Overconstrained linkages to be derived from perspectivity and reflection

(1)

Overconstrained linkages to be derived from perspectivity and

reflection

Citation for published version (APA):

Dijksman, E. A. (1987). Overconstrained linkages to be derived from perspectivity and reflection. In E. Bautista,

J. Garcia Lomas, & A. Navarro (Eds.), Theory of machines and mechanisms : proceedings of the 7th world

congress, 17-22 September 1987, Sevilla, Spain (pp. 69-73). Pergamon.

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Published: 01/01/1987

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(2)

O v e r c o n s t r a i n e d

L i n k a g e s

t o b e

Derived

from Perspectivity

and

Ref

lection

E . A . D I J K S M A N

Department of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology,

E i n d hoven, T he Neth erla n ds

A b s t r a c t . . n e f l e c t e d r b u t o t h e r r i s e i d e n È i c a l , f o u r - b a r I i n k a g e s a r e t o b e i n t e r c o n n e c t e d i n s e v e r a l r a y s . I t a p p e a r s t h a t t h e f o u r c o n m o n t u r n i n g - j o i n È s , b e i n g t b e c o n n e c t i o n -p o i n t s o f s u c h f o u r b a r s r d o n o t h i n d e r t h e i n t e n d e d n o t i o n , a l t h o u g h i n e a c h c a s e ' È h e c o n p l e t e c o n t i g u r a t i o n d o e s c o n s t i t u t e a n o v e r c o n s t r a i n e d l i n k a g e . G e n è r a L l y , t b e s e c o n f i g u r a t i o n s a r e t o b e o b È a i n e d b y c o n b i n i n g t h e c o n c e p È o f p e r s p e c t i v i t y a n d r e f l e c t i o n . O n e o f t h e p o s s i b i l i t i e s , f o r i D s t a n c e , s o l e a d s t o a c o n f i g u r a t i o n Í h i c h i s d i -r e c t L y r e l a È e d t o t h e Í e l l - k n o r n f o c a l n e c h a n i s o . T h e n e t h o d a p p l i e d o n s l i d e r - c r a n k s p r o d u c e s t i n k a g e m e c h a n i s m s c o n t a i n i n g r e c t i l i n e a r t r a n s l a t i n g b a r s . f ê y r o r d s . L i n k a g e n e c h a n i s n s ; o v e r c o n s t r a i n e d l i n k a g e s ; s y D n e t r i c a l I i n k a g e s i e i g h t - b a r I i n k a -g e s i c o -g n a t ê l i n k a g e s i n e c t i l i n e a n t r a n s l a t i n g b a r ; t u r n i n g - j o i n t r e p l a c e t r e n t ; p e r s -p e c t . i v i t Y b e t F e e n f o u r - b a r s . I I I T B O D I ' C T I O N Í i l e n a t i c a l l y o v e r c o n s t r a i n e d n e c h a n i s n s g e n e r a l l y h a v ê t o o n a n y c o t r s t r a i n È s f o r L h e i r i n t e n d e d n o t i -o n . I t r t h e c a s e o f l i n k a g e s e c h a n j ' s m s , È h e y m a y n o v e b e c a u s e o e t h e j . r s p e c i f j ' c a l I y c h o s e n d i n e n s i -o n s , a l t h -o u g h o n f i r s t s i g h t t h e y s e e m t o p o s s e s s a n € r c e s s n u n b e r o f l u r n i n g - i o i n t s . o v e r c o n s t r a i n e d r e c h a n i s t r s s p e c i f i c a l l y o b t a i . t r e d s p e c i a l a t l e n t i o n i n t h e p a s È [ 2 t ' b e c a u s e o f t h e i r a b i l i t y t o c r e a t ê a l t e r n a t i v e i e c h a a i s t s f o r t h e s a n e n o t i o n . F o r a d e s i g n e r t b i s i s o f e r t r e m e Í m p o r È a n c e ' 9 l n c e a Í a r e n e s s o f t h i s p r o p e r t y , g i v ê s h i m a l ' t e r n a t i v e s o l u t i o n s t o h i s p r o b l e m . A D o t h e r a p p l i c a È i o n f o l l o F s f r o m t h e t h e n a r i s i n g p o s s i b i l i t y t o r e p l a c è a - f a c t u a l l y r e d u n d a n t -t u r n i n g - j o i n -t b y a l i n k a g e n e c h a n i s n g e n e r a È i n g a p u r e r o b a t i o D a b o u t a f i c t i t i o u s c e n t r e t h a t n a y n o t b e r e a l . i z e d i n p r a c t i c e . A n d , i f s u c h a t u r -n i -n g - j o i -n t i s b r o u g h t t o i n f l n i È y , s t r a i g h t - l i n e n e c h a n i s o s a p p e a r ! c o n t a i n i n g a p a r a l l e l n o v i n g b a r Í n a f i t e d d i r e c t i o n . I n s h o r È , o v e r c o n s t r a i n e d l i n k a g e s p o s s e s s p a r t i c u -l a r g e o n e g r i c p r o p e r t i e s t h a t r e m a i n i n v a r i a b l e d u -r i n g t b e n o t i o n . B e c a u s e o f i t s p e r s p i c u i t y , Í e i n -tend to consider only .gJ!.Q.e!E!-9.9f. configuraÈions, a l t h o u g h t b ê g s y l o e t r i c a l o n e s d o n ' L s e e n È o b e a o r e d i f f i c u l t t o d e r i v e . c o n f . i g u r a t i o n s Í e í i s h t o i n v e s t i g a t e n o r e s p ê c i f i c a l l y , a r e t h o s e t h a t a r e D e r g p e c t i v e o n e e . c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o f s u c h p e r -s p e c t i v e c o n f i t u r a t i o n s a r e t o b e f o u n d o n a t r e n b e r o f a p e n c i l o f l i n e s , c h e c e n t r e o f Í h j . c h i s c a l l e d t h e c e n t r e o f p e r s p e c t i . v i t y . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n t h e r e f o r e , p e r s p e c t i v i t y i s c o n b i n e d r Í t h s y n n e t r y . P E R S P E C T I V I T Y À I I D R E F L E C T I O I I I I I R E L A T I O I í T O T I E F O I ' R - B A R F o r ! ! g p o i n t s ' s a y A a n d C , Í ê n a y n o r s a y ' t h a t t h e y l i e Í n p e r s p e c t i v e r i , t h t b e i r n u t u a l i n t e r -c h a n g e d i r a g e - p o i n t s i a a O ï , r e s p e c L i v e l y . T h u s :

