Golfgeleiders, gevuld met een isotroop inhomogeen medium

Citation for published version (APA):

Tirtoprodjo, S. (1962). Golfgeleiders, gevuld met een isotroop inhomogeen medium. (Technische Hogeschool Eindhoven : Afdeling der Elektrotechniek : rapport; Vol. ET 2). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1962

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

I. I n 1 e i d i n g

De bekende E- en H-modes zeals we die bij de normale gelfpijpen hebben leren kennen (zie bv. het collegedictaat U.K.G.-techniek), kunnen opge-vat worden alsoplossingen van de vergelijkingen van Maxwell met bijbeho-rende randvoorwaarden en weI vo·or het speciale geval, dat

1. de wanden volmaakt geleidend zijn

2. de pijp geen verandering ondergaat wat zijn doorsnede betreft ,

.:2.

er nergens krommingen of knikken optreden

~. het medium binnen de pijp homogeen en

2'

isotroop i s .

Een E- of H-mode veldconfiguratie welke men bij dit soort golfgeleiders (in het vervolg perfekte golfgeleiders geheten) aan de ingang opwekt , plant zich ongehinderd voort zonder dat er andere mode-configuraties

worden aangestoten.

De energie-inhoud die deze IIzuivere" mode in het begin had, treedt on-aangetast weer tevoorschjjn aan de ui tgang

het zijn normaalmodes van de perfekte golfgeleider •

Niet zodra laat men echter een of meer van de bovenvermelde beperkende voorwaarden vallen, of in de dan ontstane. zg. onconventionele golfpijp zal van een ongestoorde golfvoortplanting in een der zostraks genoemde ltzuivere" E- of H-modes geen sprake meer zijn •

Integendeel, bij voldoend hoge frequentie" (multi-mode lijn) zal een groot aantal andere modeconfiguraties worden aangestoten en voortgeplant • Immers, deze onconventionele golfpijp zal i.h.a. vergeleken met het per-fekte geval afwijkende oplossingen bezitten voor de Maxwellvergelijkingen met bijbehorende eventueel nieuwe randvoorwaarden, d.w.z. andere

normaalmode - configura ties vereisen welke dus aan de' gwwijzigde om-standigheden moeten zijn aangepast •

Het zal blljken, dat we ons in bepaalde gevallen dit nieuwe stel normaal-modes opgebouwd kunnen denken uit combinaties van E- en H-modes van het perfekte geval (hybride modes) •

Om een' concreet voorbeeld te noemen: exciteert men aan de ingang van een gebogen (maar overigens pe~fekte) ronde golfpijp de HOI-mode, dan zal men aan deuitgang naast deze HOI-mode ook de Ell-mode aantreffen een aanwijzing dat een der normaalmodes van de eebogen ronde golfpijp be-staat uit de combinatie van o.a. H

OI- en Ell-mode.

Anders gezegd: vanwege het niet, voldoen aan de voorwaarde van recht-lijnigheid is er ter plaatse van de afwijking, in de bocht dust een zekere koppeling ontsta~n tussen de genoemde twee "zuivereft _{modes, d.w.z. dat}

er energie-overdracht van de (gevoede) HOI-mode naar de (ongevoede) E Il -mode heeft plaatsgevonden •

Het zijn deze verschijnselen van mode-koppeling (met o.a. de vraag om welke modes het in een bepaald geval gaat) en energie-conversie ( i n welke mate ? ) , welke we voor de met een inhomogeen medium gevulde maar overigens perfekte golfgeleider, in het volgende exact zullen trach-ten te beschrijven •

Tevens zal van de benaderende methode welke gewoonlljk met "gekoppelde mode theorie" V'lordt aangeduidt enkele grondbeginselen en enige raakpunten met de exacte theorie worden aangegeven •

Alvorens over te gaan op de behandeling van de inhomogene golfpijp , zullen we eerst nog de afleiding geven van de transmissie-vergelljkingen en de mode-funeties voor het geval van de<perfekte golfpijp •

Deze zullen ons nl. ala springplank dienen bij onze duik in het oneonven-tionele, i.e. het inhomogene medium.

---II.

T r a n s m i s s i e v e r g e 1 ij k i n g e n

v

0 0

r

d e p e r f e k t e g 0 1 f p ij P _•

In een bronvrije ruimte gevuld met een homogeen, isotroop medium en waarbij voor de elektromagnetische veldcomponenten een harmonische tijdsafhankelijkheid wordt verondersteld, gelden, zoals bekend uit het dictaat Theor. Elektrotechniek IV, de volgende vergelijkingen

v

x

H

v

x

E

=

V.E

v.a

=

o

=

o

Eventuele verliezen in het medium kunnen worden opgevangen door te nemen •

een complexe E:. en een complexe ~

'cUt

De gemeenschappel~Ke factor eJ in de uitdrukkingen v~~r de veldcomponenten zullen in het volgende achterwege worden gelaten, maar moeten er natuurlijk wel steeds bij gedacht worden •

In verband met het divergentievrije karakter van

E

en H kunnen

-we vectorpotentialen invoeren, die -we F. resp. A zullen noemen.

Wannee:e F en

A

beide voldoen aan de vector-golfvergel~King, dus:

+ =

o

+ =

o

dan luidt, zoals geredel~K te verifieren is, de algemene oplossing van het eerdergenoemde stel vergel~Kingen als voIgt

E

₌

_{- V}

x F + _jw£. 1 V x V x A

H

₌

V x A + 1 V V F

jW;"- x x •

"'

We beschouwen nu een speciale keuze van de vectorpotentialen , nl. beurtelings evenwijdig aan de z - coordinaat en nul

F .. - ;II: A 0 a

rr...

en :: _• Z ~. We stellen Dan geldt E = _{- V} x F

=

- V x a

-

l[¥r 1 z H

=

jw/,

v

x V x F en

De uitdrukkingen voor de veldcomponenten in rechthoekige coordinaten,

luiden

a

Tlf 1

q

4 7C* Ex = '&'1' Hx :: jW)'t-

ox

()z E Y ';)7/:'" 1 o%'71'f. bx My

=

jwl'

uy

hz

=

E z

=

1 ()2. k 2 )

*

o

H = --,- (-'-1.+ 7l. z j

w)l

()

z Een veld zonder E -_z component wordt transvers-elektrisch

ten opzichte van z genoemd (TE)

E.

In het,duale geval stellen we: A ::

a

7l

z en

F

= 0 Dan geldt H :: V _x

A

=

V x

a

7[ z

E

1 V x V x A en

₌

jW£

Ontwikkeld in rechthoekige coordinaten

H _{= Ty}

bn.

E

=

1

'/ll

jwE a.x (; z x x H

=

all:

E 1

;/7[

l>x

=

_jtAJ ~ y y

-oyoz H

=

0 E 1 (

If

k2) 7L z

₌

jw£ dZ;l. + z

Een veld zonder

H -

_z component wordt transvers - magnetisch ten opzichte van z genoemd (TM) _•

Men kan nog aantonen, dat een willekeurig veld in een hbmogeen, isotroop, bronvrjj gebied kan worden voorgesteld doo"!" een super-positie van een TE - veld en een TM - veld

De overgang op perfekte golfgeleiders, hqudt in

het aanbrengen van rechtl~nige volmaakt geleidende cylindrische wanden

rond een deel van de eerder besproken homogene, isotrope bronvrije ruimte. De randvoorwaarde die hierbij wordt geintroduceerd, is dan deze, dat

tangentieel aan de wand geen E - component kan bestaan •

De golfvergelijking, gekoppeld aan deze randvoorwaarde, vormt een

eigenwaarde-probleem, met als oplossing een discrete verzameling modes •

y

x

Bovenstaande figuur stelt een doorsnede v~~r van een cylindrische

met de z - coordinaat in een richting

lood-recht op het papier.

