Optimaal verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid

(1)

Optimaal verzekeringscontract voor

een verzekeraar met beperkte

aansprakelijkheid

Maikel Alles

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics

Auteur: Maikel Alles Studentnr: 10791787

Email: maikel.alles@upcmail.nl Datum: 27 juni 2017

(2)

Verklaring eigen werk

Hierbij verklaar ik, Maikel Alles, dat ik deze scriptie zelf geschreven heb en dat ik de volledige verantwoordelijkheid op me neem voor de inhoud ervan. Ik bevestig dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat ik geen gebruik heb gemaakt van andere bronnen dan die welke in de tekst en in de referenties worden genoemd. De Faculteit Economie en Bedrijfskunde is alleen verantwoordelijk voor de begeleiding tot het inleveren van de scriptie, niet voor de inhoud.

(3)

Optimaal verzekeringscontract — Maikel Alles iii

Abstract

In deze scriptie is onderzoek gedaan naar het optimale verzekeringscon-tract indien de verzekeraar is beschermd door beperkte aansprakelijkheid. Om het optimale eindvermogen van de verzekeraar te bepalen worden ver-schillende modellen ge¨ıntroduceerd. De verzekeraar moet bij het oplossen van het optimale verzekeringscontract rekening houden met de belangen van de polishouder. Uit het onderzoekt blijkt dat de indien de kans op faillissement toeneemt de polishouder een lagere premie wilt betalen. De invoering van de verdelingsregel blijkt een positief effect te hebben op de verwachte winst van de verzekeraar. Verder blijkt dat verzekeraar er baat bij heeft om een laag eigen risico te vragen. Ook blijkt het interval van rendementen van belang op het optimale verzekeringscontract indien het interval van rendementen groter wordt zal de winst van de verzekeraar dalen.

Keywords Optimaal verzekeringscontract, Beperkte aansprakelijkheid, Verdelingsre-gel, Eigen risico,

(4)

Inhoudsopgave

Voorwoord v

1 Inleiding 1

2 Theoretisch kader 3

2.1 Het model van Biffis en Millossovich . . . 3

2.2 Optimaal premie- en beleggingsbeleid . . . 4

2.3 Verdelingsregeling . . . 5

3 Het model 6 3.1 Het basismodel met ´e´en polishouder . . . 6

3.2 Uitbreidingen op het basismodel . . . 7

3.2.1 Meerdere polishouders . . . 7

3.2.2 Het eigen risico . . . 8

4 Resultaten 10 4.1 E´´en polishouder . . . 10 4.2 Meerdere polishouders . . . 11 4.2.1 20 polishouders . . . 11 4.2.2 50 polishouders . . . 12 4.2.3 100 polishouders . . . 13

4.3 Eigen risico en verdelingsregel . . . 14

4.3.1 E´´en polishouder . . . 14

4.3.2 Meerdere polishouders . . . 15

4.4 Gevoeligheidsanalyse . . . 17

4.4.1 Risico-aversie . . . 17

4.4.2 Interval van het rendement . . . 18

5 Conclusie 21

Appendix A: Diversen 22

Referenties 26

(5)

Voorwoord

Met veel plezier en interesse heb ik de afgelopen maanden gewerkt aan mijn bachelorscriptie. Hierbij wil ik mijn scriptie begeleider Dr. T.J Boo-nen bedanken voor zijn ondersteuning en feedback tijdens het schrijven van deze deze scriptie. Tevens wil ik Nancy Bruin bedanken voor de se-minars.

(6)

(7)

Hoofdstuk 1

Inleiding

De claimorganisatie Wakkerpolis heeft een claim ingediend bij de verzekeraar Nationale-Nederlanden(NN). Zij eisen 3,2 miljard euro van de verzekeraar voor het onterecht in rekening brengen van kosten voor woekerpolissen. Hoewel Nationale-Nederlanden een eigen vermogen heeft vane23 miljard, is e3,2 miljard een forse schadepost (”Massaclaim tegen NN: 3,2 miljard ge¨eist voor ’onterechte’ kosten woekerpolissen”,2017). Indien bij een verzekeraar een schadeclaim wordt ingediend die groter is dan het eigen vermogen, zal de verzekeraar failliet gaan. Ibragimov et al. (2010) doen onderzoek naar hoe het vermogen van een verzekeraar met een groot scala aan verzekeringsproducten dan het best gealloceerd kan worden inge-val van een faillissement.

De invoering van nieuwe regels met betrekking tot de verplichte finaciële buffers bij verzekeraars heeft gezorgd voor stevige verliezen op de Amsterdamse beurs. Verze-keraars Aegon en Delta Lloyd kwamen naar buiten met een laag percentage voor de solvabiliteitspositie. Door de invoering van de nieuwe solvency II-regelgeving wil Brussel ervoor zorgen dat verzekeraars minder risicovol beleggen en finacieël weer-baarder worden (Bökkerink en Pieksma,2015). Filipović et al. (2014) bestuderen een optimaal verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprake-lijkheid. Indien een verzekeraar beschermd is door beperkte aansprakelijkheid, zal zijn vermogen nooit negatief kunnen worden en zal hij nooit opdraaien voor de eventuele verliezen die geleden worden. Zij richten zich op risicoverschuiving van verzekeraar naar polishouder en de invloed van Solvencyregelgeving op een opti-maal verzekeringscontract. Biffis en Millossovich. (2012) bestuderen een optiopti-maal verzekeringscontract waarbij er sprake is van tegenpartij risico. Bij tegenpartij risico is er een mogelijkheid dat de verzekeraar failliet kan gaan op zijn obligaties. Zij ontwikkelen een model om het optimale verzekeringscontract te bepalen onder tegenpartij risico.

In deze scriptie wordt een optimaal verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid samengesteld. Het model van Biffis en Milloso-vich (2012) zal de basis vormen voor deze scriptie. Bij de samenstelling van dit contract wordt er een optimaal premie- en beleggingsbeleid voor de verzekeraar bepaald, zodanig dat de verzekeraar zijn winst maximaliseert. Tevens wordt er onderzocht hoe het vermogen van de verzekeraar verdeeld moet worden onder de polishouders indien de verzekeraar failliet gaat. Ten slotte zal er worden onder-zocht hoe de invoering van een eigen risico grens invloed heeft op een optimaal verzekeringscontract. Het onderzoek is als volgt ingedeeld. Hoofdstuk 2 bevat het theoretisch kader dat relevant is voor dit onderzoek. In hoofdstuk 3 worden ver-schillende modellen besproken voor een optimaal verzekeringscontract, waarna in

(8)

2 Maikel Alles — Optimaal verzekeringscontract

hoofdstuk 4 de gevonden resultaten worden weergegeven en geanalyseerd. Tot slot wordt in hoofdstuk 5 de conclusie getrokken.

(9)

Hoofdstuk 2

Theoretisch kader

Dit hoofdstuk geeft een theoretisch achtergrond van een optimaal verzekerings-contract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid.

In sectie 2.1 wordt het model van Biffis en Millossovich (2012) beschreven. Zij doen onderzoek naar een optimaal verzekeringscontract rekening houdend met het feit dat de verzekeraar failliet kan gaan. In sectie 2.2 wordt het model van Filipovi´c et al. (2014) besproken. Zij doen onderzoek naar een optimaal premie- en beleggings-beleid onder risicoverschuiving en solvencyregelgeving. Tot slot wordt in sectie 2.3 het model van Ibragimov et al.(2010) besproken, zij beschrijven hoe het vermogen van een verzekeraar het best verdeeld kan worden onder de polishouders in geval van een faillissement.

2.1 Het model van Biffis en Millossovich

Het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) richt zich op de effecten van Coun-terparty default risk op een optimaal verzekeringscontract. In het model dat zij gemaakt hebben wordt het feit dat de verzekeraar failliet gaat als endogeen be-schouwd en is alleen afhankelijk van de interactie tussen het vermogen van de verzekeraar, de te ontvangen premie van de polishouder en de schade die uitbe-taald wordt.

