HET GETAL, FREGE, MILLER EN LACAN: EEN
ZOEKTOCHT
« JE NE CHERCHE PAS, JE TROUVE » – PABLO PICASSO
Aantal woorden: 32850
Kobe Van Severen
Studentennummer: 01400329
Promotor: Prof. dr. Gertrudis Van de Vijver
Masterproef voorgelegd voor het behalen van de graad master in de Wijsbegeerte Academiejaar: 2019 - 2020
2 Inhoudsopgave
Voorwoord ... 3
Inleiding ... 4
1. Frege en Die Grundlagen der Arithmetik ... 7
1.1. Een eenheid: verschil en identiteit ... 8
1.2. Frege’s getal ... 14
1.3. Het getal 0 en de andere natuurlijke getallen ... 20
2. Jacques-Alain Millers « La suture (Elements de la logique du signifiant) »... 28
2.1. Yves Duroux ... 28
2.2. Miller en de suture ... 33
2.2.1. Millers blinde vlek ... 33
2.2.2. Millers ding, een foute interpretatie ... 34
2.2.3 Identiteit en waarheid ... 36
2.2.4. “La vérité existe”: 0, 1 en opvolger ... 39
2.2.5. “La possibilité d’un signifiant de plus”: nul en de waarheid tegenover het subject en de Ander ... 45
3. Jacques Lacan, “La science et la vérité” ... 53
3.1. Freuds sciëntisme: het subject van de wetenschap en het subject van de psychoanalyse ... 53
3.2. Le sujet: en exclusion interne à son objet ... 58
3.3. “Wo Es war, soll Ich werden” en de verknoping in het spreken ... 61
3.4. Prosopopeia: “Moi, la vérité, je parle” ... 65
3.5. Waarheid als oorzaak: formele oorzaak en materiële oorzaak ... 68
3.6. Tussen dolheid en paranoia ... 74
Eind zonder conclusie ... 78
3 Voorwoord
Een masterproef is een climax van een opleiding, een woordje van dank is dan ook wel gepast. Eerste en vooral wil ik mijn ouders bedanken om mij steeds mijn gangetje te laten gaan bij het vinden van een studie. Voor Wijsbegeerte klungelde ik wat rond – in Wijsbegeerte ook, maar op een andere manier. Toch hadden ze altijd vertrouwen dat het wel goed zou komen. Of beter: dat vertrouwen leek ik toch op te merken, wat misschien meer zegt over mij dan over hen. Daarnaast wil ik ook mijn vrienden en familie bedanken. De vrienden van de filosofie meer voor de discussies doorheen de jaren. Een groot deel andere vrienden en familie waren altijd een motivator om de hoogdravendheid waar filosofie heel vaak mee geassocieerd wordt te temperen en te tonen dat filosofie veel meer is en nodig is. Een expliciet dankwoordje voor Lola, mijn lief, sinds enkele maanden. Zij wees me op de vooravond van de deadline fijntjes op het bestaan van de schrijfassistent van de VRT, die dt-fouten, die-dat-verwarringen en zoveel meer opspoort. Net te laat ontdekt dus, want het werd toen al nagelezen.
Uiteraard moet ik ook nog mijn promotor Gertrudis Van de Vijver bedanken om in de week voor de deadline toch nog stukken tekst na te lezen, te corrigeren en suggesties te doen, maar ook om doorheen de opleiding, in de opleiding en zelfs in samenwerkingen buiten de faculteit steeds het vuur aan te wakkeren.
4 Inleiding1
Als inleiding keer ik graag terug op mijn bachelorproef gezien die mij in de richting duwde van deze masterproef. Tijdens het schrijven van mijn bachelorproef Voorbij het spel van de ernst rond Alain Badiou stootte ik op bepaalde moeilijkheden in Badiou’s denken. Moeilijkheden waar ik van trachtte aan te tonen dat ze aan de basis lagen van impasses in zijn denken. Zijn denken kan gezien worden als een robuust systeem, waarvan de structuur het meest zichtbaar wordt in zijn werk rond de brieven van Paulus. Om het met Badiou te zeggen: Saint Paul, La fondation de l’universalisme is het onbestaande punt (l’inexistant) van zijn denksysteem met de vier waarheidsdomeinen: politiek, liefde, wetenschap en kunst. De religieuze geloofssprong en trouw is het element dat expliciet geen deel uitmaakt, maar in z’n afwezigheid het systeem stut, het is de plaats van universaliteit in zijn denken.
Het belangrijkste punt waar veel problemen met Badiou toe te herleiden zijn is de afwezigheid van een conceptie van het subject los van het trouw zijn aan een evenement. Er is geen sprake van een subjectivering of een subject vooraleer er sprake is van trouw zijn aan een evenement. Dat trouw zijn is de niet-religieuze variant van de geloofssprong. Hetgeen er is voor het subject wordt het menselijk dier genoemd. Het is de term die een wezen beschrijft dat samenvalt met de structuur, de alledaagsheid waarin het leeft. De enige mogelijkheid die het menselijk dier lijkt te hebben is sterven. Badiou kan met dat laatste een punt hebben als hij een tijdsgeest wil beschrijven, maar hij lijkt inconsequent met zijn eigen denken door onze toestand voor een evenement op een dergelijke manier te beschrijven. Het idee van een animal humain draagt een stugheid in zich die moeilijk te rijmen valt met de mogelijkheid van een evenement, een breuk met wat is. Een evenement lijkt dan al te veel een donderslag bij heldere hemel, terwijl de aanleiding weldegelijk immanent is aan de situatie waarin het subject zich voor het evenement bevindt.
Die immanentie kunnen we begrijpen via de verzamelingenleer – volgens Badiou de beste manier om de zijnsvraag aan te gaan, onder andere omwille van de onverschilligheid voor de objecten waar het over kan gaan. Er zijn twee belangrijke functies in de verzamelingenleer: “element zijn van” (presentatie) en “deelverzameling zijn van” (representatie). Via Cantor assumeert Badiou dat elke verzameling meer deelverzamelingen heeft dan elementen, wat
5
betekent dat elke verzameling anders gegrepen kan worden, gezien er steeds meer delen zijn dan elementen. Net in deze spanning legt Badiou de mogelijkheid voor een evenement, een herschikking van een situatie die voordien niet mogelijk leek. Kortom, het idee van een menselijk dier dat met zichzelf samenvalt is niet mogelijk als we Badiou’s ontologie strikt volgen.
Het wegmoffelen van een verdeeldheid vindt z’n uitwerking ook in een belangrijk verschil in gebruik van termen tussen Badiou en Lacan: Badiou heeft het nooit over een spreekwezen. Er wordt dus een minder groot belang gehecht aan het feit dat er al gesproken wordt voor het evenement. Het is ook hier dat Badiou een onderscheid maakt tussen de taal van een situatie en de taal van een subject. Waarbij het respectievelijk gaat over een taal die onvermogend is om de situatie te overstijgen en een taal die vermogend is en waardoorheen het subject een subjectivering is.
De vraag die opdoemt is dus de vraag naar de relatie tussen structuur en subject. Heeft een structuur een subject of kan een structuur zonder subject zijn? En wat betekent dat überhaupt, een subject en een structuur? Om deze vraag aan te gaan zal ik passeren langs Jacques-Alain Millers Suture, éléments de la logique du signifiant en op die manier ook langs Gottlob Freges Die Grundlagen der Arithmetik. Millers artikel brengt ons vervolgens tot een tekst van Lacan een jaar na het seminarie waarin Miller aan het woord kwam over Frege, het subject en de logica van de betekenaar: La science et la vérité. Volgens Elisabeth Roudinseco gaat Lacan hier in tegen Miller:
Là où Lacan produisant de l’équivocité, Miller fabriquait une clarification, une univocité, une clôture. Lacan se rendit compte que celui qui allait devenir son gendre apportait à sa doctrine un logicisme qui n’était pas le sien. Et c’est pourquoi, sans citer l’exposé sur la suture, il y fit quand même référence dans sa conférence « La science et la vérité » pour prendre une position contraire à la démonstration millérienne. Au lieu de nommer « suture » le rapport du sujet à la chaîne et d’avantager sa fermeture, il remaniait le terme pour annoncer que la science échouait à suturer ou à formaliser intégralement le sujet. (Roudinesco, 1993, p.427)
Het is een tekst waarmee we iets kunnen kaderen van de moeilijkheid of zelfs gekheid van Lacan, die enigszins te begrijpen valt vanuit zijn steeds terugkerende bekommernis over wat
6
het is om psychoanalyticus te zijn en om wat het is om iets te zeggen vanuit die positie. Dat is een thema dat uitgespit kan worden vanuit dat artikel. Daarnaast is het ook die bekommernis die hem een voorzichtiger en toch consequenter denker maakt dan Miller en Badiou. Een voorzichtigheid die in zekere zin te begrijpen valt vanuit zijn eigen werk als analyticus, waar iets nooit is wat het lijkt te zijn. In een podcast met Bruce Fink2 – bekende Lacaniaan in de
Engelstalige wereld en vertaler van Lacans werk – stelde hij dat Lacan lezen ook iets heeft van analytische arbeid: Lacan valt niet zomaar te begrijpen, gardez-vous de comprendre. Hetzelfde kunnen we uiteraard stellen over andere teksten. Het is een voorzichtigheid die te begrijpen valt uit een gevoeligheid voor het onderscheid tussen het subject van de uitspraak en het subject van het uitgesprokene (sujet de l’énonciation en sujet de l’énoncé).
