Warmtegeleiding in een cilindrische lagerschaal

Warmtegeleiding in een cilindrische lagerschaal

Citation for published version (APA):

Meiden, van der, W. (1976). Warmtegeleiding in een cilindrische lagerschaal. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7606). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1976 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

TBCHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

Onderafdeling der Wiskunde

Memor.andum 1976-06 april 1976

Warmtegeleiding in een cilindrische lagerschaal

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

door

Warmtegeleiding in een cilindrische lagerschaal

door

W. van der Meiden

Voor de temperatuurverdeling T als funktie van r en ~ geldt

terwijl T rr I +-T r r I + - T 2 cpcp r 0, (a ~ r ~ b, T (b , cp )

=

8, (-n ~ cp < 1f) Tr(a,cp) T (a,cp) r

o

als Icpl ~ a. c cos

(;~)

als Icpl

-n ~ cp < n) (I)

(2)

(3)

- 2 -R ".p +

1..

R'.p + _1_ RtP" 0 , r 2 r .p (R" +

1..

R') ;; R.p" , r R" +

1..

R' r _I R 2 r r

De aard der functies R en .p in aanmerking genomen volgt hieruit dat beide leden constant zijn. Dan is - .pI!

=

y'i! met y E:

R;

de DV

<p" + y<P

=

0

neeft narmoniscne, lineaire of exponentiele oplossingen al naar gelang y > 0, y

=

0, y < 0; de aard van het probleem verlangt periodieke

op-2

lossingen zodat y 2 O. Neem A 2 0 en A = y. Dan is

en de oplossing hiervan 1S ~A(~)

=

a A cos A~ + bA S1n A~

Uit (4)

volgt nu R" +

1

R' -

~

R r 2 0, r

een DV van het Euler-type (zie W1S. 30). De substitutie

geeft

R(r) ;; r ex

2 a(ex - I) + ex - A

zodat de oplossingen zijn

en

0, ± A.

voor A

:f

0

Voor TA (r,~) geldt dan (met een kleine verandering 1n de betekenis van

(4)

(5)

3

-de coefficienten cO' dO)

Deze oplossingen zijn periodiek voor " E :fi, en

T(r,cp) '" \' T (r,m)

l. " ,..

,,=0

is weer een oplossing.

§ 2. De randvoorwaarde (2) geeft 00 6

=

Y

TA(b,cp)

=

,,=0

00

}

(7) sin Aql) c

J + dO log b + _A~I

L

(c _A b" + d,b-")(a, cos _1\ 1\ Aql + b, 1\ sin "ql),

voor alle ql E [-n,n).

Met voldoende regelmatige functies kan dit alleen indien

(8)

\.J C bA + d b- A =

a

VAE:fi A A • (9)

uit deze laatste vergelijking volgt (op een irrelevante multiplicatieve constante na)

en

(A E :fi)

zodat

r =

e

+ dO log

b

4

-T (r ,<p)

(~)A}

(a

A cos A<p + b), sin Acp).

(l0)

§ 3. Uit (10) voIgt

I AbA

- - - +""T+T} (a

A cos ),cp + b), sin Acp)

r

(l'..)

A} ( \ + b

+ r a_A cos I\CP A

Volgens randvoorwaarde (3) dan

de fourierreeks van de functie

o

als IqJl > a

f(cp) = {

c cos (~) als IqJl ~ a

Deze functie 1S even, zodat b:t.. == 0 (), E "IN);

voorts a d

_o

'" a 1 . _ 1T 2

f

."!..'td :1 c cos 2a rp

o

7T voor A E IN geldt

c cos ~ cos A!p dcp

2a

sin Acp).

zodat

en

5

-a C

f

{cos (2: + A)ql + COS(21Ta - A)ql}

=

_1T

=

0 c

tin(z:

+

A)~

- + 1T

...!...

+ A 2a

~in(I

+ Aa) 2ac 1T 1T + 2aA 4ac cosAa 2 4 2,2' 1T-aA 4ac cos aA .. 2 4 2,2 1T-aA T(r ,ql)

e

+ 1T

Sin.(z: -

A)~

T

- - - A 2a 0 • (1T S1n - -2 + 1T - 2aA r log

b

+ Aa] dql

=

:;: =

§ 4. Opmerking. De berekening in § 3is aIleen goed indien

Indien er een A is met a dan is voor die A

2 TIqJ

C cos 2a dql 2c _1T

0

Beschouw nu de eerder gevonden uitdrukking

1T

"2

Jcos

2 _{2a d} ac

u

.

- U ::

4ac cos Aa 1T2 _ 4a 2A 2

6

-1T 1T

voor a ~

2i en laat a

~

I i

dan is 4ac cos Aa 1T2 _ 4a 2A 2 4c A (1T + 2aA) 4c A(21T - 2u) Aa cos Aa

1T ~ 2aA (en met ~ ...

aA :;::;

u -+ 0) (~- u)sin u 4c.2!. 2 2 C a,c ~ ' " , , = 2u A.21T·2 ~A 1T ex ::;; 1T

l i