Zij beschouwen een ´e´en periodieke economie met twee deelnemers, een risico neu-trale verzekeraar en een polishouder die risicoavers is. De verzekeraar heeft een beginvermogen gelijk aan W en ontvangt een premie π van de polishouder. In geval van een schade betaalt de verzekeraar een bedrag I(X) aan de polishouder. Het eindvermogen van de verzekeraar is dan gelijk aan ˜W := W + π − I(X). Echter, de verzekeraar kan alleen de volledige schade uitkeren in het geval dat ˜W ≥ 0, indien

˜

W < 0 heeft de verzekeraar te weinig vermogen en gaat dus bankroet. Wanneer de verzekeraar failliet is zal hij maar een fractie γ van zijn vermogen uitkeren om een deel van de schade te dekken. De variabele γ staat voor de fractie van het ver-mogen van de verzekeraar dat niet verloren gaat als gevolg van het faillissement. De polishouder heeft een beginvermogen w en kan zich verzekeren tegen een sto-chastische schade X en betaalt daarvoor een premie gelijk aan π. Indien de ver-zekeraar ervoor kiest zich niet te verzekeren zal zijn eindvermogen gelijk zijn aan w − X. Wanneer de polishouder ervoor kiest zich te verzekeren zal zijn eindvermo-gen als als volgt uit zien: ˜V := w − π − X + I(X). Echter, doordat de verzekeraar beschermd is door beperkte aansprakelijkheid zal in het geval van een faillissement de verzekeraar alleen fractie γ uitkeren aan de polishouder. Hierdoor geldt dat het eindvermogen van de polishouder gelijk is aan: ¯V (γ) := w − π − X + (W + π)γ.

(10)

Belangrijk hierbij op te merken is het feit dat ten alle tijden geldt dat ¯V (γ) ≤ ˜V . Beperkte aansprakelijkheid zorgt voor een complexe interactie tussen de opti-male premie die de verzekeraar vraagt en de optiopti-male uitbetalingsregeling. De verzekeraar zal de premie voor de polishouder zodanig willen vaststellen, dat de polishouder de verzekering aangaat en de verwachte winst van de verzekeraar ge-maximaliseerd wordt.

Uit het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) blijkt dat er een interactie is tussen verschillende vormen van afhankelijkheid tussen risico’s. Zij tonen aan dat faillissementskosten een verklaring kunnen geven waarom er in een optimaal contract sprake is van een eigenrisico en een bovengrens aan de hoogte van de uitkering. Verder vinden zij dat hoge en lage verliezen niet verzekerd worden en middelgrote risico’s grotendeels verzekerd worden.

2.2 Optimaal premie- en beleggingsbeleid

Filipovi´c et al.(2014) doen onderzoek naar een optimaal premie-en bellegingsbe-leid voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Zij onderzoeken het conflict tussen polishouder en verzekeraar onder risicoverschuiving en solvencyre-gelgeving. Beperkte aansprakelijkheid stimuleert verzekeraars tot het nemen van grotere risicos doordat het mogelijke verlies afgeschoven wordt op de polishouders. Als gevolg van het nemen van grotere risico’s op beleggingen neemt de kans toe dat de verzekeraar failliet gaat. De polishouder heeft er belang bij dat de verzeke-raar zo weinig mogelijk belegd, zodat de kans op faillissement afneemt. Dit heeft tot gevolg dat er een risicoverschuiving van verzekeraar naar polishouder plaats vindt.

Zij onderzoeken een ´e´en periodieke economie met twee deelnemers, een verzeke-raar en een polishouder. De polishouder is risicoavers en wil zich verzekeren tegen een willekeurige schade X en betaalt hier een premie voor gelijk aan P . De be-langen van de polishouder worden weergegeven door een nutsfunctie u. Voor de nutsfunctie moet gelden dat u0 > 0 en u00 < 0. De verzekeraar is risico neutraal en heeft een beginvermogen gelijk aan W en ontvangt de premie van de polishouder. In het geval van een schade van de polishouder betaalt verzekeraar een bedrag I(X) uit. De verzekeraar kan een deel van zijn vermogen(α) beleggen in risico-volle aandelen. De verzekeraar kan hierop een rendement gelijk aan R behalen. De mogelijkheid bestaat dat het behaalde rendement negatief is met als gevolg dat het vermogen van de verzekeraar daalt. Indien het behaalde rendement zodanig negatief is dat het vermogen van de verzekeraar de schade niet kan dekken, gaat hij bankroet. Als gevolg van de beperkte aansprakelijkheid zal de verzekeraar zelf geen verlies leiden.

Om dit conflict tegen te gaan definiëren Filipović et al. (2014) een nutsfunctie van de polishouder die afhankelijk is van de premie en de fractie van het vermogen dat belegd is in risico volle aandelen.De polishouder zal de verzekering alleen aangaan indien het te verwachte nut van de verzekering hoger is dan dat hij zich niet laat verzekeren. De verzekeraar moet zijn verwachte winst nu maximaliseren over de premie en de fractie van het vermogen dat belegd is. Hij moet dit probleem op-lossen onder de aanname dat de polishouder de verzekering aangaat. De oplossing hiervan definiëren zij als een Pareto optimaal premie-en beleggingsbeleid. Zij be-ginnen met het definiëren van een aantal voorwaarden voor het bestaan van een Pareto optimaal premie-en beleggingsbeleid en de uniekheid van dit beleid. Tot slot onderzoeken zij de invloed van de solvencyregelgeving onder

(11)

risicoverschui-Optimaal verzekeringscontract — Maikel Alles 5

ving. Zij voegen een solvabiliteitsregeling toe die de verzekeraar beperkt in het premie-en beleggingsbeleid. Door de invoering van de solvabilteitsregeling neemt de kans op faillissement af.

Zij concluderen dat onder de invoering van solvencyregelgeving een Pareto op-timaal premie-en beleggingsbeleid bestaat dat het conflict tussen verzekeraar en polishouder verminderen.

2.3 Verdelingsregeling

In het onderzoek van Ibragimov et al. (2010) staat centraal hoe het vermogen van een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid het best verdeeld kan worden on-der de polishouon-ders in geval van faillissement. Zij richten zich op een verzekeraar met een groot scala aan verzekeringsproducten. In het geval dat de verzekeraar te weinig vermogen heeft om alle schades uit te keren gaat hij bankroet. De verze-keraar heeft dan een resterend vermogen die onder de polishouders verdeeld kan worden om een percentage van de schade te kunnen vergoeden.

Het onderzoek van Ibragimov et al. (2010) is gebaseerd op het onderzoek van Phil-lips et al. (1998) waarin zij een ex ante regel gebruiken voor schade-uitkeringen in geval van faillissement. Bij de ex ante regel worden de uitkeringen in geval van faillissement gedaan op basis van verhouding tussen de verwachte waarde van de claim en de som van de verwachte waarden van alle claims. Hierdoor ontstaat de mogelijkheid dat een polishouder met een verwachte lage claim betalingen moet doen aan een polishouder met een verwachte hoge claim.

De aanpassing die Ibragimov et al. (2010) gedaan hebben, is dat zij overstappen van ex ante regel naar de ex post pro rata verdelingsregel. Dit betekent dat wan-neer een verzekeraar failliet gaat de uitkering die de polishouder ontvangt gelijk is aan de verhouding tussen de claim van de polishouder ten opzichte van de som van alle claims van alle polishouders. Hierdoor wordt een deel van de schades achteraf naar verhouding uitgekeerd. In het onderzoek wordt aangetoond dat de ex post pro rata regel beter in proportie is dan de ex ante regel doordat het in de praktijk beter toepasbaar is. Het zou mogelijk kunnen zijn dat een polishouder met een verwachte lage claim in werkelijkheid een hoge schade heeft.