Bovendien brengen de genoemde artikels ook de vraag met zich mee naar de rol van de aritmetica en de logica in het discours van Lacan en zij die meenden een taak op te nemen in het verlengde van Lacan. Deze rol zal niet volledig blootgelegd worden, maar die lijkt mij wel te passen in Lacans bewering dat het subject van de wetenschap het subject van de psychoanalyse is. Dat betekent onder andere dat het subject niet gevuld mag worden met een voorafgaand soort weten – iets wat als mislukt als het er uitgesproken wordt dat “ik ben”. In deze masterproef probeer ik ook trouw te zijn aan hetgeen waar ik over schrijf: mijn schrijven staat niet buiten hetgeen waar het overgaat. Vandaar ook de keuze voor mijn ondertitel, een deel van een citaat van Pablo Picasso: “Je ne cherche pas, je trouve, je n’essaie pas, je tranche”. Een citaat dat Lacan ook aanhaalt in Le savoir du psychanalyste – een seminarie dat hij in hetzelfde jaar (1971-1972) hield als …ou pire. Het toont dat er geen buiten is aan een situatie, elk zoeken is al een act die je gevonden hebt. De vraag stellen naar hoe je een situatie moet aangaan is bijvoorbeeld al een manier om die situatie aan te gaan. De zoektocht waar ik naar verwijs in de titel is dus ook al een vinden.
7 1. Frege en Die Grundlagen der Arithmetik
Gottlob Frege is een figuur die blijft terugkeren in de seminaries van Lacan. Zeker vanaf het twaalfde seminarie Problèmes cruciaux pour la psychanalyse wordt hij een constante referentie doorheen Lacans spreken. Zoals eerder vermeld komt hij heel duidelijk binnen op het moment dat Jacques-Alain Miller het woord krijgt tijdens het twaalfde seminarie. Volgens Roudinesco wakkerde dit Lacans interesse in de logica aan, ook al ging hij een andere richting uit. Het werk dat het meest centraal kwam te staan van Frege is zijn Die Grundlagen der Arithmetik, waar ik de Engelse vertaling, The Foundations of Artithmetic, van J.L. Austin van zal gebruiken.
In het werk plaatst Frege zich expliciet in de lijn van Immanuel Kant, zonder zich te verstoppen en zich louter de vraag te stellen wat Kant bedoelde:
I have no wish to incur the reproach of picking petty quarrels with a genius to whom we must all look up with grateful awe; I feel bound, therefore, to call attention also to the extent of my agreement with him, which far exceeds any disagreement. To touch only upon what is immediately relevant, I consider Kant did great service in drawing the distinction between synthetic and analytic judgements. In calling the truths of geometry synthetic and a priori, he revealed their true nature. And this is still worth repeating, since even today it is often not recognized. If Kant was wrong about arithmetic, that does not seriously detract, in my opinion, from the value of his work. His point was, that there are such things as synthetic judgements a priori; whether they are to be found in geometry only, or in arithmetic as well, is of less importance. (Frege, 1980, §89)
Deze omweg via Kant suggereert een bepaalde ingang, die zeker van pas komt als we straks dieper ingaan op Millers lectuur van Frege. Frege neemt vanuit Kant een taak op en herhaalt zijn Kant in het probleem rond de grondslagen van de wiskunde. Vanuit de Kantiaanse onderscheiden, analytisch versus synthetisch en a priori versus a posteriori, argumenteert Frege dat de aritmetica gegrond is in de logica (Frege, 1980, §87).
8 1.1. Een eenheid: verschil en identiteit
Om tot zijn eigen conceptie van het getal te komen besteedt Frege eerst nog een hoofdstuk aan inzichten over eenheid en één, “III. Views on unity and one”3. Het deel wordt geopend
met Euclides: “He seems to mean by the word “μονάς” sometimes an object to be counted, sometimes a property of such an object, and sometimes the number one” (Frege, 1980, §29). Het woord μονάς is te vertalen als Einheit of eenheid, waar we dezelfde opmerking over kunnen maken. Net deze ambiguïteiten in gebruik van het woord Einheit wil Frege uitsluiten. Hij wil voorbij gaan aan “our arbitrary way of regarding things” (Frege, 1980, §34).
Al vrij snel – ook in voorgaande hoofdstukken – sluit Frege uit dat het nummerwoord “één” een eigenschap is van objecten. Iets een eenheid noemen voegt niks toe tot de beschrijving van dat iets. Frege is hier duidelijk het punt op het spoor dat het feit dat we al iets geïdentificeerd hebben als “iets”, als “object” we het dan al als een eenheid zien. De volgende vraag die hij stelt is: “Are units identical [gleich] with one another?” (Frege, 1980, p.44). Hier gaat Frege in op de vraag naar de identiteit tussen hetgeen geteld wordt, geteld als hetzelfde. Drie appels, we identificeren drie eenheden als “appel”, ook al lijkt het voor de hand te liggen dat “no two objects are ever completely identical” (Frege, 1980, §34). Iets aan getallen, iets aan het tellen dekt een verschil tussen objecten, tussen drie verschillende appels toe. Op die manier komt Frege tot het concept:
Thomae calls the individual member of his set a unit, and says in so many words that units are identical with each other – though we might with as much or even more justice say that the individual members of his set must be different from each other. Now what has this alleged identity to do with number? The properties which serve to distinguish things from one another are, when we are considering their Number, immaterial and beside the point. That is why we want to keep them out of it. But we shall not succeed along the present lines. For suppose that we do, as Thomae demands 3 De noot van de vertaler is hier niet onbelangrijk en toont de andere gevoeligheid van het Duits (en
het Nederlands) in deze kwestie:
It is not possible in English to do entire justice to the ambiguities of the German Einheit, which covers both “unit” and “unity”, not to mention “oneness”. Moreover Einheit is a verbal derivative of Ein (whereas “unit/y” is not derived directly from “one”), and derivatives of either word can be described alike as derivatives of Ein or “one”. (Frege, 1980, p.39)
9
“abstract from the peculiarities of the individual members of a set of items”, or “disregard, in considering separate things, those characteristics which serve to distinguish them”. In that event we are not left, as Lipschitz maintains, with “the concept of the Number of the things considered”; what we get is rather a general concept under which the things in question fall. The things themselves do not in the process lose any of their special characteristics. (Frege, 1980, §34)
De vraag naar identiteit en verschil moet aangegaan worden aan de hand van concepten waar objecten onder vallen. Concepten zijn voor Frege de schakel tussen objecten en getallen. Hoewel objecten steeds verschillend zijn van elkaar, de ene appel is de andere niet, kan er een gelijkheid gevonden worden tussen de objecten via het concept, bijvoorbeeld: appel. Later komen we tot dit punt, maar de weg erheen kan het probleem waar Frege zich in engageert verduidelijken. De eenheden die samen geteld worden zijn dus allerminst gelijk, Frege haalt hier een citaat van W.S. Jevons aan dat de zaken op scherp stelt:
W.S. Jevons makes this point with unusual force: “Number is but another name for diversity. Exact identity is unity, and with difference arises plurality”. And again: “It has often been said that units are units in respect of being perfectly similar to each other; but though they may be perfectly similar in some respects, they must be different in at least one point, otherwise they would be incapable of plurality. If three coins were so similar that they occupied the same place at the same time, they would not be three coins, but one.” (Frege, 1980, §35)
Jevons krijgt de spanning tussen identiteit en verschil vervolgens niet in de plooi als hij een eenheid definieert als elk gedachte-object dat onderscheiden kan worden van een ander object dat behandeld wordt als een eenheid in hetzelfde probleem. Hij definieert “eenheid” aan de hand van de term zelf (Frege, 1980, §36). Jevons gaat verder de mist in als hij de volgende redenering verder uitwerkt: “Whenever I use the symbol 5 I really mean 1+1+1+1+1, and it is perfectly understood that each of these units is distinct from each other. If requisite I might mark them thus 1’+1’’+1’’’+1’’’’+1’’’’’.” (Jevons in Frege, 1980, §36). Frege trekt deze redenering door tot het gaatje en komt terug uit op het probleem van identiteit en verschil. Hij stelt dat het feit dat ze verschillende eenheden zouden zijn rechtvaardigt dat ze ook anders gemarkeerd worden,
10
For if a difference simply in the position in which the 1 appears were to be made to mean of itself a difference in the unit, this convention would have to be laid down as a rule without any exception, or else we should never know whether 1+1 was to be taken to mean 2 or 1. Accordingly, we should have to give up the equation 1=1 and we should never, to our embarrassment, be able to mark the same thing twice. That obviously will not do (Frege, 1980, §36).