-n is de eenheids-vector normaal in een punt van derandkromme ,

s

is de tangentiele eenheidsvector.

D stelt het oppervlak van de doorsnede v~~r •

In principe is de randkromme C een willekeurige gesloten kromme ,

in de praktijk beperkt men zich tot diedoorsneden waarop de methode van scheiding der variabelen met succes kan worden toegepast •

Voorts wordt in,het navolgende om praktische redenen het Cartesische

coordinaatstelsel aangewend; een uitbreiding naar h~talgemene

ortho-gonale kroml~nige coordinaatstelsel levert geen principi~le

We gaan dus uit van de golfverge1jjking

+ =

o

(1)

Ste11en we

TL

=

l'

(x, y) ¢( z) (2)

en voeren we een tweedimensiona1e nabla-operator in voor het dwarsv1ak

loodrecht op de z

-

richting (met index t van .,iransvers)

V t V

-d

-

_j J

=

a ()z

=

a z x

_Tx

+ a _y

_Ty

(3),

dan kan (1) ook geschreven wor~en in de vorm van het ondervo1gende

paar verge1ijkingen

o

o

met tussen de 6cheidingsconstanten de betrekking

= +

De op1ossing voor (5) is van de a1gemene vorm

¢

(z) ₌ A e -1 z + B

, rz

e

( 4)

(6)

voorste11ende, wat de ve1dcomponenten betreft (dus met toevoeging

ej wt ) -yo ( .

van de factor en voor imaginaire g dusvo1doend hoge

frequentie) , een superpositie van zich in

uitbreidende ongedempte golven

+ z en - z richting

De eigenwaarden (voortp1antingsconstanten) ~ worden bepaa1d

uit (6) , nadat de zg. golfgeta11en (cut-off wavenumbers) k

c zijn

verkregen door het oplossen van het betreffende randwaarde-prob1eem •

We gaan nu over tot het splitsen in twee groepen oplossingen

een oneindig afte1baar aantal TE - modes en dito TM - modes •

E1ke willekeurige veldconfiguratie in de golfpijp kanworden voorgeste1d

door een bepaalde

K.-»i

lineaire combinatie van TE-. ,en TM-modes ,

.!. Vooe TE-modes (ook weI H-modes genoemd) stellen we weer

F = a

-

n;P

(letter p duidt TE aan) z

Definieren we nog :

E'P

=

iP.

_t + a

-

_z EP _z t waarbij index t het transverse karakter aangeeft

,

dan vinden we (zie blz.

iP

-P

-

d7[i'

-

IJ 1lP

_(8:

V t

1f1')

tjJ'c

z)

=

E

t = -a .:x: ]ly + a y VX = z x

De component van

iP

tangentie~l aan C is

=

De randvoorwaarde C levertons dus voor Til - modes de betrekking 0P :

₌

~

_an

₌

o

op C

Het bijbehorende magnetische veld womdt gegeven door

=

_ (/rc.'"

+ a +

y by 7J Z

Definieren we weer een transverse veldvector:

H'P -

a

-dan kunnen we schrljven

HP

t

z

en

b. In het duale geval voor de TM-modes (ook E-modes genoemd) ,

stellen we

A

= a

-

_z

7t

q (letter q duidt TM aan) Definieren we nog:

'H

q

₌

-q H

-

Hq dan vinden (zie blz.

t + a z z we

'H

q :: ~

=

-

( a

-

x _{V t}

_¢"1)

¢"(z) (13)

t z

De uitdrukking voor het bjjbehorende elektrische veld luidt

• 4)

.

.

( 8) (lo) (11) (12) 4)

-a z

-q

Definieren we weer een transverse ve1dvector: E t == dan kunnen we 6chrijven

=

_1_ (V ,,/J'f,)

~"t­

jw,£ t 't' dz en

Wi1 er dus vo1daan zijn aan de randvoorwaarde

ge1dt voor de TM-modes (mits k

#

0)

c == E == 0 op C t Z

o

op C (14) dan

Er zij opgemerkt, dat wanneer (15) ge1dt t een equipotentiaa1kromme is, waardoor V t ~

'Jr

punt van C dezelfde richting heeft als n ,

de randkromme C dan en daarmee E~ in elk

- -q

zodat ook s.Et==O op C.

Het is nu de bedoeling, te komen tot een transmissiel~-model t

weshalve we zullen invoeren

mode-spanningen V(z) en mode-stromen I(z)

,

resp.

mode - functies i(x,y) en ii(JI;,y)

,

waarbij het volgende geldt

.

.

-p _{eP(x,y) Vp ( z)'} -q

_e

q

( xtY) Vq(z) E

t

=

Et

=

voor TE-modes: TM-modes:

-p H t == iiP(x,y) IP(z) -q _H t

=

iiq(x,y)

r

q_{( z)}

Vergelijken we deze met de uitdrukkingen (8) (12) resp. (14) (13) ,

dan is direkt neer te schr~en

voor TE - modes

e

P

=

a

-

z x

'VtYI'

v

P ==

¢P

iiP

₌

_{- VtY'}

r

P

_{= -}

- L

_julj

9:.!l!

dz (16)

e

q ==

-Vty'i

Vq _{== -}

-L:

d¢t jw£ dz voer TM - modes

h

q = - a

-

_z x

Vty't

r

q ==

.r;t>

Ii- (17)

Zowel voor TE - als TM - modes zien we, dat· het 'verband

tussen e

-

en

ii

simpelweg luidt

₌

-

a

Tenslotte is nog aan te tonen

,

dat TE-modes geldt

V

t x jiP 0 .. p ::; 0 voor

--

..

₌

_V t .e_nm -~--- nm

voor TM-modes geldt V

t x ;q 0

-q

0

:;: _{V toh}

=

---

..

nm nm (20)

Het bekende index-paar nm ste1t een bepaa1de mode voor •

Het is voor het verdere betoog handig, om §~~~~~~:~~: mode-functies te gebruiken, d.w.z. dat het volgende moet gelden

(;p,q

nm- = 1 •

waaruit due de modevectoren ; en

h

worden verkregen via

(16)

en

(17l

Voor de ~=~~~~~=~!~= golfpijp

korte zijde 0 "f:.y ~ b ) t geldt t

(dwarsdoorsnede: lange zijde 0 ~ x :S a ,

voor TE-modes :

1U

_T

fr

nm

~.{=

12 voor n,m=O ~_ voor n,m ~1

1'

~ = voor TM-modes : = nm.

Voor de ronde golfpijp

:;: 2

rc

1 7[ met straal a en n

=

m

=

0 van het geva1

1

1k7l' cos (~)x a cos(m:=)y. (21 dJ ,nm de de m • (22) wortel van de Be6selfunctie-verge1~King d J n ·(k c r) _{:;: 0} voor dr

d de m de wortel van J (k a) ::; 0 vinden we

nm n e fo J (4' !.)

tn ni

v.".,.

voor TE-modes : rnm

=

n nm a ?lEd' :)2 '_ n2]

•

J (d f ) cos ntl> n nm nm .

f

n :;: 0, 1, 2, ••• m :. 1, 2, 3, _{••• J (d !.)}

1

sin

nt

f-

r?

t~

. n nm a

voor TM~modes : :;: _{d J led } cos n¢}

7C

nm n+ nm

Wat de ana10gie met de e1ektrische transmissiel~n betreft, merken we OPt

dat V(z) en Hz) zeals vastge1egd in (16) en (17)~ voldoen

aan een vergel:ijking van de vorm (5) •

met

(7)

de volgende oplossing

We kr~gen dus analoog

V(z) I(z) ::

.