(12)

Hoofdstuk 3

Het model

In dit hoofdstuk worden de verschillende modellen besproken die de basis vor-men van dit onderzoek. In de eerste paragraaf wordt het basismodel van Boonen (2017) volledig gedefinieerd. Vervolgens worden in paragraaf twee verschillende uitbreidingen gedaan op het standaardmodel.

3.1 Het basismodel met ´

e´

en polishouder

Het basismodel kijkt naar een ´e´en periodieke economie met twee deelnemers, een risicomijdende polishouder en een risico neutrale verzekeraar. De verzekeraar heeft een beginvermogen gelijk aan W ≥0 en ontvangt van de polishouder die zich wil verzekeren tegen een stochastische schade X ≥0, een premie gelijk aan π ≥ 0. De claim X is stochastisch verdeeld en volgt een kansverdeling met verwachte waarde µ en variantie σ2_{. In het geval van een schade betaalt de verzekeraar een}

bedrag 0 ≤ I(X) ≤ X uit. Het eindvermogen van de verzekeraar is dan gelijk aan ˜

W (π) := W + π − I(X). Tevens kan de verzekeraar een deel van zijn vermogen α ∈ [0, 1] risicovol beleggen die kunnen zorgen voor een opbrengst R. Hierdoor ziet het vermogen van de verzekeraar voordat de schade wordt uitgekeerd er als volgt uit:

˜

A(α, π) =: (W + π)(1 + rf + αR),

Het vermogen van de verzekeraar kan door beperkte aansprakelijkheid nooit ne-gatief worden. Het eindvermogen van de verzekeraar ziet er dan door beperkte aansprakelijkheid als volgt uit:

˜

V (α, π) =: ( ˜A(α, π) − I(X))+.

waarbij geldt dat (y)+ _{= max{y, 0}. Het doel van de verzekeraar is om zijn}

ver-wachte winst te maximaliseren: max

π,α E[ ˜V (α, π)] s.t π ≥ 0, α ∈ [0, 1].

De polishouder heeft een beginvermogen w en kan zich verzekeren tegen een schade X en betaalt hiervoor een premie gelijk aan π. De belangen van de risicomijdende polishouder worden weergeven door een nutsfunctie u(x) = −e−bx, waarvoor geldt dat u0(x) > 0 en u00(x) < 0. In de nutsfunctie is b ≥ 0 gedefinieerd als de mate van risico aversie van de polishouder. De polishouder zal de verzekering alleen aan willen gaan als geldt dat:

E[u(w − π − X + I(X)1D=0)] ≥ E[u(w − X)].

(13)

Optimaal verzekeringscontract — Maikel Alles 7

Hierin is de indicatorfunctie gedefinieerd als volgt:

1D=0 =

(

1 als ˜A(α, π) − I(X) ≥ 0, 0 als ˜A(α, π) − I(X) < 0.

Door de beperkte aansprakelijkheid zal de verzekeraar alleen uitkeren indien er genoeg geld in kas is, D=1. Indien de verzekeraar te weinig in kas heeft om de schade van de polishouder te dekken, zal te verzekeraar niet uitkeren, D=0. De verzekeraar wil zijn winst maximaliseren door π zodanig te kiezen dat de polishouder de verzekering aangaat, en de verzekeraar een zo hoog mogelijke winst behaalt. Om het optimale verzekeringscontract voor de verzekeraar te bepalen moet het volgende maximalisatie probleem worden opgelost:

max

π,α E[ ˜V (α, π)],

s.t E[u(w − π − X + I(X)1D=0] ≥ E[u(w − X)],

π ≥ 0, α ∈ [0, 1].

3.2 Uitbreidingen op het basismodel

Het model dat in de vorige paragraaf is besproken wordt nu verder worden uitge-breid. Eerst wordt er worden overgestapt naar een realistischer portfolio, waarbij er n polishouders aanwezig zijn, waarna het eigen risico van een polishouder wordt toegevoegd in het model. Tot slot wordt het model worden uitgebreid met een ver-delingsregel in geval van faillissement.

3.2.1 Meerdere polishouders

Het basismodel dat in de vorige paragraaf beschreven is, waarbij er één polishouder is, zal worden uitgebreid naar n polishouders. De verzekeraar ontvangt in dit geval niet één premie, π, maar nπ. De schade claims I(Xi) die worden uitbetaald

hebben een verwachte waarde µi en variantie σi2 zijn onafhankelijk van elkaar

en identiek verdeeld. Als X1, . . . , Xn identiek en onafhankelijk verdeeld is met

eindige gemiddelde µ en eindige variantie σ2_{, dan geldt als n naar oneindig nadert}

dat volgens de centrale limietstelling de som van I(Xi) een normale verdeling

volgt. Onder de aanname dat de schades X1, . . . , Xn identiek en onafhankelijk

verdeeld zijn van elkaar volgt dat als n groter wordt dat de soms van de schades bij benadering een normale verdeling volgt.

n

X

i=1

I(Xi) ∼ N (nµi, nσi2).

Voordat de verzekeraar zijn schade heeft uitgekeerd ziet zijn eindvermogen er als volgt uit:

˜

D(α, π) =: (W + nπ)(1 + rf + αR).

Het eindvermogen van de verzekeraar ziet er dan als volgt uit:

((W + nπ)(1 + αR + rf) − n

X

i=1

(14)

De verzekeraar wil nog steeds zijn winst maximaliseren over de n polishouders. De verzekeraar lost nu op:

max π,α E[((W + nπ)(1 + αR + rf) − n X i=1 I(Xi))+],

s.t E[u(w − π − Xi+ I(Xi)1D=0] ≥ E[u(w − Xi)] ∀i = 1, . . . , n,

π ≥ 0, α ∈ [0, 1].

Waarbij de indicator functie nu afhankelijk wordt van de n polishouders:

1D=0 =          1 als ˜D(α, π) − n X i=1 I(Xi) ≥ 0, 0 als ˜D(α, π) − n X i=1 I(Xi) < 0.

3.2.2 Het eigen risico

Het model dat in Paragraaf 3.2.1 is gedefinieerd wordt nu verder uitgebreid door een eigen risico toe te voegen en een verdelingsregel in geval van faillissement. De polishouder heeft een eigen risico grens van d ≥0. De polishouder ontvangt in geval van een schade een bedrag van de verzekeraar gelijk aan: I(Xi) = (Xi− d)+.

Het eindvermogen van de verzekeraar is in dit geval:

(W + nπ)(1 + rf + αR) − N

X

i=1

(Xi− d)+.

De verzekeraar moet nu zijn winstmaximalisatie doen over de onbekenden parameters π en d. De verzekeraar lost het volgende maximalisatie probleem op:

max π,α,d E[((W + nπ)(1 + rf + αR) − N X i=1 (Xi− d)+)+],

s.t E[u(w − π − Xi + fi({(Xi− d)+}ni=1, W + nπ)) ≥ E[u(w − Xi)] ∀i = 1, . . . , n,

π ≥ 0, α ∈ [0, 1], d ≥ 0,

waarbij fi gedefinieerd is als:

fi({(Xi− d)}ni=1, ˜D(α, π)) =                  (Xi− d)+ als ˜D(α, π) − N X i=1 (Xi− d)+ ≥ 0, δ ˜D(α, π) (Xi−d)+ N X i=1 (Xi− d)+ als ˜D(α, π) − N X i=1 (Xi− d)+ < 0.

Waarbij ˜D(α, π) gedefinieerd is als:

˜

D(α, π) =: (W + nπ)(1 + rf + αR).

Hierin is δ ∈ [0, 1], de fractie van het vermogen dat niet verloren gaat als gevolg van het faillissement(Biffis en Millossovich,2012). De intutie achter δ is dat indien

(15)

de verzekeraar failliet gaat, hij een deel van zijn vermogen verliest aan faillisse-ment kosten.