Het punt dat Frege maakt over gelijkheid is tekenend voor de gronding van het getal 0 en de vraag omtrent waarheid en substitutie – straks meer daarover. Het gebruik van andere markeringen brengt ons echter tot een ander probleem: “If, however, we adopt the alternative plan, of assigning different symbols to different things, it is hard to see why we still retain in our symbols a common element; why not write, instead of 1’+1’’+1’’’+1’’’’+1’’’’’ simply a+b+c+d+e?” (Frege, 1980, §36). Hiermee verdwijnt het punt van identiteit tussen de eenheden volledig. Het probleem van identiteit en verschil blijft een probleem.
De weg uit het kluwen bevindt zich in het zien van een streng onderscheid tussen eenheid en één, volgens Frege. Hij lijkt een beslissing te maken over het statuut van het getal, een beslissing die vruchtbaar lijkt, of toch heel wat voordelen biedt op Jevons:
When we speak of “the number one”, we indicate by means of the definite article a definite and unique object of scientific study. There are not divers numbers one, but only one.[…] It is no accident, nor is it a notational inexactitude, that we write 1 without any strokes to mark differences. Jevons would rewrite the equation 3 – 2 = 1 in some such way as this: (1’+1’’+1’’’) – (1’’+1’’’) = 1’. But what would be the remainder of (1’+1’’+1’’’) – (1’’’’+1’’’’’)? Certainly not 1’. (Frege, 1980, §38).
Mochten we Jevons volgen zouden er naast verschillende enen ook verschillende tweeën, drieën, enzovoort zijn. Dat laat Frege ook besluiten dat een getal geen agglomeratie van dingen is (Frege, 1980, §38).
De moeilijkheid is een spanning tussen twee mogelijkheden. Enerzijds is er de poging om het getal te produceren door onderscheiden objecten samen te nemen, maar dan gaat de identiteit, de reden om ze onder dezelfde noemer te brengen, verloren. Anderzijds leidt het samenbrengen van gelijken (identicals) tot een grotere eenheid waarbij de pluraliteit verloren
11
gaat (Frege, 1980, §39). Frege situeert de impasse om het probleem op te lossen in de term “eenheid” of “unit”:
We start by calling the things to be numbered “units”, without detracting from their diversity; then subsequently the concept of putting together (or collecting, or uniting, or annexing, or whatever we choose to call it) transforms itself into that of arithmetical addition, while the concept word “unit” changes unperceived into the proper name “one”. And there we have our identity. If I annex to the letter a first an n and then a d, anyone can easily see that that is not the number 3. If, however, I bring the letters a, n and d under the concept “unit”, and now, instead of “a and n and d”, say “a unit and a unit and a further unit” or “1 and 1 and 1”, we are quite prepared to believe that this does give us the number 3. The difficulty is so well hidden under the word “unit”, that those who have any suspicion of its existence must surely be few at most. (Frege, 1980, §39)
Frege toont in zijn problematisering van het woord “eenheid”, een woord dat schijnbaar een evidentie leek in het denken over het getal, de weg die hij zal volgen en die al sluimerde in zijn bespreking tot nog toe. Het onderscheid tussen concept en object zal een belangrijke rol gaan spelen. Het toon een niveauverschil waarbij een woord en een ding nooit zomaar samenvallen. Bij momenten gaat Frege wel te kort door de bocht als hij het beschrijft als objecten die onder een concept vallen. Een dergelijke beschrijving insinueert dat object en concept los van elkaar begrepen worden, terwijl er eerder sprake is van een co-constitutie; object en concept maken elkaar mogelijk. Hoe dan ook toont Frege zich een scherp en streng denker door te tonen dat een theorie maar zover draagt als de sterkte en scherpte van het centrale concept. Een theorie van het getal aan de hand van een concept als “unit” in deze hoedanigheid zal net als het concept een heel aantal gebreken hebben.
Frege grijpt het probleem aan door het getal te begrijpen vanuit een oordeelscontext: While looking at one and the same external phenomenon, I can say with equal truth both “It is a copse” and “it is five trees”, or both “Here are four companies” and “Here are 500 men”. Now what changes here from one judgement to the other is neither any individual object, nor the whole, the agglomeration of them, but rather my terminology. But that is itself only a sign that one concept has been substituted for
12
another. This suggests as the answer to the first of the questions left open in our last paragraph that the content of a statement of number is an assertion about a concept. (Frege, 1980, §46)
De onbeantwoorde vraag luidde: “But when we make a statement of number, what is that of which we assert something?” (Frege, 1980, §45). Een oordeel over een situatie staat en valt met de gebruikte concepten, het beoordeelde fenomeen wordt op de knieën gedwongen door de concepten. Als een getal toegeschreven wordt in een bewering, wordt het toegeschreven aan een concept. Het getal is een eigenschap van het concept in de bewering: “If I say “Venus has 0 moons”, there simply does not exist any moon or agglomeration of moons for anything to be asserted of; but what happens is that a property is assigned to the concept “moon of Venus”, namely that of including nothing under it” (Frege, 1980, §46).
In Frege’s thematisering van het concept schuilt een angst om te vervallen in een subjectivisme, waardoor hij niet voorbij kan gaan aan de al te simpele tegenstelling tussen objectivisme en subjectivisme. Hij stelt het volgende: “That a statement of number should express something factual independent of our way of regarding things can surprise only those who think a concept is something subjective like an idea” (Frege, 1980, §47). In zekere zin kunnen we niet onderuit aan de manier waarop we naar de dingen kijken. Die manier is contingent, het kon anders geweest zijn. Toch is die manier van kijken en benoemen wel noodzakelijk, in de zin dat het een objectiviteit constitueert. Dat de subjectieve conditie van waaruit de objectiviteit slechts mogelijk wordt, ontkend wordt, daar zullen we straks nog op terugkeren.
De schatplichtigheid aan Kant gaat Frege niet uit de weg als hij stelt dat het concept in het bezit is van “a power of collecting together far superior to the unifying power of synthetic apperception” (Frege, 1980, §48). Dat hij een dergelijke vergelijking maakt zonder voordien over synthetische apperceptie te schrijven, toont dat de structuur en werkzaamheid van het concept gelijkaardig is als die van de synthetische apperceptie. Het enige vreemde is natuurlijk dat het enigszins een raadsel blijft wat Frege bedoelt met synthetische apperceptie. Hoewel de twee termen onmiddellijk met Kant geassocieerd worden – buiten Kant vond ik niet meteen een bron waar er ook sprake is van synthetische apperceptie – , is er in Kant geen sprake van “synthetische apperceptie”. Een voor de hand liggende piste, maar misschien te
13
makkelijke piste is dat Frege hier verwarde met de synthetische eenheid van de apperceptie4.
De synthetische eenheid van apperceptie heeft ook een unificerende, verenigende kracht, maar het gaat dan louter over de zuivere verstandsbegrippen. De concepten van Frege gaan breder dan dat.
Een volgend issue waar Frege de aandacht op wil vestigen is het onderscheid tussen a concept word en a proper name. Een concept woord is geen naam van een ding, maar duidt een concept aan: “Only when conjoined with the definite article or a demonstrative pronoun can it be counted as the proper name of a thing, but in that case it ceases to count as a concept word” (Frege, 1980, §51). De naam van een ding is een eigennaam. Het is echter niet omdat er slechts 1 object onder een concept valt dat het geen concept meer is: “It is to concepts of just this kind (for example, satellite of the Earth) that the number 1 belongs, which is a number in the same sense as 2 and 3” (Frege, 1980, §51).
