Amsterdam School of Economics
Gerry Vlak
Afstudeerscriptie voor de
Bachelor Actuariële Wetenschappen Universiteit van Amsterdam
Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics Auteur: Gerry Vlak
Studentnr: 10798951
Email: Gerry_vlak@hotmail.com
Datum: 26 juni 2018
Begeleider: Dr. T.J. Boonen
Risicokapitaalallocatie in een dynamische setting
Een analyse van de Euler-allocatie als effectieve
Verklaring eigen werk
Hierbij verklaar ik, Gerry Vlak, dat ik deze scriptie zelf geschreven heb en dat ik de volledige verantwoordelijkheid op me neem voor de inhoud ervan. Ik bevestig dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat ik geen gebruik heb gemaakt van andere bronnen dan die welke in de tekst en in de referenties worden genoemd. De Faculteit Economie en Bedrijfskunde is alleen verantwoordelijk voor de begeleiding tot het inleveren van de scriptie, niet voor de inhoud.
Inhoudsopgave
1 Inleiding 1
2 Theoretisch kader 3
2.1 Solvency II . . . 3
2.2 Value-at-Risk en Expected Shortfall . . . 4
2.3 Allocatieprobleem . . . 5
2.4 Euler-allocatie . . . 7
2.5 Proportionele methode . . . 8
2.6 Modelleren van risico . . . 10
3 Eigen onderzoek 11 3.1 Data . . . 11 3.2 Euler-allocatie . . . 13 3.3 Proportionele allocatie . . . 14 3.4 Statisch en dynamisch . . . 14 4 Resultaten en analyse 16 4.1 Model 1: Statische setting, normale verdeling . . . 16
4.2 Model 2: Statische setting, lognormale verdeling . . . 20
4.3 Model 3: Dynamische setting, normale verdeling . . . 23
4.4 Model 4: Dynamische setting, lognormale verdeling . . . 26
5 Conclusie 29
1
Inleiding
Een financi¨ele instelling is door de toezichthouder verplicht om de aan te houden buffer, die voorgeschreven wordt door regelgeving van Solvency II, toe te wijzen aan de verschillende divisies. De aan te houden buffer is het risicokapitaal. Het toewijzen van dit kapitaal aan de divisies van de instelling is de allocatie. Er zijn verschillende manieren om risicokapitaal te alloceren. In deze paper ligt de focus op de allocatie. Volgens De Angelis en Granito (2015, p. 2) wordt de Euler-allocatie gezien als de methode die het risicokapitaal zo eerlijk mogelijk verdeelt over de divisies.
Waar de Euler-allocatie veel onderzocht is op ´e´en bepaald moment, geldt dit in mindere mate voor de ontwikkeling van de Euler-allocatie over tijd. In deze pa-per is de Euler-allocatie naast statisch ook onderzocht in een dynamische setting. Voor financi¨ele instellingen is het niet gewenst dat de allocatie veel varieert over tijd. Zo stellen Balog, B´atyi, Cs´oka en Pint´er (2017) dat de allocatie van risicoka-pitaal van invloed is op, onder andere, het prijzen van producten, het vormen van risicolimieten en het meten van prestaties. Een financi¨ele instelling wil dus, naast dat de allocatiemethode het risico eerlijk verdeelt, ook dat de allocatie stabiel blijft bij kleine schommelingen in resultaten van divisies. De stabiliteit van de allocatie is afhankelijk van de gekozen allocatiemethode.
Het toepassen van een gepaste allocatiemethode is voor een financi¨ele instel-ling dus van belang. Centrone en Gianin (2018) stellen dat de Euler-allocatie bij consistente en differentieerbare risicomaatstaven zorgt voor een diversificatievoor-deel dat volledig verdiversificatievoor-deeld is over de divisies. Wanneer er echter geen sprake is van positieve homogeniteit moet volgens hen een alternatieve methode worden gekozen. Boonen, Tsanakas en W¨uthrich (2017) menen daarentegen dat bestaande methoden voor het alloceren van risicokapitaal, waaronder de Euler-allocatie, alleen werken onder onrealistische aannames. Zo stellen zij dat de Euler-allocatie ervan uitgaat dat portfolio’s bestaan uit lineaire combinaties van willekeurige verliesvariabelen en
dat een bedrijf zelf in staat is de portfoliogewichten te kiezen. Deze aannames zijn volgens hen dus onrealistisch, omdat het willekeurig schalen van risico’s in de con-text van verzekeren in het algemeen niet mogelijk is. Waar de Euler-allocatie aan de ene kant gezien wordt als een goede methode, wordt de methode aan de andere kant ook bekritiseerd. Reden genoeg dus om de Euler-allocatie te onderzoeken.
Dit alles leidt tot de centrale vraag die in deze scriptie wordt onderzocht: in hoeverre is de Euler-allocatie een effectieve allocatiemethode op het gebied van kwaliteit en stabiliteit. Om dit te bewerkstelligen is op verschillende manieren data uit bekende verdelingen gesimuleerd. Uit deze verdelingen is de theoretische waarde van het risicokapitaal afgeleid en hiermee ook de theoretische allocatie. Met de gesi-muleerde gegevens zijn resultaten van divisies van een bedrijf nagebootst. Met deze data zijn de allocaties berekend. Deze zijn vergeleken met de theoretische waarden en beoordeeld op stabiliteit. Ook zijn deze resultaten van de Euler-allocatie verge-leken met een proportionele methode.
De genoemde centrale vraag is in stappen beantwoord. Zo is in Hoofdstuk 2 de theoretische achtergrond beschreven. Om te beginnen zijn theorie¨en over risico-kapitaal en allocatiemethoden uiteengezet. Ook is dieper ingegaan op verschillende risicomaatstaven en het modelleren van verliezen. Verder zijn in dit hoofdstuk the-orie¨en over de Euler-allocatie en de proportionele allocatie beschreven. Vervolgens is in Hoofdstuk 3 de opzet van het eigen onderzoek besproken. Hierbij is de data uitgebreid beschreven en het eigen model opgesteld. Hierop aansluitend zijn de re-sultaten van het onderzoek beschreven en geanalyseerd in Hoofdstuk 4. Ten slotte is in Hoofdstuk 5 de conclusie gevormd.
2
Theoretisch kader
Voordat de centrale vraag wordt beantwoord wordt in dit hoofdstuk het allocatie-probleem uitgelegd. Allereerst wordt de regelgeving van Solvency II belicht. Daarna komen de eigenschappen van verschillende risicomaatstaven aan bod. Verder worden de Euler-allocatie en de proportionele allocatie uiteengezet. Ook wordt besproken hoe het risico kan worden gemodelleerd.