In het geval van faillissement keert de verzekeraar zijn resterende vermogen pro-portioneel uit met de hoogte van schade aan de polishouders volgens de volgende verhouding: I(Xi) = δ(W + nπ)(1 + αR + rf) (Xi− d)+ N X i=1 (Xi− d)+ .

De beschreven maximalisatie probleemstukken worden met behulp van het pro-gramma R worden opgelost. De resultaten worden weergegeven in hoofdstuk 4.

(16)

Hoofdstuk 4

Resultaten

In dit hoofdstuk worden de resultaten weergegeven van de modellen zoals bespro-ken in het vorige hoofdstuk. In de eerste paragraaf worden de resultaten geanaly-seerd van het model met ´e´en polishouder. Vervolgens wordt in paragraaf twee de resultaten van het model met meerdere polishouders geanalyseerd. In paragraaf drie wordt het model met verdelingsregel en eigen risico geanalyseerd. Tot slot wordt in de laatste paragraaf een gevoeligheidsanalyse gedaan voor de keuze van startwaarden.

4.1 E´

´

en polishouder

Om de simulaties te kunnen uitvoeren is het van belang dat er aannames gedaan worden over de startwaarden. Verondersteld wordt dat de stochastische schades een Weibull-verdeling volgen, Xi ∼ W eibull(k, λ), waarbij λ = 4 en k = 3. De

verwachte waarde van de schades is dan gelijk aan 3,6 en de variantie is gelijk aan 1,7. Het rendement dat de verzekeraar kan behalen op zijn beleggingen volgt een uniforme verdeling, R ∼ U nif (A, B), waarbij is A = −0, 3 en B = 0, 4. De verwachte waarde van het rendement is gelijk aan 0,05 en de variantie gelijk aan 0,15. De mate van risico aversie van de polishouders is vastgesteld op b = 3. Dit resulteert in de volgende nutsfunctie :−e−3x. Belangrijk om op te merken is dat door de gekozen exponenti¨ele nutsfunctie het beginvermogen w van de polishouder irrelevant is. De schades Xi worden 1.000 keer gesimuleerd.

w=1 b=3 W =5

Tabel 4.1: Startwaarden ´e´en polishouder

De resultaten van het model met ´e´en polishouder worden weergegeven in Figuur 4.1 en Figuur 4.2. In Figuur 4.1 is het maximale eindvermogen van de verzeke-raar uitgezet tegen de premie en de fractie van het vermogen dat belegd is. De verzekeraar maximaliseert zijn winst bij een premie van 6 met een verwachte eind-vermogen gelijk aan 7,96 en een winst van 2,96. Doordat de verwachte waarde van het rendement positief is, zal de verzekeraar zijn volledige vermogen beleggen in risicovolle aandelen. Indien de premie hoger is dan 6, dan zal de polishouder de verzekering niet aangaan, en kiest er dan voor om de schade zelf te betalen. Dit correspondeert met een verwacht eindvermogen van de verzekeraar gelijk aan 5. Indien de verzekeraar zijn volledige vermogen belegd, dan zal de polishouder de

(17)

verzekering aangaan vanaf een premie van 4,7. Indien de premie lager is dan 4,7, dan zal de polishouder de verzekering niet aangaan omdat de kans op faillissement te groot wordt. De verzekeraar kan zijn premie vaststellen in het interval [4,7;6]. In Figuur 4.2 is te zien dat de kans op faillissement groter is voor hogere waardes van α. Indien de verzekeraar een groter deel van zijn vermogen belegt, dan is de kans op faillissement groter. Als de verzekeraar kiest om zijn volledige vermogen te beleggen, dan is de kans op faillissement 0,149 bij een premie van 0. De kans zal dalen tot 0 als de premie gelijk is aan 4,9.

Het optimale verzekeringscontract voor de verzekeraar zal dus zijn dat hij een premie van 6 vraagt, tevens zal hij zijn volledige vermogen beleggen in risicovolle aandelen. Hierdoor is zijn verwachte eindvermogen gelijk aan 7,96 waarbij de kans op faillissement gelijk is aan 0 is.

Figuur 4.1: Maximale eindver-mogen 1 polishouder

Figuur 4.2: Kans op faillissement 1 polishouder

4.2 Meerdere polishouders

De resultaten van het model dat is besproken in Paragraaf 3.2.1 is zal in deze pa-ragraaf worden geanalyseerd. Voor het analyseren van dit model gelden dezelfde startwaarden zoals in de vorige paragraaf gedefinieerd. Tevens geldt dat elke po-lishouder dezelfde nutsfunctie heeft. De simulaties zijn uitgevoerd voor 20, 50 en 100 polishouders.

w=1 b=3 W =5

n ∈ {20, 50, 100}

Tabel 4.2: Startwaarden n polishouders

4.2.1 20 polishouders

In Figuur 4.3 is het maximale eindvermogen van de verzekeraar weergegeven in-dien er 20 polishouders zijn. De polishouder is bereid om een premie tussen de 5,6

(18)

Figuur 4.3: Maximale eindver-mogen 20 polishouders

Figuur 4.4: Kans op faillissement 20 polishouders

en 5,9 te betalen voor het nemen van de verzekering. Indien de premie hoger is dan 5,9, dan kiest de polishouder ervoor om zich niet te verzekeren en zal hij de schade liever zelf te betalen. Het nut van het nemen van de verzekering nemen is lager dan het nut als hij zich niet laat verzekeren. Wanneer de premie lager is dan 5,6, dan is het risico voor de polishouders dat verzekeraar failliet gaat te groot en zullen zij de verzekering niet aangaan. De verzekeraar haalt een maximale winst van 58,38 bij een premie van 5,9. Doordat de verzekeraar in het model met 20 polishouders 118(=nπ) aan premie ontvangt, zal de verzekeraar een hogere winst maken dan in het model met ´e´en polishouder. In tegenstelling tot het model met ´

eén polishouder is de premie voor de 20 polishouders lager. Indien de schade in het model bij één polishouder hoog is, zal de kans dat verzekeraar failliet gaat groter zijn. Hierdoor is de polishouder bereidt een hogere premie te betalen. Tevens zal de verzekeraar zijn gehele vermogen investeren in risicovolle aandelen. De kans dat verzekeraar failliet gaat bij een premie van 5,9 is gelijk aan 0,0001.

In figuur 4.4 is de kans op faillissement van de verzekeraar weergegeven. Hier is te zien is dat bij lage waardes van π de kans dat verzekeraar failliet gaat 1 is. Echter als er een hogere premie gevraagd wordt, dan zal de kans op faillissement snel gelijk aan 0 zijn. Dit komt doordat de som van de claims, bij benadering, een normale verdeling volgt met verwachte waarde 72(=nµ) en variantie 34(=nσ2_).

Het optimale verzekeringscontract van het model van 20 polishouders zal voor de verzekeraar zijn dat hij een premie van 5,9 vraagt. Ook zal hij zijn volledige ver-mogen beleggen in risicovolle aandelen met als gevolg een verwacht eindverver-mogen van 58,38 en een kans van 0,0001 op faillissement.

4.2.2 50 polishouders

In Figuur 4.5 en Figuur 4.6 zijn de resultaten weergegeven voor het model waarbij er 50 polishouders in de portefeuille van de verzekeraar zitten. Indien de verzeke-raar beschikt over een portefeuille van 50 polishouders, dan zal hij een verwacht eindvermogen van 131,42 hebben bij een premie van 5,8. De polishouder is bereid een premie tussen de 5,6 en 5,8 te betalen voor de verzekering indien de verzeke-raar ervoor kiest zijn volledige vermogen te beleggen. Wanneer de verzekeverzeke-raar er voor zou kiezen zijn vermogen niet beleggen, dan zou de polishouder bereidt zijn om een premie te betalen tussen de 4,2 en de 5,8. De verzekeraar wordt door de keuze om een groter deel van zijn vermogen risicovol te beleggen, beperkt in het

(19)

interval waarin hij zijn premie kan kiezen. Dit komt doordat bij risicovol beleggen de kans op faillissement toeneemt. Indien het aantal polishouders toeneemt, dan zal ook het verwachte eindvermogen toenemen.