Gezien een getal geen eigenschap is van een concept die het concept karakteriseert, kunnen we met Frege een analogie maken tussen bestaan en getal: “Thus “rectangular” is not a property of the concept “rectangular triangle”; but the proposition that there exists no rectangular equilateral rectilinear triangle does state a property of the concept “rectangular equilateral rectilinear triangle”; it assigns to it the number nought” (Frege, 1980, §53). Het getal nul wordt toegewezen aan een concept waar niks onder valt, een object dat niet bestaat – straks kom ik nog terug op de vraag van wat niks dan wel is. Zodra een concept een ander getal dan nul toegewezen krijgt, kunnen we stellen dat er wel een bestaand object onder valt: “Affirmation of existence is in fact nothing but denial of the number nought” (Frege, 1980, §53).
Na deze uitwerking en uitweidingen over het concept keert Frege terug naar de vraag wat een “unit” of “eenheid” is. E. Schröder stelt het volgende over een eenheid: “This generic name or concept will be called the denomination of the number formed by the method given, and constitutes, in effect, what is meant by its unit” (Schröder in Frege, 1980, §54). Na dat citaat stelt Frege het volgende: “Why not, in fact, adopt this very apt suggestion, and call a concept the unit relative to the Number which belongs to it?” (Frege, 1980, §54). Een eenheid of unit is dus een bepaald soort concept, namelijk een concept waar een eindig getal aan
14
toegeschreven kan worden. Wat betekent dat het concept hetgeen eronder valt op een bepaalde manier moet isoleren zodat er iets te tellen valt:
The concept “letters in the word three” isolates the t from the h, the h from the r, and so on. The concept “syllables in the word three” picks out the word as a whole, and as indivisible in the sense that no part of it falls any longer under that same concept. Not all concepts possess this quality. We can, for example, divide up something falling under the concept “red” into parts in a variety of ways, without the parts thereby ceasing to fall under the same concept “red”. To a concept of this kind no finite number will belong. (Frege, 1980, §54)
Het concept “rood” geldt bijvoorbeeld niet als zo’n concept gezien het alles wat onder “rood” valt niet op een eenduidige manier isoleert zodat het geteld kan worden. Mocht het gaan over “rode stoelen” was dat wel het geval. Eenheden zijn dus geïsoleerd en ondeelbaar: “Only a concept which isolates what falls under it in a definite manner, and which does not permit any arbitrary division of it into parts, can be a unit relative to a finite Number” (Frege, 1980, §54). Op deze manier lost Frege ook het probleem op van de schijnbaar paradoxale eigenschappen van units, namelijk hun identiteit en hun onderscheidbaarheid. De identiteit van een unit gaat over het concept: “In the proposition “Jupiter has four moons”, the unit is “moon of Jupiter”. Under this concept falls moon I, and likewise also moon II, and moon III too, and finally moon IV. Thus we can say: the unit to which I relates is identical with the unit to which II relates, and so on. This gives us our identity” (Frege, 1980, §54). Terwijl de onderscheidbaarheid van units slaat op de objecten die onder het concept vallen.
1.2. Frege’s getal
Het volgende deel “IV. The concept of number” zal ons het meest aanbelangen omdat Frege daar z’n eigen theorie verder uitwerkt aan de hand van een bewering die hij beargumenteerde in het voorgaande deel: “the content of a statement of number is an assertion about a concept” (Frege, 1980, §57). Hierboven beschreven we al dat het getal niet zomaar een eigenschap is van een concept. In de bewering “het getal 0 behoort tot het concept F”, is 0 slechts een deel van wat beweerd wordt over F: “Precisely because it forms only an element in what is asserted, the individual number shows itself for what it is, a self-subsistent object. I have already drawn attention above to the fact that we speak of “the number 1”, where the
15
definite article serves to class it as an object” (Frege, 1980, §57). Het getal is niet iets dat louter bestaat bij de gratie van opgenomen te zijn in een oordeel. De manier waarop we erover praten toont dat het getal een bestaan op zich heeft. Frege ziet de “self-subsistence” bijvoorbeeld ook verschijnen in een rekensommetje als 1+1=2. Er is hier geen sprake van een concept waar het getal tot behoort. Daarom maakt Frege ook terecht een verschil tussen het gebruik van het werkwoord “zijn” in beweringen met een getal en beweringen zonder een getal:
For example, the proposition “Jupiter has four moons” can be converted into “the number of Jupiter’s moons is four”. Here the word “is” should not be taken as a mere copula, as in the proposition “the sky is blue”. This is shown by the fact that we can say: “the number of Jupiter’s moons is the number four, or 4”. Here “is” has the sense of “is identical with” or “is the same as”. So that what we have is an identity, stating that the expression “the number of Jupiter’s moons” signifies the same object as the word “four”. (Frege, 1980, §57)
Getallen zijn dus op zich zelf staande objecten waar naar verwezen kan worden. Uiteraard is de volgende vraag dan de vraag naar hoe zoiets als een getal, waar we geen idea van kunnen hebben, een object kan zijn. Deze kwestie hangt voor Frege helemaal niet samen met de vraag naar een gedeeld idee, integendeel. Zo stelt Frege het volgende over ideeën:
It may be that every word calls up some sort of idea in us, even a word like “only”; but this idea need not correspond to the content of the word; it may be quite different in different men. The sort of thing we do is to imagine a situation where some proposition in which the word occurs would be called for; or it may happen that the spoken word recalls the word to our memory. (Frege, 1980, §59)
Voor Frege doen ideeën er dus niet zozeer toe, laat staan dat ideeën iets zijn dat gedeeld wordt tussen verschillende personen. Wat Frege begrijpt onder een idee, kunnen we waarschijnlijk het best begrijpen als een soort van beeld, zoals de vertaler ook opmerkt. Dat is de soort van subjectiviteit waar hij het liefst ver van weg blijft. Het tweede deel van het citaat brengt ons tot een belangrijk onderscheid in Frege’s denken en tot z’n structurele denkattitude. Een woord komt voor in grotere gehelen en het is via de plaats in die grotere
16
gehelen dat er iets gemaakt wordt van woorden. Dit impliceert ook dat een woord geschreven of uitgesproken moet worden.
Een paragraaf later maakt Frege dit punt concreter en zien we een onderscheid tussen idea en meaning:
That we can form no idea of its content is therefore no reason for denying all meaning to a word, or for excluding it from our vocabulary. We are indeed only imposed on by the opposite view because we will, when asking for the meaning of a word, consider it in isolation, which leads us to accept an idea as the meaning. Accordingly, any word for which we can find no corresponding mental picture appears to have no content. But we ought always to keep before our eyes a complete proposition. Only in a proposition have the words really a meaning. It may be that mental pictures float before us all the while, but these need not correspond to the logical elements in the judgement. It is enough if the proposition taken as a whole has a sense: it is this that confers on its parts also their content. (Frege, 1980, §60)
Betekenissen van een woord hebben niks te maken met mentale beelden van het woord in kwestie. Voor veel woorden is er immers geen beeld te vormen als het geïsoleerd wordt van een context. Toch functioneren deze woorden in een context, dus lijkt het te makkelijk om deze zomaar te ontdoen van alle inhoud. In die zin hebben dergelijke woorden wel een betekenis, maar deze hangt vast aan de propositie waarin het woord gebruikt wordt. Frege’s focus op “the logical elements” toont het belang van structuur voor betekenis. Een structuur maakt betekenis mogelijk doordat de elementen van een propositie in een bepaalde verhouding tot elkaar staan. De zelfstandigheid van het getal als object heeft hier mee te maken. Los van een propositie is het moeilijk om een eenduidig beeld te hebben van een getal. Zoals hierboven geciteerd zal het getal begrepen worden in een propositie, in een structuur, bijvoorbeeld stippen op een vlak. Ofwel zal het symbool van het getal voorgesteld worden, bijvoorbeeld “5”. Toch gaat het echter om een object en niet om een predicaat of attribuut, want het heeft een andere functie en zorgt voor een andere dynamiek in een propositie. Gezien Frege’s houvast dat woorden enkel betekenis hebben in een propositie, wordt de vraag naar het getal getransformeerd tot de opdracht “to define the sense of a proposition in which a number word occurs” (Frege, 1980, §62). Gezien getallen self-subsistent objects zijn, zijn de
17
proposities die hier van belang zijn “those which express our recognition of a number as the same again” (Frege, 1980, §62). Onder een concept kunnen meerdere objecten vallen, volgens Frege, maar een object is steeds gelijk aan zichzelf. Dat lijkt althans de impliciete redenering te zijn om de vraag naar het getal een omweg te laten nemen langs de vraag naar gelijkheid:
In our present case, we have to define the sense of the proposition “the number which belongs to the concept F is the same as that which belongs to the concept G”; that is to say, we must reproduce the content of this proposition in other terms, avoiding the use of the expression “the Number which belongs to the concept F”. In doing this, we shall be giving a general criterion for the identity of numbers. (Frege, 1980, §62)
Hier zien we ook duidelijk sporen terug van Frege’s missie om de aritmetica te gronden in de logica. Hij vertrekt vanuit een algemeen criterium van gelijkheid om tot het getal te komen. Getalmatige gelijkheid is een toepassing van gelijkheid als een algemeen, logisch concept:
[…] it must be noted that for us the concept of Number has not yet been fixed, but is only due to be determined in the light of our definition of numerical identity. Our aim is to construct the content of a judgement which can be taken as an identity such that each side of it is a number. We are therefore proposing not to define identity specially for this case, but to use the concept of identity, taken as already known, as a means for arriving at that which is to be regarded as being identical. (Frege, 1980, §63)
Frege neem de definitie van identiteit over van Leibniz: “Things are the same as each other, of which one can be substituted for the other without loss of truth” (Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salva veritate) (Leibniz in Frege, 1980, §65). Inwisselbaarheid met behoud van waarheid is het criterium dat alle vormen van gelijkheid in zich draagt.
