Oloide (.doc 300 kb)

(1)

Een Oloid

Op 23 juni heeft Heleen Verhage afscheid genomen van het verenigingsbestuur. Tijd voor een cadeautje. En dat cadeautje, een oloid, verdient een korte bespreking.

De oloid is een kunstwerk van Paul Schatz. Paul Schatz werd op 22 december 1898 in Konstanz geboren. In de eerste wereldoorlog werd hij als radio operator naar het Westfront gestuurd. Hij overleefde de oorlog en ging na de oorlog in Munchen wiskunde, techniek en filosofie studeren. Echter zijn ervaringen in de oorlog brachten hem ertoe zijn artistieke talent te ontwikkelen. Tussen 1924 en 1929 werkte hij als beeldhouwer in zijn eigen atelier aan het Bodenmeer. De ontdekking van de mogelijkheid om willekeurige wiskundige lichamen binnenste buiten te kunnen keren (1929) voerde Schatz terug naar de techniek. Tussen 1927 en 1979(zijn jaar van

overlijden) schreef hij verschillende patenten op zijn naam. Het patent van de oloid (Schweizer Patent 500.000) stamt uit 1933.

Opmerkelijk is dat de oloid door een aantal jaren geleden is herontdekt. Binnen de vloeistofmechanica ontdekte men dat een oloid die met een waggelende beweging door een vloeistof wordt getrokken een stroom in die vloeistof op gang brengt die de verschillende lagen van die vloeistof perfect mengt. Door nu ook nog lucht uit de oloid te laten komen is het mogelijk een vloeistof met erg weinig energie van een grote hoeveelheid zuurstof te voorzien. Daarmee blijkt de oloid een prachtig hulpmiddel om in reinigingsinstallaties in te zetten.

(2)

Niet alleen de fysische en maatschappelijke achtergronden zijn interessant, ook in wiskundige zin valt er fraai aan te rekenen zoals hopelijk blijkt uit het volgende. Om de overzichtelijkheid te bevorderen zijn zowel de coordinaten van de punten als de vectoren verticaal genoteerd.

Gegeven zijn twee cirkels in twee onderling loodrechte vlakken, zo dat het middelpunt van C1 op C2 ligt en omgekeerd. C1 is de cirkel in het XY-vlak met vergelijking 1 2 2

2

(

x



)



y



1

, en C2 is de cirkel 2 2 1 2

(

x



)



z



1

in het YZ-vlak .

Kies het punt A op C1, en B op C2 en trek daarin de raaklijnen la en lb. Beide lijnen vormen een vlak als ze elkaar snijden op de y-as. Daarmee hoort bij het punt A op C1 een punt B op C2. De oloid wordt gevormd door alle mogelijke lijnen AB die zo ontstaan.

We kunnen de parametrisatie van de oloid als volgt uitrekenen:

De coördinaten voor het punt A zijn:

1 1 2 1

sin

cos

0 t

t























met de raaklijn 1 1 1 2 1 1

sin

cos

:

cos

sin

0

a

x

t

l

y

t

z









 









 

_

_



_







 





 









 









Voor het punt B zijn de coördinaten:

1 2 2 2

sin

0 cos

t

 





















en raaklijn 1 2 2 2 2 2

sin

cos

:

0

0 cos

sin

b

x

t

l

y

z

t



 





 









 

_

_









 





 







_



 









Voor het snijpunt van

l

amet de x-as geldt, omdat

1 1

cos

sin

t

 

, dat 2 1 1 1 2 1

cos

sin

t

x

t

 



Voor het snijpunt van

l

bis dat snijpunt voor

2 2

cos

sin

t

 

gelijk aan: 2 2 1 2 2 2

cos

sin

t

x

t

  



Die twee snijpunten vallen samen als

2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

cos

sin

t



  



, waaruit volgt: 2 1 1

sin

1 sin

t





en dus 2 1 1

1 2sin

cos

1 sin

t



 



(3)

Daarmee worden de coördinaten van B, uitgedrukt in

t

₁: 1 1 2 1 1 1

sin

1 sin

0 1 2sin

1 sin

t





 

































_







, waarbij het plus en het minteken

de bovenkant, resp. de onderkant van de Oloid vertegenwoordigen. Het is een aardig sommetje om uit te rekenen dat de afstand

_AB

 voor iedere waarde van

t

₁ gelijk is aan

₃

. Dit maakt het mogelijk dat de oloid net als een cilinder over een plat vlak kan rollen. Echter de oloid maakt daarbij een charmant wiegende beweging waar menig flanerend strandganger jaloers op zou zijn.

De lijn AB heeft dus als vectorvoorstelling: 

_{x a}

_{ }



_

₍



_{b a}

_



₎

:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

sin

(1

)sin

1 sin

sin

cos

0 cos

(1

) cos

0 _{1 2sin}

_{1 2sin}

0 1 sin

1 sin

t

x

t

y

t

z

_t

t





 



 

 

  





 









 

_

_{ }

_





 

_

_

_

_

_{ }

_

_

_





 

_

_{ }

_

  



_

_

_{ }

_

_

  



_

_

_



 





_

 

_





 



.

Hiermee is de Oloid in geparametriseerde vorm geschreven:

1 2

sin

(1

)sin

1 sin

(1

) cos

1 2sin

1 sin

y

x

y

x

y

x

y

x





  





_





















_





_







Nu is de vorm geschikt om in b.v. Maple een 3d plaatje te maken. Waarbij je in Maple de Oloid fraai van alle kanten kunt bekijken. Een Maple bestand met een grafische weergave van de oloid is te downloaden op www.rgomiddelharnis.nl/leerlingen/vaklokalen/wiskunde.

Wie zich nu verder wil uitleven in de eigenschappen van de oloid kan zijn gang gaan. Zo valt te bewijzen dat de oppervlakte van de oloid gelijk is aan de oppervlakte van de bol met straal één.

Lezers die zich verder willen verdiepen in het werk van Paul Schatz kan ik aanraden het boek Rhythmusforschung und Technik, Paul Schatz, te bestellen via www.paul-schatz.ch. Via dat adres is

bijvoorbeeld een uitslag van de oloid te koop. Zelfs degenen die van plakken en knippen houden komen zo nog aan hun trekken. Wie nog goedkoper uit wil zijn moet [1] downloaden en vindt dan ook een diepere analyse van de oloid. De oloid is duidelijk een object waaraan veel plezier valt te beleven. En niet alleen door Heleen. Swier Garst

(leraar wiskunde aan de regionale scholengemeenschap Goeree en Overflakkee en LION(leraar in onderzoek) aan de TUD).

Referenties:

1. The development of the Oloid, Hans Dirnboch and Hellmuth Stachel, Journal for Geometry and Graphics, vol 1 (1997) No. 2, 105-118, te vinden op:

http://www.geometrie.tuwien.ac.at/geom/bibtexing/fg3.html#1997

2. www.oloid.ch

3. http://www.ifest.be/ned/2000_innovation_11.aspx?print=1

(4)