Het gebruik van een betrouwbaarheidsinterval bij cumulatieve frequentieverdelingen

BIBLIOTHEEK

STARINOGEBOU^f

...,„

Ä Ä

CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING

NN31545.0228 » „ ^ . d . * ^ ^

19

6

3

Het gebruik van een b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l

T^IMT

TfiTTïFFEf ^V 'T * * 'PW

cumulatieve f r e q u e n t i e v e r d e l i n g e n « B L I v e i j f c . ^ . * LV> *::*/<.*<*

— Droevendtiai.sesi.etg Ja

J.B.H.M. van Gils Postbus 241

6700 AE Wageningen

I n l e i d i n g

Van een reeks waarnemingsuitkomsten, bijvoorbeeld de neerslag op een bepaalde dag, het aantal voertuigen dat per dag een bepaald punt passeert en dergelijke, kan een frequentieverdeling worden samengesteld, die hier met empirische verdeling zal worden aangeduid.

Uit een empirische frequentieverdeling kan de over- of onderschrij-dingsfrequentie, waarmede een bepaalde waarde is opgetreden, worden afge-lezen.

Indien het patroon van de verdeling zich in de toekomst niet wijzigt, kan de empirische verdeling als schatting voor de kansverdeling worden ge-bruikt. Hieruit kunnen de kansen \^orden afgelezen, waarmee een bepaald bedrag zal worden over- of onderschreden.

Daar de empirische verdeling slechts uit een eindig aantal gegevens is samengesteld, zal bij de schatting van de kansverdeling een meer of minder grote fout optreden. Naarmate het aantal gegevens (n) van de em-pirische verdeling groter is, zal ook de schatting van de werkelijke kans-verdeling zekerder zijn. De kans, dat een overschrijdingskans precies ge-lijk is aan de overschrijdingsfrequentie is nul, immers de kans, dat een geschatte waarde precies gelijk is aan de te schatten waarde is nul. De kans, dat de overschrijdingskans binnen een interval rond de empirische yordoling valt is echter groter dan nul. De onzekerheid, die ontstaat door met de empirische verdeling in plaats van met de kansverdeling te werken wordt daarom door een interval symmetrisch rond de empirische frequentie-verdeling weergegeven.

Naarmate het risico (<x), dat de kans aangeeft waarmee do werkelijke kansverdeling nog buiten hot interval zal liggen, kleiner wordt gekozen

zal het interval breder worden. De breedte van het interval is afhanke-lijk van het aantal gegevens (n) van de empirische verdeling on het risi-copercentage ( <x), dat de onderzoeker zelf vaststelt.

In plaats van hot risicoporcontage (« ) kan ook de betrouwbaarheids-coëfficiënt (l-oc) worden gebruikt.

195/1263/25

CENTRALE LANDBOUWCATALOGUS

0000 0672 2769

Om de cumulatieve frequontiecurve kan dus oen

betrouwbaarheidsin-terval met aan weerszijden van de curve een breedte da worden

geconstru-eerd voor een betrouwbaarhoidscoëfficiënt (l-cx)%, dat wil zeggon: de werkelijke kansverdeling zal met oen kans (l-oc)% binnen de aangegeven grenzen liggen.

Voor een cumulatieve frequentiecurvo berekend volgens F = 100 . - i

é

n

(i is het aantal gegevens, dat kleiner of gelijk aan een zekere waarde is) gelden de botrouwbaarhoidsgrenzen (F^ + d ) en (F^, - d ) . Deze gren-zen moeton worden gemeten langs de "kansschaal". Ze worden voor ieder punt van de frequentiecurve uitgezet. Voor de breedte d geldt (DEIGN, 1952):

d =

Yn

.100% (1)

Daar de frequentie niet in deze formule voorkomt is da dus voor de

gehele verdeling constant? doch indien deze is uitgezet op een "kans-schaal" zijn de betrouwbaarheidsgrenzen niet evenwijdig aan de frequen-tiecurve.

