H1: Vectoren

(1)

Hoofdstuk 1:

Vectoren.

1.

a. Hoek E is 90o_{, dus}_V_EHA_{is een rechthoekige driehoek.}

b. D

c. Q en T liggen ook in vlak EHA.

d. DCGH is een rechthoek.

e. P, Q en T liggen ook in vlak DCGH.

f. E

g. Omdat E, R en F op een rechte lijn liggen.

h. H ligt niet in de driehoek, maar wel in het vlak ABG.

2. Nee. Een vlak ligt vast als het derde punt niet op de lijn door A en B ligt.

3.

a. BC ligt o.a. in de vlakken ABCD, BCGF en BCHE.

b. Ja, het diagonaalvlak ABGH.

c. Ja het diagonaalvlak ACGE. Er is geen ander vlak mogelijk. d. Ja, het diagonaalvlak ABGH.

e. Ja, het diagonaalvlak BFHD.

f. Ja het diagonaalvlak ACGE. Er is geen ander vlak mogelijk. g. De punten A, B en C liggen in één vlak (het grondvlak) en

daar ligt punt H niet in.

4.

a. Het bovenvlak door A, F en G. (Ik denk zelfs elk drietal punten die je noemt). b. Het bovenvlak waar lijn EF en punt H in ligt.

c. In het bovenvlak liggen de snijdende lijnen EF en EG.

d. Neem een verticaal vlak, bijvoorbeeld het voorvlak waar de evenwijdige lijnen BF en CG in liggen.

5.

a. Ja, de lijnen AC en EJ lopen evenwijdig (zie bovenaanzicht). b. Nee. De punten E, J en I liggen in het bovenvlak en B niet. c. Nee. Punt K ligt wel in het vlak BCF. Punt L ligt er onder. d. Ja, namelijk het diagonaalvlak BCLE.

e. De lijnen GJ en BC.

6.

a. MN en KL zijn evenwijdig.

(2)

7.

a. Lijnen in vlak ACGE, die niet evenwijdig zijn aan de lijn CP. Bijvoorbeeld AE, AC, maar ook

EG!

b. BF, DH, AB, EF, GH, …

c. Beide lijnen liggen in het vlak

ACGE en ze zijn niet evenwijdig.

d. Nee, lijn HB ligt helemaal in het vlak BCHE en de lijn CP alleen met punt C. Punt P ligt buiten dit vlak, dus geen snijpunt.

8.

a. Beide lijnen liggen in het grondvlak, dus hebben ze een snijpunt.

b. Nee, punt B en lijn CD liggen in het grondvlak en punt T niet. c. Nee. Lijn DE en punt B liggen in het grondvlak, maar T niet.

9.

a. kruisend: lijn BC en punt N liggen in het grondvlak. b. snijdend: beide lijnen liggen in het grondvlak.

c. snijdend: beide lijnen liggen in het vlak BCT. Het snijpunt is T. d. kruisend: lijn CN en punt A liggen in het grondvlak.

e. snijdend: beide lijnen liggen in het grondvlak. f. kruisend: lijn DT en punt B liggen in het vlak BDT.

10.

a. Lijn DH en punt A liggen in het zijvlak ADHE en punt P niet.

b. Nee, want de punten B, D en F liggen in het verticale vlak DBFH en P niet.

c. QP ligt in het achtervlak en gaat per 2 naar beneden ook 2 naar rechts. Dan nog 4 naar

beneden en dus ook 4 naar rechts. Punt S ligt 4 van punt R. Met andere woorden: DS6.

d. _AR2 __AD2__DR2 _₆2_₂2 _₄₀ _e. _AP2 _ _AR2__PR2 __{( 40)}2_₄2 _₅₆

40

AR AP 56

11.

a. PQ en EH zijn snijdende lijnen. Ze liggen beide in het zijvlak ADHE.

b. Deze zijn kruisend. Lijn HG en punt R liggen in het achtervlak DCGH.

c. Nee. Vlak PCE loopt schuin omhoog (in de richting PE) en G ligt recht boven C. d. BD4 2

2 2

(4 2) 6 68

QB  

e. Ze liggen beide in het zijvlak en gaan 4 horizontaal en 2 omhoog.

f. De ‘helling’ van PQ is 5 horizontaal en 6 omhoog. Dat is dezelfde als 1 2

2 horizontaal en 3

(3)

12.

a. Deze lijnen zijn kruisend.

b. Voor tekening 2: PQ en RS kunnen snijdend zijn door bijvoorbeeld PQ in het ondervlak en RS in het bovenvlak te tekenen. Ze kunnen niet evenwijdig zijn. Door de lijnen beide in het bovenvlak te tekenen zijn ze snijdend.