2.1
Solvency II
In de eerste pijler van het Solvency II beleid staat dat de kapitaalseis, de “Solvency Capital Requirement”, wordt berekend als de 99,5% Value-at-Risk. In Paragraaf 2.2 wordt uitgebreid aandacht besteed aan het begrip Value-at-Risk. Naast deze maatstaf kan een financi¨ele instelling er ook voor kiezen om, onder supervisie van de toezichthouder, zelf een model op te stellen dat beter bij het eigen risicoprofiel past. In deze paper is de 99,5% Value-at-Risk als geldende risicomaatstaf genomen. Naast deze maatstaf wordt ook de Expected Shortfall belicht in Paragraaf 2.2. Naast de kapitaalseis voor de firma als geheel is de instelling verplicht dit risicokapitaal toe te wijzen aan de verschillende divisies van de instelling. Denault (2001) meent dat de som van het risicokapitaal van verschillende divisies van de instelling doorgaans hoger is dan het risicokapitaal van de instelling als geheel. Volgens hem realiseert het bedrijf dus een daling van de verwachte kosten als het de activiteiten van de verschillende divisies poolt. Hij stelt dat dit voordeel vervolgens eerlijk moet worden verdeeld over de divisies.
Nu in deze paragraaf de relevante richtlijnen van Solvency II zijn belicht en het concept risicomaatstaf kort is genoemd volgt in de volgende paragraaf meer informatie over risicomaatstaven.
2.2
Value-at-Risk en Expected Shortfall
In deze paragraaf worden de eigenschappen van de gebruikte risicomaatstaf bespro-ken. Een risicomaatstaf is een functie die stochastische verliezen afbeeldt op re¨ele getallen. Eerst wordt bepaald aan welke eigenschappen een risicomaatstaf moet vol-doen. Vervolgens wordt dit voor twee risicomaatstaven gecheckt.
Artzner, Delbaen, Eber en Heath (1999) stellen bij het modelleren dat de risi-comaatstaf aan vier axioma’s moet voldoen om een rationele situatie voor te stellen voor alle begrensde stochastische verliezen X en Y:
Subadditief: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ),
Monotoon: Als voor alle X en Y: X ≤ Y, dan ρ(Y ) ≤ ρ(X), Positief homogeen: ρ(λX) = λρ(X), voor alle λ ≥ 0,
Translatie invariant: ρ(X + α) = ρ(X) + α, voor alle α ∈ R.
In deze paper worden deze axioma’s beschouwd als richtlijnen voor een goede risicomaatstaf. De Value-at-Risk en de Expected Shortfall zijn beoordeeld op deze axioma’s.
De door Solvency II gebruikte 99,5% Value-at-Risk is zo gedefinieerd: V aR99.5%(X) = inf [x ∈ R|P [X ≤ x] > 0.995] = FX−1(0.995).
Deze laatste stap kan alleen gemaakt worden voor continue verdelingen. Deze 99.5% Value-at-Risk is niet subadditief (Fischer, 2003). Ook Acerbi en Tasche (2002) stellen dat de Value-at-Risk niet subadditief is. Dit betekent volgens hen dat het risico van een divisie van een bedrijf hoger kan zijn dan de som van de risico’s van de divisies wanneer ze los van elkaar zouden staan, waardoor er bij deze risicomaatstaf niet gestimuleerd wordt om te diversificeren. Omdat het poolen van risico’s van verschillende divisies juist als doel heeft het totale risico te verkleinen, oftewel het proces van diversificatie, is dit niet gewenst. Verder stellen Acerbi en Tasche (2002) dat de Value-at-Risk als risicomaatstaf geen rekening houdt met de hoogte van een opgelopen schade, wat ook als een nadeel wordt beschouwd. Ook Panjer (2001) stelt
Jorgensen, Mandira, Samorodnitsky en De Vries (2005) menen echter dat de Value-at-Risk, bij verdelingen met een dikke staart, wel subadditief is in de staart. Omdat deze verdelingen vaak gebruikt worden in financi¨ele toepassingen, is het volgens hen dus niet nodig een andere methode te gebruiken dan de Value-at-Risk.
Panjer (2001) meent dat een andere maatstaf, de Tail-VaR, wel aan alle axioma’s voldoet en dus een consistente risicomaatstaf is. De Tail-VaR wordt ook de Expected Shortfall genoemd. De Expected Shortfall is gegeven door:
ρ(X) = ES(X) = 1 1 − Z 1 V aRα(X)dα,
voor ∈ [0, 1). Hierbij is V aRα(X) de α% Value-at-Risk van X. Omdat X
be-grensd is, convergeert de integraal. Acerbi en Tasche (2002) stellen dat de Expected Shortfall voldoet aan de genoemde axioma’s en dus een consistente risicomaatstaf is. Ook Inui en Kijima (2005) menen dat de Expected Shortfall een coherente risi-comaatstaf is. Volgens hen is de Expected Shortfall het verwachte verlies, gegeven dat het verlies meer is dan de Value-at-Risk. Daarentegen is de Expected Shortfall, vooral bij dikstaartige verdelingen, instabiel (Yamai, & Yoshiba, 2002).
In deze paragraaf zijn de eigenschappen van de Value at Risk en de Expec-ted Shortfall geanalyseerd. Er is geverifieerd of de risicomaatstaven voldoen aan de vier axioma’s van Artzner et al. (1999). De conclusie is dat de Expected Shortfall, in tegenstelling tot de Value-at-Risk, voldoet aan de axioma’s en dus geschikter is als risicomaatstaf in deze context. Echter, er wordt in onderzoeken toch vaak de Value-at-Risk gebruikt (Fischer, 2003). Bovendien stelt de regelgeving van Solvency II deze methode voor. Om deze redenen is in deze paper de Value-at-Risk gebruikt als risicomaatstaf.
2.3
Allocatieprobleem
In deze paragraaf wordt dieper ingegaan op het allocatieprobleem. Verschillende theorie¨en worden beschreven en geanalyseerd.
Volgens Denault (2001) moet naast de risicomaatstaf ook de allocatie voldoen aan axioma’s. Hij stelt dat er geen “undercut” mag zijn, wat wil zeggen dat een divisie niet meer risicokapitaal krijgt toegeschreven dan dat het op zichzelf heeft. Dit moet ook gelden voor coalities van divisies. Verder meent hij dat er symmetrie moet zijn, wat inhoudt dat de risicokapitaalallocatie van een divisie alleen afhangt van het risico dat de divisie inbrengt in het bedrijf, en van niets anders. Ten slotte moet er volgens hem een risicoloze allocatie zijn. Dit houdt in dat een risicoloze portfolio exact zijn risicomaatstaf gealloceerd moet krijgen.
Denault (2001) gebruikt speltheorie om de optimale allocatie te bepalen. In het tweede deel van zijn onderzoek tracht hij een optimale allocatie te vinden met de aanname dat divisies deelbaar zijn. Met coalitiespelen met fractionele spelers vindt hij een optimale allocatie, die hij de Aumann-Shapley Value noemt. Hij stelt dat de oplossing, de gradi¨ent, naast solide ook simpel te berekenen is onder lineariteit. De methode die hij toepast is exact hetzelfde als de Euler-allocatie en in deze paper is deze oplossing dus ook beschouwd als de Euler-allocatie.
Ook Boonen, Tsanakas en W¨uthrich (2017) gebruiken speltheorie om de opti-male allocatie te vinden. Zij menen dat bij het allocatieprobleem op speltheoretisch gebied vaak het verkeerde spel gespeeld wordt, maar dat de Euler-allocatie alsnog een goede oplossing is. Hoewel de Euler-allocatie voorkomt uit het verkeerde spel is het volgens hen dus desondanks een goede oplossing voor het allocatieprobleem. Daarentegen stellen zij dat het alleen in lineaire gevallen een samenhangende al-locatie is. Zij menen dat dit niet gewenst is, omdat lineariteit de voordelen van diversificatie wegneemt.