Het verband tussen a en z wordt gegeven met de formule:

(2)

In de volgende t a b e l z i j n enkele berekende waarden van da gegeven,

g e t a b e l l e e r d met hun bijbehorende a., z en nwaarden. De t a b e l i s v e r k r e -gen door a aan t e nemen en v i a formule (2) de bijbehorende z-waarde t e

bepalen, waardoor voor gegeven n-waarde u i t formule ( l ) da v o l g t .

Tabel 1 Het b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l da voaf v e r s c h i l l e n d e s t e o k p r o e f

-g r o o t t e n n en v e r s c h i l l e n d e r i s i c o p e r c e n t a -g e s cc

Caj

50 fo

20 °/o

1.0 i

O "O

2 i

1 . i°

0,5/0

z

0,828

1»073

1,224

/l,358...Jl '

1,517

1,625

1,731

**

n = 10

26,18 io

33,93 io

38,71 io

42,94 i

47,97 i

51,39 i

54,74 i

n = 100

8,28 i

10,73 i

12,24 io

13,58 io

15,17 i

16,25 io

17,31 i

n = 1000

2,62 i

3,39 i

3,87 i

4,29 io

4,80 i

5,14 i

5,Al i

3

-Voor een uitgebreide tabel van z-waarden zij verwezen naar BEION, 1952, pag. 148 en FISZ, 1962 pag. 510.

In figuur 1 i s het verband tussen d en n grafisch weergegeven. In de p r a k t i j k wordt voor a veelal 5$ gekozen.

Het bovenstaande is meer uitvoerig behandeld in I.C.W.-nota no.187 (STOL, 1963).

In deze nota zullen enkele praktische toepassingen worden besproken van het toetsen van frequentieverdelingen.

Hot tekenen van een betrouwbaarheids interval

Ongeacht of do punten van de cumulatieve frequentiocurve worden be-rekend en uitgezet volgens de formules (zie nota no.187, pag. ÏO):

\ = F = F = i - 0,3 n + 0,4 i n + 1 i n

£ 4 . 100$ (Median)

. 100$ (FQ)

blijven de grenzen van het betrouwbaarheidsinterval, waarmee wordt ge-t o e ge-t s ge-t :

( - . 100 + d )fo en (- . 100 - d )<fi

vn cc n a

daar voor het afleiden van het interval van het frequentio.quoti*ónt FQ is uitgegaan.

Ongeacht de drie berekeningswijzen van de cumulatieve frequentie geldt ook met een kans v a n a $ de uitspraak, dat de werkelijke kansverde-ling er toch buiten ligt.

De kans welke men loopt, dat een curve binnen het interval toch niet de juiste is, is bij deze wijze van toetsen niet goed vast te stollen.

In figuur 2 is het betrouwbaarheidsinterval om een noorslagvordeling uitgezet. Voor 5 mm neerslag per etmaal staat hot interval op do

"kans-schaal" aangegeven. Vanwege hot nog betrekkelijk geringe aantal punten (n = 310) kan de werkelijke kansverdeling dus nog vrij voel van de fre-quentieverdeling afwijken. Hieruit blijkt, dat men voor het trekken van de geschatte kansverdelingscurve in principe oen zeer grote vrijheid

_4-hoeft, doch de onderzoeker zal van deze vrijheid slechts onder goed

ge-motiveerde voorwaarden gebruik mogen makon(zie pag. 6 ) .

Aangezien de waarden 0$ en 100$ op de "kansschaal" respectievelijk naar -t» en +00 verdwijnen, worden die betrouwbaarheidsgrenzen, die ge-lijk aan of kleiner zouden zijn dan 0$ en die, welke gege-lijk aan of gro-ter zouden zijn dan 100$ ook in -00 of +00 gedacht. De verbindingslijnen

naar deze punten lopen dus altijd evenwijdig aan de "kansschaal".