Voor tekening 3: PQ en RS kunnen niet kruisend zijn. Ze

liggen namelijk altijd in een verticaal vlak PRSQ. Ze vallen samen als beide lijnen in het grondvlak getekend worden; hebben een snijpunt als P en S in het grondvlak en Q en R in het bovenvlak liggen; lopen evenwijdig als PQ in het grondvlak en RS in het bovenvlak ligt.

13.

a. 240 km/u. b. 360 km/u.

14. a./b.

c. Omdat de rechtstreekse afstand kleiner is dan de som van de twee afstanden. d. ₃2_₁2 _ ₁₀_m/s. 15. 1 3 tan T AB AT    18 T    16. a./b. c./d. a 2 20 20 2 10 2 ( 10 2,10 2) ( 10 2 10,10 2) a P en Q      2 2 ( 10 2 10) (10 2) 14,74 LQ     km. ( 10 2 10) 10 2 tan 0, 29 16          17. 18.

a. De zwemmer zwemt met een snelheid van 40 m/min schuin naar links tegen de stroom in. z r vert z vert r v v v v v v           rechtstreeks

(4)

b. De horizontale component van de vector van de zwemmer moet dus tegengesteld en even groot zijn als die van de rivier.

25 40 cos 51     

De zwemmer moet dus onder een hoek van 18051 129_{met de stroomrichting} zwemmen om precies loodrecht aan de overkant aan te willen komen.

19.

a. De som van F1



en F2



is even groot als Fz



maar tegengesteld (recht omhoog), want het gewicht hangt stil.

b. Fz  (F1F2)  F1 F2      1 2 0 z F  F F    

Bovendien hangt het gewicht in evenwicht, dus de som van de krachten die op dat gewicht werken moet 0 zijn.

20. a.

b. De vector _AB gaat 6 naar rechts en 3 naar beneden. Dat geldt ook voor de vector DC. c. Nee, de vectoren AC en _BD hebben niet

dezelfde richting.

d. AC gaat 4 naar rechts en 7 naar beneden. _BP dus ook. Dus P(11, -8)

e. 2 DC gaat 12 naar rechts en 6 naar beneden. Dus Q(19, -7) f. zie plaatje: R(8, 1) 21. a. 1 2 1 1 3 4 a b      _{     }           1 2 3 1 3 2 a b     _{    }    _          3 4 7 3 2 3 6 3 a b_    _{   }   _          b. a  ( 1) 212  2 _b _ ₂2_₃2 _ ₁₃ _{a b} _{ } ₁2_₄2 _ ₁₇ 2 2 ( 3) ( 2) 13 a b       ₃_a_₂_b _ _{( 7)}_ 2_{ }_{( 3)}2 _ ₅₈ 22. a. 4 1 KL_{  }     d. omdat OA AB OB    b. 6 2 4 5 4 1 OL OK      _{     }          e. 12 14 26 20 18 2 BA OA OB  _  _{ }   _{ } _             c. 14 12 26 18 20 2 OB OA _  _{ }  _{ }  _          

(5)

23. a. 3 1 4 31 30 1 AB     _{     }          4 3 1 35 31 4 BC     _{     }         0 4 4 34 35 1 CD    _{    }   _         0 1 1 34 30 4 AD     _{     }          b. AB  4212  17  BC  CD  AD c. Vierhoek ABCD is een ruit.

24. a.

b. v en w zijn beide veelvouden van 2 1    _   d. 2 1       , 8 4        en 10 5        c. 2 1    _  , 8 4   _    en 10 5   _    e. 1 2       en veelvouden daarvan: 2 4       en 3 6       25. a. AQ p a p a q b q b          _ _{   }  _           ₂ ₂ ( ) ( ) AQ   p a   q b  p a p a AP q b q b        _{    }  _         ₂ ₂ ( ) ( ) AP  p a  q b  2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AQ AP p a q b p a q b p a q b p a q b                      b. _p2_₂_{ap a}_ 2__q2_₂_{bq b}_ 2 _ _p2_₂_{ap a}_ 2__q2_₂_{bq b}_ 2 4 4 0 0 ap bq ap bq     26. a. 6 4 10 17 2 15 PR  _{  }    _{  }        1 5 6 13 9 4 QS     _{    }    _       