Naast de Euler-allocatie is in deze paper een proportionele allocatiemethode onderzocht om de Euler-allocatie mee te vergelijken. De proportionele methode komt, net zoals de Eulermethode, in de volgende secties aan bod.
2.4
Euler-allocatie
Waar in de vorige paragraaf al wat theoretische achtergronden zijn besproken over de Euler-allocatie wordt in deze paragraaf dieper ingegaan op de wiskundige berekening. Ook wordt geverifieerd of de Euler-allocatie aan de gestelde axioma’s voldoet.
Denault (2001) definieert de Aumann-Shapley Value als de gradi¨entoplossing. Deze Aumann-Shapley Value is gelijk aan de Eulermethode. Verder meent hij dat deze allocatie, op voorwaarde van een coherente risicomaatstaf, voldoet aan de drie gestelde axioma’s voor een allocatie. Ook Boonen et al. (2017) defini¨eren de Euler-allocatie als de gradi¨ent. Wiskundig ziet de gradi¨entoplossing van Denault (2001) er als volgt uit:
KiEuler = ∂ρ(T (λ)) ∂λi
|λ=(1,...,1),
waarbij T (λ) = Pn
i=1λiXi. Dit is de oplossing mits de gradi¨ent bestaat. Hierbij
is ρ(T (λ)) de functie voor het risicokapitaal van de firma. Verder is λi het niveau
van aanwezigheid van divisie i. Tasche (1999) stelt dat Pn i=1K
Euler
i = ρ(X), zodat
het risicokapitaal volledig gealloceerd wordt. Toegepast op de 99,5% Value-at-Risk risicomaatstaf geldt dan:
KiEuler = ∂F
−1
T (λ)(0, 995)
∂λi
|λ=(1,...,1).
Hierbij is F de verdelingsfunctie van continue stochasten.
Tasche (2008) stelt dat de formule van Euler het volgende impliceert voor het schatten van de Value-at-Risk:
KiEuler = E[Xi|X = V aRα(X)].
Hierbij is E[Xi|X] de conditionele verwachting van Xi gegeven X. Dit is ook in deze
paper gebruikt.
Voor een normaal verdeelde stochast met parameters µ en σ2, geldt dat de α% Value-at-Risk gelijk is aan µ + σΦ−1(α). Voor de Euler-allocatie betekent dit:
KiEuler = ∂F −1(λ) ∂λi = ∂(µ(λ) + σ(λ)Φ −1(0, 995)) ∂λi |λ=(1,...,1).
Hierbij zijn µ(λ) en σ(λ) gelijk aan respectievelijk de verwachting en standaardde-viatie van de stochast T (λ) =Pn
i=1λiXi.
Daarnaast is bij een lognormaal verdeelde stochast met parameters µ en σ2 de α% Value-at-Risk gelijk aan exp(µ+σΦ−1(α)), omdat V aRα(f (X)) = f (V aRα(X)),
als f monotoon is. Deze afleidingen zijn ook in deze paper gebruikt.
Zoals zojuist is laten zien wordt in de berekening van de Euler-allocatie naar divisie i de parti¨ele afgeleide genomen naar λi. Buch en Dorfleitner (2008) menen
dat de Euler-allocatie, als de risicomaatstaf differentieerbaar is en de afgeleiden con-tinu zijn, de unieke allocatie is geschikt voor financi¨ele prestatiemeting. De aanname van differtieerbaarheid is niet altijd gewaarborgd.
2.5
Proportionele methode
De Euler-allocatie die in de vorige paragraaf besproken is, wordt vergeleken met de proportionele allocatie. Deze manier van alloceren komt in de praktijk vaak voor. In deze paragraaf wordt de methode uiteengezet.
Urbina en Guill´en (2014) stellen dat een proportionele allocatie ervoor zorgt dat hoe hoger het risico van een divisie, hoe meer risicokapitaal deze krijgt toege-schreven. Mede om deze reden wordt de proportionele allocatie vaak toegepast. De achterliggende gedachte dat een divisie meer risicokapitaal gealloceerd moet krijgen wanneer een divisie risicovoller is, is eenvoudig te begrijpen. Bovendien is de pro-portionele allocatie eenvoudig uit te rekenen. De methode van Urbina en Guill´en (2014) is in deze paper gebruikt voor de proportionele allocatie. Allereerst is door hen van alle divisies het risicokapitaal berekend alsof deze divisies op zichzelf zouden staan. Vervolgens berekenen zij het risicokapitaal van de instelling als geheel. Ten slotte schalen ze de risicokapitalen van de divisies, zodat de som van de gealloceerde risicokapitalen gelijk is aan het risicokapitaal van de instelling als geheel. Wiskundig wordt dit als volgt beschreven:
ρ(Xi) = V aRα(Xi), ρ(X) = V aRα(X), waarbij X = Pni=1Xi, en dan geldt: Kiprop = V aRα(X) V aRα(Xi) Pn i=1V aRα(Xi) .
Urban, Dittrich, Kl¨uppelberg en St¨olting (2003) stellen dat deze allocatie-methode het risicokapitaal alleen op een correcte wijze verdeelt als resultaten van de divisies ongecorreleerd zijn. Ook Urbina et al. (2014) concluderen dat een correcte allocatie de correlatie van divisies in bedrijven mee neemt in de beslissing, wat bij de proportionele methode niet het geval is. Er wordt bij deze allocatiemethode dus geen rekening gehouden met de correlatie, wat bij een financi¨ele instelling wel het geval moet zijn. Om dit te illustreren volgt een duidelijk voorbeeld van drie divisies waarbij Xi het verlies van divisie i is en Z een standaardnormaal verdeelde stochast:
X1 = Z, X2 = Z, en X3 = −Z. Dan geldt dat P3i=1Xi = Z en dus ook
standaard-normaal verdeeld. Dan geldt voor i = 1, 2, 3: Kiprop= V aRα(Z) V aRα(Z) P3 i=1V aRα(Z) = 1 3V aRα(Z)
Dit is het geval omdat V aRα(Z) = V aRα(−Z). De proportionele allocatie maakt
in deze situatie dus geen onderscheid tussen de divisies en alloceert naar elke divisie hetzelfde, terwijl Divisie 3 perfect negatief gecorreleerd is met de andere divisies. De Euler-allocatie speelt hier wel op in:
KiEuler = ∂V aR(λ1Z + λ2Z − λ3Z) ∂λi
|λ=(1,1,1).
In deze situatie geldt dat KiEuler = V aRα(Z) voor i = 1, 2, en KiEuler = −V aRα(Z)
voor i = 3. Hoewel dit voorbeeld niet realistisch is toont het wel aan dat de propor-tionele methode de correlatie niet in acht neemt.
In deze paragraaf is de proportionele allocatiemethode besproken. Samenvat-tend komt de proportionele allocatie in de praktijk vaak voor, is de allocatie relatief simpel uit te rekenen en is de achterliggende gedachte dat divisies met meer risico meer risicokapitaal gealloceerd moeten krijgen intu¨ıtief logisch. De methode geeft echter niet de optimale verdeling.
