) e. De groene lijn is y x   un 8 14 17 18,5 19,25 un+1 14 17 18,5 19,25 19,625 un 30 25 22,5 21,25 un+1 25 22,5 21,25 20,625 u(n) u(n+1) 10 20 30 10 20 30

25. 26.

a.

b. De termen van de rij komen steeds dichter bij het snijpunt te liggen.

27.

a. De termen schommelen rond het snijpunt van de grafieken.

b. Voor elke startwaarde komen de termen steeds dichter bij het snijpunt te liggen. c. lim_nun 2 28. a. 6 1 x x   2 2 6 1 6 1 0 3 10 3 10 x x x x x x          

b. Als je u1  3 10 kiest krijg je een constante rij.

29. …

30.

a. De webgrafiek is een trapgrafiek. b. 0,5x 1 x 0,5 1 2 (2, 2) x x S   c. De limiet is 2.

d. ik snap niet wat ze hier willen. Een berekening met een grafiek? Dat gaat toch niet samen? Wellicht wordt bedoeld dat de lijnen elkaar snijden.

e. Deze rij is niet convergent.

f. Voor elke a waarvoor 0 a 1 is de rij convergent. Is a1 dan divergeert de rij.

u(n) u(n+1) 4 8 12 16 20 24 4 8 12 16 20 -4 u₁ u₂ u₃ u₄ u₅ u(n) u(n+1) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1 2 3 u₁ u₂ u₃ u(n) u(n+1) 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 u(n) u(n+1) 0,5 1 1,5 2 2,5 0,5 1 1,5 2 2,5

31. a. u2  f u( )1  f(2) 2 a 2 3 ( )2 (2 ) 2 2 u  f u  f a  a a a 2 2 3 4 ( )3 (2 ) 2 2 u  f u  f a  a a  a en 4 5 2 u  a b. ₂ n 1 n u  a  c. lim 2_n an1 0 voor 0 a 1

d. Het gaat in dit geval om een meetkundige rij met r a .

32.

a. Als een rij convergeert naar een limietwaarde dan geldt: un1un

( 1) 1 1 n n n n n n a u b u a u u u a b b b u a a                b. un1       a un b a un L (1 a)      a un a L L a u( nL)L c. Voor   1 a 1 is lim_nan 0 en bestaat de limiet L.

33.

a. Voor un1   5 3 un is a 3. Deze rij is divergent.

b. 1

2

a , met behulp van de contractiestelling volgt dat deze rij convergeert naar 16. 1 2 1 2 8 8 16 x x x x    

c. 2un15un 6 Deze rij is ook divergent. 1 1 1 2 2 5 6 2 3 n n n n u u u u       34.

a. un1un1 is een rekenkundige rij {1, 2, 3, 4, …}, die divergeert.

b. De termen zijn afwisselend 0 en 1. De grafiek van de recursievergelijking staat loodrecht op de lijn y x .

35. a. 1 2 8 2 x x 2 1 8 2 2 0 8 16 0 ABC formule x x x x        u(n) u(n+1) 1 2 -1 1 2

b. 1 4 '( ) f x   x '( 4 4 2) 0, 41 f    

c. a 1, dus de rij convergeert.

36.

a. VP BQn n is de helft van een gelijkzijdige driehoek: BQn  12 BPn 12xn n n

Q BR

V is de helft van een gelijkzijdige driehoek: 1 1

2 4 n n n BR  BQ  x 1 4 10 n n

AR   x en VR S An n is de helft van een gelijkzijdige driehoek:

1 1 2 5 8 n n n AS  AR   x b. 1 1 1 1 2 22 16 n n n AP_  AS   x 1 1 1 1 1 1 10 1 10 (22 16 ) 72 16 n n n n n x _ BP_  AP_    x   x c. 1 1 2 16 15 1 16 2 7 7 8 n n n n x x x x     lim _n 8 nx  37. a. 1 2 6(x  5) x 2 5 1 6 6 2 0 6 5 ( 1)( 5) 0 1 5 (1,1) (5, 5) x x x x x x x x en            

b. Als u14 convergeert de rij naar 1.

c. Als u15 heb je de constante rij 5, 5, 5, 5, … en die convergeert naar 5. Als u16 is de rij divergent.

d. Als u15 zal de rij divergeren. Voor alle andere waarden van u1 is de rij convergent.