+ _ .... z V e (J ₊ +

Voeren we een karakteristieke impedantie Zo in

dan vinden we voor TE - modes Zp :: j~,JL. ₌

~

}

0 l'

_;3

zq ::

_{- LJ:.}

::

.t-0 _w£ ·w£. voor TM - modes

Het is voorts gemakke1~k in te zien, dat V(z)

aan de transmissiel~n-vergel~kingen (met _YO

₌

dV

- l'

Zo I dI

r

YO V

dz :: dz ::

-

•

met

T

=

jj3

voor

frequenties hoger

dan de afsn~freq. van

de betreffende mode •

en I(z) dan voldoen

1

/ z )

0

(26)

Hiermee is het analogon compleet en we kunnen nu voor elke golfpijpmode een ~9~!!~!~~~~_!E~~~~!~~!~!~

xm.x

bepalen met gel:ijke

r

en

Zo

ale die van de betreffende mode •

Immere, voer een verlieevr~e l~n hebben we

V-

--,

V~X

I

Z2

3

0 = Z / Y

_.

B 0 :: jX / jB •

r

=

vzy

= j

V·x

B

,

·,2

:: jX. jB

De equivalentie met een TE-mede levert dan m.b.v. (6) op

j

x

P :: _jWfL' en j BP :: jWE + (k2_c /·wU-.) _{J I.} (27)

In het duale geval voor de TM - modes

j Xq ::

jr

₊ (k2/ . We )

c J en j B

q

TE

Hieronder z~n deze ~x equivalente lijnen geschetst t resp. voor de TE- en de TM-modee (de ingeschreven elementwaarden gelden per eenheid van lengte )

, I /1 11

"

( I

~ $£~

-

--1/ II • 1/ /1 II

T __ _

---"--"

Beschouwd vanuit filtertheoretisch standpunt, herkennen we in beide gevallen hoogdoorlaat-filters t hetgeen in overeenstemming is met het voorkomen van afsnljfrequenties voor de verschillende modes •

Wat de energie-transmissie betreft, hiervoor moeten we, zoals bekend, de Poynting-vector integreren over de dwarsdoorenede van de p~p. Men verkrijgt dan de volgende uitdrukking voor het vermogen welke binnen de golfgeleider in de + z richting stroomt

(/e".,/ddeld)

p z

=

t

He

~~(E

x

H~).az

dO =

=

t

Re V Iolf

f;;

hi.

if

t

Re dO = V I""

Jf (

eJ

x

.h:.J~).

a

:D z dO

=

t

Re ( V I*)

Hier komt due het nut van de eerderbesp~oken normering tot uiting •

Rest nog iete te vertellen over de orthogonaliteit van de transverse modevectoren

-

e en

h.

Het bew~s, dat elke modevector orthogonaal is ten opzichte vanalle andere, gaat als voIgt •

We beschouwen twee TE-modes en het scalaire product van de hierbjj behorende mode-vectoren

.

.

V

"AI'

. I

;P

-p (nm

#

rs) .e

₌

_{• V t 1rs •} nm rs t nm

Nu luidt de eerste stelling van Green (in 2 dimensies) als voIgt

If(

i t

1..

_{Vt "}

'Z

V~

it

) dO

=1

"l

dB + -_/)n dl J> _C Stellen we

'I

₌

1~

en fJ= Jbr:

,

dan vinden we

Ii;;p ·

;P _dO

₌

_{- (k}P

)2Jl

¥'

,b Yra dO -;? (29) J) om ra cra '.P nm

De tweede stelling van Green ( in 2 dimensies )

.

.

J[(fv~e

2

=1(~2!

_&2!)

... /JVt~ ) dO

-

dl met dezelfde t.! () n on ]) 6ubstitutie, geeft: [(kP )2 - (kP

)J

fff/'

1f'

dO

=

0 _• (30) enm ers nm rs y

Vergeljjken we (30) met (29) t dan voIgt daar dus uit

14

e~.

e;P dO= 0 mits k P ~ k P _•

rs cnm ers

Duaal geldt voor twee TM-modes eveneens :

JJ

e

q • e -q dO

₌

0

J>

run rs

Nu nog de orthogonaliteit van een TE- ten opziehte van een TM-mode • Er geldt -P e run -q • e rs =

( a

z

xvty!m)

(v t

}b/)

rs in 2 dimensies •

We maken gebruik van het divergentie-theorema

JI

Ve

A

dO =

i

A.Ii

dl en substi tueren hierin:

A

= 1£;'"

(a

v

1/)1")

irs z x t tnm

]) (!

Met inachtneming van de randvoorwaardenkrijgen we dan

zodat ook geldt

o

voor aIle run, rs _•

Analoog gelden al deze orthogonali tei ts-r'elaties voor de

ii -

vectoren •

Het geval = ( zg. ontaarding) kan ondervangen worden

op de manier, zoals aangegeven in R.E.Collin's boek, bIz.

175 .

De fysisehe betekenis van de orthogonaliteit is o.a., dat bij voort-planting van me,erdere modes in e~n golfpijp, deze modes kunnen worden opgevat als afzonderljjke, d.w.z. ~~~~~£EE~~~~ t transmissielijnen.

Er geldt n1.: p z

:: t

Re

JJi.t.e .

v )

:P run run

--

t

Re

L:'

v

_run 11_₁₁1'$

t

RelI

E

x ji;lt".

a

.J) z = dO = x (~h

r'*).

a

rs rs z dO =

-e rs dO =

t

Re , ~

v;,

nmnm

. '*

I • - - - - 0

-In het vo1gende zu11en we een der beperkende voorwaarden, n1. dat het

medium binnen de p~p homogeen Z~t 1aten va11en en nagaan wat dit voor

konsekwenties met zich meebrengt voor de transmissie .. verge1~ingen van

de mu1timode-1ijn.

De permittiv1te1t

£

en de permeabi1ite1t~zu11en nu veronderste1d

worden, functies te z~n van de coordinaten x en Y van het

dwars-v1ak, dus £ =

£.

(x,y) en )l t ;tL(xty ) ; uniform in de z .. richting.

We gaan weer uit van de Maxwe11-verge1~Kingen ( harm. tijdsafh.)

v

x

ii

V x

E

=

=

Gesp1itst in transverse component en 1angs-component, wordt (31)-linker1id (V

t + az

~z)

u x

(H

t+

a

z z H )

=

~Vt XrHt~

+ (V\... t x a H ) Z Z + _ (az x

~aHt)

",z / (31'

Z - richting transvers

Scalaire vermenigvuldiging van (31) met

a

levert op :

z

-

(V

t x

H

t ) - Vt·{a z x

H

t ) jwe.

a .

E jWe. E

a _{• =} : ;

=

z z

Duaa1 m.b.v. (32) Vt.(a

z x

E

t }

=

j j H z •

Vectorische vermenigvuldiging met

-

a 1evart voor (31) op

z

..

x {(V t x azH_{z )}

~iit

}

..

j

we. (

E

t a +

(a

_z x

rz)

= a x + z z. Of V t H aH t jwf (

..