10 6 15 4 0     , dus PR staat loodrecht op QS.

b. 5 4 9 9 2 7 PQ  _{  }    _{  }        en 6 5 1 17 9 8 QR     _{     }        

9 1 7 8 65 0     , dus deze staan niet loodrecht op elkaar. c. PQ  9272  130 2 2 1 8 65 QR    2 2 ( 7) ( 4) 65 RS       en _PS _ ₃2_₁₁2 _ ₁₃₀

en de diagonalen staan loodrecht op elkaar. Dus PQRS is een vlieger.

(6)

27.

a. 2.00 uur: (4, 16) 2.30 uur: ( 1 1 2 2

4 ,17 ) en 3.00 uur: (5, 19)

b. Om 16.00 uur bij de Afsluitdijk. c. rechte lijn van (2, 10) tot (6, 22). d. Om 14.00 uur.

e. De richting van het jacht is 1 naar rechts en 3 omhoog. Vanaf Medemblik moet het jacht nog 75 naar rechts, en dus 225 naar boven. Het jacht gaat door het punt (77, 235).

28.

a. Elke keer 1 naar rechts en 3 omhoog.

b. 2 uur: 2 2 1 2 2 4 10 3 10 6 16 x y    _ _{ }       _ _ _                         en 3 uur: 2 3 1 2 3 5 10 3 10 9 19 x y    _ _{ }       _ _ _                         c. 2,75 : 2 2,75 1 2 2,75 4,75 10 3 10 8, 25 18, 25 x t y              _{   }  _{    }  _{ } _             29. a. 1: 1 1 3 1 3 4 2 4 2 4 6 x y      _{   }         _{       }               1 3 1 15 16 5 : 5 2 4 2 20 22 x y      _{   }      _{    }   _{ } _             1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 1 6 5 2 : 2 2 4 2 8 6 4 5 1 3 1 1 : 1 2 4 2 6 8 x y x y                   _{   }   _{    }  _{ } _                            _{   }  _{   } _ _{ } _             b. 1 3 10 2  4 14  _{ }   _             1 3 10 3 9 3        even controleren: y   2 3 4 14

Dus (10, 14) ligt op de lijn.

c./d. 1 3 100 2  4 136                      1 3 31 2  4 b                      1 3 100 3 99 33 2 33 4 134 y            1 3 31 3 30 10 2 10 4 42 y b            

(7)

30. a. 8 2 OP_{  }      c. 8 2 2 5 x y            _          b. 10 8 2 3 2 5 PQ  _{  }   _{  }         31.

a. De richting van de lijn is 6 naar rechts en 9 omlaag. Dat is dezelfde richting als 2 naar rechts en 3 omlaag. b. andere steunvector: 18 2 11 3 x y               _ 

      (je kunt elk punt op de lijn nemen als steunvector.) andere richtingsvector: 12 2 20 3 x y     _ _{ }       

      (of een willekeurige veelvoud van 2 3   _   ) 32. a. 4 5 1 2 9 7 AB_    _{ } _        5 1 9 7 x y     _ _{ }      _        b. 5 3 OP        5 3 x y   _{ }    _      c. 2 2 4 7 7 14 QR_    _{ } _         2 2 7 7 x y     _ _{ }      _        d. 8 8 0 9 3 6 KL_    _{  }       8 0 3 1 x y     _ _{ }              33. De lijn door A en B: 7 3 10 13 5 8 AB_     _{  }       3 5 5 4 x y                        3 5 42 5 4 41 3 5 42 5 45 9 5 9 4 41 y       _{ }  _                      

De punten A, B en C liggen op één lijn.

34.

a./b. De eerste lijn gaat door de kop van vector a en loopt evenwijdig aan de vector b. De tweede lijn gaat door de kop van vector b en loopt evenwijdig aan de vector a.