2.6
Modelleren van risico
In deze paragraaf wordt het risico zelf geanalyseerd. Hoewel in Hoofdstuk 3 dieper wordt ingegaan op de data komt in deze paragraaf wel de theoretische achtergrond van de gebruikte verdelingen aan bod.
De risico’s zijn in dit onderzoek beschouwd als verliezen. Om te beginnen is de normale verdeling gebruikt om verliezen te modelleren. Hiervoor is gekozen omdat de normale verdeling prettige eigenschappen heeft om de Value-at-Risk op toe te passen. Ook wordt de lognormale verdeling gebruikt om verliezen te model-leren. Marlin (1984) meent dat de lognormale verdeling een van de meest gebruikte verdelingen is om verliezen te modelleren. In Hoofdstuk 3 wordt het gebruik van de normale en lognormale verdeling verder toegelicht.
Waar de normale verdeling symmetrisch is, concluderen Guill´en, Prieto en Sarabia (2011) dat verliezen juist gekenmerkt worden door asymmetrie. Er zijn vol-gens hen gewoonlijk veel kleine claims en een aantal ongebruikelijke extreem grote claims. Ook menen zij dat de keuze van de gebruikte verdeling grote impact heeft op het beoordelen van risico’s.
Volgens Ghitany, G´omez-D´eniz en Nadarajah (2018) is de Pareto-verdeling een veel gebruikte verdeling die wel rekening houdt met extreem grote claims. Zij stellen dat de uitkeringen van een verzekeraar in het algemeen grotendeels afhangen van een aantal grote claims. Volgens hen is het cruciaal om een geschikte schattings-methode toe te passen waar deze extreme claims in worden meegenomen. Zij menen dat de Pareto-verdeling gezien wordt als geschikte verdeling. Het heeft prettige ei-genschappen en het geeft een goede beschrijving van het gedrag van grote verliezen. In deze paragraaf is het modelleren van verliezen toegelicht. Met deze pa-ragraaf is het theoretisch kader afgesloten. Nu de theoretische achtergrond over risicokapitaalallocatie en in het bijzonder de Euler-allocatie is beschreven, volgt in Hoofdstuk 3 de opzet van het eigen onderzoek.
3
Eigen onderzoek
Om te beginnen wordt in dit hoofdstuk de data beschreven. Vervolgens worden de eigen modellen opgesteld. Deze modellen zijn gebruikt om de Euler-allocatie en de proportionele allocatie te bepalen.
3.1
Data
Er is gekozen om verliezen te simuleren uit specifieke verdelingen. Dit in tegenstel-ling tot bijvoorbeeld het nemen van indices als verliezen. Op deze manier kunnen de gesimuleerde allocaties vergeleken worden met theoretische allocaties die bekend zijn uit de verdelingen.
Allereerst zijn de verliezen gesimuleerd uit de normale verdeling. Het vol-gende model is hiervoor gebruikt:
Xi,t = Xi,t−1(1 + µi) + σiZi,t (1)
Hierbij is aangenomen voor Zi,t dat [Z1,t, Z2,t, Z3,t] ∼ N (0, Σ),
met Σ = 1 0, 6 −0, 4 0, 6 1 −0, 75 −0, 4 −0, 75 1 .
Hierbij is [Z1,t, Z2,t, Z3,t] onafhankelijk en identiek verdeeld over tijd.
De variabele Xi,t geeft het verlies van divisie i op tijdstip t weer. Er is gekozen
om het bedrijf uit drie divisies te laten bestaan en te beginnen met Xi,1 = 1 voor
i = 1, 2, 3. Verder is µi de verwachting van Xi, die in dit onderzoek gelijk gesteld
is aan 0, omdat de verliezen per dag worden berekend. De standaarddeviatie σi
is gelijk gesteld aan √0,50
250, omdat 0,50 gekozen is als de standaarddeviatie van het
jaarlijkse rendement, en 250 omdat er ongeveer 250 werkdagen zijn in een jaar. Op deze manier is, voor t = 1 tot en met t = 1.000, Zi,t gesimuleerd uit de multivariaat
normale verdeling. Hiermee zijn voor i = 1, 2, 3 de vectoren Xi,t berekend, die
In model twee zijn de verliezen gesimuleerd uit de lognormale verdeling. Dit is gedaan met het volgende model:
Xi,t = Xi,t−1(1 + µi+ σiZi,t) (2)
Hier is voor µi, σi en Zi,t hetzelfde aangenomen als in het eerste model. Ook is Xi,t
hier weer voor t=1 tot en met t=1.000 gesimuleerd. Deze procedure is wederom 10.000 keer herhaald.
Losstaand van het statische model dat zojuist is beschouwd, is ook een dyna-mische setting onderzocht. Bij dit onderdeel van het onderzoek zijn de Value-at-Risk en de allocaties bepaald aan de hand van de waarnemingen van de afgelopen tien jaar, 2.500 waarnemingen dus. Om dit te onderzoeken is dus eerst het verleden van tien jaar gesimuleerd. Dit verleden bevat de waarnemingen Xi,−2.499tot en met Xi,0,
voor i = 1, 2, 3, waarbij is aangenomen dat Xi,−2.499 = 1 voor i = 1, 2, 3.
Daarop-volgend is nog negen jaren doorgesimuleerd, wat resulteert in Xi,−2.499 tot en met
Xi,2.250, voor i = 1, 2, 3. Op deze wijze zijn voor jaar 1, op t = 1, de Value-at-Risk
en de allocaties bepaald over Xi,−2.499 tot en met Xi,0. Voor jaar 2, op t = 251, zijn
Value-at-Risk en de allocaties berekend over Xi,−2.249 tot en met Xi,250. Voor jaar
10, op t = 2251, zijn de Value-at-Risk en de allocaties berekend over Xi,−249 tot en
met Xi,2.250. Op deze wijze zijn de Euler-allocatie en de proportionele allocatie voor
jaar 1 tot en met jaar 10 ieder jaar berekend.
Hier is dus uit beide modellen, met weer dezelfde aannamen voor µi, σi en
Zi,t, voor negentien achtereenvolgende jaren Xi,t gesimuleerd. Dit resulteert dus in
4.750 dagelijkse verliezen, Xi,−2.499 tot en met Xi,2.250, voor i = 1, 2, 3, gesimuleerd
uit de normale verdeling, en nog eens 4.750 dagelijkse verliezen, Xi,−2.499tot en met
Xi,2.250, voor i = 1, 2, 3, gesimuleerd uit de lognormale verdeling. Deze procedure is
3.2
Euler-allocatie
Met deze Xi,t gegevens is vervolgens de Value-at-Risk berekend voor de instelling
als geheel als het 99.5e kwantiel van de geordende waarnemingen. Verder is de
Euler-allocatie op basis van deze data uitgerekend. De Value-at-Risk en de allocatie zijn vervolgens vergeleken met de theoretische Value-at-Risk en allocatie die horen bij de op een specifieke manier verdeelde stochasten Xi. Dit is wiskundig als volgt
gedaan: ρ(P3
i=1λiXi), met ρ(X) = V aR0,995(X).