E

t ) ~z

=

a x z z

oE .

Duaal: V t E t - j W P- (

..

H t )

=

a x z

oZ

_I z z (33) (34) m.b.v. (31' )

a

E ) z z (35) ( 36) ~BlI M.b.v. (33) en (34) elimineren we E z en Hz. in (36) en (35)

bHt j

w.£

(a

z x

E

t ) i t

j:~

V t'-(

-

x Et )

( 37)

--

=

a lIz z

tift

- jW/L(a x ,H t} Vt 1 V t -(

-

-

)

(38)

-

-- =

+

-

a x H t •

oZ

I

z jwl. _z

Differentiatie naar z zowe1 voor 1inker- als rechterleden geeft

"tl.

Ht jw£

(a

;)E

t

t\

1 (-

di\

₍₃₉₎

=

x - ) _-j-\1e a x _~) Dz 2 z oz wj'-' z

i"E

()H t 1 - OHt

-1

_{- jw;"-(a}

z

V

t ) (40) 2

=

x - ) + jwe..Vto(a z x --,- 0 OZ dZ )Z

Substitutie van

(38)

in het rechterlid van

(39)

en van

(37)

in het rechter1id van (40) geeft na enig rekenwerk

t-

H

_t

2- ₁ 1 -flz2 =

W~Ht

-

f Vt x

f:"

(Vt x H

t

)

+

v

t ;.-V t _/Ht (41) ( 42)

tEt

_,lit

-- jl--V t 1 x

E

t) 1

-2 =

Et x - (V + V t

E

V t·

.e

Et • Oz )'-- t

Het is eenvoudig te verifieren, dat bij constante E en /'" ' het homogene geval due, (41) en (42) inderdaad teruggebracht kunnen worden tot Helmholtze vergelijk.ingen in H

t en,

E

t van de vorm (4) •

We gaan nu de methode van de scheiding der variabelen weer toepassen, daar immers in het rechterlid uitsluitend afge1eiden naar de transverse coordinaten voorkomen en in het 1inkerlid afgeleiden naar z

WE! ste1len dus Et(X,y,Z)

=

l(x,y) V(z)

H

t (x,y, z) = jf(x,y) I( z)

Substitutie van (43) in (42) en del en door levert op

(43)

+

:: _•

Het linkerlid is nu een functie welke alleen van de z - coordinaat af-hangt, het rechterlid is een funatie uitsluitend van de transverse

.

coordinaten. Wil er in elk punt door

E

t voldaan zijn aan de differen-tiaalvergelijking, ,dan moeten dus linkerlid en rechterlid gelijk zijn aan een zelfde constante, de zg. 6cheidings-constante •

Stellen we deze laatste gelj,)k aan - r 2 dan geldt : '

d2v

_ f'

2 dus d2v 2 0 - dz2 :: _t dz2

- r

V=

V

De oplossing hiervan is bekend V( z)

=

A e -rz +

B

e T'z _• Duaal geldt volkomen analoog

.

.

I(z)

₌

C e -rz + D e T'z _• We hebben weer te maken met lopende golven, heen- en terugga~d

(46)

( 47)

(48)

We zijn nu gekomen aan het centrale punt van het betoog; op basis van het feit dat de modes van de perfekte golfpijp een compleet stel vormen , gaan we nl. proberen of aan het paar vergelijkingen (37) en (38) kan

-worden voldaan door voor _~ resp. ;t:' te nemen

C/7

j!(x,y) ::

Z

_. b _. -hP_1. . ,q

"" 1.

(50) zijn de eerder gedefinieerde mode-vectoren (indicatief voor

mode), zowel TE als TM

Substitutie van (49)(50) m.b.v. (43)&4) in (37)(38) , geeft

1 - : : ;

-)J

V

t J,/ .'")~ Vt.(a z x ~a.e. ""- 1. 1. V

Voor de genormeerde mode-vectoren is verder ook afgeleid, dat ze

orthogonaal zijn. Van deze eigenschap maken we gebruik door het invoeren van een operator

~~ej

. ....

dO en deze toe

~

te passen

op (52) t zowel het linker- als het rechterlid

dV

a .

-J dz

Nemen we als volgende operator

Jfe

k •

....

dO

,

dan verkrijgen we op dezelfde wijze

p

DW~bi

( / 7 ( / 7 dV Pki 1

;2.

b. Q_ki

J1

~~

b. - a -

₌

₊

jw

=

I k dz , _l. l. A... ~ /G

Enz., enz.; we herhalen deze bewerking too.v. een in principe oneindig aftelbaar aantal opvolgende operatoren van hetzelfde type, zowel TE als TN

In de linkerleden zijn,_ tengevolge van de orthogonaliteit, de sommaties

weggevallen; in de rechterleden bijjven ze gehalld4aafd, immers £ en ~

zijn functies yan x en y en er wordt geintegreerd naar dO (= dxdy) •

Dit is de mathematische vertaling van wat wij gewoonl~K aanduiden als "het aanstoten van hogere modes" •

Gemakkelijk is in te zien, dat wanneer

i

en /"- constanten zijn, van de somma ties in het rechterlid niets anders overbljjft dan de zg. zelfkoppel:i.n§

Analoog aan het bovenstaande kunnen we operatoren van het type

JS

h .••

0 • • dO

:v

J

dI - b. dz J _ b

21

k dz ::

=

zie appendix A

~wta.

J(

£

ii .. ii.

v::1 _f ...J'--. \ dO _t

j:'~aiSS~(Vehj)(Vt.hi)

_dolv . 1. J 1. ;(.. 1> ~ ::P [jw¥ai , Rji (;/? C/? 1 SjiJ V -+-

-=w

Za .

::

Y ..

_{a. V •} J , 1 . _Jl. 1.

"

",t. ::

+

-:--£a.

_JW 1 V? _{. 1.} Ski] V ;l. :: _V ( 54)

Analoog aan het voorgaande passen we dit toe voor een oneindig aantal operatoren van het type

JJh . ...

dO , zowel TE als TM

(ii

p resp.

h

q) •

]J

he'lstd .

Het blijkt,

dat~ekoppelde

transmissielijn-vergelijkingen voor de perfekte golfpijp, waarbij dus elke mode voorgesteld kan worden door het paar lineaire differentiaalvergelijkingen (26), met een bepaalde, voor de betreffende mode geldende

q

en Zo en waarbij de ene mode niet bel,nvloed wordt door ongeacht welke andere mode ; nu tengevolge van de veronderstelde inhomogeniteit van het medium binnen de pijp t

is overgegaan in het bovenstaande pOlar «53) en (54}) simultane on-eindige stelsels lineaire vergel.ijkingen, indicatief voor het

fysische begrip ~!~~EE!!~! transmissielijnen.