38. f x'( ) 0, 2 x

'(2) 0, 4

f  en f '(8) 1,6

Met de contractiestelling volgt dan dat 2 wel een limiet is en 8 niet.

39.

a. De rij convergeert naar het rechter dekpunt.

b. Voor 1

1 2

u    convergeert de rij naar –1,8955. c. Alleen voor u1 , u10 en u1  . d. Voor 1 1 2 1 u      en voor 0 u  1 is de limiet positief. u(n) u(n+1) 0,5  1,5 -0,5 - -1,5 1 2 -1 -2

40.

a. De helling van de raaklijn is f x'( )n '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n y f x x b f x f x x b b f x f x x y f x x f x f x x f x x x f x                   b. f x'( ) (n  xn1xn) f x( ) 0n  1 1 1 '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( ) n n n n n n n n n n n n f x x x f x f x x x f x f x x x f x             c. 2 2 1 1 1 2 2 ( ) 2 2 1 1 '( ) 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n f x x x x x x x x x x f x x x x x x               d. 1 1 1 2 2 2 2 12 x     en 1 2 3 5 1 1 1 2 3 2 12 1 4 3 112 1, 4166667 x       

e. 2 1, 41421356 er is een verschil in de derde decimaal.

41. a. lim_nun 1 b. 1 1 1 1 1 2 2 1 sin 2 sin OPS P n n Opp_V  OS y      c. OppVOQS  12 OS y Q  12 1 tann1  12 tann1

d. 1 2 1 sec 2 ( 1 ) 2 2 n cirkel tor n n Opp         e. In de figuur is te zien dat geldt:

sec 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 sin tan sin tan

OPS cirkel tor OQS

n n n

n n n

Opp Opp Opp

   

V V

f. Alle termen delen door _sin1 n. 1 1 sin 1 cos 1 1 1 tan 1

sin sin cos

n n n n n n   g. lim cos_n 1n 1

h. Met de insluitstelling volgt nu dat lim 1 ₁ 1 sin n n n    . En daaruit volgt 1 lim sin_n 1 nn  . 42. a. b. '( ) 1 1 2 1 f x x      1 1 x y 0,5 1 f'(x) 1

c. 1 x x 2 2 1 1 2 2 1 1 0 5 x x x x x        

d. De rij convergeert voor alle waarden c uit het interval 0,1 .

e. _{g x( ) 1 1x} , maar ik kan me voorstellen dat je dit niet bedenkt!

f. Voor c waarden die kleiner zijn dan het snijpunt van _{y 1 1x} met y x .

2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 1 2 2 ( 2 1) ( 1)( 1) 0 0 1 1 0 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                    43. a. 1 1 2 ( ) n n n I _   I b 1 1 3 n n b I    b. 1 12 12 12 3 3 ( ) ( ) 2 n n n n n n n I I b I I I I          met I13. c. Ja, de rij convergeert.

d. 1 3 2x 2 x x 3 2 2 2 2 2 6 3 3 1,732051 x x x x x      44. a. 1 2 2 2 2 11 1 4 (2 3) ( )5 4 5 ( )5 125 15 u  f u  f      b. 1 2 1 (2 0) (3) 4 3 3 3 u  f u  f     en 3 1 1 2 (2 1) (2 3) 2 3 4 u  f u  f   c/d/e. f. 1 1 2 2 2 4 ( x) ( x) x 2 2 1 4 2 3 1 1 4 4 5 3 5 2 1 2 1 ( 1 ) 0 0 1 x x x x x x x x x          x y 1 2 3 4 5 0 1 2 3 ½u₁ u₂ u₁ ½u₀ u₀