Bij normaal verdeelde verliezen is de theoretische Euler-allocatie die hierbij hoort dan als volgt berekend:
KiEuler = ∂V aR0,995(λ1X1+ λ2X2+ λ3X3) ∂λi |λ=(1,1,1) = ∂Fλ−1 1X1+λ2X2+λ3X3(0, 995) ∂λi |λ=(1,1,1) = ∂(µ(λ) + σ(λ)Φ−1(0, 995)) ∂λi |λ=(1,1,1).
Hierbij is in de laatste term µ de verwachting en σ de standaarddeviatie van de stochast T (λ) =Pn
i=1λiXi. De constante Φ
−1(0, 995) is het 99, 5e kwantiel van de
standaardnormale verdeling. De verwachting µ is gelijk aan λ1 + λ2+ λ3. Verder
geldt dat:
σ2T = λ21σX21+ λ22σX22 + λ23σX23+ 2(λ1λ2γ(X1, X2) + λ1λ3γ(X1, X3) + λ2λ3γ(X2, X3)).
Hierbij is γ(Xi, Xj) de covariantie tussen Xi en Xj. De benodigde σT is gelijk aan
pσ2 T.
Omdat geldt dat V aR(eX) = eV aR(X) als X lognormaal verdeeld is, geldt dat
de V aR0,995 bij een lognormale verdeling gelijk is aan eµ+σΦ
−1(0,995)
. Met dezelfde afgeleide is voor de lognormale verdeling de Euler-allocatie berekend:
KiEuler = ∂e
µ(λ)+σ(λ)Φ−1(0,995)
∂λi
.
Hierbij is voor µ en σ hetzelfde aangenomen als bij de normale verdeling.
De gesimuleerde allocatie wordt, zoals vermeld in Paragraaf 2.4, met de vol-gende formule gevonden:
3.3
Proportionele allocatie
De berekening van de proportionele allocatie is simpeler. Om te beginnen is de Value-at-Risk van de divisies apart, ρ(X1), ρ(X2) en ρ(X3) berekend. Ook de
Value-at-Risk van de instelling als geheel, ρ(X), is berekend, waarbij X = P3
i=1Xi. De
theoretische waarde van ρ(X) hangt bij de normale verdeling alleen af van σX, die
berekend is zoals in de vorige paragraaf. De gesimuleerde waarde van de Value-at-Risk is simpelweg het 99, 5e kwantiel van de geordende waarnemingen. Wiskundig
ziet dit er als volgt uit:
Kiprop = ρ(X) ρ(Xi) P3 i=1ρ(Xi) = V aR99,5%(X) V aR99,5%(Xi) P3 i=1V aR99,5%(Xi) .
3.4
Statisch en dynamisch
De allocatiemethoden zijn onderzocht in zowel een statische als een dynamische set-ting. Bij de statische setting is over vier jaar, dus aan de hand van 1.000 waarnemin-gen, een Value-at-Risk berekend, gelijk aan het 99.5e kwantiel van de gesimuleerde
waarden. Op basis hiervan zijn de allocaties bepaald. Hier is voor vier jaar gekozen omdat bij een eenjarig onderzoek met slechts 250 waarnemingen geen betrouwbare resultaten worden gevonden. Bij het nemen van vier jaar worden de Value-at-Risk en de allocaties bepaald aan de hand van 1.000 waarnemingen, wat een betrouw-baarder beeld geeft.
In de dynamische setting is gekozen om de Value-at-Risk te berekenen over tien jaar waarnemingen. Hiervoor is eerst voor tien jaar resultaten uit het verle-den gesimuleerd, van t = −2.499 tot en met t = 0, en vervolgens nog negen jaar resultaten van t = 1 tot en met t = 2250. Zo zijn gedurende 10 jaar, vanaf tijdstip t = 1 tot en met tijdstip t = 2251, steeds na 250 dagen, een jaar, de Value-at-Risk en de bijbehorende allocaties berekend. Op deze wijze is beoordeeld in hoeverre de
Er zijn dus vier modellen onderzocht: de statische setting met data uit de normale verdeling, de statische setting met data uit de lognormale verdeling, de dynamische setting met data uit de normale verdeling en de dynamische setting met data uit de lognormale verdeling.
Met de genoemde modellen zijn de Euler-allocatie en de proportionele allo-catie onderzocht. De resultaten en een analyse hiervan volgen in Hoofdstuk 4.
4
Resultaten en analyse
In dit hoofdstuk worden de gevonden resultaten weergegeven en geanalyseerd. Al-lereerst is een statisch model onderzocht met normaal verdeelde verliezen. Naar dit model wordt gerefereerd als Model 1. Daarna is een statisch model toegepast op lognormaal verdeelde verliezen, welk model vanaf nu Model 2 genoemd wordt. In Model 1 en Model 2 is de Value-at-Risk bepaald aan de hand van vier jaar waarnemingen. Vervolgens is een dynamisch model gebruikt om normaal verdeelde verliezen te analyseren. Dit model wordt vanaf nu Model 3 genoemd. Ten slotte is met een dynamisch model een analyse gemaakt van lognormaal verdeelde verliezen. Naar dit model wordt gerefereerd als Model 4. Bij de dynamische modellen, Model 3 en Model 4, is de Value-at-Risk bepaald aan de hand van tien jaar waarnemin-gen. Op deze wijze kan een goed beeld gevormd worden van de stabiliteit van de allocatiemethoden.
4.1
Model 1: Statische setting, normale verdeling
In deze paragraaf worden eerst de resultaten van Model 1 afgebeeld. Vervolgens zijn de resultaten van dit model geanalyseerd. Van de 10.000 simulaties uit Model 1 is per divisie een histogram gemaakt voor de Euler-allocatie en de proportionele allocatie, die steeds over elkaar heen zijn afgebeeld. Hier volgt Figuur 1 met de histogrammen van Divisie 1:
Figuur 1: Allocatie Divisie 1 met Model 1
Figuur 1 laat zien dat de theoretische allocatiewaarde van de Eulermethode hoger ligt dan de proportionele methode. Dit laten de zwarte en groene verticale lijnen zien. Verder is te zien dat de gesimuleerde waarden van de allocatie naar Divisie 1 van de Eulermethode ook hoger zijn dan de proportionele methode. De histogrammen van Divisie 2 zijn hieronder afgebeeld in Figuur 2:
In Figuur 2 komt naar voren dat de theoretische waarde van de Euler-allocatie bijna gelijk is aan de theoretische waarde van de proportionele allocatie. Verder laat de grafiek zien dat de proportionele grafiek vlakker is met een lagere piek, terwijl de Euler-allocatie een smalle hoge piek heeft. Hieronder is hetzelfde afgebeeld voor Divisie 3 in Figuur 3:
Figuur 3: Allocatie Divisie 3 met Model 1
Vergelijkbaar met het resultaat van Divisie 2 komt in Figuur 3 naar voren dat ook voor Divisie 3 geldt dat de Euler-allocaties meer gespreid zijn vergeleken met de proportionele allocaties, en er een smalle hoge piek is. De theoretische waarde van de Euler-allocatie naar Divisie 3 is juist lager dan de theoretische proportionele al-locatie naar Divisie 3, tegengesteld aan de theoretische alal-locaties naar Divisie 1.