(8)

35. a. A(5, 0, 0) E(5, 0, 3) C(0, 6, 0) b. M(5, 6, 1 2 1 ) c. P(0, 4, 3) 36.

a. R(0, 4, 0) en S(5, 4, 0) c. Q(5, 3, 0): Q ligt op het midden van AB.

b. 5 4 0 PE      _ _      37. a. 6 2 2 FM       _ _      b. AQ2, AB6, QP2 en MN 2 c. 2 2 6 2 40 BQ   FN 2 2 ( 40) 2 44 2 11 BP    FM d. 2 2 2 ( 6) ( 2) 2 44 FM       38. a. 2 2 5 4 41 OS    2 2 4 3 5 OP   2 2 2 5 6 3 70 OF     2 2 2 5 6 ( 3) 70 DB     b. 2 2 2 5 ( 4) ( 3) 50 5 2 AP       2 2 5 ( 3) 34 SP    2 2 2 ( 5) ( 2) ( 3) 38 FR       39. a. b. C(-4, 0, 0) D(0, -4, 0) M(0, -2, 2) N(-2, 0, 2)

c. Alle ribben zijn de diagonaal van een vierkant met zijde 4. Alle ribben zijn

4 2. d. _AM _ _{( 4)}_ 2_{ }_{( 2)}2_₂2 _ _{24 2 6}_ 2 2 2 2 ( 6) 2 40 2 10 ( 2) 2 8 2 2 AN MN          

(9)

40.

a. De lijn OF en punt E liggen in het vlak OEFC en P niet. De lijnen OF en EP zijn kruisend.

b. O(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(6, 6, 0) C(0, 6, 0) D(0, 0, 6) E(6, 0, 6)

F(6, 6, 6) G(0, 6, 6) P(0, 6, 3) c. 1 1 1 OF             d. 6 2 : 0 2 6 1 x EP y z            _ _{ }            _       

e. Door C en evenwijdig aan EP:

0 2 6 2 0 1 x y z            _ _{ }            _        f. 6  0 6 6 6 2 6 6 2 12 ( 6,12, 0) x en y S             41. a. 0 : (0, 4,1) 1 1 1 2 2 2 2 : (5, 1 , 8 )    4 : ( 8, 8, 11)  10 : (20, 6, 31) b. 28 4  c. 210 2 6 5 4 5 1 1 y         3 4 3 1 7 y          Punt (10, 1, 16) ligt niet op l. z     1 3 3 8

Punt (-6, 7, -9) ligt ook niet op l. d. Ja, de richtingsvector is met –2 vermenigvuldigd.

e. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of (-4, 6, -5) op de lijn ligt.

2 4 2 4 2 1 6 1 2 3 5 y z                 

Klopt, dus dat is ook een vectorvoorstelling van lijn l.

42. a.

b. CD en EL

c. Ja, ze liggen beide in het grondvlak en ze zijn niet evenwijdig.

d. Nee, het vlak door EH en punt K is een verticaal vlak.

e. Die zijn kruisend; zie d.

(10)

43.

a. In het midden van GH.

b. Beide lijnen liggen in het rechter zijvlak. Verleng CB en JF. Ze snijden elkaar in S. c. FI en AB zijn kruisend. AB en F liggen in het voorvlak ABFE en I niet.

BK en CH snijden elkaar want ze liggen alle twee in het vlak BCHE. HI en GJ zijn evenwijdig. Ze liggen beide in het vlak HGJI.

GK en BH kruisen elkaar. GK en H liggen in het horizontale vlak EFGH en B niet.

44. a. cos12 ₅₀Fn 50 sin12 Fp 50 cos12 48,9 n F   N Fp 50sin12 10, 4 N

b. De wrijvingskracht is tegengesteld aan Fp, dus het blok gaat niet schuiven.

45.

a. br  3 ar: ze hebben een tegengestelde richting.

b. 6 25 15 10 0     : ze staan loodrecht op elkaar.

c. Geen van drieën.

d. 1

3

2

f   e

ur r

: ze hebben tegengestelde richting.

46. a. 1 1 2 2 x y     _ _{ }      _        c. 6 4 DA_{  }     en 4 8 AB_{  }     

b. 1   2 6 4 4 8      8 0 ze staan niet loodrecht op elkaar.

3 2 3 2 8 y          C ligt op AB. d. 8 2 DQ q     _{ }     8 6 ( 2) 4 48 4 8 56 4 0 4 56 14 q q q q q               47.

a. Ja, B, C en Q liggen niet op één lijn, dus is het vlak BCQ mogelijk.