In figuur 3 zijn do betrouwbaarheidsgrenzen voor verschillende n-waarden om een hypothetische verdelingscurve uitgezet. De punten van de hypothetische frequentiecurve zijn eenvoudigheidshalve op een 45 -lijn gekozen. Indien een empirische curve op transparant papier wordt uitge-zet, kan het interval per punt worden overgenomen. Het transparant pa-pier wordt hiertoe zodanig over de figuur verschoven, dat de 'jö/o-kcmsliJT' non op beide figuren stoeds blijven samenvallen on een punt van do empi-rische curve op do hypothetische curve komt to liggen. Voor dit punt wor-den nu de grenzen van hot betrouwbaarheidsinterval in verticale richting gemeten voor de bijbehorende waarde van n op het transparant papier over-genomen. Deze werkwijze mag uiteraard alloen worden toegepast bij empi-rische curven berekend volgens de formule

F^ = ^ . 100$

en uitgezet op een identieke kansschaal als in figuur 3«

Do grenslijnen in figuur 3 geven de uiteinden van de betrouwbaar-heidsintervallen en tevens de uiteinden van de hypothetische curven wel-ke in verband met het aantal gegevens optreden aan.

Vergelijking van frequentieverdelingen

Een vergelijking van verdelingen door middel van hot betrouwbaar-heidsinterval kan alleen via een hypothese worden uitgevoerd. Als hypo-these wordt in de regel de veronderstelling gebruikt, dat twee frequen-tieverdelingen feitelijk niet van elkaar verschillen. Getoetst moet nu worden of de verschillen die worden gevonden systematische verschillen

zijn of slechts toevallige afwijkingen. Enige overeenkomst tussen verde-lingen kan niet worden bewezen. Wel kunnen verschillen van statistische aard al dan niet worden aangetoond. Indien geen verschillen worden

aange-

-5-toond, Kan do hypothese juist zijn. Worden wol Vorschulen gevonden, dan dient de hypothese to worden verworpen.

Men kan bijvoorbeeld als hypothese aannemen, dat twee geologische grondmonsters eenzelfde ontstaanswijze hebben, dat wil zeggen tot een-zelfde populatie behoren. Men bepaalt do korrelgrootte—verdelingen, van de monsters en vindt statistische verschillen tussen de twee verdelingen. Met een risico afo kon dan worden gezegd, dat de hypothese onjuist is.

Statistisch verschilt een empirische verdoling van een andere,

be-houdens een risico afo} zodra deze reeds op een enkel punt buiten de

be-trouwbaarheidsgrenzen van de andere valt. Over de aard van de verschil-len zelf kan niets worden gezegd. Deze kan bijvoorbeeld zijn een verschil in gemiddelde, een verschil in spreiding, een verschil in vorm van de verdeling, enz. Valt deze verdeling geheel binnen het betrouwbaarheids-interval van de andere, dan kunnen statistisch geen verschillen worden

aangetoond-Een voorbeeld geeft figuur 4« De verdelingen van do dagnoerslag-sommen van januari en mei verschillen duidelijk. Do kansverdelingen van januari en mei zijn nagenoeg niet; dezelfde. Indien de neerslagwaarden voor gelijke frequenties tegen de maanden van het jaar worden uitgezet, zouden deze verschillen nader kunnen worden onderzocht, bijvoorbeeld op hot optreden van oen seizoonbowerging.

Ook kan men het verschil tussen gelijkwaardige punten van de twee empirische verdelingen vergelijken met het betrouwbaarheidsinterval. Daartoe worden op lineaire schalen de percentages van do twee verdelingen voor gelijke abscis-waarden tegen elkaar uitgezet (zie tabel bij fig.5) en vergeleken met de hypothetische lijn, (een 45 -lijn in fig.5), welke zou ontstaan indien beide verdelingen volkomen aan elkaar gelijk waren. De betrouwbaarheidsgrenzen uitgezet om de hypothetische lijn, geven op deze schalen evenwijdigo rechte lijnen. Zijn de verschillen kleiner dan d dan kunnen ze als toevallige afwijkingen worden aangemerkt. Is dit

o»

niet zo dan moeten systematische verschillen tussen beide verdelingen worden aangenomen. Deze methode is alloen bruikbaar, indien beide verde-lingen hetzelfde aantal gegevens hebben. Anders zou men een andere me-thode moeten toepasson(zie I.C.W.-nota no. 187).