Alle figuren overziend komt naar voren dat de proportionele methode evenveel alloceert naar elke divisie. Dit is ook wat we verwachten, omdat de standaarddeviatie voor elke divisie hetzelfde is. Waar de Eulermethode verschilt van de proportionele methode is dat bij de Eulermethode de correlatie tussen de divisies onderling wordt meegenomen in de berekening. De data is zo geconstrueerd dat Divisie 3 negatief
”hedge”voor de instelling. De instelling wil dus dat Divisie 3 minder risicokapitaal gealloceerd krijgt. Dit komt ook naar voren in de figuren, kijkend naar de theore-tische allocatiewaarden die weergegeven worden door de verticale zwarte en groene lijnen. Zo is in Figuur 3 te zien dat de theoretische waarde van de Euler-allocatie naar Divisie 1 lager is dan de theoretische proportionele allocatie naar Divisie 3. In Figuur 1 is dit juist tegenovergesteld.
Verder is in Figuur 3 duidelijk te zien dat de Euler-allocatie naar Divisie 3 in veel gevallen lager is dan de proportionele allocatie naar Divisie 3. Dit wordt ge-compenseerd door de allocatie naar Divisie 1. In Figuur 1 komt namelijk naar voren dat het zwaartepunt van de histogram van de Euler-allocatie meer naar rechts ligt in vergelijking met de proportionele allocatie. Zo blijkt dus dat de Euler-allocatie het gewenste effect heeft dat de allocatie naar Divisie 3 lager is.
Naast dit verschil komt ook naar voren dat de range van de Euler-allocaties groter is dan die van de proportionele allocaties. De histogrammen laten dit bij elke divisie zien, dus de Euler-allocatie is volatieler en gevoeliger voor simulatiefouten. Hiervoor kan een oorzaak worden gezocht in het feit dat de Euler-allocatie maar ´e´en waarneming in acht neemt, namelijk de 99.5% Value-at-Risk van de instelling als geheel. Op basis van deze waarneming ligt de Euler-allocatie vast. De proportionele allocatie hangt af van de 99.5% Value-at-Risk van de instelling als geheel, maar ook van de 99.5% Value-at-Risks van de divisies apart genomen. Zo kan gesteld worden dat de kans op een extreme uitkomst voor de proportionele methode kleiner is.
Op basis van de 10.000 simulaties is de conclusie dat de Euler-allocatie het risicokapitaal eerlijker verdeelt en beter inspeelt op de correlatie tussen verschillende divisies. Zo is bij de Euler-allocatie verschil te zien tussen de divisies en wordt bij de proportionele methode naar iedere divisie ongeveer evenveel gealloceerd. Dit is een belangrijk voordeel van de Euler-allocatie. Daarentegen hebben de histogrammen van de allocatie, ongeacht naar welke divisie, een grotere range. De Euler-allocatie is dus gevoeliger voor de simulatiefout en volatieler.
4.2
Model 2: Statische setting, lognormale verdeling
Dit deel van het onderzoek is hetzelfde opgebouwd als Model 1. Om te beginnen volgen de resultaten die kort worden beschreven. Vervolgens worden de resultaten geanalyseerd. De histogrammen van de Euler-allocatie en de proportionele allocatie van elke divisie, met data gesimuleerd met Model 2, zijn weer over elkaar afgebeeld. Voor de duidelijkheid is een andere kleur gebruikt. Hier volgt als eerste het resultaat van de allocatie naar Divisie 1 in Figuur 4:
Figuur 4: Allocatie Divisie 1 met Model 2
Figuur 4 laat zien dat bij Divisie 1 de piek in de Euler-allocaties wederom verder naar rechts ligt dan bij de proportionele allocaties. Wat verder opvalt is een relatief hoog aantal lage waarden bij de Euler-allocatie. Vergeleken met de allocatiemetho-den naar Divisie 1 in Model 1 is verder de rechterstaart bij beide methoallocatiemetho-den wat dikker in Model 2. Nu volgt de afbeelding voor Divisie 2, Figuur 5:
Figuur 5: Allocatie Divisie 2 met Model 2
In Figuur 5 is hetzelfde beeld te zien als in Figuur 4, met het verschil dat er zelfs nog een piek is bij bij de Euler-allocatie bij hele lage waarden. Wat ook zowel in Figuur 4 als in Figuur 5 naar voren komt is dat de Euler-allocaties volatieler zijn dan de proportionele. Als laatste volgen hieronder de resultaten voor Divisie 3 in Figuur 6:
Figuur 6 illustreert duidelijk het verschil tussen de twee allocatiemethoden. De Euler-allocatie naar Divisie 3 heeft veel waarnemingen lager dan 0,5, terwijl de pro-portionele methode dit bijna niet heeft. Verder zijn er ook juist meer extreem hoge waarden van de Euler-allocatie in vergelijking met de proportionele methode.
Bij het analyseren van Figuur 4, Figuur 5 en Figuur 6 is meteen duidelijk dat de proportionele allocaties weer vergelijkbaar zijn voor elke divisie. Dit is van-zelfsprekend ook in dit model de verwachting, omdat ook nu de standaarddeviaties van de divisies apart gezien weer gelijk zijn. Wel is te zien dat de rechterstaart van de histogrammen van de proportionele allocaties dikker is in vergelijking met de rechterstaart van de histogrammen van de proportionele allocaties bij Model 1. De oorzaak hiervoor is dat de gesimuleerde Xi,t sneller omhoog gaan bij hoge waarden
van Zi,t. Dit is te zien in de vergelijking 2 in Hoofdstuk 3. Ook kunnen de waarden
van Xi,t sneller omlaag gaan, bij lage waarden van Zi,t. Om deze reden zijn er ook
veel meer waarnemingen van de Euler-allocatie die heel laag zijn bij alle drie divisies. Kortom, de waarden van de allocaties zijn extremer bij het gebruik van lognormaal verdeelde verliezen. Geconcludeerd kan worden dat de verschillen tussen de Euler-allocatie en de proportionele Euler-allocatie groter zijn bij het gebruik van de lognormale verdeling, een verdeling die verliezen beter weerspiegeld dan de normale verdeling.
Daarnaast komt ook bij het gebruik van de lognormale verdeling naar voren in de resultaten dat de Euler-allocatie naar Divisie 3 lager is dan de proportio-nele allocatie naar Divisie 3. Daarnaast is, voor alle divisies, de spreiding van de Euler-allocatie, net zoals in Model 1, groter dan de spreiding van de proportionele allocaties. Dit komt ook terug als we de standaarddeviaties bekijken. De standaard-deviaties van de Eulermethode zijn voor Divisie 1, 2 en 3 respectievelijk 1,08, 1,05 en 1,1 keer zo groot als de standaarddeviaties van de proportionele allocatie naar Divisie 1, 2 en 3. Deze factors zijn echter kleiner dan bij het gebruik van de normale verdeling. De factors in Model 1 zijn namelijk gelijk aan 1,19, 1,42 en 1,72. Bij het gebruik van de lognormale verdeling, die volgens de theorie het gedrag van verliezen
beter weergeeft, is het verschil in standaarddeviatie tussen de Euler-allocatie en de proportionele allocatie dus nog steeds aanwezig, maar wel kleiner in vergelijking met het gebruik van de normale verdeling.