Indien de verzekeraar beschikt over een portefeuille van 50 polishouders, dan zal het optimale verzekeringscontract zijn dat de verzekeraar zijn premie op 5,8 stelt. Hierdoor behaalt de verzekeraar een maximale winst van 131,42. De verzekeraar maakt per polishouder een winst van 2,63. De kans dat de verzekeraar failliet gaat is gelijk aan 0. Ook zal hij in het model met 50 polishouders zijn volledige vermogen beleggen in risicovolle aandelen.

Figuur 4.5: Maximale eindver-mogen 50 polishouders

Figuur 4.6: Kans op faillissement 50 polishouders

4.2.3 100 polishouders

Tabel 4.3 geeft een overzicht van de gevonden resultaten voor verschillende waar-den van n, waarbij de resultaten van het model van 100 polishouders zijn toe-gevoegd. In de tabel is te zien dat de premie het hoogst is wanneer er sprake is van één polishouder. Naarmate het aantal polishouders toeneemt zal de premie ongeveer gelijk blijven. Tevens is te zien dat het verwacht eindvermogen stijgend is in het aantal polishouders, echter is de winst per polishouder lager indien er meer polishouders zijn ten opzichte van één polishouder. Het aantal polishouders heeft een positief effect op het verwachte eindvermogen van de verzekeraar. In het model met meerdere polishouders is gegeven een premie π, de kans op faillissement groter ten opzichte van het model met één polishouder. Doordat er gekozen is voor een uniforme verdeling waarvan de verwachte waarde positief is, zal de verzeke-raar in bijna alle gevallen ervoor kiezen om zijn volledige vermogen te beleggen in risicovolle aandelen.

(20)

14 Maikel Alles — Optimaal verzekeringscontract n 1 20 50 100 Premie 6 5,9 5,8 5,9 Alpha 1 1 1 1 Verwacht eindvermogen 7,96 58,38 131,42 268,99 Kans op faillissement 0 0.0001 0 0 Winst per polishouder 2,96 2,67 2,53 2,63

Tabel 4.3: Overzicht van de resultaten gevonden in paragraaf 4.2

4.3 Eigen risico en verdelingsregel

In deze paragraaf worden de resultaten besproken van het model waarbij een ei-gen risico en een verdelingsregel is toegevoegd zoals beschreven in Paragraaf 3.2.2. Dit model wordt geanalyseerd op basis van 1,20,50 en 100 polishouders. Voor het model gelden de startwaarden te vinden in Tabel 4.4.

w=1 b=3 W =5

n ∈ {1, 20, 50, 100} δ=0,7

Tabel 4.4: Startwaarden eigen risico en verdelingsregel

4.3.1 E´

´

en polishouder

In Tabel 4.5 is een overzicht gegeven van het verwachte eindvermogen van de ver-zekeraar voor verschillende waarden van het eigen risico, hierbij is het eigen risico een gehele waarde. Uit de tabel blijkt dat een hoger eigen risico resulteert in een lagere premie en een lager verwacht eindvermogen. De verzekeraar maximaliseert zijn winst door het eigen risico op nul te stellen. De polishouder is dan bereidt een premie van 5,7 te betalen. De gevonden premie is lager dan de premie die gevonden is in Paragraaf 4.1 waarbij er geen sprake is van een verdelingsregel en tevens geldt dat het eigen risico nul is.

Doordat een verdelingsregel is toegevoegd, zou te verwachtten zijn dat de polis-houder bereidt is een hogere premie te betalen dan wanneer er geen sprake is van een verdelingsregel. Doordat de polishouder, mocht de verzekeraar failliet gaan, toch een deel van zijn schade uitgekeerd krijgt, zou verwacht worden dat de po-lishouder bereidt is om een hogere premie te betalen. Dit kan te wijten zijn aan de verschillende waarde die gesimuleerd zijn.

Uit de resultaten blijkt dat het optimale eigen risico gelijk is aan 0. In Figuur 4.7 is de winst van de verzekeraar uitgezet met de verdelingsregel. In tegenstelling tot Figuur 4.1, geldt in Figuur 4.7 dat het interval waaruit de verzekeraar zijn premie kan vaststellen groter is als de verdelingsregel wordt toegevoegd. De premie die polishouder bereidt is te betalen zit tussen de 0 en 5,7. De kans dat de verzekeraar failliet gaat bij een premie van 5,7 is gelijk aan 0. De verzekeraar kiest er voor om zijn volledige vermogen te beleggen.

De verzekeraar zal voor het optimale verzekeringscontract, waarbij een verdelings-regel en een eigen risico is toegevoegd, kiezen om het eigen risico gelijk aan 0 te

(21)

Optimaal verzekeringscontract — Maikel Alles 15 d π α Verwacht eind-vermogen kans faillis-sement 0 5,7 1 7,60 0 1 4,7 1 7,55 0 2 3,8 1 7,55 0 3 2,8 1 7,3 0 4 2 1 6.97 0 5 1,3 1 6,48 0

Tabel 4.5: Overzicht van de resultaten met eigen risico en verdelingsregel met ´e´en polishouder

stellen. Tevens zal hij zijn volledige vermogen risicovol beleggen. Hij stelt de pre-mie gelijk aan 5.7 en haalt hierdoor een verwacht eindvermogen van 7.60 met kans op faillissement gelijk aan 0.

Figuur 4.7: Maximale eindver-mogen 1 polishouder d=0

Figuur 4.8: Kans op faillissement 1 polishouder d=0

4.3.2 Meerdere polishouders

In deze paragraaf wordt onderzocht wat de invloed is van de invoering van het eigen risico en verdelingsregel op het optimale verzekeringscontract indien er meer-dere polishouders in de portefeuille van de verzekeraar zitten. In Figuur 4.9 is het maximale eindvermogen van de verzekeraar weergegeven voor 50 polishouders. De resultaten zijn weergegeven voor het optimale eigen risico. Optimaal voor de verzekeraar is om een zo laag mogelijk eigen risico te hebben. De polishouders zijn bereidt om een premie te betalen tussen de 3,0 en 6,0. Wanneer de premie hoger is dan 6,0 zullen de polishouders ervoor kiezen om de schade zelf te betalen. Indien de polishouders een premie van minder 3 zouden betalen is dat kans dat verzekeraar failliet gaat groot. De polishouders kiezen er dan voor om zich niet te verzekeren.

In Figuur 4.10 is te zien dat de kans dat de verzekeraar failliet gaat groter is indien de verzekeraar ervoor kiest om een groter deel van zijn vermogen te beleggen. Als Alpha hoog is zal de polishouder de verzekering alleen aangaan mits de premie hoger is. De verzekeraar heeft er baat bij om een zo groot mogelijk deel van zijn

(22)

vermogen te beleggen zoals te zien in Figuur 4.9. In tegenstelling tot de gevonden resultaten voor 50 polishouders in Paragraaf 4.2, is de polishouder bereidt om 0,2 premie meer te betalen door de invoering van de verdelingsregel en het eigen risico. Doordat de kans op faillissement gelijk is aan 0, vervalt de verdelingsregel. In het optimale verzekeringscontract is het eigen risico gelijk aan 0. Dit betekent dat de gevonden resultaten overeen moeten komen met de gevonden resultaten in Paragraaf 4.2, echter door simulatie wijken deze van elkaar af.