Om niet meteen met getalmatige gelijkheid bezig te zijn, maar via een bredere conceptie van identiteit terug te keren naar het getal, gebruikt Frege een ander voorbeeld: “the direction of a is identical with the direction of b” (Frege, 1980, §66). Dit zou dus betekenen dat we overal waar het gaat over “de richting van lijn a” het kunnen vervangen door “de richting van lijn b”, en omgekeerd. Het probleem bij de bovenstaande propositie bestaat er echter in dat er geen definitie is van “richting”, waardoor een propositie zoals “the direction of a is identical with q” niet bevestigd of ontkend kan worden, “except for the one case where q is given in the form of “the direction of b”” (Frege, 1980, §66). Als we echter voordien al vastleggen dat q
18
een richting is dan kunnen we niet via het principe van gelijkheid tot een definitie van “richting” komen, want het ligt voordien al vast. Frege benadrukt dat “the direction of a” fungeert als object in de propositie, de vraag naar gelijkheid (van richting) blijft echter niet op het niveau van het object:
If, moreover, we were to adopt this way out, we should have to be presupposing that an object can only be given in one single way […] All identities would then amount simply to this, that whatever is given to us in the same way is to be reckoned as the same. This, however is a principle so obvious and so sterile as not to be worth stating. We could not, in fact, draw from it any conclusion which was not the same as one of our premises. Why is it, after all, that we are able to make use of identities with such significant results in such divers fields? Surely it is rather because we are able to recognize something as the same again even although it is given in a different way. (Frege, 1980, §67).
Het identiteitsprincipe toont pas een vermogen om resultaten te boeken als er een verschil in het spel is – wat in zekere zin toch het doel is van Frege’s onderneming als hij elders stelt dat zijn zorg “is to arrive at a concept of number usable for the purposes of science” (Frege, 1980, §57). Het verschil bevindt zich volgens Frege op een ander niveau dan het object. Het gaat net om het overbruggen van de verschillende manieren waarop een object gegeven is. Een oordeel dat iets gelijk is, is dus een neutraliseren van een verschil op het niveau van de taal, van het conceptuele.
De weg die Frege verkiest om de moeilijkheden van hierboven te vermijden is de weg via extensies van een concept:
If line a is parallel to line b, then the extension of the concept “line parallel to line a” is identical with the extension of the concept “line parallel to line b”; and conversely, if the extensions of the two concepts just named are identical, the a is parallel to b. Let us try, therefore, the following type of definition: the direction of line a is the extension of the concept “parallel to line a”; the shape of triangle t is the extension of the concept “similar to triangle t”. (Frege, 1980, §68)
Wat betekent dat nu voor het getal? “To apply this to our own case of Number, we must substitute for lines or triangles concepts, and for parallelism or similarity the possibility of correlating one to one the objects which fall under the other” (Frege, 1980, §68). Zoals we
19
hierboven besproken hebben, zijn beweringen met getallen beweringen over concepten. De extensie van een concept zijn de objecten die onder het concept vallen. De gelijkheid van de extensies van twee concepten is dus het koppelen van elk object van het ene concept met één object van het andere concept. Ze worden over elkaar in een rij geplaatst en hebben allemaal precies één overbuur, er is een één op één relatie. Het klassieke voorbeeld dat Frege ook aanhaalt is dat van de ober die evenveel borden als messen op een tafel wil leggen: “[…] he has no need to count either of them; all he has to do is to lay immediately to the right of every plat a knife, taking care that every knife on the table lies immediately to the right of a plate” (Frege, 1980, §70).
Van dat voorbeeld dat speelt met identieke ruimtelijke plaatsen is er een generalisering nodig: “If from a judgement-content which deals with an object a and b we subtract a and b, we obtain as remainder a relation-concept which is, accordingly, incomplete at two points”(Frege, 1980, §70). Een dergelijk relatie-concept moet steeds vervuld worden: “Each individual pair of correlated objects stands to the relation-concept much as an individual object stands to the concept under which it falls – we might call them the subject of the relation-concept” (Frege, 1980, §70). Hier zien we de co-constitutie het scherpst, het relatie-concept heeft geen enkele inhoud zonder een objectpaar en het spreken over een paar is slechts mogelijk door het relatie-concept. Ze maken elkaar wederzijds mogelijk.
In het geval van het getal gaat het dus om een één op één relatie, de twee volgende voorwaarden moeten daar volgens Frege voor voldaan zijn:
1. If d stands in the relation ø to a, and if d stands in the relation ø to e, then generally, whatever d, a and e may be, a is the same as e.
2. If d stands in the relation ø to a, and if b stands in the relation ø to a, then generally, whatever d, b and a may be, d is the same as b. (Frege, 1980, §72)
Hierdoor kan Frege stellen dat de bewering dat het concept F gelijk is aan het concept G hetzelfde betekent als “er bestaat een relatie ø die de objecten die onder het concept F vallen in een één op één relatie plaatst met de objecten die onder het concept G vallen”. Zoals eerder besproken is een getal van een concept F de extensie van het concept “gelijk aan het concept F”, waarbij Frege het volgende toevoegt:
20
The expression “n is a Number” is to mean the same as the expression “there exists a concept such that n is the Number which belongs to it”.
Hoewel het lijkt alsof het getal hier aan de hand van zichzelf gedefinieerd wordt, is er toch geen probleem want “het getal dat hoort bij het concept F” werd al gedefinieerd (als de extensie van het concept “gelijk aan het concept F”) (Frege, 1980, §72).
De volgende horde is “to show that the Number which belongs to the concept F is identical with the Number which belongs to the concept G if the concept F is equal to the concept G” (Frege, 1980, §73). Het moet dus aangetoond worden dat als het concept F gelijk is aan het concept G, de extensie van het concept “gelijk aan het concept F” dezelfde is als de extensie van het concept “gelijk aan het concept G”. Voor Frege betekent het dat aan volgende twee proposities steeds voldaan is:
If the concept H is equal to the concept F, then it is also equal to the concept G; and
If the concept H is equal to the concept G, then it is also equal to the concept F. (Frege, 1980, §73)
Frege maakt hier gebruik van transitiviteit om te tonen dat dat het geval is.
1.3. Het getal 0 en de andere natuurlijke getallen
Voor Frege aan de definities begint van individuele nummers eindigt hij een paragraaf met de volgende woorden: “And with that, I hope, enough has been indicated of my methods to show that our proofs are not dependent at any point on borrowings from intuition, and that our definitions can be used to some purpose” (Frege, 1980, §73). Wars van intuïtie wil Frege de aritmetica gronden in de logica. Het getal 0, dat doorheen het boek meer en meer belang kreeg naarmate Frege tot zijn eigen conceptie kwam van het getal, speelt hier een belangrijke rol – daar komen we later op terug.