r c l c r

" "iora

notation, indicating thaÈ connecting lines

o f c o r r e s p o n d i n g p o i n t s i n È e r s e c t a t a c e n t r e T o f p e r s p e c È i v i t y , j u s t I y i n g a t t b e a r i s o f r e f l ê c f i -o n . F o r È h r e e p o i n t s , . 8 9 . 9 ! g . g g s . - P r o p o s i t i o n ( 1 5 9 6 - 1 6 5 0 ) c o r e s i n t o v i e Í t g t a t j . n g t b a t t r o t r i a n g l e s a r e p e r s p e c t i v e f r o n a s t r a i g h t - l i n e t , i . l t h e y a r e p e r s p e c t i v e f r o n a p o i n t T a n d c o n v e r s e l y . I n o t h e n r o r d s : c o r r e s p o n a l i n g s i d e s o f t Í o t r i a n g l e s i n t ê r -s e c t a t a -s t r a i g h t l i n e a s l o n g a s t h e t h r ê e c o n -n e c t i -n g l i n e s o f t h e c o n r e s p o n d i n g v e r t i c e s t n -t e r s e c -t a t t h e o n e p o i n t T . B i t h l i n k a g e n e c h a n j . s n s , t e a r e o n l y b e g i n n i n g t o b e i n t r i g u e d F h e n q u a d r i l a t e r a l s o r f o u r - b a r s a p -p e a r i n t b e c o n f i g u r a È i o n . A p a r t i c u l a r c o t r f i g u -r a t i o n , f o r i n s t a n c e , e n e r g e s ! Í h e n ! E p a i r s o f p o i n t s ( A ! C ) a n d ( B , D ) h a v e a c o n r o D a r i s ( s ) o f r e f l e e t i o n a s r e l l a s a c o n n o n c e n È r e ( T ) o f p e r s -p e c t i v i t y . T h u s : t l i , l c t = T = ( g D , B o l . ( s e e F i g . 1 ) T h e n , t r o r e f l e c t e d q u à d r i l a t ê r a l s ( A B C D ) a n d < ï ï ó o l a r i s e , h a v i n g a c o t r n o n c e n t r e T o f p e r s -p e c t j . v i t y o n t h e a r i s o f r e f l e c t i o n . T h e p e r s p e c -t , Í v i . -t y o f s u c h q u a d r i l a t e r a l s i s t o b e c o r P r e h e n -d e -d b y t h e n o t a t i o n : T -( À B C D } : -( C D A B ) c l e a r l y , o l " . . r u . " ' p r o p o s i t i o n o a y b e a p p l i e a t o n a n y p a i r o f c o r r e s p o n d i . n g t r i a n g l e s o u t o f t h e s e p e r s p e c t i v e q u a d r i l a t e r a l s . I n t h i s c a s e ' f o u r d i s t i n c t t r i . a n g l e s i n m e d i a t e l y c o n e i n t o v i e t b e -i n g d -i r e c t l y p e r s p e c L i v e í i t h È h e i r c o r r e s p o n d i n g t r i a n g l e s . T h u s , f o u r s o - c a l l e d ' l i n e s o f D e s a r -g u e s ' a p p € a r , t o r i t