De verzekeraar zal voor het optimale verzekeringscontract de premie gelijk stellen aan 6,0 en zal het eigen risico op 0 stellen. Wederom zal hij zijn volledige vermogen beleggen waardoor het verwachte eindvermogen van de verzekeraar gelijk is aan 138,84.

Figuur 4.9: Maximale eindver-mogen 50 polishouders, d=0

Figuur 4.10: Kans op faillisse-ment 50 polishouders,d=0

In Tabel 4.6 zijn de resultaten weergegeven voor 1, 20, 50 en 100 polishouders. Uit simulaties blijkt dat, in het geval van 20 en 100 polishouders de verzekeraar het eigen risico gelijk stelt aan 0. Uit de resultaten blijkt dat door invoering van de verdelingsregel en het eigen risico de polishouder bereidt is een hogere premie voor de verzekering te betalen dan gevonden in Paragraaf 4.2. De gevonden resul-taten zouden gelijk moeten zijn komen aan elkaar. Doordat het eigen risico 0 is en de kans op faillissement 0 is geldt dat de modellen overeen komen met elkaar. Echter door simulatie fouten zijn de optimale verzekeringscontracten verschillend van elkaar.

De verzekeraar heeft er baat bij om het eigen risico zo laag mogelijk te stellen. In het geval dat de verzekeraar een hoger eigen risico stelt, zullen de verliezen deels voor de rekening komen van de polishouder. Doordat de polishouder een deel van schade zelf moet betalen, zal de verzekeraar een lagere premie moeten stellen om te voldoen aan de voorwaarden van de polishouder en haalt hierdoor een lager verwacht eindvermogen. Door een laag eigen risico is de polishouder bereidt een hogere premie te betalen die de verzekeraar kan beleggen tegen een positief verwacht rendement waardoor een hogere verwachte winst behaalt wordt.

(23)

Optimaal verzekeringscontract — Maikel Alles 17 n π α Verwacht eind-vermogen kans faillis-sement d 1 5,7 1 7,60 0 0 20 6 1 59,71 0 0 50 6 1 138,84 0 0 100 6 1 278,76 0 0

Tabel 4.6: Overzicht van de resultaten met eigen risico en verdelingsregel met meerdere polishouder

4.4 Gevoeligheidsanalyse

In paragraaf 4.1 zijn de verschillende startwaarden gedefinieerd waarvoor de resul-taten zijn weergegeven. In deze paragraaf wordt de invloed van de verschillende startwaarden op het optimale verzekeringscontract onderzocht. Eerst wordt de keuze van de parameter van de mate van risico aversie geanalyseerd, gevolgd door voor het interval van rendementen.

4.4.1 Risico-aversie

De mate van risico-aversie van de polishouder is gedefinieerd in Paragraaf 4.1. In deze paragraaf wordt onderzocht wat de invloed van de mate van risico is op een optimaal verzekeringscontract. In Tabel 4.7 zijn de resultaten weergegeven voor b ∈ {1₂, 1, 3}. In tegenstelling tot de resultaten uit Paragraaf 4.3 is de kans op faillissement ongelijk aan nul indien gekeken wordt naar b = 1₂ of b = 1. Door de invoering van de verdelingsregel en het eigen risico is de polishouder bereidt om meer te betalen voor de verzekering in tegenstelling tot het basismodel. De pre-mie die de polishouder bereidt is te betalen in het basismodel is lager dan de som van de premie en het eigen risico in het model waarbij de verdelingsregel en het eigen risico zijn toegevoegd. Dit heeft tot gevolg dat het verwachte eindvermogen van de verzekeraar hoger is. Ten opzichte van het basismodel is de verzekeraar in het model met het eigen risico en verdelingsregel bereidt een groter deel van zijn vermogen te beleggen. Doordat de verdelingsregel is toegevoegd is polishou-der minpolishou-der ge¨ıntreseerd in het deel van het vermogen dat door verzekeraar is belegt. Indien de verzekeraar failliet gaat zal de polishouder een deel van schade uitgekeerd krijgen. Doordat de polishouder bij een lagere waarde van b een lagere premie wilt betalen, is de kans op faillissement dalend in b.

Uit de gevonden resultaten blijkt dat de keuze van b invloed heeft op het optimale verzekeringscontract. Indien de waarde van b te hoog wordt gekozen, zal de ver-zekeraar met kans 0 failliet gaan omdat de polishouder bereidt is een hoge premie te betalen. Tevens blijkt dat, mits de kans op faillissement ongelijk is aan nul, de verzekeraar een hogere winst behaald in het model met verdelingsregel en eigen risico ten opzichte van het basismodel. De polishouder is dan bereidt een hogere premie te betalen en de verzekeraar zal dan een groter deel van zijn vermogen beleggen.

(24)

Model π α d kans

fail-lissement verwacht eindvermo-gen winst per polis-houder Basismodel 1 polishouder b = 3 6 1 - 0 7,96 2,96 b = 1 4,4 0,89 - 0 6,22 1,22 b = 1₂ 4 1 - 0 5,86 0,86 Basismodel 20 polishouder b = 3 5,9 1 - 0,0001 58,38 2,67 b = 1 4,2 0,35 - 0,001 23,12 0,91 b = 1₂ 3,9 0,13 - 0,011 14,16 0,46 Basismodel 50 polishouder b = 3 5,8 1 - 0 131,42 2,53 b = 1 4,4 0,46 - 0,001 51,23 0,92 b = 1₂ 3,9 0,15 - 0,005 27,48 0,46 Basismodel 100 polishouder b = 3 5,9 1 - 0 268,99 2,64 b = 1 4,4 0,48 - 0,002 98,23 0,93 b = 1₂ 3,9 0,2 - 0,008 40,52 0,36

Verdeling en eigen risico 1 polishouder

b = 3 5,7 1 0 0 7,6 2,6

b = 1 4,5 1 0 0 6,48 1,48

b = 1₂ 4 1 0 0 5,86 0,86

b = 3 6 1 0 0 59,71 2,74

b = 1 3,4 0,7 1 0,015 23,91 0,95 b = 1₂ 2 0,7 2 0,039 14,31 0,47

b = 3 6 1 0 0 138,84 2,68

b = 1 3,4 0,8 1 0,012 52,48 0.95 b = 1₂ 3 0,5 1 0,051 28,75 0,48

b = 3 6 1 0 0 278,76 2,74

b = 1 3,5 0,8 1 0,021 99,52 0,94 b = 1₂ 3 0,5 1 0,081 45,15 0,40

Tabel 4.7: Overzicht van de resultaten voor verschillende mate van risico-aversie

4.4.2 Interval van het rendement

In deze paragraaf wordt gekeken naar de invloed van het interval van het rende-ment op het optimale verzekeringscontract. Onderzocht wordt of de lengte van het interval waarbij de verwachte waarde hetzelfde blijft invloed heeft op het optimale verzekeringscontract. Tevens wordt er onderzocht wat er gebeurd indien de lengte van interval en de verwachte waarde van het rendement toeneemt.

In Tabel 4.8 zijn de resultaten weergegeven voor de verschillende intervallen van het rendement. Indien het interval van het rendement groter wordt, zal verze-keraar minder risicovol gaan beleggen. Voor de intervallen [-0,3;0,4] en [-0,7;0,8] geldt dat de verwachte waarde 0,05 is. Als de lengte van het interval kleiner is zal

(25)

de verzekeraar ervoor kiezen om een groter deel van zijn vermogen te beleggen. Voor het interval [-0,7;0,8] geldt dat de kans op de faillissement groter is, waar-door de polishouder bereid is om een lagere premie te betalen voor de verzekering. Doordat de polishouder een lagere premie betaald is het verwachte eindvermogen van de verzekeraar lager.