De oppervlakte-integralen P, Q, R en S vormen de koppelcoefficien-ten tUBsen de modes onder ling •

Blijkt by. dat voor de ide en de jde mode geldt , dat

P ji

=

Q_ji

=

Rji :: Sji

=

0 t dan betekent dit dat er ~!!~

de .de

direkte koppeling bestaat tussen de i en de J mode, dus dat de jde mode niet zal worden aangestoten door de ide mode, en omgekeerd • Blijkt daarentegen dOlt de integralen (al was het maareen van de vier) ongelijk nul worden wat de kruiskoppeling tussen tweebepaalde modes

.'

betreft, dan kan men er verzekerd van zijn, dOlt de'ene mode weI door de betreffende andere mode zal worden aangestoten, en omgekeerd •

Over de indirekte kQPpeling kan nog het volgende opgemerkt worden

laten we aannemen dat we te maken hebben met vier modea en atel dat er

ate de ste

koppeling beataat tussen de 1 en de 2 mode en tusaen de 1 en de

de ate 4de

3

mode, maar geen koppeling tussen 1 en mode •

De benaderingamethode bekend onder de naam "gekoppelde mode theorie" be-achouwt de koppeling tussen de modeatwee aan twee en zal derhalve tot

ate

de onjuiste slotsom komen dat bij excitatie van de 1 mode alleen, de

4

de mode niet zal worden aangestoten •

Deze conclusie is nl. dan pas gerechtvaardigd, indien is aangetoond dat

de de de de

ook tUBS en 2 en 4 mode en tussen 3 en 4 mode geen koppeling aan-wezig is.

oorzaak van uitsluitend

Zijn deze laatste(n) er wel, dan zal indirekte koppeling er zijn, dat ook de

4

de mode tevoorechijn treedt bij excitatie van

Bte

de 1 mode.

Voor kleine verstoringen of relatief korte lengten van de golfpijp, vormt de indirekte koppeling in het algemeen een verwaarloosbaar tweede-orde effekt. In gevallen echter, waarbij (om bij het voorbeeld hierboven te blijven) de propagatie-conetanten van 2de,

3

de en 4de mode weinig van elkaar vereehillen, zal een "twee aan tweett besehouwing van de mode -conversie tot grote fouten aanleiding geven. De exaete methode, welke we in het v~lgende zullen ontwikkelen en welke ons de mogelijkheid ver-schaft genoemde fouten te vermijden, neemt in principe alle relevante modes in de be#kening op •

Zo hebben we dan een volledig antwoord verkregen op de eerate vraag van onze probleemstelling, nl.: welke mod~a zullen er in een bepaald geval worden aangeatoten? Het komt neer op het berekenen van aIle

voor dat geval geldende koppel-integralen Pt Q, R en S •

We gaan het onderzoek nu due uitbreiden tot het tweede de.l van de pro-bleemstelling en we zullen trachten een hanteerbare~~lossing te vinden voor het vraagatuk in welke mate er energie-overdrachtplaatsvindt tua-sen de direkt of indirekt gekoppelde modes onderling •

Het zal blljken, dat er geen sprake is van een soort eenrichtings-conversie van de energie der gevoede modes naar de ongevoede •

Integendeel, we krijgen te maken met een nogal gecompliceerd periodiek systeem van energie-afgifte en -opname tussen aIle modes onderling •

In verband met enkele, later tg behandelen toepassingen, gaan we ons af-

.

,

vragen, of het niet toch mogelijk. is, te komen tot een tlongekoppeldetl

.

normaalmode - vorm t met toegevoegd aan elke nieuwe normaalmode een,

van kK% die voor het perfekte geval afwukende,voortplantingsconstante ~ •

O.a. met behulp van matrix-theo~ie is dit doel inderdaad te bereiken , waarbij elke normaalmode (van de inhomogene golfpijp) zal blijk.en te bestaan uit een bepaalde lineaire combinatie van een, in principe, oneindig aantal "zuivere" modes _•

We gaan ui~ van het paar simultane oneindige stelsels vergelijk.ingen

(53) en (54) In matrix-vorm geschreven, wordt by. (53)

(zie appendix A voor reciprociteits-he~s)

dV - a _{1 dz}

=

dV a 2

dz

=

dV - a _{k dz} -

=

Volkomen analoog hiermee kan ook (54) in matrix-vorm geschreven worden

dI - hI dz dI - _b2

dz

= = _ b' dI

1=

. k dz ·1 I I I I I \ y 31 • • •

. .

.

• •

Y23

• • •

•

• • • • ... I '" • • •

(55) resp. (56) , _{kunnen compacter geschreven ,worden} t als voIgt

dV

jz \

Ib

I

I (57)

- I

_b

I

~~

I

y

I I

a/ ( 58)

- la J dz = resp_

=

V

Differentiatie van (57) naar z en substitutie van (58) in dez' I

.

nieuwe vergelijking levert op

2

tal

~

=

dz2

1

z

Ily

I

lal

V

=

\ A

I

Ja

I

V (5j)

,

met

IZlly/

₌

I

_A

_I

t en dus geldt Eerder is afgeleid, dat, zie (46)

d2v

4

la I"

V of • ₍₆₀₎

Veronderste1 nUt dat we aande ingang van de inhomogene pijp exciteren met de dominerende zuivere mode en dat er blijkt, dat de koppelcoeffi-cienten tussen deze dominante mode met de hogere modes hoe langer hoe kleiner worden bij toe name der indexwaarden dezer hogere modes ~ dan

de

kunnen wij de kolommatrices in (60) by. afbreken bij de s term. (het effekt van sterkere verstoringen van de homogeniteit of van langere

lengten van de inhomogene pijp kan worden opgevangen door meer termen mee te nemen in de berekening. )'

Vo11edig uitgeschreven krijgt de matrix-vgl. (60) de vo1gende vorm

(All - -f)&l + Al2 _{a 2} +

.t.

A21 &1 + (A₂₂

-T' )

&2 + ... ... • •

.

•

.

<0 • • •

.

• • • •• • • • • • • • • • • + + A13 &3 A23 &3

. .

•

.

... ... • • • • • +

·

... .

+ _{• • • • • •} • • • • • • • • • • • • • ~

..

-

• • • • • • • •

-

... ' . 4 == 0 = 0 • • • • • •

•

• • • • + (A..;.r)a _{ss. s}

=

0

Een oplossing vQor de a's van dit homogene stel lineaire

Schrijven we deze determinant uit, dan levert dit ons een

.2-vergelijking in

r

op t waarui t we als wortels vinden de

s - graads

de nieuwe propagatie - constanten

Met elk hiervan hangt een der nieuwe normaal-modes samen _•

De lineaire combinatie van zuivere modes waaruit elk dezer normaalmodes is opgebouwd, vinden we als volgt

substi tueer

r

t.

=

r::L

in (61) •

In het stel vergel~Kingen (61) schrappen we een der vergelijkingen als zijnde lineair afhankelijk van de overige wegens het nul stellen der determinant •

We delen vervolgens alle linkerleden van (61) door a l

Nu is natuurljjk een constante , en we vinden dus

s - 1 vergelijkingen waar.it de s - 1 onbekenden

kunnen worden opgelost.

Deze werkwijze herhalen we voor Na deling bv. door

Zo doorgaande levert ons dit dus alle s lineaire combinaties waaxKxx

van zuivere modes, waaruit de s normaalmodes van de inhomogene golfgeleider zijn opgebouwd.

In feite hebben we niet anders gedaan, om in matrix-taal te spreken ,

dan de matrix

I

A

I

gediagonaliseerd •

,-, .t. .

De s stellen quotienten bij elke eigenwaarde J bepalen. de rich-tingen van de s eigenvec:toren. Deze laatste vormen in de

• f ·

s - dimensionale ruimte dUB een nieuwe orthogonale coOrdinaat-basis.