In figuur 5 is boven besproken methode toegepast op de elementaire dagverdelingen van 10 en 20 januari. Hier blijkt, dat de tijdstippen

danig dicht bij elkaar zijn gekozen, dat geen verschillen tussen de

ver-delingen kunnen worden aangetoond. De tijdsfactor speelt dus oen zeer

ge-ringe rol. In de praktijk worden de elementaire dagverdelingen

samenge-nomen tot een gecombineerde dagverdeling voor een maand, zoals in de

fi-guren 2 en 4« Hot voordeel van deze samenvoeging is hot grotore aantal

waarnemingen in de verdoling v/aardoor do afwijking tot de werkelijke

kansverdeling wordt beperkt. Een extreme verdeling blijkt die van 15

ja-nuari te zijn, getekend in figuur 5« Consequent moet de uitspraak volgen,

dat de verdelingen van 10 en 15 januari van elkaar verschillen. In dit

geval is het echter voor de hand liggend aan te nemen, dat wo mot een

uitzondering te doen hebben. Als niet moer dan

a.%

van de uitspraken voor

de elementaire dagverdelingon in januari deze uitzondering vormen, is do

gecombineerde dagverdeling voor de maand januari als representatie".voor

do elementaire dagverdeling nog verantwoord.

Het gebruik van de vrijheid binnen het betrouwbaarheidsinterval

Meestal is de werkelijke kansverdeling niet bekend. Men tracht deze

te benaderen met een geschatte kansverdeling.

Vol moet worden getracht de werkelijke kansverdeling zo dicht

moge-lijk te benaderen. De grootste kans daartoe heeft men indien do geschatte

kansverdeling zoveel mogelijk aan de punten van de frequentieverdeling

wordt aangepast.

Hierbij moet worden opgemerkt, dat een empirische verdeling

bere-kend volgens:

F

=

X

" ?';} • 100 $ (Median)

^ n + 0,4

de werkelijke kansverdeling gemiddeld beter zal benaderen dan indien be-rekend volgons

F^ = n ^ 1 . 100 1o (Mean)

en deze weer een betere benadering is dan indien do frequentieverdeling

is berekend volgons

F^ = | . 100

%

(FQ)

Binnen het bctrouwbaahroidsinterval hooft men in principe echter een grotere vrijheid om de geschatte kansverdeling te tekenen.Statistisch kan namelijk niet worden aangetoond, dat de geschatte kansverdeling dan niet samenvalt met de werkelijke kansverdeling.

Bepaalde afwijkingen van de geschatte kansverdeling tot do empiri-sche frequentieverdeling zijn daarom wel te verdedigen, indien men be-paalde hypothesen invoert. In wezen wordt dan aangenomen, dat er inder-daad afwijkingen van de empirische verdeling ton opzichte van de werke-lijke kansverdeling zijn. Zolang de afwijkingen echter binnen het inter-val liggen zijn ze nog van toeinter-vallige aard. Enige gebruikelijke hypothe-sen zijn:

1. Men neemt een bepaalde vorm van de werkelijke kanscurve aan (bijvoor-beeld de verdeling is normaal). Is de aangenomen vorm in eon formule te vangen dan zal de geschatte kanscurve veelal via een berekening kunnen worden bepaald.

2. Men neemt aan, dat do werkelijke kanscurve "3trak" verloopt. Door de punten van de empirische curve wordt een vloeiend verlopende strakke lijn als geschatte kanscurve getrokken.

3« Men neemt een onderlinge samenhang tussen een aantal verdelingen aan. Deze samenhang kan veelal in een figuur worden weergegeven (door bij-voorbeeld neerslag tegen de tijd uit te zetten). Met behulp van hypo-these 2 kan dan een grafische vereffening worden toegepast.

Se steekproef grootte .„ -—•-—.._

De steokproefgrootto wordt door de onderzoeker gekozen. Enerzijds zal hij de steekproefgrootte (n) om arbeidseconomische redenen beperken, anderzijds dient n zo groot te zijn, dat do empirische verdeling

voldoen-de representatief is voor do kansvervoldoen-deling. __ _

Door een voorbeeld te nemen, waarbij de werkelijke kansverdeling be-kend is, kunnen we een indruk krijgen over wat het effect van oen steek-proef kan zijn en in hoeverre de kansverdeling in do steeksteek-proef wordt te-ruggevonden.