Voor de intervallen [-0,7;0,8] en [-0,7;0,9] zijn de verwachte waarde 0,05 respectie-velijk 0,1. Indien de verwachte waarde van het interval toeneemt zal dit voor de verzekeraar een stimulatie zijn om een groter deel van zijn vermogen te beleggen. Voor de intervallen [-0,3;0,4] en [-0.7;0,9] geldt dat verzekeraar een groter deel van zijn vermogen wilt beleggen indien het interval van het rendement kleiner is. Als het interval van het rendement kleiner is zal de kans op faillissement voor de verzekeraar lager zijn. Hieruit blijkt dat als de verwachte waarde hoger is, dit niet hoeft te resulteren in een hogere waarde van α. De lengte van het interval is dus van invloed op het optimale verzekeringscontract.

De keuze van het interval van het rendement heeft invloed op het optimale ver-zekeringscontract. Indien de lengte van het interval toeneemt zal de verzekeraar minder risicovol beleggen. De kans dat verzekeraar failliet gaat is groter met als gevolg dat de polishouder een lagere premie wilt betalen. Indien de verwachte waarde van het interval en de lengte van het interval toeneemt is de verzekeraar bereidt om een groter deel van zijn vermogen te beleggen.

(26)

Model π α d kans fail-lissement verwacht eindvermo-gen winst per polis-houder Basismodel 1 polishouder [-0,3;0,4] 6 1 - 0 7,96 2,96 [-0,7;0,8] 5,5 0,57 - 0 7,25 2,25 [-0,7;0.9] 5,7 0,62 - 0 7,79 2,79 Basismodel 20 polishouder [-0,3;0,4] 5,9 1 - 0,0001 58,38 2,67 [-0,7;0,8] 5,7 0,4 - 0 49,12 2,21 [-0,7;0.9] 5,7 0,4 - 0 52,11 2,36 Basismodel 50 polishouder [-0,3;0,4] 5,8 1 - 0 131,42 2,53 [-0,7;0,8] 5,6 0,4 - 0 113,34 2,17 [-0,7;0,9] 5,8 0,4 - 0 129,88 2,60 Basismodel 100 polishouder [-0.3,0.4] 5,9 1 - 0 268,99 2,64 [-0,7;0,8] 5,6 0,4 - 0 213,93 2,09 [-0,7;0,9] 5,7 0,5 - 0 236,28 2,31

[-0.3,0.4] 5,7 1 0 0 7,6 2,6

[-0,7;0,8] 4,6 0,6 1 0 7,56 2,56 [-0,7;0,9] 4,7 0,8 1 0 7,96 2,96

[-0.3;0.4] 6 1 0 0 59,71 2,74

[-0.7;0.8] 4,9 0,6 1 0 54,29 2,46 [-0.7;0.9] 4,8 0,7 1 0 54,93 2,50

[-0.3;0.4] 6 1 0 0 138,84 2,68 [-0.7;0.8] 4,9 0,6 1 0 124,97 2,40 [-0.7;0.9] 4 0,7 2 0 138,23 2,66

[-0.3;0.4] 6 1 0 0 278,76 2,74 [-0.7;0.8] 4,9 0,6 1 0 258,71 2,54 [-0.7;0.9] 4,9 0,6 1 0 267,29 2,62

Tabel 4.8: Overzicht van de resultaten voor verschillende waarden voor het interval van rendementen

(27)

Hoofdstuk 5

Conclusie

In deze scriptie is onderzocht wat de effecten zijn van meerdere polishouders, het eigen risico en een verdelingsregel op een optimaal verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Hiervoor zijn verschillende modellen ge¨ıntroduceerd om de optimale premie, het optimale beleggingsbeleid en het opti-male eigen risico te bepalen zodanig dat de verzekeraar zijn winst maximaliseert. De verzekeraar doet dit onder de aanname dat de polishouder de verzekering aan wil gaan.

Uit de gevonden resultaten blijkt dat het aantal polishouders een positief effect heeft op het verwachte eindvermogen van de verzekeraar. Doordat het verwachte rendement op aandelen in een klein interval positief is zal de verzekeraar zijn vol-ledige vermogen willen beleggen om zodoende een hogere winst te behalen. Indien het interval van rendementen groter wordt en de kans dat verzekeraar een groot verlies maakt groter wordt zal de verzekeraar ervoor kiezen om een kleinere deel van zijn vermogen te beleggen. Als de kans dat de verzekeraar failliet gaat groter wordt, dan zal de polishouder een lagere premie willen betalen met als gevolg een dalende verwachte winst van de verzekeraar. Tevens blijkt uit onderzoek dat de verzekeraar er baat bij heeft om een laag eigen risico te stellen ter bevordering van de winst. De invoering van een verdelingsregel en het eigen risico hebben een positief effect op het verwachte eindvermogen van de verzekeraar. Hierdoor is de polishouder bereid een hogere premie te betalen voor de verzekering zodat de ver-zekeraar een hogere verwachte winst heeft. Ook blijkt uit de resultaten dat indien de mate van risico-aversie laag is dat de verzekeraar een eigen risico invoert. Een verklaring hiervoor zou kunnen zijn dat doordat de kans op faillissement stijgt voor de verzekeraar hij zich wilt indekken

In verder onderzoek zou er onderzocht kunnen worden wat de effecten van sys-tematisch risico zijn op op een optimaal verzekeringscontract. Tevens kan er on-derzocht worden wat de invloed is van de nieuwe solvency II-regelgeving en een bovengrens aan de hoogte van de uitkeringen.

(28)

Appendix A: Diversen

R script 1: ´e´en polishouder

# p o l i s h o u d e r n <− 1 #A a n t a l p o l i s h o u d e r s w <− 1 #Begin vermogen p o l i s h o u d e r b <− 3 #Mate van r i s i c o a v e r s i e p i <− seq ( 0 . 1 , 1 0 , 0 . 1 ) #premie p o l i s h o u d e r u <− function ( x ) −exp(−b∗x ) #n u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r N <− 10000 #a a n t a l s i m u l a t i e ’ s # v e r z e k e r a a r W <− 5 #Begin vermogen V e r z e k e r a a r a l p h a <− seq ( 0 , 1 , 0 . 0 1 ) #vermogen b e l e g d i n r i s i c o v o l l e a a n d e l e n R <− r u n i f (N, − 0 . 3 , . 4 ) # rendement b e l e g g i n g # S i m u l a t i e waarden #i n s t a l l . p a c k a g e s ( ” a c t u a r ” ) l i b r a r y ( a c t u a r ) lambda <− 4 # s c h a a l p a r a m e t e r k <− 3 #s h a p e p a r a m e t e r X <− rweibull (N, k , lambda ) #1000 s c h a d e s i m u l a t i e s #h u l p M a t r i c e s

Y <− array ( 0 , dim=c ( length ( p i ) , length (X) , length ( a l p h a ) ) ) i n d c <− array ( 0 , dim=c ( length ( p i ) , length (X) , length ( a l p h a ) ) )

#v e r w a c h t e e i n d v e r m o g e n v e r z e k e r a a r

vermverzk <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) )

f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { Y[ i , , j ] = (W+p i [ i ] ) ∗(1+ a l p h a [ j ] ∗R)−X } } i n d c <− Y>0 #i n d i c a t o r f u n c t i e #k a n s op f a i l l i s e m e n t

p f a i l <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) ) f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) {

f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) {

p f a i l [ i , j ] <− 1−mean( i n d c [ i , , j ] )

vermverzk [ i , j ] <− mean(Y[ i , , j ] ∗ i n d c [ i , , j ] )

(29)

} }

# v e r w a c h t e n u t v e r z e k e r e n p o l i s h o u d e r

v e r m p o l i s <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) )

v e r z n u t<−array ( 0 , dim=c ( length ( p i ) , length (X) , length ( a l p h a ) ) ) f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { v e r z n u t [ i , , j ] = u (w−p i [ i ]−X+X∗ i n d c [ i , , j ] ) v e r m p o l i s [ i , j ] <− mean( v e r z n u t [ i , , j ] ) } } # v e r w a c h t e n u t n i e t v e r z e k e r e n p o l i s h o u d e r v e r m n i e t <− mean( u (w−X) ) # voorwaarden