.

p4..0 0 de diagonaalvorm I

1-o

T".z. 0 - ~ .

o

0

'-Op dezelfde manier kunnen de orthogonale lineaire combinaties van de

lim

b's worden bepaald. Men verkr:ijgt, zoals teverwachten was vanwege de reciprociteit, dezelfde nieuwe propagatieconstanten en dezelfde stallen quotienten voor de nieuwe normaal-modes •

Hiermee is de herleiding van de gekoppelde transmissiel:ijnen tot een ongekoppelde t en'dus voor analyse en berekening meer

toe-gankel:ijke,vorm t tot een goed einde gebracht •

Rest nog te vermelden, dat de s eigenvectoren)van een coefficient kunnen worden voorzien (dieook negatief mag zijn)

Voor het praktische geval, dat de beginvoorwaarde luidt: excitatie uitsluitend van een zuivere mode aan de ingang van de inhomogene pijp, kunnen de eerdergenoemde coefficienten zodanig bepaald worden, dat bij tloptelling" van alle s normaalmodes (waarbjj dus het aandeel van een bepaalde zuivere mode in elk van de s normaalmodee b:ij elkaar ge-nomen wordt~. inderdaad alleen de amplitude van de gegeven excitatie-mode ongel:ijk nul wordt, alle overige s - 1 zuivere modes vallen weg •

Deze situatie geldt natuurl:ijk alleen aan het begin; niet zodra vangen de s normaalmodes hun tocht door de inhomogene p:ijp aan, of door het feit dat ze verschillende ~ 's bezi~ten. zullen op elke willekeurige plaats van de p:ijp in het algemeen wel alle s-l modes er dan ook z:ijn.

Dit is dus het verschijnsel der mode-conversie, en de ongekoppelde' vorm der nieuwe normaalmodes maakt het bepalen van ~e ~ate waarin dit geschiedt tot een redelijk hanteerbare zaak. zoals weaan enkele toe-passingen dezer theorie verderop zullen laten :zi~n •

---Mode - convereie

Tell' illustratie van de: voorgaande theoretische beschouwingen, zullen we

,~ en ander gaan toelichten aan een numeriek ul tgewerkt veerbeeld.

Van e·nderstaande rechthoekige gelfgeleider geldt voer het me.1um binnen de: pijp :

/A-

=::./,,-o

(constant) en

E

= f(x)

Het" di~lektrikum is dua uniform in de y en Z'- richting, maar in

de x - richting 'mag de permit.tiviteit-waarde een volkomen

willekeu-rig ve~le9P hebben.

1

t

We zullen allereerst bewijzen, dat de H - modes (van de homog~ne pijp) , no

veer bovenstaande onconventionele gelfgeleider een "autonome" groep vermen , in die zin" dat er normaalmodes van de inhomogene pijp bestaan welke zijn samengesteld uit lineaire combinaties van uitsluitend deze H _no - modes _• Het bewi.js 1s' rond, als kan worden aangetoond dat tUBsen H

no - mode en alle overige E - en H - medes g~~n koppeling bestaat r behalve . als

het een H

ke - mode uit de eigen groep· betreft (index k van I tot G? ).

Bekijken we de koppel-integral en voer de kruiskeppeling tussen H -mode en

nO'

een willekeurige

In appendix A is

E - mede

vw •

aangetoend , dat hierbij en nul worden •

Omdat veerts

/L::

~()

"

levert de. P -: integraal alleen bij zeIf-keppeling een van nul verschillende waarde op.

Rest dua" de Rji - integraal

(!~;E';j.

hi dx dy ) ,aan een na-dere beschouwing te onderwerpen.

V~~r de H. - mode

van de· normerings£actor , zie f>

-

~

tD :::. (

A (21) en sin n 7l. a

(16)

x )

a x

We zien dat deze mode-vector niet van de y - cotlrdinaat afhankelijk i s .

Wat de E -mode betref~, de magnetisehe modevector

q - lb 4 . V'1!:X W 7f:..

b

_{vw -} - _{a z x}

~

'",..,.=

B S1n -;- COos

bY ·

ax

Bedenken we nog~ dat

,.

dan is gemakkelijk dat in de uitdrukking voor de

in te zien

.!L.!:.

R - integraal een factor cos b y dy yoorkomt, welke !!==~!

__

!:~! oplevert (be.hal ve voor w - 0 , maar

w#

1) • (

Jb

CDs ,","1[. Y dy;::

0)

voor E - modes" moet

Q b .

Voor de kruiskoppeling gelit een 800rtgelijke

tussen H - mode no en willekeurige Hkg - mode Sji dus Rji • sin

g;

y beschouwing

,

en

aileen zelfkoppelings-waarden vegens constante;U" rest

~kP"g __ - ~ ~~ :__ D . k7l: 1!J.f E k 7l:

n ~

>.k"

Sln -;- x cos b Y . ax

+

cos -;:- x

Ook hier komt dus in de R - integraal Daar we te maken hebben met H -modes Dat wil dus zeggen,. R wordt niet

een factor

ia _g

=

₀

.

7E-cos &..!!::. y dy voor.

b

nu wel toegestaan. nul voor de koppeling tU6sen

Rno - modes en H

ko - modes', voor aIle andere weI.

Hlermee is dan aangetoond, dat bij excitatie van een H -mode

veldconfi-. no

guratie aan de ~ngang van deze inhomogene pijp met,ll

=

~P en

E.

=

f( x) ,. alleen H

ko - modes worden aangestoten;- een indicatie dat er hier normaalmodes bestaan uitsluitend samengesteld uit modes van deze groep •

Met gebruikmaking van bovenstaande resultaten voor de koppelintegralen P, Q, R en S; gaan de verschillende matrices er als voIgt uitzien

1

zi ;:

I _I

i ,

I

0

f

Bekijken we' de diagonale sub - matrix in de voorgaande

121 -

matrix

wat nader f dan blijkt, wegens,;lt

=

J'-o

(constante) en me't

toepas-sing van de normerings-regeI, dat voor de

diagonale Voorts is:

sub - matrix ook nog geldt

I

Y

I

1

0

I

De

lAI -

matrix ziet er dan ala voIgt uit

lzlJ)'J ;;:.

Hierin is sub - matr-dx

De andere, 'onafhankelijke

111'

I

!

c

1\

I

All!

sub - matrix \ I P - integral en in de

Daar we van plan zijn, straka de dominante H_lO -mode' aan de

ingang van de inhomogene pijp te exciteren t is voor ons aIleen

gevonden kan worden, met al de eigenvectoren twee aan twae

JL

elkaar. Verder is (ZI'e. il/?pe.'k.d/x R) "M. J.. v. [d.):>

L

I.{) -e-.

L.z;)

S

= -

..!...

If

j

P • 17 I?

il)

d

(jC-:.

-.!..

f"'

r

ii

P

t7 Z

pi

d

h-_

'"''',~D

jlo

""D

Y_t L

t·

'J&.l' Ii.

J

4 •

v-t-

4..-, t/:..

]) I f)

J>""""

",,0

.z

k{!.

ko

~

2. 7l:. ..l

/(1 -

~/LD

Zoals vermeld., mag E(x) elke willekeurige functie van x sijn • 'j

t

Wi1 men in bovangeschetst gaval van drie homogene di~lektrische staafjes met verschillende permittiviteit eventueel tooh gebruik kunnen maken van de orthonormerings-relaties, dan kan men bv'. stallen

I III(X/

)?t ]

C _

t

(x)

E.

[c,.

+-

E.,. /pa.