Figuren 6, 7 en 8 geven voorbeelden van a-solecte steekproeven uit oen standaard-normale verdeling (table 23, DIXON and M^SSEY, I95l) . Hier is de kansverdeling bekend, namelijk een normale verdoling mot oen sprei-ding gelijk aan óón. Met geschikte sehaaleenheden uitgezet, geeft deze

8

-verdeling op een "kansschaal" een 45 -lijn. De steekproeven van figuren 6 en 7 zijn ook begrepen in het cijfermateriaal waaruit figuur 8 is ont-staan, de steekproef van figuur 6 komt ook voor in figuur 7»

Men krijgt nu een indruk hoe de frequenties met de steekproefgrootte

tot de werkelijke kansverdeling naderen. De afwijkingen ten opzichte VEJI

de normale verdeling en de breedte van het betrouwbaarheidsinterval zijn bij kleine steekproeven groot. De beoordeling van de resultaten van een kleine steekproef blijkt zeer moeilijk te zijn.

De steekproefgrootte dient dus voldoende groot te worden gekozen. Als men het betrouwbaarheidsinterval als maatstaf neemt, kan bij een ge-kozen a en d-v de steekproefgrootte worden opgegeven. Men stelt dan de eis, dat met een zekerheid van (l - <*)% de werkelijke kansen moeten vallen bin-nen een interval d aan weerszijden van de bijbehorende frequenties.

Men stelt bijvoorbeeld, dat a niet groter mag zijn dan 5$ ©n d.

niet groter dan 7>5$« Voor a = 5$ i s volgens tabel 1 z = 1,358. Uit de

formule

7,5 > da = ± ^ . 10C$

volgt dan, dat n > 327 moet zijn.

In figuur 3 interpoleert men, dat n > 300 moet zijn. Een kleine af-wijking van n geeft slechts een geringe, in figuur 3 onzichtbare, afwij-king van d . De eis voor de maximale grootte van d is in de praktijk

meestal een raming'. Een grote nauwkeurigheid ten aanzien van de eis voor de steekproefgrootte heeft daarom weinig praktische waarde. In de prak-tijk is het daarom voldoende nauwkeurig figuur 3 te gebruiken voor het bepalen van de minimale steekproefgrootte.

Samenvatting

Het trekken van een steekproef uit een kansverdeling resulteert al-tijd in een afwijking van de steekproefverdeling ten opzichte van de kans-verdeling. Iedere empirische verdeling heeft een afwijking ten opzichte van haar werkelijke kansverdeling.

De werkelijke kansen kunnen niet uit een empirische verdeling worden bepaald, doch wel worden geschat. Zoals bij iedere schatting is er een kans op fout schatten. Wel kan een interval van kansen worden gegeven, waarbinnen de werkelijke kans zal liggen met een kans van a $ echter, dat de werkelijke kans nog buiten het interval ligt. De grootte van dit in-terval hangt af van de steekproefgrootte en het gekozen risico a'

-9-Indien hot interval om icdor punt van do cumulatieve frequentie-curve wordt uitgezet, verkrijgt men een betrouwbaarheidsinterval, waar-buiten de werkelijke kansverdeling niet voorkomt met oen kans vanafo dat dit toch zo is »

Statistisch verschilt een empirische verdeling van een andere, be-houdens dus oen risicoa^» indien ze geheel of gedeeltelijk buiten de botrouwbaarheidsgrenzen van de andere valt,ofwel indien de afstand tus-sen gelijkwaardige punten van de beide verdelingen groter is dan hot be-trouwbaarheidsinterval.

Be geschatte kanscurve moet binnon het betrouwbaarheidsgobied liggen-De grootste kans op een goede schatting hoeft men, indien de kanscurve

zdvcel mogelijk aan do punten van de frequentiecurve wordt aangepast.

Afwijkingen dienen met bepaalde hypothesen to worden gemot i-veer d.