t r r s . ó

i l = a ï

t r s c , D

Ï r = ï a

t

_

l

t - = l t B c , D a ) = t 3 t ^ = I ( B D , D B ) = s ^ o n s f ' z l

|

_ _

l ( À c , c Á ) = s l o n s l ( c D , a B ) = 2 t t a s r e I I a s t h e r e f l e c t e d l i n e s ï . " a A t ^ . a s F i g . 1 s h o l s , t h e y a p p e a r i n ó a i n s , ' e a c h l y r n g g y n n e t r i c a l r i È h r e s p e c È t o t h e a r i s o l r e f l e c t i ' -o n . D u e t o D e s a r g u e s , t h e c o r p l e t e c o n f i t u r a t i o n p r o v e s t o b e g e o n e t r i c a l l v o v e r c o n s È r a i n e d . I t r o u l d n o t b e i n p o s s i b l e l h e n t o t r y t o c r e a t e a k i n e n a t i c a t l v o v e r c o n s t r a i n e d l i n k a g e o u È o f t h i s c o D f i g u r a t i o n . T h i s o a y b e d o n e b y t r a n s f o r l i n g t h e c r u c i a l p o i n t s i n t o È u r n i n g - j o i n l s a n d t h ê c o n n e c t i n g I i n e s i n t o b a r s . À n o b v i o u s r a t e r i a -l i z a t i o n r o u l d b e t h e o n e f o r t h i c h t h e p e r s -p e c t i v e q u a d r i l a t e r a l s A B C D a n d ; ; ; B a r e t u r n e d i n t o f o u r - b a r l i n k a g e s b e t t e e n r h i c h t b e r e f l . e c t i -o n p r -o p e r t y a s Í e l l a s t h e p e r s p e c t i v i t y s h o u l d b e g u a r a n t e e d a t g l t p o s i t i o n o f t h e l i n k a g e . A c c o r d i n g t o t h e g e n e r a l c r i t e r i u n o f G r i i b l e r -f u t z b a c h , a n y t r o f o u r - b a r s n a y b e i n t e r c o n n e c t e d b y c o n s t r e i n e d m o t i o n . S a y , È h e c o n n e c t i n g - i o i n t s a r e I o c a t e d a t t h e p o l n t s g a n O E r e s p e c t i v e l y i n

69

(3)

70 E. A. Dijksman

o r d e r t o o a i n t a i n s y n n e t r i . c a l m o t i o n . T h e n ,

E = 2 r f = p ^ ; a n o i = Z r r r = p ; , . . r r i s t h e n r o

b e p n o v e d È h a É ' b e r e , i n t h i s ' p e r 5 Ë e c t i v e s y m m e t r i -c a l ' c o n f i g u r a t i o n a l s o t h e p o i n t s F = 1 r 5 = p . ; a n o F = ï r 3 = P ; ^ a r e a c t i n g E u r -n i -n g - j o i -n t s . ' r | 5 T h e p r o o e i s b u i l t u p f r o n È h e f a c È t h a t t h ê i n -s t a n t a n e o u g v e l o c i t y c e n È r e P - : , f o r i n s t a n c e , j u s t c o i a c i d e s a t t h e i n t e r s e c t i o n r É o i a t F o f t h e b a r s 1 a a O J . S u c h a c o i n c i d e a c e s e e n s t o b e t r u e r n a n y r a n d o n p o s i t i o n o f t h e c o a f i g u r a t i o n f r o n r h i c h í e d e d u c e t h a t t h e e r c e s s t u r n i n g - j o i n t F , n o n e t h e l e s s a d n i . t s i t r s t a n t a t r e o u s a o t i o n i n a l l p o s i t i o n s o f t h i s p a r t i c u l a r c o n f i g u r a t i o r . T u r n i n g - j o i t r t F , È h e r e f o r e , d o e s n e v e r h i r d e r t h e n o t i o n , r a t h e r c o n p l i e s r i t h i t , s o t h a t i t s e r i s t e n c e i s v e r i f i -e d . I n t b -e s a D -e r a y t i t a p p e a r s t h a t F = ï t 3 = P ï " . T h u s , t l o b a r r o t i o n i s a d n i t t e d , e v e n i f t b e s ó f e r f l u o u s j o i n t s F a n d F a r e a d j o i n e d . I a o r d e r È o p r o v e t b a t a l Í a y s 1 r 3 = 1 3 , i t i s s u f f i c i e n t t o s h o Í t h a t f o r a n a r b i t r a r y p o s i t i o n 5 r r r = t á a n O , s i n i l a r t y t b a t 1 r á = Jq. fn berer re note tbae, accordi.ng to lhe T h r e e - P o l e s n u l e o f A r o n b o l d - f e n n e d y :