= ()

I

-r

e</p a.) 'I'L

zodat voor n /'~ 1 geldt

x ~ ( pa -

iJ )

-II/

E:. Z

e

_b £,.. voor x ~ ( pa

+11 )

0

-Om echter de verschijnselen van mode - conversie e.n - reconversie , d.w.z. de energie - slingering (zweving) tUBsen gekoppelde modes

zo duidelijk mogelijk aan een eenvoudig voorbeeld· ;~te, . kunnen toe-lichten " maken we de navolgende geschikte keuze vo~r de.

Z

(x) _•

~=~o .

Z: :::

Eo

[co

5

~

x +

3] .

Gegeven is. dat de rechthoekige pijp is gevuld met een di~lektr1kum waarvoor geldt:

E=t,

E(~)

=

Et>( cos

:x

+ , ) ;

)L=~() (constant)., Ter plaatse x

=

0

voorta

dua een permittiviteit en

t

(a) :: We exciteren de dominerende

H

IO

-

mode aan de fngang, zodatt' gezien het voorgaande, uitsluitend hogere modes van de

H

_no

-

groep zullen worden aangestoten •

De aepaling van de R _{n ,} 0 'k -koppelintegraal gaat als voIgt

0

R .,

ffo(x).

~no.hko

dO no"ko

J) b a

1 J(

7t:. x 3)(2a.n2C.k7l.). i .!l.1£ kn:.

=

Eo Q dy· 0 cos -:-;-

+

b a'" -,c:L nk s n a X· sin -;- x • dx •

Elementaire goniometrie en integratieleert ons, dat de integraal alleen dan ongelijk nul is, als k

=

n of k

=

n

"f

I •

( im.mers ain

nJ£

x . sin

~

x

a a

t

(n-k)

rc.

- cos x - a

- t

(n t i ) n:.. cos

a

x n:x p 7t. k-n:

voorts cos -- . sin _{a a} x . sin ---_a x

=

i (n·H-k)-,r:. i (n-l-k)7C. ..1 (p-tk+I}7C.

t

(n+k-l)n:

4 cos _a ·X + • cos _a x - ~cos _{' a} x - cos _a x. bedenk verder, dat integratie v~n een cosinus een sinus oplevert.)

-,

De berekening is dan zeer eenvoudig geworden en weI krijgen we ,

voor k

=

n R _{nO,no -}- 3

eo

en vOl1r k

=

n+l resp. k.::! n - 1 resp. R

no, (n-l)o

,-\ R

I

I

We zien uit het bovenstaande, dat de (direkte) koppeling vertoont met de

RIO-mode alB •• uitsluitend een

H₂₀-mode. In verband met de excitatie-voorwaarde oeperken we ons dUB tot deze twee modes. De mogelijkheid v~~r

een nauwkeuriger berekening incl. de'indirekte koppelingen is echter steeds aanwezig en zonder dat dit principi~le moeilijkheden veroorzaakt •

Zoals in de theorie aange:geven, worden de voortplantingsconstanten van de nieuwe normaalmodes bepaald, door de betreffende 2x2 - determinant (na toevoeging van -

r

1 in de diagonaal-elementen) nul te stellen.

We gaan het voorbeeld nog verder numeriek uitwerken en nemen daartoe voor de afmeting van de lange zijde van de doorsnede : a - 10 em. en frequentie van de ge~'xci teerde HIO-mode 3000 MHz.

Na ui twerking van de de'terminant krijgen we de volgende vergelijking

[<-

3(i\f/

:1.)

_l'tJ [( _

3V~Df'C

+

1\

:~)

-

p''?'

J

i

w'l

f.~~

=

0

..

J

o.f

14

+

1900 Ttl..

T,t

+ '

840000TL l{::: 0

Met als oploseing

17

.t

=' -

1200 T[. ,t ,

,t 1.

1f _ _ 700 TC

l,z - •

De voortplantingsoonstanten blijken "van elkaar getrokken" te zijn; in

t t 1. .z

het hOllogene geval nl. (met

£:::

3

£.

a) was

r::- -

1100 It: en

J:::- -

800 7l •

I : L .

Ook bij koppeling tussen zulvere modes met gelijke

H

nm en E nm in rechthoekige pijp of H on en El n

faseconstanten in ronde pijp)

het e#fekt dar imperfektle, dat de betreffende nieuwe normaalmodes ongelijke faseconstanten krijgen •

(bv. is

afsnijfrequen-tie krijgt dan in het angestoorde geval (hier 850 Mhz. i.p.v. 860 MHz.) en d~ andere een hogere afsnijfrequentie ( 1800

MHz.

f.p.v. 1720

mfz.) •

We gaan nu over tot de bepa1ing van de orthogonale eigenvectoren

voor

-r;1.: -

12001[.2., geldt: ( - 11001l%.

+

1200

1tl·

a

1 - 200 7l

~a2

=

0 De kenta,11en van de eerate eigenvectoe luiden due _{- : . 1} al _{- .} a 2

t

a_l ~ 1.. Z. 1. 2-voor

r:z..

=. -

700 T[ gel dt ( - 1100 It + 700 TC ). a 1 ;:. 200 T[ . a 2 _ 0 •

De' kentallen van de tweede eigenv8'ctor luiden a 1 ::. 1

at

t a 2

=

2 a 1

(verificatie van de orthogonali tei t. ( I x 1 )

+ ( t x

-2 )

o .)

De eerate nieuwe normaa.lmode is due een lineaire combinatie van HIO-mode en H

20-mode welke- in fase, zijn en waarvan de veld-ampl! tuden van de

eerstgenoemde mode tweemaal zo groot zijn als die van de laatstgenoemde •

Van de tweede normaalmode zijn de samenstellende delen in' tegen-fase en zijn de veld-amplituden van de H

20-mode in grootte tweemaal die van de Hlo-mode

Wanneer we· deverstoring van de homogeniteithoEl langer hoe kleiner maken, bv.

E

=.

[0

cos ~

+

3J

to

met c ---7>"0, dan za1 blijken dat op de duur in de eerate normaalmode het aandeel van de H

20-mode verdwijnt en in de tweede normaalmode het aandeel van de HIO-mode.

Tenslotte kunnen we nog «randvoorwaarden" 'invoeren en weI

voor z - 0 moet t daar we een zuivere HIO-mode aan de ingang

exciteren~ gelden HIO-amplitude =. I en _{H20-amplitude}

=.

0

Dit kan, door een soort terug-transformatie, ge~nterpreteerd worden a1s een samenstel van de twee nieuwe normaalmodes met aan elk toegevoegd een

geschikte evenredigheidsfactor • Dus

A-tl.(H 10)

+

t.(H20 )

J

+

B.{1.(H10) 2.(H20

)j

-Of A

+

B

t

A 2 B _ ::. j 5 en B

=

1

5 • •

•

tweede

, ,

215 (H

20)

Daar dez& modes zoals berekend, ongelijke fase-snelheden bezitten , zal het H

20-veld in de twee modes van een toestand van tegen-fase (aan de in-gang) geleidelijk overgaan naar een toestand van gelijke fase •

Dit laatste treedt op ter plaatse

z

=;.e

waarbij

( (3, -

f.z)

£. ::.

7[ of

bI.

v'l2oO -

-n:V700)..L

=

;£

=

1/10(

'112 -

'/7)

m.

~

1/8 m.

=

geldt 7[

let

em.