De beoordeling van de resultaten van kleine steekproeven is zeer moeilijk. De steekproefgrootte dient voldoende groot te worden gekozen. Door hot te nemen risico en de grootte van het interval als voorwaarden te stellen wordt een minimum eis ten aanzien van de stoekproofgrootte vorkregen.

Literatuur

DIXON, V.J. and F.J.MASSEY, 1951 - Introduction to statistical analysis. New-York (I.C.W, il/34)

DEION, E.F., 1952 - Cursus "Parametervrije methoden" VI: De mediaantoets en de toets van Smirnov '

Rapport 576 van het Mathematische Centrum te Amsterdam. (i.c.w. 11/3)

FISZ, M., 1962 - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statis-tik. Berlin (i.C.W. Il/l82)

STOL, Ph.Th., 1963 - Een betrouwbaarheidsinterval voor frequentieverde-lingen en frequentiequotiönten. (i.C.V.-nota no. 187)

ri bC • H <H •r-, •H H <D ctS E-i (H o o > • H ^ ttS S d ni • n O CM Ö cö > hO C • H H CD T3 ^ CD > fcO CÖ TJ CD T ) S CÖ - H > U CÖ co n <D Ö bO cd cti '<-> - P Ö O O) T -o h Ö CD CÖ ft > CD •H bO - P S Ö - H CD H 3 CD o " ö CD U U CD «H > hû CD CÖ > TS d) •H <U - P T * CÖ H d S cri Ö t> 3 ü bO cri CD H T i ra u Ö CD Cß CD > Ö bO g d a • H Ö CD CO M M •<-> <D -r) !H H a' <D pq bO <D bO cri -p • d bO CD cd Ü H S H CO CD U ft CD CD CD • H Ö - P ö a -CD a CS* CD CD . M ^ T-3 «H - H H CD CD > hO 01 •H - P CÖ H a o O . O X •rl| Ö II •ri (-1 CÖ P -d CÖ . •1-3 O CM O O

o

in o m o o o -3-iPv CM MD O O i n MD . o o

o .

tn i n co ON NN co MD O N bO CÖ H tQ In CD CD C a a o CM O N N o

o

i n MD

o

o

c—-o C D O O N O O O o NN O MD . •* CM : ON n CM m #* NN --• k i n i n ^ CD I O Ö U I -H CD CÖ 3 3 O* O CD CÖ 1-3 CD U CD U CD «H H O O CD CM ft > u CD a CD - H CÖ - P - P > d CÖ : - H H Q> CD 3 a a s CD CÖ M •r-3 •H H CD •H > >H CC bO 3 cö d cö bO a -P bO CQ - n (H fn <D O O O r O Ö O o o o m CM

o

i n c~-o o o

o

»

o

o

o

*••

o

Nf •>.

o

o

*

o

«N 9

o

o I

m , o

CM o T- i n M D ' M D ••" il - il m | m tnlin 'CM o o o CM : i MD CM" CM I t \ N O N X N CM CM i NN NN •H U CÖ 3 d cö •r-3 O CM CD > 0 • H - P - P d CÖ CD H 3 3 u< a CD 3 u O «H I CM CM

+

MD I + M D MD I t >

-+

MD

o .

i n t n "* co ; n

-o

•^ i -r-O • •* ««d-i V •« i n MD . X ' ^ _CD 1 ON v«^ + <D c— T — «3-*« O N . O MD 1 i n CD i -O MD 1 O ~ CM v -X s—V C7\ 1 O ^~ \ ^ S + o> . tv\ 00 MD ». ON II O MD 1 T ~ » O - T— O MD 1 O CM T -><! ON 1

o

r -\ ^ S + ON CM ro, - 3 - i n M D _{CD ON} bO cö H ra u CD CD a CD > CD •H U CÖ Ö CÖ •r-3 •H -P - P Ö CÖ CD H 3 0 O * S CD 3 u O <H ^ ON O ö " Ö 'T-" i n CM