t à = t i u - 4 1 ) r < á z - z ' D

àz = tà+ - 42) r <zi -iVt

4 2 = ( 4 3 - 3 2 ) r ( 4 1 - 1 2 ) S i o i l a r e r p r e s s i o n s a p p e a r c o n c e r n i n g t h e d e t e r o i n a t i o n o f t h e r e l a t i v e p o l e c e n t r e : 3 4 . A l t h o u g h Í e r a y g e D e r a l l y D o t e t h a t ? - - -

-( ? 1 3 r P 2 { c )

i

( P a , r c

P i 3 a ) & ( * r 3 t t a , r o ) i (tr,,o trgt)

a s P . ^ a n d P ^ . . a r e ' o p p o s i t e p o l e s ' , e r o n r h i c b r e o e o u ó 8 t n a t , Í 3 r i n s t a n c e , < p - T A a p p e a r s t h a t t h e D e s a r g u e s - l i n . à t f . o " t h i s p e í s p e c -È i v i t y d o n o t l e a d È o e r t r a n e o u s È u r n i D g - j o i n t s . E v e a n o t , i 9 r e a n a i h i l a t e t b e t u r n i n g - j o i n t s S , f , i a n d E i r s t e a d . T h i s , Í e f i n d o u t , i f r e t r y t o c o n p l e t e t h e p o l e - c o n f i . g u r a t i o n , l i k e í e d i d b e f o r e . A l s o , i f r e n a t e r i a l i z e t h e o r i g i n a l f i g u r e i n a n o t h e r r a y , f o r i n s t a n c e b y c r o s s i n g t h e u p r i g i n g 3 i d e s o f t h e f o u r - b a r , í e s t i l l f i n d a n o n - u n i q u e p o l e - c o l f i g u r a t i o t r i f t h e t r o r e f l e c t e d f o u r - b a r s a r e i . l t e r c o n n e c t e a l t h r o u g h a p a i r o f l i n e s o f D e s a r g u e s . Í e c o a c l u d e , b h a t t h e G e D e r a l C o n f i g u r a t i o n s h o r n i n F i g . 1 ! d e n o n s t F a t e s t h e o n l y p o s s i b i L i È y t o d o i t t h l s r a y . D E S I G I í O F T 8 E L I T U G E X E C S A i l I S X o n e l a y a s k h o r t , o d e s i g n s u c h a l i n k a g e i f r e s t a r t f r o r a r a n d o ; f o u r - b a r A B C D . [ e t h e n n e e d t h e a r l s o f r e f l ê c t l o n ; a D a r i s t h a t j o i n t s _{t h e c e n B r e} T o f p e r s p e c t i v i t y . F o r t h e l è c a t i o n o f T , r e f i n d o n l y o n e c o n d i t i o n , n a r e l y < À T D = < B T C . 8 e n c e , T j o i n t s È h e s o - c a l l e d f o c a l c u r v e , a l o c u s o f p o i n t s s e e i n g o p p o s i È e s i d e s o f t h e f o u r - b a r u n d e r t h e s a n e a n g l e . ï h e l o n e n t , t e h a v e c h o s e n T o n t [ e f o c a l c u r v e , t h e a r i s ( s ) o f r e e l e c t i o D i s a l e t e r r i n e a l b y t h e c o n d i t i o n , t h a t < s T A = ( C T s . T h e r e f o r e , s c o i n c i d e s a t t h e i n n e r - o r o u t . e r b i -s e c t o r o f < A T C , e a c h o f t h e m l e a d i n g t o a d i s -t i n c È s o l u t i o n i n v o l v i n g t h e s a n e o r i g -i n a l 0 o u r - b a r . T h e a r i , s o f r e f l e c t i o n _{t h e n l e a d s to} t b e r e f l e c t e d f o u r - b a r ï ; ó ; ro be i.nterconnec-t e a l i n i.nterconnec-t h e e r i.nterconnec-t r a o r d i n a r y r a y a s d e n o n s t r a t e d i ! F i g . 1 . C O I I N E C T I O N T I T B T B E F O C A L X E C E A I I I S X S t a r t i D g f r o n t h e f a c t t h a t T -( Á B C D ) = -( C D À B ) , i È i s p o s s i b l e t o p r o v e r h a r ( A E c F ) l r t ê p I E ) a n d , e q u a r l y , q