De conclusies van Model 2 zijn dat ook bij het gebruik van de lognormale verdeling geldt dat de Euler-allocatie het risicokapitaal eerlijker verdeelt, maar wel onzekerder is. In vergelijking met Model 1 zijn de verschillen tussen de Euler-allocatie en de proportionele Euler-allocatie groter. Het verschil in de onzekerheid van beide methoden is juist kleiner.
4.3
Model 3: Dynamische setting, normale verdeling
De resultaten van de Euler-allocatie en de proportionele allocatie, en in het bijzonder de ontwikkeling hiervan over tijd, zijn in deze paragraaf weergegeven en geanaly-seerd. Van drie simulaties zijn hieronder de resultaten afgebeeld in Figuur 7, Figuur 8 en Figuur 9.
Figuur 8: Dynamische allocatie met Model 3, simulatie 2
Figuur 9: Dynamische allocatie met Model 3, simulatie 3
Om te onderzoeken of de Euler-allocatie stabiel is, is deze tien jaar achtereen bere-kend. Ook de proportionele allocatie is op deze wijze berebere-kend. Zo kunnen de twee methoden vergeleken worden op het gebied van stabiliteit. Er zijn drie simulaties
kelen over tijd. Duidelijk wordt bij het analyseren van deze drie figuren dat ook in de dynamische setting de Euler-allocatie naar Divisie 3 in de meeste gevallen lager is dan de proportionele allocatie naar Divisie 3. Dit is wederom door het feit dat de ”hedge”die Divisie 3 is voor de resultaten van het bedrijf wel wordt meegenomen in de formule voor de Euler-allocatie en niet in de proportionele methode. Ook is in de meeste gevallen dan ook de Euler-allocatie naar Divisie 1 en 2 hoger dan de proportionele allocatie naar deze divisies. Alleen is te zien in simulatie 1 dat vanaf jaar 5 het verlies van Divisie 3 op een bepaald moment zo groot is geweest dat het meeste is gealloceerd naar Divisie 3.
Een ander gegeven dat af te lezen valt uit de grafieken is dat de Euler-allocaties volatieler zijn dan de proportionele Euler-allocaties. Op het gebied van stabi-liteit is dit een belangrijke constatering. Bij een verandering verspringen de Euler-allocaties meer dan de proportionele, wat duidelijk naar voren komt in al de drie simulaties. Het duidelijkste voorbeeld hiervan is te zien in de verspringing van de allocaties van jaar 9 naar jaar 10 in simulatie 1. Waar zowel de Euler-allocaties als de proportionele allocaties van jaar 5 tot en met jaar 9 stabiel zijn springen de Euler-allocaties naar Divisie 2 en 3 ineens extreem naar respectievelijk beneden en naar boven. De proportionele allocaties reageren ook, maar duidelijk minder extreem. Bij een stabiele periode van vier jaar is het niet realistisch dat de allocaties in het daaropvolgende jaar extreem veranderen. Verder is de instabiliteit ook in simulatie 2 en in simulatie 3 te zien. Het is dus geen incident dat de Eulermethode minder stabiel over tijd is in vergelijking met de proportionele methode.
Op basis van deze bevindingen is de conclusie dat de Eulermethode, verge-leken met de proportionele methode, meer onzekerheid en instabiliteit geeft bij de risicokapitaalallocatie in een dynamische setting. Dit is voor een financi¨ele instel-ling een reden om de Euler-allocatie niet toe te passen, omdat het ongewenst is voor zo’n instelling als de allocatie veel vari¨eert over tijd bij kleine schommelingen in de resultaten. De proportionele methode is in dit opzicht een betere methode.
4.4
Model 4: Dynamische setting, lognormale verdeling
In deze paragraaf is de dynamische setting onderzocht met Model 4. Opnieuw zijn er drie verschillende simulaties afgebeeld om een completer beeld te geven van de ontwikkeling van de allocaties over tijd. Dit geeft de volgende resultaten:Figuur 10: Dynamische allocatie met Model 4, simulatie 1
Figuur 12: Dynamische allocatie met Model 4, simulatie 3
Kijkend naar de simulaties voor de dynamische allocatie met Model 4 zien we dat de resultaten veel verschillen per simulatie. Kijkend naar alleen al de y-assen van de drie scenario’s blijkt dat de hoogte van de allocaties veel verschil vertonen. In Figuur 10 blijven de allocaties naar alle divisies binnen 0 en 2. In Figuur 12 bij simulatie 3 zijn er echter allocaties naar divisies van meer dan 15. Hierbij is dus duidelijk meer variatie dan bij Model 3. Dit is logisch omdat de verschillen veel sneller oplopen bij het modelleren van verliezen met de lognormale verdeling.
Verder valt weer op dat de Euler-allocatie bij veranderingen meer verspringt dan de proportionele allocatie. Dit is dus bij Model 3 en Model 4 het geval, in meerdere scenarios. Dit komt het beste naar voren bij de verspringing van de Euler-allocatie van jaar 6 naar jaar 7 in Figuur 10. Hier is duidelijk te zien dat de Euler-allocaties eerst van jaar 4 tot en met jaar 6 relatief stabiel zijn. Vervolgens verspringt de Euler-allocatie van jaar 6 naar jaar 7 extreem. Zo wordt de Euler-Euler-allocatie naar Divisie 3 bijvoorbeeld ineens ongeveer vier keer zo groot, terwijl de proportionele allocatie naar Divisie 3 redelijks stabiel blijft. Verder springen de Euler-allocaites naar Divi-sie 1 en 2 juist ver naar beneden. In de daaropvolgende jaren zijn de Euler-allocatie
en de proportionele allocatie weer stabiel omdat er in deze jaren waarschijnlijk niet veel extreme waarden zijn geweest in de verliezen van het bedrijf, zodat deze jaren niet van invloed zijn op de Value-at-Risk.
In meerdere figuren is te zien dat de Euler-allocatie in stabiele periodes hele-maal hetzelfde blijft, terwijl de proportionele allocatie soms iets schommelt. Voor-beelden hiervan zijn jaar 1 tot en met jaar 4 in Figuur 12, of jaar 6 tot en met jaar 10 in Figuur 8. Hier schommelen de proportionele allocaties licht terwijl de Euler-allocaties volledig hetzelfde blijven. Dit komt omdat de Euler-allocatie alleen het 99.5ekwantiel van de waarnemingen in acht neemt. Als bijvoorbeeld in 2010 een periode heeft plaatsgevonden waarin de instelling hele grote verliezen heeft gehad en dit in de volgende jaren niet meer zo extreem voorkomt, wordt bij het nemen van een horizon van tien jaar bij het bepalen van de Euler-allocatie van 2018 het 99.5e kwantiel van de waarnemingen tussen 2008 en 2017 gedomineerd door de hoge waarden van 2010. De Euler-allocatie van 2019 wordt bepaald aan de hand van het 99.5e kwantiel van de waarnemingen tussen 2009 en 2018, wat dus precies dezelfde uitslag geeft als de waarnemingen van 2008 en 2018 niet van invloed zijn op het 99.5e kwantiel. Omdat extreme waarden van verliezen vaak juist geclusterd zijn, komt dit vaak voor. De proportionele methode neemt naast het 99.5e kwantiel van
de gehele instelling ook de 99.5e kwantielen van elke divisie apart gezien op. Als in 2018 bijvoorbeeld Divisie 3 wat extreem lage verliezen vertoont, en Divisie 2 extreem hoge verliezen, kan het goed zijn dat dit niet terugkomt in het 99.5e kwantiel van de instelling als geheel over de afgelopen 10 jaar, maar wel van invloed is op de 99.5e
kwantielen van de divisies apart gezien over de afgelopen 10 jaar. Op deze manier zal de proportionele allocatie dus wel veranderen en de Euler-allocatie niet.