T_1. a. 3( 1) 1 1 1 ln(3( 1)) ln(3 ) ln( 3 ) ln( ) ln(1 ) 0 n n n n n n n n u u u n n              V b. 1 12 12 12 12( 2) 24 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) n n n n w w n n n n n n n n n n n n n                  

c. Vwn 0, dus wn1wn en daaruit volgt dat wn dalend is. lim n 0

nw  en w1 6. De rij is begrensd.

T_2.

a. De noemer wordt dan heel erg groot; de waarden gaan naar 0.

b. 12 0,005 ( 1) n n  2 2 0,005( ) 12 2400 0 49,5 48,5 n n n n n n         

Vanaf n49 zijn de termen kleiner dan 0,005.

T_3. a. lim(2_n en) 2 b. _2en _{ 2 10}6 6 6 10 ln10 13,8 n e n        Vanaf rangnummer 14. c. lim(2 1n) 2 0 1 n e e      

d. Deze rij is divergent.

T_4. a.  1 sinn1 2 2 2 0 sin 1 sin 1 0 sin 1 1 1 1 n n n n n n n        

Uit de insluitstelling volgt nu dat

2 sin lim(1 ) 1 n n n    b. Voor n2 geldt: 3n _{ }3 3n _4n ln 3 ln(3 3 ) ln 4 ln 3 ln(3 3 ) ln 4 n n n n n n         c. ln 3 ln(3 3 )₂ ln 4 n n n n   

T_5. a. 1,5 5 2x x   2 2 3 5 2 2 3 5 0 1 2,5 ABC formule x x x x x x           (-1, -1) en (2,5; 2,5) b. Voor u1    , 1 1, 0  0, De limiet is 2,5. c. Voor u1 1 is de rij de constante rij –1 en heeft als limiet –1.

T_6. a./b. 2 0,1x 3x 7,5 x     2 0,1 2 7,5 0 5 15 ABC formule x x x x        

De rij convergeert naar 15.

c. Als de tweede term 5 wordt , krijg je verder een constante rij:

2 0,1x 3x 7,5 5     2 0,1 3 12,5 0 5 25 ABC formule x x x x        

De rij is divergent voor u15 en u125 De rij convergeert naar 5 voor u1 5 en u1 25 Voor 5 u1 25 is de rij convergent met limiet 15.

T_7.

a. Voer in: u n( ) 1,5 ln( (  u n1)) en u11

Laat de GRM een webgrafiek tekenen. Limiet: x2,3577 b. Voer in: y11,5 ln x en y2 x intersect: x0,302  x2,358

1 '( ) '(0,302) 3,31 1 f x x f   

dus het linker dekpunt kan geen limiet zijn van de rij.

c. g x'( ) 1 1 x    x0,193 0 g'(0,193) 4,181 '(0,5) 1 g  x0,193u2 y4,181x b 1 ln 0,5 0,5 0,5 ln 2 0,193 0,193 y x b b b y x            0,338 4,181 0,193 1,145 4,181 1,145 b b y x          x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 -2

3 4,181 1,145 0 4,181 1,145 0, 274 x x x u        T_8. a. Opp 1 2 3 ...  n b. 2 112 2 3 ₀ 3 0 n _n x dx_ x _  n n



1 2 1 ₁ 1 2 2 2 3 3 3 1 1 ( 1) 1 n _n x dx x n n  _   _{ }    



c. un  2 3 1 2 ... 2 3 n n n n _{n n n n} u _    _{ } d. 1 2 ... 23(( 1) 1 1) 2 1 1 1 2 1 1 1 3( ) 3(1 ) 1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n u _    _    _  _  _{     } e. lim_nun 23