)

-( B E D F ) = - -( D P B E ) . f , e n c e , i n l o . g . n . " . , e o n f i g u r a t i o n , t h e p o i D È s T , S t a n d S , a r ê e q u i v a l e n t c e n t r ê s o f p e r s p e c t i v i t y . T h e y a r e - o n t h e f o c a l c u r v e s , a l s o n a r e d ' r o t a È i o n c u r v e s ' b y C . R . V e I d k a m p Í 7 1 , o f t h e i r p e r s p e c È i v e f o u r - b a r s . f f r e t a k e , f o r i n s È a n c e , 5 1 , b e i n t t b e i n t e r s e c t i o n - p o i n t o f l C a n d f E , r e n a y a d j o i n t h e f i g u r e r i t h f o u r l i n k a g e p a r a l l e l o g r a n s h a v i n g t h e s u c c e s s i v e d i a g o n a l s s r i , s . o , S r ó a n d S o B . T h i s i n Í n e d i a È e l y l e a d s t o a ' p a i i o f r e f l e c t e d f o c a l . n e c h a n i s n s o n e o f t h e n b e i n g d e n o [ s t r a t e d i D F i g . 2 a s p a n t o f t h e g e n e r a l c o n f i g u r a t i o n . T b e t x o f o c a l m e c h a n i s n s , i D f a c t , d o c o n s t i t u È e t r o n o t r - s k e í p a i r s o f i n s c r i -b e d i n t h e f o u r - -b a r s À B C D a n d i t s r e f l e c t e d o D e , a l l o f t h e n h a v j , n g a c o o D o n t u r n i n g - j o i D t S i o n t h e d i a g o n a l s E C a n a l E . F o r t h e f o c a l n e c b a n j . s n , a s i È i 9 d r a ; D i n h a r d I i n e s i n t h e F i g . 2 , t h e f o c a l p o i t r t _{S . t u r t r s o u t} t o b e a t r i p l e j o i n t . , t h a t i s t o b e c o n i r e c È e d r o e a c h s i d e o f t h e f o u r - b . " f E C F . S u c h a f o c a l o e c h a n i . s m h a s b e e n f o u D d o r i g i r r a l l y b y A . B . Í e m p e i n 1 8 7 8 . T B E C E I T N E O F P E N S P E C T I V I T Y G O I I T G T O I NFIIíI TY I n c a s e T g o e s ! o i n f i n i t y , t h e g e n e r a l c o n f i g u r a -t i o n s i n p l i f i e s . ( s e e a l s o F i S . 3 ) I t i s e a s i l y f o u D d b y t a k i n g T a t t h e i n f i n j . t y - o r i d e a l -p o i n t o l t h e f o c a l c u r v e , a n d , t h e r e f o r e , a t È h e i d e a l p o i n t o f t h e f o c a l a r i s . À c c o r d i n g t o a k r o r n p r o p e r t y o f t h e B u r n e s t e r c u r v e s r t h i s a r i g s i m p l y c o n n e c t s t h e n i d p o i n t s S . a n d S ^ o f t h e d i a g o n a l s o f t b e f o u r - b a r . ( I t á d d i t j , o a a Í t y j o r n " t h e n i d - p o i D t o f I P . - P ^ . . 1 . ) S i n c e T l i e s a t i n f i f l i É ï , t f r e a r i s o f r e f l e c t r o n , b e i . n g t h e a n g l e - b i s e c t o r o f < A T C , s h o u l d j o i n t h e i l i d p o i n t - S " o f I A C l . T b u s , h e r e i n t h i s l p a r t , i c u l a r c a s e , C h e a r j . s o f r e f l e c t i o n e q u a l s È h e f o c a l a r i s .