De conclusie van Model 4 is dat ook bij het gebruik van de lognormale ver-deling geldt dat de Euler-allocatie meer onzekerheid en instabiliteit vertoont bij de verspringingen van de allocaties. Voor een financi¨ele instelling kan dit een reden zijn om de Euler-allocatie niet toe te passen bij de risicokapitaalallocatie.
5
Conclusie
Het doel van het onderzoek was om te analyseren in hoeverre de Euler-allocatie effectief is als allocatiemethode op het gebied van kwaliteit en stabiliteit. Om dit te onderzoeken zijn vier modellen gebruikt om Euler-allocaties en de proportionele allocaties te berekenen. Deze zijn op het gebied van kwaliteit en stabiliteit met elkaar vergeleken.
Met de door Solvency II voorgeschreven 99.5% Value-at-Risk als risicomaat-staf is dit in een statische setting en in een dynamische setting onderzocht, met data gesimuleerd uit de normale en lognormale verdeling. De statische setting is gebruikt om de Euler-allocatie op ´e´en bepaald moment te beoordelen en te vergelijken met de proportionele allocatie. Hierbij zijn ook de theoretische waarden van beide metho-den betrokken die bekend waren omdat gesimuleerd is uit bekende verdelingen met bekende parameters. Daarna is de dynamische setting gebruikt om te onderzoeken of de stabiliteit die een financi¨ele instelling wenst te hebben voor de risicokapitaalal-locatie gewaarborgd is bij het toepassen van de Eulermethode. Ook hier is dit weer vergeleken met de proportionele methode.
Voor verliezen gesimuleerd uit de normale verdeling en de lognormale verde-ling komt in de statische situatie naar voren dat de Euler-allocatie beter inspeelt op de onderlinge correlatie tussen divisies van een instelling. Omdat de data zo ge-construeerd is dat ´e´en divisie negatief gecorreleerd is met de andere divisies is deze divisie een ”hedge”voor de instelling. De op de theorie gebaseerde verwachting dat de Eulermethode inspeelt op de correlatie en de proportionele methode niet komt ook in de gevonden resultaten naar voren. Zo geeft de Euler-allocatie in vergelijking met de proportionele methode een eerlijkere verdeling van het risicokapitaal over de divisies van een instelling. Wel bleek in deze modellen al dat de Euler-allocaties volatieler zijn en vaker uitschietende waarnemingen bevatten.
Aan de andere kant is in de dynamische setting gebleken dat de Eulermethode duidelijk meer instabiliteit vertoond over tijd, vergeleken met de proportionele
me-thode. Bij het volgen van de allocaties van beide methoden gedurende tien jaar komt naar voren dat bij verspringingen van jaar naar jaar de Euler-allocaties zowel naar boven als naar beneden grotere verschillen vertonen. Op het gebied van stabiliteit blijkt dus bij het analyseren van de dynamiek van de allocaties dat de Eulermethode instabieler is dan de proportionele methode.
Samenvattend is de Euler-allocatie dus theoretisch gezien een goede alloca-tiemethode waarbij de onderlinge correlatie van divisies wordt meegenomen in de berekening. Het risicokapitaal van de instelling wordt op een eerlijke wijze verdeeld over de divisies. Op het gebied van stabiliteit vertoont de Eulermethode echter mankementen. Vergeleken met de proportionele methode is de Eulermethode insta-biel over tijd, wat voor een financi¨ele instelling niet gewenst is. Bij het maken van een keuze tussen de Eulermethode en de proportionele methode zal een financi¨ele instelling dus een afweging moeten maken of het meer waarde hecht aan de precisie van de allocatie of aan de stabiliteit over tijd ervan.
Bibliografie
Acerbi, C., & Tasche, D. (2002). On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking and Finance, 26(2), 1487-1503.
Angelis, P. de, & Granito, I. (2015). Capital allocation and risk appetite under Solvency II framework. Working Paper
Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M., & Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical finance, 9(3), 203-228.
Balog, D., B´atyi, T.L., Cs´oka, P., & Pint´er, M. (2017). Properties and comparison of risk capital allocation methods. European Journal of Operational Research, 259(2), 614-625
Boonen, T.J., Tsanakas, A., & W¨uthrich, M.V. (2017). Capital allocation for portfolios with non-linear risk aggregation. Insurance: Mathematics and Economics, 72, 95-106.
Buch, A., & Dorfleitner, G. (2008). Coherent risk measures, coherent capital allocations and the gradient allocation principle. Insurance: Mathematics and Economics, 42(1), 235–242
Centrone, F., & Gianin, E.R. (2018). Capital allocation `a la Aumann-Shapley for non-differentiable risk measures. European Journal of Operational Research, 267(2), 667-675
Dan´ıelsson, J., Jorgensen, B.N., Mandira, S., Samorodnitsky, & G., Vries, C.G. de (2005). Subadditivity Re–Examined: the Case for Value–at–Risk. Working Paper
Denault, M. (2001). Coherent Allocation of Risk Capital. Journal of Risk, 4(1), 1-34.
Fischer, T. (2003). Risk capital allocation by coherent risk measures based on one-sided moments. Insurance: Mathematics and Economics, 32, 135–146 Ghitany, M.E., G´omez-D´eniz, E., & Nadarajah, S. (2018). A New Generalization of
the Pareto Distribution and Its Application to Insurance Data. Journal of Risk and Financial Management, 11(10), 1-14
Guill´en, M., Prieto, F., & Sarabia, J.M. (2011). Modelling Losses and Locating the Tail with the Pareto Positive Stable distribution. Insurance: Mathematics and Economics, 49, 454-461
Inui, K., & Kijima, M. (2005). On the significance of expected shortfall as a coherent risk measure. Journal of Banking & Finance, 29(4), 853-864 Marlin, P. (1984). Fitting the Log-Normal Distribution to Loss Data Subject to
Multiple Deductibles. The Journal of Risk and Insurance, 51(4), 687-701 Panjer, H. (2001). Measurement of Risk, Solvency Requirements and Allocation of
Capital within Financial Conglomerates. Working Paper
Tasche, D. (1999). Risk contributions and performance measurement. Working Paper
Euler Principle. Working Paper
Urban, M., Dittrich, J., Kl¨uppelberg, C., & St¨olting, R. (2003). Allocation of Risk Capital to Insurance Portfolios. Bl¨atter der DGVFM, 26(2), 389-406
Urbina, J., & Guill´en, M. (2014). An application of capital allocation principles to operational risk and the cost of fraud. Expert Systems with Applications, 41, 7023-7031
Yamai, Y., & Yoshiba, T. (2002). On the Validity of Value-at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall. Monetary and Economic Studies, 20(1), 57-85