Het getal 0 zegt Frege is het getal dat behoort tot het concept “niet gelijk aan zichzelf”. Wat hij rechtvaardigt met deze voorafgaande zin: “Since nothing falls under the concept “not identical with itself”” (Frege, 1980, §74). Dat concept vergelijkt Frege zelf met de vierkante cirkel en het houten ijzer. Aan de hand van Frege’s onderscheid tussen concept en object kunnen we begrijpen waarom hij geen graten ziet in het gebruiken van dergelijke
21
contradictorische concepten: “[…] they cannot do any harm, if only we do not assume that there is anything which falls under them – and to that we are not committed by merely using them” (Frege, 1980, §74). Dergelijke concepten berokkenen geen schade zolang we er niet van uit gaan dat er een object onder valt, stelt Frege.
De reden waarom Frege dan kiest voor het concept “niet gelijk aan zich zelf” en niet voor een ander zogenaamd contradictorisch concept, heeft de volgende reden:
I could have used for the definition of nought any other concept under which no object falls. But I have made a point of choosing one which can be proved to be such on purely logical grounds; and for this purpose “not identical with itself” is the most convenient that offers, taking for the definitions of “identical” the one from Leibniz given above [§65], which is in purely logical terms. (Frege, 1980, §74)
Leibniz stelde dat dingen hetzelfde zijn als het ene kan gewisseld worden voor het andere zonder een verlies aan waarheid. Identiteit en waarheid worden hier dus aan elkaar geknoopt en door Frege gebruikt in de gronding van het getal 0. Dat iets gelijk is aan zichzelf heeft op deze manier, voor Frege, niks te maken met intuïtie, maar alles met louter logische overwegingen en het openhouden van de mogelijkheid om over waarheid te spreken als iets waar over geoordeeld of beslist kan worden.
Het getal 0 kunnen we begrijpen als het aanwezig stellen van de afwezigheid. Er valt volgens Frege geen object onder het concept “niet gelijk aan zichzelf”, maar door het benoemen als 0, wordt die afwezigheid als afwezigheid aanwezig gesteld.
Frege gaat vervolgens over naar de relatie tussen twee aangrenzende natuurlijke getallen: The proposition: “there exists a concept F, and an object falling under it x, such that the Number which belongs to the concept F is n and the Number which belongs to the concept ‘falling under F but not identical with x’ is m” is to mean the same as “n follows in the series of natural numbers directly after m”. (Frege, 1980, §76)
Er bestaat dus een concept F waar een object x onder valt, de extensie van het concept “gelijk aan het concept F” is n – n is dus het getal horende bij het concept F. Daarnaast is er een concept “gelijk aan vallend onder F maar niet gelijk aan x” dat als extensie m heeft – m is dus het getal horende bij het concept “vallend onder F maar niet gelijk aan x”. Dit betekent dat m
22
het getal is dat n voorafgaat in de reeks van natuurlijke getallen. Het is belangrijk om het concept “vallend onder F maar niet gelijk aan x” niet te verwarren met het contradictorische concept dat Frege gebruikt om het getal 0 te definiëren. Waar de elementen van het concept dat 0 als getal heeft op hetzelfde niveau blijven, a≠a, is er een niveauverschil tussen “vallend onder F” en “niet gelijk aan x”. F is het concept waar x onder valt, maar het is niet gezegd dat er niet nog objecten onder het concept vallen. Om even vooruit te lopen en deze opmerking te verduidelijken, kunnen we al een voorbeeld gebruiken dat ik later ook zal gebruiken. We nemen voor concept F het concept “lid van {0,1,2}, maar niet gelijk aan 2”. De objecten die hier onder vallen zijn 0 en 1. De extensie van het concept “gelijk aan lid van {0,1,2}, maar niet gelijk aan 2” is 2. Uiteraard kan deze structuur ook zorgen dat het getal van het concept 0 is. Daarvoor nemen we als concept F het concept “lid van {0}, maar niet gelijk aan 0”, hier valt geen object onder, de extensie van het concept “gelijk aan lid van {0}, maar niet gelijk aan 0” 0 is. Hierdoor is deze beschrijving van wat de relatie is tussen twee aangrenzende natuurlijke getallen een correcte beschrijving binnen Frege’s systeem.
Dat stuk wordt duidelijker als we Frege volgen in zijn overgang van 0 naar 1, die ik hier even integraal zal citeren:
Let us consider the concept – or, if you prefer it, the predicate – “identical with 0”. Under this falls the number 0. But under the concept “identical with 0 but not identical with 0”, on the other hand, no object falls, so that 0 is the Number which belongs to this concept. We have, therefore, a concept “identical with 0” and an object falling under it 0, of which the following propositions hold true:
the Number which belongs to the concept “identical with 0” is identical with the Number which belongs to the concept “identical with 0”; the Number which belongs to the concept “identical with 0 but not identical with 0” is 0.
Therefore, on our definition [§76], the Number which belongs to the concept “identical with 0” follows in the series of natural numbers directly after 0.
Now if we give the following definition:
23
we can then put the preceding conclusion thus:
1 follows in the series of natural numbers directly after 0. (Frege, 1980, §77) Om van 0 naar 1 te gaan vertrekt Frege vanuit het concept “gelijk aan 0”. Het concept heeft als object 0, 0 valt onder het concept “gelijk aan 0”. Daarnaast is er een concept waar geen object onder valt, namelijk: “gelijk aan 0 maar niet gelijk aan 0”, “0 en niet-0” als het ware. Als extensie heeft het concept “gelijk aan gelijk aan 0 maar niet gelijk aan 0” 0, wat dus hetzelfde is als zeggen dat het getal van het concept “gelijk aan 0 maar niet gelijk aan 0” 0 is. Voor het concept “gelijk aan 0” zijn er twee proposities steeds waar, waardoor we de brug kunnen maken naar het getal 1. De eerste, “the Number which belongs to the concept “identical with 0” is identical with the Number which belongs to the concept “identical with 0”, wijst er nogmaals op dat getallen objecten zijn en dat een object steeds gelijk is aan zichzelf, bij Frege. De tweede, “the Number which belongs to the concept “identical with 0 but not identical with 0” is 0”, is de definitie van het getal 0 als de extensie van een concept dat voor de gelijkheid van een concept waar geen object onder valt staat. Deze twee proposities stellen ons in staat om vanuit de algemenere definitie in §76 de conclusie te trekken dat het getal dat hoort bij het concept “gelijk aan 0” volgt op 0 in de reeks van natuurlijke getallen. En dat getal noemen we dus 1.
Het object van het concept “gelijk aan 0” – dat 0 is – speelt dus de rol van x in de algemene definitie en het concept “gelijk aan 0” neemt de plaats in van het concept F. Het getal dat na een ander getal komt in de rij van de natuurlijke getallen is het getal dat toebehoort aan het concept dat voor de gelijkheid van dat voorgaande getal staat. Het is zeer belangrijk om hier steeds de niveauverschillen en nuances tussen concept, object en extensie van een bepaald concept in het oog te houden, maar ook te zien hoe die in elkaar verschuiven. Dat verschuiven gebeurt bijvoorbeeld op het moment dat 0 gezien wordt als het object dat valt onder het concept “gelijk aan 0”, terwijl het voordien net de extensie was van het concept “gelijk aan gelijk aan 0 maar niet gelijk aan 0”, de plaats in de structuur van de redenering is anders. Het volgende getal telt als het ware het voorgaande getal, terwijl het voorgaande getal op het moment dat het geteld wordt een andere plaats in de structuur inneemt. Het getal 0 is echter een zeer belangrijk getal, gezien dat getal geen ander getal telt, maar net niks telt als iets. Vanuit niks wordt er dus een reeks van opeenvolgende getallen mogelijk gemaakt.