2nd trar ro rtfrEncorrEcr FouR-BARS

ErcEs-SI VELY

À n o t h e r p o s s i b i l i t y t o i n t e r c o n n e c t f o u r - b a r s i n a n o v e r c o n s t r a i n e d r a y , È u r n s o u t t o b e a g e n e r a -l i z a t i o n o f a s p e c i a l c a s e o f F i g . I T h e s p e c i a l c a s e b e i n g t h e o n e t h a t a p p e a r s F b e n S . = S ^ . ( s e e F i g . 6 . ) T h e g e n e r a l i z e t i o n i s d e t r o n s t r á t e d Í n F i S . 4 , 5 a n d 7 . f n t h e s e f i g u r e s t r o p e r s p e c t i v e a n t i p a r a l l e l o

(4)

-Overconstrained

linkages

7 1

g r a n s a r e i n t e r c o n n e c t e d b y t h e j o i n t s D , S , i a n O B . T b i s r e s u l È s i n t h e r e f l e c t e d f o u r - b a r s A B C D a n O ï S E O , O . i n g i n È e r c o n n e c t e d t h r o u g h t h e j o i n t s _{S , n , I a n O S .} A d e s i g t r t h a t s L a r t s f r o m t h e r a n d o m f o u r - b a r Á B C D i s a s f o l l o r s : a . C h o o s e S o n t b e s i d e À D f r o n t h e g i v e n

b.

Find 3 0n rB such rhar ,3 ,,iolf-o"t

nt"o

c .

T a k e th e p e r p e n d i c u l a r

b i s e c t o r o e l S S l a s

y o u r a t i s o f r e f l e c t i o n d . D r a r t h e r e f l e c t e d f o u r - b a r A B C D e . F i n d t h e e r c e s s i v e t u r n i n g - j o i n t s R a n d R a t t h e i n t e r s e c t i o n s o f t h e s i . d e s f c o , a E l a n o t E o , B c ) r e s p e c t i v e l y . T h e p r o o f o f l h i s a s s e r È i o n , s t e n s f r o m t h e r e c o g -n i L i o -n o f a d u p l i c a t i o n o f f , a r t s ' e e l l i n t h e n e c h a n i s n : b o t h a n t i - p a r a l l e L o g r a o s h a v ê t h e c o n n o n j o i n È s D , E , B a n d D l a l l I y i n g o n a p e n n a n e n t p a r a l -l e -l t o t b e i r d i a g o n a l s e f , s s , n i , a n d c E . ( s e e F i g . 5 f o r e a s y r e c o g n i t i o n - ) S e ê , b y t h e f l a y , f o r a n o r e e r t e n s i v e p r o o f _{a l s o r e f . Í t l l 0 r o m t b e a u t h o r .} I n t . h e s p e c i a l c a s e Í h e n S f a n d Á C i n t e r s e c t a t t h e a r i s o f s y n m e t r y ! o n e o b t a i n s a s p e c i a l c a s e o f F i g . 1 f o r r h i c h S . = S ^ a n d f o r r h j . c h t h e t u r n i l g t z j o i n t s S , R , j o i n t s B , i , T R , a n d S a r e r e a l i z e d i n s t e a d o f t h e D a n d i . r n t h a t c a s e ( A S À s ) = ( C R C R ) ( À B C D ) R e t u r n i n g t o t h e g e n e r a l c a s e o f t h i s s e c t i o n , a s d e m o n s t r a t e d i n F i S . 