12t em. van de ingang verwijderd 1igt due het eerate punt van maxima1e con-versie, .aIr echter geen totale conversie. Dit laatste is aIleen mogelijk, zoals in appendix B aangatoond, wanneer hat gaat om koppeling t_ssen twee zg. ontaarde modes, dat zijn modes die in het ongestoorde geval gelijka voortplantingseonstanten habben. Ip bovenstaand voorbeeld heaft het R

10 -veld in da twee normaalmodea ongelijke amplitude en zelfs wanneer ze in tegen-fase verkeren, zoals gebeurt bij z

=

12t em., vindt dus geen volle-dige eompensatie plaats.

Wordt de koppeling nog verder voortgezet (lange pijpen), dan IXlult treedt re-conversie op, immers de H

20-velden gaan weer geleidelijk in tegen-fase over en de HIO-velden van tegen-tegen-fase naar gelijke tegen-faset enz.

Hieronder is dit proces globaal geschetst •

,~.'

.,SI>_ 'II.,",~ 'II.

5·-I ' I

<ll"h./, I"'CU e.

t

De hier gevolgde methode voor twee modes is zonder meer uitbreidbaar tot drie gekoppelde modes, in ons voorbeeld dus .de H_lO-' H₂₀- en H:50-mode.

Ook de randvoorwaarde is niet gebonden aan exeitatie van de grondmode men kan net zo goed de H

20-IDode aan de ingang exciteren en met deze voorwaarde de bijbehorenda constanta factoren At B en C bepalen.

w~ krijgen dan nogal gecompliceerde zwevings-varschijn8ele~ tussen drie gekoppelde modes

-Q_{j t} -

JJ;ij ·

V_t

1

~

vtOe_{i }} dO

-

S~Vt·fej

i

(Vt·e~)ldo

t

4,

i

(VtOej)(VtOei) dO

--

~n.

i

e:

_j

~

(Vt·ei)}dl

+

J~ ~

(\tt.ej)(VtOei) dO

--at

(VtOej)(VtOei) dO • (daar

~=

0 wegens Vt0e.p,q

=

0 op c)

Ana.loog: Sji

= -

f~hj' Vt1~

't·hi

1

dO

= .

.

:::-JGi.h

_{j )}

ft

(Vt·h

_{i )} d1

+

J~;i.(Vt.hj)('tohi)

dO

:;; Sf}

(Vtohj)(Vtohi) dO • (daar!

=

0 wegens

n.hP'~

0 op c)

:P

Voorts P_{ji :;;} lfoijOei dO en Rji

=

if

t

hjOhi

dO

Y

~

Deze uitdrukkingen voor P, Q, R en S l a t e n zien, dat verwisseling van de indices j en i niets uitmaakt wat de' koppel - integralen betre!t, zodat algemeen ge1dt: Z - Z en Y - Y ( reciproci tei t !) •

rs - sr rs - aT

Tevena is m.b.v. (19) en (20) gemakkelijk aan te tonen, dat

bij de koppeling tUBsen 2 TE - modes geldt Q - 0 ;

bij de koppeling tUssen 2 TM - modes geldt S

o

bij de koppeling tussen TE-· en TM-mode geldt

De overgang van opperviakte- naar lijnintegraal (randkromme C )

geschiedt mob.v. het divergentie-theorema van Gauss voor 2 dimensies • Dat voIgt

v

eP,q - 0 t· - op

c

uit de randvoorwaarden en zie n.h'p,q

=

0

(10) , (15) , (16)

op en

=

__

__ ·

V

1 - ; . .

"I '"

tfol/

1 - '

C

12 is koppelco~fficient •

De transmissie-vergelijkingen voor twee (in voorwaartse richting) continu gekoppelde lijnen. luiden in het verliesvrije, reCiproke geval als voIgt :

dV 1

=

j (3Jl VI

+

j c 12 V2 dz

•

dV 2

=

j _c12 VI _j

_/32.t..

V 2 dz •

Dit paar vergeIijkingen kan omgezet worden in twee Iineairetweede - orde differentiaalvergelijkingen in VI ~~A V

2 van identieke vorm

=

+

•

( jmz )

Men kan aantonen stell en: V : C e , dat de algemene oplos-sing , welke dan tevens voldoet aan het oorspronkelijke paar verge1ij-kingen, luidt

met

Bij voeding aan de ingang d.w.z. bij invoering van

VI

-

-

1 en V₂ 0

kunnen de hierbij behorende

jm.z e

₊

mL+/!JU I c 12 B ) e jm1z •

+

B (

m,

+

I

&ll

) ejm,Zz °12

•

V

+

t ,

<rJ/

_/.22.)2

+

4 c₁₂ 2

van uitsluitend de eerate lijn

,

randvoorwaarde.n

voor z

₌

0

,

A en B worden bepaald en lui den de uitdrukkingen voor _VI resp. V

2 als voIgt.

t

2

(m

_{2 -}

~

0₁₂

J

•

Stellen we nog, dat de "spanningenlt VI en V₂ zodanig genormeerde ,groothe-den zijn, dat 1

vi

1

en

lv~

J het gemidde1de vermogen resp.

in de eerste en de tweede lijn voorstelt, dan valt gemakkelijk te bewijzen, dat bij zg. ontaarde modes (dat is bij

AI

=

/~2..

=

f )

en met eerderge-noemde randvoorwaarden, een perio~ieke tot ale energie-conversie en

-reconversie optreedt

.

Immers, de oplossing voor _VI en V

2 wordt

,

daar dan geldt

~,2

₌

-t

_t.

°12

,

na enig rekenweek

t

VI e-jj3 2 . cos c₁₂ z • V 2 j'e-j _j3z.sin 012 z •

Enige verdere conclusies

bij niet - antaarde modes is totale canversie niet mogelijk , ongeaoht de lengte der gekoppelde transmissielijnen

door beschouwing van de uitdrukking Men komt tot dit inzicht

voar VI • Da moduli van (bij

(3/1:t

j?;1.Z.) van angel ijke

de twee camp1exe termen in

VI

zijn grootte" zodat op pI aateen waar daze periodiek in tegenfase zijn weI relatief maximale, maar geen totale conversie plaatsvindt •

Is,

fo/l "//

i'J.1..

of

Pu ..

/::>

f'11

dan ondervindt de voedende mode weinig hinder van de dan nauwelijks merkbare conversie - verschijnselen _•

Tenslotte zij der gekoppelde

ci~nt klein te

plaats en weI

nag opgemerkt, dat bij

PII

₌

_;4.u:

lijnen

,

het geen zier helpt om

houden totale oonve7;sie vindt voor de eerste keer ter plaatse

en voldoende lengte de

koppel-co~ffi-toch periodiek

z -

t7l.

Bij korte lijn-lengten (en ontaarde modes) heeft het natuur1ijk weI zin om de koppeling (dus c

12 ) te trachten till verminderen.

-g.

De Hoop t A.T. aantekeningen (niet gepubliceerd) Collin , R. E. Harrington, R.F.: Louisell ~

W.H.

II }'ield 'l'heory " Time - harmonic " Coupled ~ Mode 0 -I n h 0 u d s o p g a v e Inleiding

11.

Transmissie - vergelijkingen voor de perfekte golfpijp

.

-ill·

Transmissie

-

vergelijkingen v~~r

de inhomogene golfpijp of Guided Waves Electromagnetic Theory etc. bIz. , t

, ,

IV. Mode:

-

conversie- in de inhomogene _{pijp •}

,

,

L i t e r a t u u r A p P e n d i c e s A B _• It

..

Fields II • 1 2 • 3 12 •

13

-

_{22 •} 22

₃₀