Starre bol tussen twee halfruimten

Citation for published version (APA):

Damen, G. M. J. (1975). Starre bol tussen twee halfruimten. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7511). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1975

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Memorandum 1975-11 september 1975

STARRE BOL TUSSEN TWEE HALFRUIMTEN door

G.M.J. Damen

Technische Hogeschool Eindhoven Onderafdeling der Wiskunde Postbus 513, Eindhoven

We zullen de oplossing bepalen van het contactprobleem waarbij we twee elas-tische halfruimten tegen elkaar drukken met een starre stempel er tussen. We beperken ons tot twee identieke halfruimten en beschouwen een zodanige stempel dat het probleem rotatiesymmetrisch is.

De halfruimten zullen niet aIleen contact maken met de stempel, doch ook elkaar op eindige afstand raken voor willekeurig kleine druk.

We noemen de contactratio k. Dit is het quotient van de contactparameters c en P, waarin c de straal is van het contactgebied van stempel en half-ruimte en p de afstand waarop de halfhalf-ruimten elkaar raken.

We geven een uitdrukking voor de druk aan het oppervlak in een machtreeks-ontwikkeling nsar machten van de contactratio k. De coefficienten kunnen we iteratief genereren. Door de genoemde reeks af te breken vinden we een ba-nadering voor de druk en, door begrensdheid van deze te postuleren, tevens voor de contactparameters bij gegeven stempeldiameter en druk op oneindig. We zijn dan in staat verplaatsingen, deforms ties en spanningen overal in de halfruimten te bepalen.

Numerieke resultaten worden gegeven bij verschillende waarden van de druk op oneindig en de diameter, voor de contactparameters en de druk op het opper-vlak.

1. Formulering van het probleem

We beschouwen twee isotrope, homogene,elastische halfruimten van hetzelfde materiaal, waarvan we de ligging, na invoering van een systeem van

cylinder-coordinaten (r,e,z) met r ~ 0,

a

$

e

< 2~, -00 < z < 00, kunnen

karakteri-seren door de gebieden r ~ 0,

a

$

a

< 2~, z >

a

en z < O.

We geven elk van deze halfruimten een starre-lichaamsverplaatsing d, zodanig dat de afstand tussen de ruimten 2d gaat bedragen.

Vervolgens brengen we tussen de halfruimten een gladde, starre stempel, dikte 2d, aan, waarvan het oppervlak gevormd wordt door twee paraboloiden, ontstaan door wenteling van twee parabolen om de z-as.

Deze rotatiesymmetrische toestand, met de z-as als symmetrie-as, geven we in onderstaande figuur weer.

Z-OlS

Door in het oneindige een druk pO uit te oefenen, bewegen we de ruimten

vanuit deze toestand naar elkaar toe, waardoor de volgende situatie ontstaat.

c a

In de Iineaire elasticiteitstheorie Iuiden de evenwichtsvergelijkingen voor de verplaatsingen volgens Navier:

(1. 1 )

~u

+ 1 12 grad div u

=

0 ,

- v

-waarin u de verplaatsingsvector is en v de dwarscontractiecoefficient. Voor het rotatiesymmetrische probleem geldt

( 1.2) _u

a

a

=

as

=

° ,

(1.3)

waarin u en w de verplaatsingen zijn in de r- en de z-richting resp. Vanwege de symmetrie t.o.v. het z .. O-vlak kunnen we ons beperken tot een halfruimte waarvoor we z > 0 nemen. De randvoorwaarden luiden volgens boven-staande voor het te besehouwen gebied

( 1.4) r ~ 0, 0 s

a

<2n, z > 0 , (1 .5) _z

=

_{0, 0} ::;; _{r <} 00 t .. 0 rz 2 0

s

r < c

,

w

₌

d

_-"iR'

r e < r < p t == 0 zz p < r < 00

,

w ;;; ₀ 1

waarin t .. de spanningen zijn, -R de kromming is van de parabool en c de 1J

straal van het contactgebied tussen stempel en halfruimte. De ruimten maken contact met elkaar voor r > p, met

( I .6) p

=

c + a •

o

De druk op oneindig hebben we p genoemd, zodat

(I. 7) t

=

-p ,

o

,/2 Vr + z

z'

-I> co

ZZ

2. Splitsisg van het probleem

Van de oplossing behorende bij (1.3) en (1.5) trekken we het volgende ver-plaatsingsveld af:

(2. I)

o

u .. -:::--v~p~~ r 2).1 (1 +v) w

=

a

p 2).1 ( I+v) Z •

Hierin is ).l de glijdingsmodulus. Deze functies z1Jn de verplaatsingen in twee halfruimten wanneer deze met een druk pO tegen elkaar gedrukt worden. De randvoorwaarden (1.5) worden dan

(2.2) Z .. 0, 0 s r < 00 , t

..