P ligt niet in dit vlak. De lijn PQ ligt op hoogte 4 en snijdt BC niet. BC en PQ kruisen

elkaar, dus P ligt niet in vlak BCQ.

b. AP en OT zijn kruisend. P ligt namelijk niet in het vlak AOT.

c. OA4 _AB_ ₁2_₅2 _ ₂₆ 2 2 ( 5) ( 1) 26 BC     OC4 8 OT  _AT _ ₄2_₈2 _ _{80 4 5}_ 2 2 2 ( 5) ( 5) 8 114 BT       2 2 ( 4) 8 4 5 CT    

(11)

d. 4 2 : 0 1 0 2 x AP y z            _ _{ }                    0 1 : 4 2 0 2 x CQ y z           _ _{  }                   

e.       2 1 1 2 2 2 0, dus AP en CQ staan loodrecht op elkaar.

48.

a. EB en CF zijn kruisende lijnen. Punt C ligt niet in het voorvlak ABFE.

b. PR en QS zijn snijdend. Ze liggen beide in het horizontale vlak PQRS.

c. 0 1 : 8 0 0 1 x CF y z           _ _{ }                   

en voor 50 kom je terecht in punt (50, 8, 50)

d. P(5, 0, 3) Q(8, 5, 3) R(3, 8, 3) 2 2 3 5 34 PQ    uuur ₂ ₂ ( 2) 8 68 PR     uur e. AD8 2 3 1 5 8 2 15 2 AP   en 4 2 5 8 2 65 2 PD   3 3 3 3 3 3 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 (6 , 0,1 ) (8, 6 , 1 ) (1 , 8,1 ) (0,1 ,1 ) P Q R S f. 4 5 4 8 0 PR             uur en 4 5 8 4 0 QS       _ _     uur 4 4 5 5 4 8 8 4 0        , dus loodrecht.

(12)

T_1.

a. A, C, N, S, en W.

b. Ja, SW en DP zijn namelijk evenwijdig. c. Nee, het vlak ADP bevat punt S en niet R.

d. Nee.

T_2.

a. AC en BT kruisen elkaar. A, B en C liggen in één vlak en T ligt

daar niet in.

b. A, B, C en D liggen in één vlak, dus AC en BD snijden elkaar.

c. B en D liggen in één horizontaal vlak en U en S ook (alleen in

een ander vlak.) BD en US zijn evenwijdige lijnen. d. T_3. a. b. c. d. T_4. a. 3 2 3 7 2 21 23 3 5 3 15 12 v w_ _   _{  }     _{    }              r ur 2 7 4 7 3 2 2 3 5 6 5 11 v w  _    _{   }     _{   }   _              r ur b. vr  22 ( 3)2  13 2 2 7 5 74 w    ur ₂ ₂ 3vr  6  ( 9)  117 2 2 3 1 14 197 w v    ur r

c. 2 7    3 5 14 15   1 0. De vectoren v en w staan niet loodrecht op elkaar.

T_5. a. : 3 1 5 2 x KL y              _         

b. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of punt (6, 13) op KL ligt.

3 6 9 5 9 2 13 y            Klopt! c. 1 2 3  3    d.   3  27 1 2 1 2 6 5 6 2 8 y        30 5 30 2 55 y p        

(13)

T_6. a. D(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(6, 6, 0) C(0, 6, 0) E(6, 0, 6) F(6, 6, 6) G(0, 6, 6) H(0, 0, 6) b. K(0, 0, 4) L(6, 6, 3) M(6, 0, 2) c. _MG_ _{( 6)}_ 2_₆2_₄2 _ ₈₈ d. 0 6 : 0 6 4 1 x KL y z           _ _{ }             _       e. 618 3 3 6 18 y     

Het punt (18, 17, 0) ligt niet op de lijn KL.

T_7.

a. MK ligt in het linker zijvlak en LG in het rechter zijvlak. Die snijden elkaar niet. De richting

van MK is 6 naar achter en 2 omhoog en die van LG is 6 naar achter en 3 omhoog. MK en

LG zijn dus niet evenwijdig. Dus G ligt niet in het vlak KLM.

b. 0 1 : 6 1 0 1 x CE y z           _ _{  }                   

c. De lijn HB en punt G liggen in het diagonaalvlak ABGH. M ligt daar niet in, dus HB en MG zijn kruisende lijnen.

d. 6 0 : 6 0 0 1 x BF y z           _ _{ }                    e. P(3, 3, 1 2

3 ) en die ligt niet op CE.

f. 2 2 1 2 2 ( 3) 3 (2 ) 24, 25 PG     en 2 2 1 2 2 3 3 ( 3 ) 30, 25 PB     T_8. Nee.