.m o

_{K N} -^1-o M D O CM" CM _{N"\ i n MD} CD ON bO cö H CQ CD CD fl a a o o O MD CM O N CM NN KN i n i n CD

o

iL

in S LL D C O z

ö

Ê f o

LU LL CÛ z cr h- <

ï l

_ j z < <r i -> z < UJ < Q h-Lü h-Lü lx! X cc en z LJJ Lü û e "O Z i TUSS E ERVA l \-û ± Z 1 < 00 CD Û cc — hl w > -L CC (- < LÜ < I CD U <fi CC 1-Lü I Z < > z III n c < < ^ *l,l G Z Lü _) I O 00 cc Lü > cc

o

o

> c O O c *~ <L> en c

°£

c~ o o O *

Oö

C0-£

c

o

o

o

o

O O ID O

o

m

o

G O O O CM O

o

o

C\J en o n (O u (1> • - • lJ- QJ > 0) •+-1 O 3

E

0 o r (D -t-1 C <D D er O) u C O) Ifl 0) O)

o

00

o

o

_r^-

o

tD

o

tD O ^ O

ro

O CM

CO en > L. D U 10 en ç "05 • D £_ CD > CD JC U — -t-> CD

r.

•*-> O

a

>

x:

c <D <D c_ O O >

c

>

I/) •D '<D x: c_ o o n O t _ +-> a; CD

in en 00 CM

u

00

i

A' '/

'

// , // / •*•••. / O CD 0)

c

CU

E

E

o If) •<-en c

5 \

en + j £_ c 0) en r" a

;,,,,,;,.,<>v,,i,l,,,^• <., oifty i ; ^ ( « y r , ,i-,»,

0) •O c eu O c eu > eu en > .ï: eu c c <u o D —' 7 C (U . -L. LL ce LU Q _ l

O

CL-IO \-< LU

O

CL O

o

(/> c eu a i o > eu > eu o C eu •'4

"•

'/,. : A/,

y/A '•/

-AA.M

LU

2

% X

A

O O - l e Le" > Q > (_ eu i •o eu _c t _

o

o

n

£

O L O o .c u m en O _ J O en m o ai L eu eu c

E

E

eu CE u

•

O m o

m

o o

u u c c u Lu ^

d

o

E

u c eu D cr eu 0) 1

m

0) 11

o

CD | O CD | | O N I O CD | O LO I O ^ i G ro

1

O co O if)

m

d>

en c 0 "O (_ > CD O • a c eu

E

to er a» L±J û c _J

§£

c/)

enhr

5â

^ UJ

a:

*E

E

<D en £ _ O

o

>

V

CD CD , -j in 0) T~ c a LD O II C

o

-c

CD D CT <b O CD lO O CT) i 0 "~

c

a

'•\. Ö -2 ^ CD II Ö — > V

X

X

\:::x

:

x

:

x

y'

:

%yyyy-::x':N:

:

x

:

eu c <b c- -S LL ° O O

o

CD 0) 10 O)

c*

•2, Q

O *"

: - \ x : x x

v

-s^x-x-:

•x-x^;-;.-:-

•x-x-x^:-X • •x-x-x^:-X • •x-x-x^:-X •x-x-x^:-X • •x-x-x^:-X •.*.*.•.•.".•.'.• *.•.•.'.•.•.'.'.' * * *.".".*.*• »

X \

-

X - X \ \

•yyyyyyyyy-.'.'.'.'.'.'.'.'•'•'• .•;.-. •.-.•.•.•.•.•.•. < . ' . ' . ' . * . • . " . ' . • . ' . • •:>yy-y-y-y: • : : : \ : > ; : : : :

-x:xs<xx-.

• • • ••••.•.•.•.•.•.-.-.v

o

m

ö ö

• a O O '

o .v

c a; cr O CD 0) tn

o

o

i i l i

o

m

ID

ID O O O ii ü_v/ m m u C O CD

>ö

* l

°?

a c

^ i a> "o

te

st

e

mdaa

r

sele

c

n

st

a

1 0 < CD o

5

o

S

o

.5 2

-4-> c en

§8

CT 1 a> —

t »

**. O + c CD L i .v' >

- Cumul

a

( volg

e

CD CT» 1 in 0) i

o

0) 1

o

00 1

o

r-1 O CD O in i

o

^T O CO O in

g"

O _O - I C II LLV/ m 01 <2

00

O

Li.

m