7 , Í e n a y a l s o r e c o g n i z e a s p a È i a l c o n f i g u r a t i o n : t , h e f i g u r e t h e n c o n s i s t s o f t r o r e f l . e c t e d t e t r a h e d r o l s A B C D a n d ; ; E ; h a y i n g a c o m n o a e d g e a l o n g t h e s : . O e s ! i a n d B D , Í h ê r e a s t h e n e f l e c ! i o n - p l a n e s t a n d s n o m a L t o t b i s e d g e a n d j o i n s t b e i n t e r s e c t i o l - p o i n t T o f t h e e d g e s l C a n O I ê . A n a d d i t i o n a l p l a n e j o i n i n g T , p a r a l l e l t o t h e c o r n o D e d g e , t h ê n i n t e r s e c t s t h e r e m a i n i n g e d g e s a t t h e p o i n t s S , S , n a n O ! - o f a n i s o s c e l e s t r a p e -z t u n . A p a r t i c u l a r c a s e a r i g e s r h e n t h i s t r a p e z i u n t u r n s i . n È o a l g g g ê l g l g . ( s e e F i g . 8 . ) T h i s o c c u r s F h e n t h e p e r s p e c t i v e c e n t r e T o f t h e a n t i - p a r a l l e l o g r a n l i n k a g e s l i e s a t i n f i n i t y . Í e t h e n o b t a i n a n o v e r -c o n s t r a i . n e d l i n k a g e t h a t l i e s a t t h e b a s ê o f o u r ' r a l k i n g - í h e e l ' d e r i v e d f r o n a p a r t i c u l a r t r u n d e r -l i c h - n e c h a n i s n ( s e e a l s o r e f . Í 4 l ) . l í o t e , b y t b e r a y , t h a È e a c h s i d e o f t h e f o u r - b a r A B C D r a y p e r f o r n t h e ê I l i . p t i c n o t i o n s i n u l t a n e o u s -l y r u s i n g t h e s a n e o r t h o n o r o a l a r e s I a n d y i n t h e f i g u r e . T h i s p a r t a l o n e r e p r e s e n t s e n o v e r c o n s t r a i -n e d l i D k a g e n e c h a n i . s n È b a t m a y n o v e g l o b a l l y , s i n c e i t p o s s e g s e s a n u n i q u e p o l e - c o n f i g u r a t i o n _{i n a} r a n d o n p o s i t i o n , b e s e d o n D e s a r g u e s p r o p o s i t i o n a g a i n . ( P a p p o s - L a í Í 3l then p r o d u c ê s a l i n e t b a t c o i n c i . d e s a t t h e s t r a i g h t - l i n e o f D e s a r g u e s . ) I t n o Í a p p e a r s t h a t l r o s u c h n e c h a D i s n s o a y b e i n t e r -c o n n e -c t e d E h r o u g h t h e p o i n È s S , S , ï , a n d R , e a c h o f t b e [ t b e n s i n u l t a n e o u s l y t r a c i n g e n e l I i p g e . l t , ; , À s ) a n d n a r u r a t r y , A P P L I C A T I O I I S S i n c e t h e m e c h a n i s n s c o n s i d e r e d a r ê o v e r c o n s t r a i -n e d , i t i s p o s s i b l e t o a b o l i s h t Í o t u r n i n g - j o i r t s . T h i s i s p a r È i c u l a r l y e f f e c t i . v e i f t h o s e a r e t a k e n t h a f a r e b r o u g h t t o i n f i n l t y . T h e n r e c t i l i n e a r t r a n s l a t i o n h a s b e e n c r e a t e d . I f , f o r i n s l a n c e , l h e j o i n t s E a n c t i o f F i g . 1 a r e b r o u g h È t o i n f i n i t y , b a r á n o v e s p e r p e n d i c u l a r È o 4 i n a n y p o s i t , i o n o f t h e m e c h a n i g ! . P i g . 9 d e n o n s t r a t e s t h i s e r a n p l e , Í h i c h c a n b e s e e n a s a o e c h a n i s m r e L a t e d t o f , a r È s ' s e c o n a t s t r a i g b t -l i n e m e c h a n i s n . ( R e f . t 6 -l )