24
Een interessante uitsmijter in deze paragraaf bestaat er in dat Frege opnieuw de tegenstelling tussen subjectief en objectief bovenhaalt. Getallen zijn voor hem objectief en de waarheid van de propositie dat 1 volgt na 0 in de rij van de natuurlijke getallen, hangt niet vast aan onze subjectieve, lichamelijke conditie:
[…] it still holds, even if the circulation [of blood] stops; and even if all rational beings were to take to hibernating and fall asleep simultaneously, our proposition would not be, say, cancelled for the duration, but would remain quite unaffected. For a proposition to be true is just not the same thing as for it to be thought. (Frege, 1980, §77)
Later komen we uitgebreider terug op deze redenering via Lacans artikel “Science et vérité”. Frege mist hier een punt dat het wel degelijk gezegd of geschreven moet worden vooraleer er sprake kan zijn van een objectiviteit zoals hij die lijkt te beschouwen en past bij zijn inzet om het getal te conceptualiseren met de wetenschap als doel. Hij ziet hier de retroactiviteit van taal over het hoofd, taal kan de geschiedenis veranderen. Dat betekent natuurlijk wel dat iets gezegd of geschreven moet worden vooraleer het een objectiviteit kan opeisen, dat zeggen of schrijven gebeurt dan wel vanuit een positie. Het is een opmerking die wel vaker terugkeert bij Frege, zo ook in paragraaf 80. Zoals gezegd komen we hier later nog uitgebreider op terug. Frege wil nu bewijzen dat, uitgezonderd bij 0, geldt dat er na elk natuurlijk getal n een ander getal volgt. Hiervoor heeft hij een concept nodig waar toe het opvolggetal behoort, namelijk: “member of the series of natural numbers ending with n” (Frege, 1980, §79). De basis van het volgen in een serie is geïnspireerd vanuit zijn eigen Begriffsschrift:
The proposition:
“if every object to which x stands in the relation ø falls under the concept F, and if from the proposition that d falls under the concept F it follows universally, whatever d may be, that every object to which d stands in the relation ø falls under the concept F, then y falls under the concept F, whatever concept F may be”
is to mean the same as
25
and again the same as
“x comes in the ø-series before y” (Frege, 1980, §79)
De propositie van voorgaande deductie bestaat uit twee voorwaarden waar aan voldaan moet zijn om tot hetgeen geïmpliceerd wordt te komen. Enerzijds dat elke object waar x tot staat in de relatie ø (de opvolgersfunctie) onder het concept F valt. Anderzijds dat uit de propositie dat d onder het concept F valt universeel volgt dat elk object waar d in ø tot staat onder het concept F valt. Hieruit volgt dat y onder het concept F valt. In de eerste voorwaarde is de x nog niet gespecifieerd, maar wordt de mogelijkheid opengezet dat er een ander object is waar x in een relatie ø tot staat en dat dan onder het concept F moet vallen. In de tweede voorwaarde wordt de x vervangen door d en valt d ook onder het concept F. Met die twee voldane voorwaarden is er een y die onder het concept F valt. Dat betekent dat als er opeenvolging is zowel x en y onder het concept F vallen en dat y in een rij volgt na x. Dat is wat het volgens Frege betekent als elementen elkaar opvolgen in een rij.
Nu keren we terug naar de natuurlijke getallen om te begrijpen hoe de opvolgrelatie daar zijn invulling krijgt als n volgt in de rij van natuurlijke getallen meteen na m. Verdere definities die noodzakelijk zijn om de volgende stap te zetten zijn de volgende:
The proposition
“y follows in the ø-series after x or y is the same as x” is to mean the same as
“y is a member of the ø-series beginning with x” and again the same as
“x is a member of the ø-series ending with y” (Frege, 1980, §81)
Om aan te tonen dat elk getal een opvolger heeft, moet aangetoond worden dat “the Number which belongs to the concept “member of the series of natural numbers ending with n” follows in the series of natural numbers directly after n” (Frege, 1980, §82). De extensie van het concept “gelijk aan lid van de reeks natuurlijke getallen eindigend met n” moet het getal zijn dat volgt op n. Daarmee wordt ook aangetoond dat er geen laatste element is in de
26
verzameling van natuurlijke getallen. Frege geeft niet het volledige bewijs, maar schetst het in grote lijnen:
It is to be proved that:
1. if a follows in the series of natural numbers directly after d, and if it is true of d that:
the Number which belongs to the concept “member of the series of natural numbers ending with d” follows in the series of natural numbers directly after d,
then it is also true of a that:
the Number which belongs to the concept “member of the series of natural numbers ending with a” follows in the series of natural numbers directly after a.
It is then to be proved, secondly, that what is asserted of d and of a in the propositions just stated holds for the number 0. And finally it is to be deduced that it also holds for n if n is a member of the series of natural numbers beginning with 0. The argument here is an application of the definition I have given [(§§ 79, 81)] of the expression “y follows in the series of natural numbers after x”, taking for our concept F what is asserted above [in 1.] of d and a conjointly, but with 0 and n substituted for d and a. (Frege, 1980, §82)
Propositie 1 vertrekt opnieuw uit twee voorwaarden waar voldaan aan moet zijn: a moet net na d volgen in de reeks van de natuurlijke getallen en het moet zo zijn dat voor d geldt dat het getal dat behoort tot het concept “ lid van de reeks natuurlijke getallen die eindigt met d” net na d volgt in de reeks van de natuurlijke getallen. Als deze twee voorwaarden voldaan zijn kan hetzelfde gesteld worden over a als over d. Daarnaast kunnen we uit de twee voorwaarden ook afleiden dat a het getal is dat behoort tot het concept “lid van de reeks natuurlijke getallen die eindigt met d”. Frege stelt dat het noodzakelijk is om wat gesteld wordt over a en d aan te tonen voor 0 en evenzeer voor een getal n als n een lid is van de reeks natuurlijke getallen beginnende met 0. Vanuit de positie van 0 als eerste getal van de reeks van de natuurlijke getallen – 0 wordt niet voorafgegaan door een ander getal – kunnen we dit begrijpen als een
27
basisstap waarmee een domino-effect opgang komt. Je zou het eventueel een vorm van mathematische inductie kunnen noemen. Deze methode steunt echter net op de natuurlijke getallen, de verzameling waar we nu net iets over willen zeggen. Het is mij niet zozeer duidelijk hoe deze spanning opgelost geraakt.
Om propositie 1 te bewijzen, stelt Frege, moeten we aantonen dat a het getal is dat toebehoort aan het concept “member of the series of natural numbers ending with a, but not identical with a” (Frege, 1980, §82). Laat ons dat even verduidelijken met een voorbeeld. We nemen voor a het getal 2. Op die manier hebben we als concept: “lid van de reeks natuurlijke getallen eindigend met 2, maar niet gelijk aan 2”. Dat concept is hetzelfde als: “lid van {0,1,2}, maar niet gelijk aan 2”. Onder het concept vallen twee objecten, namelijk: 0 en 1. Hieruit kunnen we concluderen dat de extensie van het concept “gelijk aan lid van de reeks natuurlijke getallen eindigend met 2, maar niet gelijk aan 2” inderdaad 2 is. Frege stelt dat we hiervoor noodzakelijkerwijs moeten aantonen dat “this concept has an extension identical with that of the concept “member of the series of natural numbers ending with d”” (Frege, 1980, §83). Hiervoor stelt Frege dat we gebruik moeten maken van de propositie dat geen enkel object dat lid is van de reeks van natuurlijke getallen beginnende met 0 zichzelf volgt in die reeks van natuurlijke getallen. Het belang van de opmerking dat de reeks begint met 0 hangt voor Frege vast aan de vraag naar eindigheid en oneindigheid: “the proposition “n is a member of the series of natural numbers beginning with 0” is to mean the same as “n is a finite Number”” (Frege, 1980, §83). Om te kunnen spreken over eindigheid moet er steeds een begin zijn. Dat lijkt hier de onderliggende redenering te zijn. Dat begin is het getal 0.
28 2. Jacques-Alain Millers « La suture (Elements de la logique du signifiant) »
Zoals reeds gesteld werd Frege een blijvende referentie in de seminaries van Lacan nadat Miller het woord kreeg tijdens één van de gesloten seminarie sessies en een interpretatie van Frege’s conceptie van het getal voorstelde die iets toonde van wat het subject is in de lacaniaanse lijn. Miller werd voorgegaan door Yves Duroux met “Psychologie et logique”. Duroux legt het één en het ander klaar over Frege waar Miller verder op doorgaat. Via Duroux en met een enigszins recapituleren van het voorgaande zullen we zodra overgaan tot Millers interpretatie. Beide tussenkomsten werden gepubliceerd in Cahiers pour l’analyse, bij Duroux zal ik verwijzen naar die versie, bij Miller zal ik verwijzen naar de oorspronkelijke tussenkomst in het seminarie zoals te vinden op staferla5.
2.1. Yves Duroux
Duroux stelt dat de staat van het getal steeds afhangt van het antwoord op drie vragen: 1. Qu’est-ce qu’un nombre? (l’axiome de Peano donne pour acquis qu’on sait ce qu’est un nombre)
2. Qu’est-ce que zéro ?
3. Qu’est-ce que le successeur? (Duroux, 1966, p.31)
Zoals we hierboven gezien hebben gaat Frege inderdaad in op deze drie vragen, waarbij we doorheen de tekst konden opmerken dat het getal 0 een belangrijkere rol ging spelen. Zeker tegenover de concepties van de auteurs die hij bekritiseerde of op voortbouwde.