Uph <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) ) f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { Uph [ i , ] <− v e r m p o l i s [ i ,] − v e r m n i e t } } #Maximale e i n d v e r m o g e n b e p a l e n

Maxvermogen <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) ) f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { i f (Uph [ i , j ] >0){ Maxvermogen [ i , j ] <− vermverzk [ i , j ] } e l s e {Maxvermogen [ i , j ] <− W} } } #3D p l o t #i n s t a l l . p a c k a g e s ( ” r g l ” , d e p e n d e n c i e s = TRUE) l i b r a r y ( r g l )

p e r s p 3 d ( alpha , p i , t ( Maxvermogen ) , c o l=” s k y b l u e ” , x l a b=” Alpha ” , y l a b=” p r e m i e ” , z l a b=” Maximale ei ndve rmog en ” ) p e r s p 3 d ( alpha , p i , t ( p f a i l ) , c o l=” s k y b l u e ” , x l a b=” Alpha ” , y l a b=” p r e m i e ” , z l a b=”Kans op f a i l l i s s e m e n t ” )

#maximale waarden b e p a l e n

O <− which ( Maxvermogen==max( Maxvermogen ) , a r r . i n d=TRUE) maxwinst <− max( Maxvermogen )

Maxpremie <− p i [O [ 1 ] ] Maxalpha <− a l p h a [O [ 2 ] ]

R script 2: Meerdere polishouders

# p o l i s h o u d e r

n <− 100 #A a n t a l p o l i s h o u d e r s

(30)

24 Maikel Alles — Optimaal verzekeringscontract b <− 3 #Mate van r i s i c o a v e r s i e p i <− seq ( 0 . 1 , 1 0 , 0 . 1 ) #premie p o l i s h o u d e r u <− function ( x ) −exp(−b∗x ) #n u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r N <− 1000 #a a n t a l s i m u l a t i e ’ s # v e r z e k e r a a r W <− 5 #Begin vermogen V e r z e k e r a a r a l p h a <− seq ( 0 , 1 , 0 . 1 ) #vermogen b e l e g d i n r i s i c o v o l l e a a n d e l e n R <− r u n i f (N, − 0 . 3 , . 4 ) # rendement b e l e g g i n g # S i m u l a t i e waarden #i n s t a l l . p a c k a g e s ( ” a c t u a r ” ) l i b r a r y ( a c t u a r ) lambda <− 4 # s c h a a l p a r a m e t e r k <− 3 #s h a p e p a r a m e t e r #v e r w a c h t e waarde , v a r i a n t i e w e i b u l l v e r d e l i n g b e p a l e n A<−rweibull ( 1 0 0 0 0 0 0 , k , lambda ) m e a n w e i b u l l <− mean(A) v a r w e i b u l l <− sd (A) #c e n t r a l e l i m i e t s t e l l i n g X <− rnorm(N, n∗ meanweibull , sqrt ( n ) ∗ v a r w e i b u l l ) Xi <− rweibull (N, k , lambda ) #1000 s c h a d e s i m u l a t i e s u i t w e i b u l l v e r d e l i n g #h u l p m a t r i c e s

Y <− array ( 0 , dim=c ( length ( p i ) , length (X) , length ( a l p h a ) ) ) i n d c <− array ( 0 , dim=c ( length ( p i ) , length (X) , length ( a l p h a ) ) )

#v e r w a c h t e e i n d v e r m o g e n v e r z e k e r a a r

vermverzk <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) )

f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { Y[ i , , j ] = (W+n∗ p i [ i ] ) ∗(1+ a l p h a [ j ] ∗R)−X } } #i n d i c a t o r f u n c t i e i n d c <− Y>0 #k a n s op f a i l l i s e m e n t

p f a i l <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) ) f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { p f a i l [ i , j ] <− 1−mean( i n d c [ i , , j ] ) vermverzk [ i , j ] <− mean(Y[ i , , j ] ∗ i n d c [ i , , j ] ) } }

(31)

# v e r w a c h t e n u t v e r z e k e r e n p o l i s h o u d e r

v e r m p o l i s <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) )

v e r z n u t<−array ( 0 , dim=c ( length ( p i ) , length (X) , length ( a l p h a ) ) ) f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { v e r z n u t [ i , , j ] = u (w−p i [ i ]−Xi+Xi∗ i n d c [ i , , j ] ) v e r m p o l i s [ i , j ] <− mean( v e r z n u t [ i , , j ] ) } } # v e r w a c h t e n u t n i e t v e r z e k e r e n p o l i s h o u d e r v e r m n i e t<−rep ( 0 , length ( Xi ) ) f o r ( i i n 1 : length ( Xi ) ) { v e r m n i e t [ i ] <− mean( u (w−Xi ) ) } # Voorwaarden

Uph <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) ) f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { Uph [ i , ] <− v e r m p o l i s [ i ,] − v e r m n i e t [ i ] } } #Maximale e i n d v e r m o g e n

Maxvermogen <− matrix ( 0 , length ( p i ) , length ( a l p h a ) ) f o r ( i i n 1 : length ( p i ) ) { f o r ( j i n 1 : length ( a l p h a ) ) { i f (Uph [ i , j ] >0){ Maxvermogen [ i , j ] <− vermverzk [ i , j ] } e l s e {Maxvermogen [ i , j ] <− W} } } #3D p l o t #i n s t a l l . p a c k a g e s ( ” r g l ” , d e p e n d e n c i e s = TRUE) l i b r a r y ( r g l )

p e r s p 3 d ( alpha , p i , t ( Maxvermogen ) , c o l=” l i g h t b l u e ” , x l a b=” Alpha ” , y l a b=” Premie ” , z l a b=” Maximale ei ndve rmog en ” ) p e r s p 3 d ( alpha , p i , t ( p f a i l ) , c o l=” l i g h t b l u e ” , x l a b=” Alpha ” , y l a b=” Premie ” , z l a b=”Kans op f a i l l i s s e m e n t ” )

#maximale p u n t e n b e p a l e n

O <− which ( Maxvermogen==max( Maxvermogen ) , a r r . i n d=TRUE) maxwinst <− max( Maxvermogen )

Maxpremie <− p i [O [ 1 ] ] Maxalpha <− a l p h a [O [ 2 ] ]

(32)

Referenties

Biffis, E. & Millossovich, P. (2012), Optimal insurance with counterparty default risk, Available at SSRN 1634883

B¨okkerink, I. & Pieksma, J. (2015, 13 augustus). Beleggers plots in de ban van buffers verzekeraars. Geraadpleegd op 2 mei 2017, van http://fd.nl/beurs/1114849/beleggers-plots-in-de-ban-van-buffers-verzekeraars

Boonen, T. (2017, 14 april). Equilibrium recoveries in insurance markets with limited liability, Available at SSRN 2833036

Filipovi´c, D., Kremslehner, R. & Muermann, A. (2014). Optimal investment and premium policies under risk shifting and solvency regulation, Journal of Risk and Insurance, 82(2),261-288

Ibragimov, R., Jaffee, D. & Walden, J. (2010). Pricing and capital allocation for multiline insurance firms, Journal of Risk and Insurance, 77(3), 551-578.

Massaclaim tegen NN: 3,2 miljard ge¨eist voor ’onterechte’ kosten woekerpolissen. (2017,27 maart) Geraadpleegd op 2 mei 2017, van http://www.volkskrant.nl/economie/massaclaim-tegen-nn-3-2-miljard-geeist-voor-onterechte-kosten-woekerpolissen a4479500/

Phillips, R. D., Cummins, J. D. & Allen, F. (1998). Financial Pricing of Insurance in the Multiple-line Insurance Company, Journal of Risk and Insurance, 65, 597-636.