T h e m e l b o d o f d ê s i g n i s a v e r y easy one as long as x e u s e È h e c r u c i a l p o i n t s _{T a n d S . ( o r S ^ )} _{i n o u r} d e s i g n . F o r a g i v e n f o u r - b a r A Ë C D . h o Í e v e r . t b e p o i n t T o n t h e f o c a l c u r v e i s n o t a r b r . l r a r y r D È h i s c a s e . I t s l o c a t i o n o n È h i s ' r o t a t i o n _{c u n v e . _} i s t h e n d e t e r m i n e d b y t b e s o l e c o n d i t i o n t h a t E l u r D s t o i n f i n i t y . I t r F i g . 1 0 , f i n a l l y , a n o t h e r e r a c t n e c t i l i n e a r t r a n s l a t i o n h a s b ê e n d e r i v e d b y t a k i n g t h e j o i n t s C a n d ï o f F i g . 5 t o i n e i n i t y . O n e o b t a i . n s a n e r t e n s i o n o f g a r t ' s i n v e r s o r ( R e f . Í 1 0 1 ) í i t h È h e

ovao si i.

O t h e r a p p l i c a t i o n s a r e t h o s e f o r r b i c h i t i s d e n a n d e d È o c r e a t e p u r e r o t a t i o n s b y l i n k a g e n e c h a n i s n s a v o i d i n g t b e u 9 e o f e f i r e d c e n t r e . E i t h e r o n e o f t h e o v e r c o n s t r a i n e d l i n k a g e s o a y b e u s e d f o r t h i s p u r p o s e . R E F E N E N C E S Í 1 1 D j , j k s n a n , E . A . ( 1 9 7 6 ) c h a n i s n s , C a n b r i d g e 0 n i v e r s i È y p r e 9 s , L o n d o n ! l í e r Y o r k , l e l b o u r D e , F i S . 9 . 5 . ( 1 9 8 1 ) C i n e n e t i , c a d e t í ê c a n i s -! 9 9 , E d i t o r i a l L i n u s a , S . A . l e r j . c o , F i g . 9 . 5 : D o s n e c a n i s r o s s i n é t r i c o s d e c u a t r o b a r r a s e n c o g n a c i o n . Í 2 i D i j k s m a n r E . À . ( 1 9 7 q ) E o r ! o r e p l a c e t h e f o u r -b a r c o u p l e r t r o t i o n b y t h e c o u p l e r r o t l o n o f a s i r - b a r o e c h a n i s n È h a t d o e s n o t c o n t a i n a p a r a l l e l o g r a r , p r o c e e d i a F g _{o f} t h e f F T o l í l í - I n t e r n a t i o n a l S y t r p o s i u o o n U n i v e r s i t v R e g e a r c h f o r k a n d i t s A D o l i c a -t i o n L o f n d u s t r y , S e p t . 1 2 - 1 3 , D u b l i n , I r e l a n d r p 9 . 2 9 ? - 3 1 3 , ( 1 9 7 6 ) I b i d e i , R e v u e B o u r a i n e d e s S c i e n c e T e c h n i q u e g , S e r i e s a t e l l é c a r : , -q u e À p p l i -q u é e , Y o I . 2 1 n o . 3 , p p . 3 5 9 - 3 ? 0 . D i j k s n a n , E . A . ( 1 9 8 2 ) 0 l d c e o r e È r y T h e o r e r s , s u c h a s t h o s e o f P a p p o g , p a s c a l a n d D e -s a r g u e -s r r a d e a l i v e b y " t . i . e . , D e C o p -p -p . 7 8 - 8 3 ( i n d u t c à ) . Í 4 , D i j k s n a n , E . À . , V a n R i j c k e v o r s e l , J . Í . ( 1 9 8 6 ) D a s L a u f r a d T e i l I I D a s e u a s i - n a d a l s L a u f g e t r i e b e , F o r s c h u n g i t f t r r e n i e u r r e -* 9 , V D I - V e r l a g D u s s e t d o r f , B d . 5 2 n o . q , p p . 1 2 7 - 1 3 2 ( 1 n g e r m a n ) . t 5 l A y r e s , J . R . F . ( 1 9 7 6 ) S c b a u n P u b l i s b i n g C o . , l í e Í Y o r k , c b a p t e r 3 . Í ó I D i j k s n a n , E . A . ( 1 9 7 5 ) f e D p e ' s ( F o c a l ) L i n k a g e c e n e r a l i z ê d , p a r t i c u l a r l y i r c o n n e c t i o n r i . t h E a r t ' s s e c o n d s È r a i g h t - l i n e r e c h a -n i s -n , l í e c h a n i s m a n d l l a c h i n e T h e o n v , 9 o l . 1 o ' P P . 4 4 5 - 4 6 0 . T _ _ _ _ - ( C D Á B ) ( S e e F l g . 6 . ) Í 3 I

(5)

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(1976) Rotation curvesrJn]..

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pp.14?'1rt

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b e t w e e n n e w a n d o l d i n v e r s i o n n e c h a

-SCELUSSTOLGERUNG

Z w e í g e g e n s e l t S - g r e f l e k t i e r t e G e L e n k v i e ! è c k e kiinnen auf unterschiedliche V/eisen i-n perspek-tivischen Zusanmenhang stehen" Nur zweí clieeer fiihren nittels einer Ànwendung des Desargues-chen satzea zu ei.:rer kinenatisch iibergeschlopen-en GeLiibergeschlopen-enkketteo Der erste fal-]. erscheiat aLs i-dentisch mit einer generalisierten For:n tlea be-kaunten FokalgetrS.ebe6 von Keepei der Zwelte fiihrt aber zu eineo neuen Getrieberdap offen-si.cbtlich auch dilekt aus clem Eartschea Inver-sionsgetriebe abgelej.tet werd.en kaÀn. Irx beiclen Fál1ea fiihrt die Anwendung cier Perepektlrritàt zu besgeren ki-nenatischen Erkenntnlssen bei-o ht-wurf von iibergeschlossenen Gel-enkgetriebeno Den-zufolge lassen 6icb aucb eiafache Konstruktionen dieser Getriebe abJ.eitea, Ersatzglieclerffihrunge-getrlebe, geradJ.inige Parallelfiihnrngen eluee Kiirpersrals auch B-g1j-edrige Ersatzgetrlebe aa-statt ej-ner Drehachse sind hier die geeignetea Anwenduageno Fïr d.ie zweí letzte Miiglichkeiten gibt es offenbar unendlich viele Ltisungen, die aber aLLe nj-t wenigsteas 8-glj.edrigen Gelenkge-t r i e b e n r e a L i s i e r t w e r d e n n i i B e n .

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