Ook Duroux merkte dit op als hij schrijft dat als het getal 0 niet gedacht wordt als een ander getal dan de andere getallen – eventueel kunnen we stellen dat 0 op een andere manier verschilt van 1, dan dat 1 verschilt van 2 en de andere getallen – we de twee overige vragen als volgt kunnen stellen:
1. Comment passer d’un rassemblement de choses à un nombre qui est le nombre de ces choses?
2.Comment passer d’un nombre à un autre? (Duroux, 1966, p.32)
29
Deze twee vragen begrijpt Duroux als twee operaties, “l’une de rassemblement, l’autre d’ajout” (Duroux, 1966, p.32). De twee operaties van het bijeenvoegen en het toevoegen verwijzen, volgens Duroux, in de empiristische tradities naar de activiteit van een “sujet psychologique”. Zoals we reeds zagen is dit net hetgeen waar Frege een broertje dood aan heeft. Volgens Duroux hangt deze focus ook samen met het woord “Einheit” en alle ambiguïteiten die daar mee samen hangen. Dat psychologische subject van de empiristen heeft twee specifieke activiteiten als het over het getal en het spel der ambiguïteiten omtrent de term eenheid gaat: “ajouter et nommer”, bijvoegen en benoemen (Duroux, 1966, p.33). Tussen de haakjes heeft Duroux het hier ook over “fonction d’inertie” (Duroux, 1966, p.33). Het lijkt hier te gaan om een verwijzing naar de behoudswetten van Newton. Dat impliceert hier dat het subject een stabiliteit heeft in het doen en laten en dat er dus ook iets is als een psychologisch subject. Of dat dit althans niet geproblematiseerd wordt. Het is op dit punt dat Frege breekt met de empiristische traditie:
Frege cite un nombre important de textes qui tous se ramènent à promouvoir les opérations imaginaires: rassembler, ajouter, nommer. Pour supporter ces fonctions qui masquent le problème réel, il faut supposer un sujet psychologique qui les opère et les énonce. Si le problème réel est de découvrir ce qui est spécifique dans le signe + et dans l’opération successeur, il faut arracher le concept de nombre à la détermination psychologique. (Duroux, 1966, p.33)
Het is dat wegrukken van het getal uit een psychologische determinering dat Frege’s project uniek maakt. Volgens Duroux gebeurt het afwijzen van het psychologisme in twee bewegingen. In eerste instantie voltooit hij
une séparation dans le domaine de ce qu’il appelle le domaine des Vorstellungen: il met d’un côté ce qu’il appelle des Vorstellungen psychologiques, subjectives, et d’un autre côté, ce qu’il appelle les Vorstellungen objectives. Cette séparation a pour objet d’effacer toute référence à un sujet et de traiter ces représentations objectives à partir de lois qui méritent d’être nommées logiques. (Duroux, 1966, p.33)
De psychologische, subjectieve voorststellingen zijn de ideeën waar we het over hadden in het vorige deel en waar Frege over opmerkte dat “It may be that every word calls up some sort of idea in us, even a word like “only”; but this idea need not correspond to the content of
30
the word; it may be quite different in different men” (Frege, 1980, §59). Ze zijn geen basis voor objectiviteit en zijn nooit volledig gedeeld tussen verschillende personen. De objectieve representaties duiden op Frege’s concept-object-theorie, waarbij er wel een objectiviteit mogelijk is. Duroux stelt terecht dat het belangrijk is om concept en object niet van elkaar los te denken – iets waar Miller op een vreemde manier niet in slaagt, zoals we straks zullen zien. Het concept opent een ruimte waarin een object kan verschijnen, “une relation de fonction à argument” (Duroux, 1966, p.33).
In tweede instantie borduurt Frege voort op het onderscheid tussen concept en object, waardoor hij tegen de empiristen in het getal niet relateert aan objecten, maar aan concepten. Hierdoor vervalt hij ook niet in een subjectiviteit van de mentale beelden, maar meent hij aan de kant van de objectiviteit te staan. Duroux stelt dan ook dat dit de eerste definitie is van het getal bij Frege: “le nombre appartient à un concept” (Duroux, 1966, p.34). Deze definitie is echter nog niet genoeg om te kunnen begrijpen wat een individueel getal is. Hiervoor moet Frege passeren langs de kwestie van identiteit, via de vraag wat de betekenis is van het werkwoord “zijn” in de zinnen: “de hemel is blauw” en “het aantal manen van Jupiter is vier”. Hierdoor komt Frege uit bij “une opération primordiale qui lui permet de rapporter les nombres à une pure relation logique” (Duroux, 1966, p.34). Die primordiale operatie noemt Duroux ”une opération ”d’équivalence””. De Franse vertaler maakte hier een andere keuze dan de J. L. Austin, die wel het volgende opmerkte nadat hij koos voor “equal”:
Gleichzalig – an invented word, literally “identinumerate” or “tautarithmic; but these are too clumsy for constant use. Other translators have used “equinumerous”; “equinumerate” would be better. Later writers have used “similar” in this connexion (but as a predicate of “class” not of “concept”). (noot van de vertaler in Frege, 1980, §68)
De munt viel in de vertaling die Duroux las dus op de andere zijde. Hoe dan ook, volg ik Duroux als hij de operatie typeert als “relation logique qui permet d’ordonner bi-univoquement des objets ou des concepts” (Duroux, 1966, p.34). Hier zitten we terug bij Frege’s voorbeeld van de borden en de messen. Dit zorgt er voor dat Frege kan komen tot z’n tweede, “la véritable” definitie van het getal: het getal dat hoort bij het concept F is de extensie van het concept “gelijk aan concept F”.
31
Duroux beschrijft Frege’s systeem als een “machine relationelle” die bestaat uit twee assen: “un axe horizontal dans lequel joue la relation d’équivalence, et un axe vertical qui est l’axe spécifique de la relation entre le concept et l’objet” (Duroux, 1966, p. 35). Het feit dat Duroux het iets machinaals noemt impliceert dat er een automatische, noodzakelijke gang van zaken is – zeker gezien de periode waarin hij dat stelde, nog lang voor artificiële intelligentie, waar deze implicatie misschien niet meer zo duidelijk gemaakt kan worden. Het is deze striktheid waar het Frege om gaat als hij aandringt op objectiviteit en zich verzet tegen de zogenaamde subjectieve voorstellingen. Deze machine laat hem dan ook de mogelijkheid de verschillende, individuele getallen te deduceren, wat volgens Duroux er op neerkomt dat hij het getal nul en de opvolger moet definiëren (Duroux, 1966, p.35). Een startpunt moet gedefinieerd worden en vervolgens een operatie om dat startpunt te laten opvolgen door een volgend getal. De opvolging moet ook gelden voor dat volgende getal, enzovoort.
Dat startpunt is zoals we zagen het getal 0. Frege gebruikt het concept “niet gelijk aan zichzelf”, “qui est défini par lui comme un concept contradictoire, et il déclare que, à n’importe quel concept contradictoire […] à n’importe quel concept sous lequel ne tombe aucun objet est attribué le nom : “zéro” (Duroux, 1966, p.35). 0 is dus het getal van de concepten waar geen object onder kan vallen, vanuit logische tegenstrijdigheden. Zoals Frege zelf schreef is de keuze voor het concept “niet gelijk aan zichzelf” gemotiveerd vanuit de drang om op een puur logische basis te werken. Waar er bij een eenhoorn of een centaur nog een duidelijkere link is weg van analytische en a priori uitspraken – we kunnen namelijk gaan zoeken naar eenhoorn en centaurs – is die er minder (maar nog steeds?) bij het concept “niet gelijk aan zichzelf”. Het is ook op dit punt dat Frege zich nogmaals bindt aan Leibniz.
De opvolger en het getal 1 worden bijna simultaan gedefinieerd, in twee opeenvolgende paragrafen (§76, §77). Duroux stelt hierover dat de relatie tussen 0 en 1 noodzakelijk is om zijn definitie van de opvolger te funderen:
Cette définition est purement formelle. Frege la fonde en donnant immédiatement après la définition du un. Elle consiste à se donner un concept “égal à zéro”. Quel objet tombe sous ce concept? L’objet zéro. Frege dit alors: “1 suit 0 dans la mesure où 1 est attribué au concept “égal à 0””. (Duroux, 1966, p.36)