0 rz 2 0 ::; _{r < c w}

₌

_d r

-2'R'

< r < t 0 c p

,

=

+p zz p < r < 00

,

w

..

₀ bij de differentiaalvergelijking (1. 3) : S 2 [

a

2

u

+

1

au -

.!!..]

₊ (S 2 - 1)

- - + - -

a2w 02u

° ,

a 2 _r r ar _r 2 ozor oz2 (2.3) 02 I aw 2 (S2_ 1) a (au uJ S 2

.L:!. ..

---!! + _{- - + - + - +}

o ,

or2 r or az or r oz2

in het gebied (1.4) met

(2.4) S 2 .. 2 I-v ,S -2 1

₌

1 - 2v 1 - 2v

3. Hankeltransformatie

We gaan de vergelijkingen (2.3) transformeren. Met de definities

(3. 1 ) 00

u(~,Z)"

J

ru(r,z)Jl(~r)dr,

o

00

w(~,z)"

J

rw(r,z)JO('r)dr, o

gaan deze over in 2 2 d2 - 2 d -(8 t; -

2 )

u (~ , z) + C;; (8 - l)dz' w (s , z) ... 0 , dz (3.2) 2 d - 2 2 d2 -- S (S -- l)dz' u ( t; , z) + (s - B

2 )

w (~ , z)

=

0 • dz

De oplossing van (3.2) luidt:

u(E;,z)

=

A t;z _Ie + B ze

sz

+ _Cle -~z + D ze -~z 1 1 (3.3)

-

_{... A e~z} ~z -~z -~z w(~,z) + B 2ze + C2e + D ze 2 2

We vinden 8 onbekende constanten voor de 4e orde differentiaalvergelijking

(3.2). Er bestaan dus betrekkingen tussen die constanten. Daarom substitu-eren we (3.3) in (3.2). Dit levert

(3.4) 2 2 A 2f;(B -1) + B2(8 +1)

~(S2_

1) B =-B 1 2

c

₁

=

2 2 C 2s(S - ) - D2(8 + 1)

~

(82 - 1)

Alvorens de randvoorwaarden (2.2) te transformeren, veronderstellen we dat over het hele vlak z

=

0 de spanning t is voorgeschreven. Verderop zullen

zz

we deze met behulp van de voorgeschreven verplaatsing bepalen. Met de defini tie

00

(3.5) _t

(~,O)

₌

J

_rt

(r,O)JO(~r)dr

zz zz

o

gaan dan de randvoorwaarden over in d

-dZ

u(~,O) - ~w(~,O) ... 0 (3.6)

2 - 2 d - tzz(t;,O)

~;"'J..I--We vinden met behulp van (3.3) en (3.4) uit (3.6), als we bovendien be-grensdheid van de spanningen op oneindig eisen

(3.7) 2 zodat volgens (3.3)

t

(e;,O) zz C2 '" -

-=--

2~J.1 t (e;,O) zz (3.8) w(e;,z)

t

(E;;,O)e-;z ;:: _ --.;;;..zz--.;;;..--=-_ _ {S2 + _{(S2- 1})l;z} •

2~J.1

(132 - 1)

4. Triple integraal vergelijking

We hebben b.ij de afleiding van(3.8) in paragraaf 3 de spanning bekend ver-ondersteld op het vlak z

=

0. We zullen in deze paragraaf eerst een verband geven tussen de getransformeerde spanning en verplaatsing w over het vlak z

=

°

en vervolgens een integraalbetrekking afleiden voor deze laatste grootheid.

Neem z

=

°

in (3.8). Met de definitie

(4. I) is dan (4.2) w(s,O) t (s,O) = _ K --.;;;z __ z.,--__

s

, of t zz (s,O)

=

-sW(s,O) K

De inverse Hankeltransformatie van (3.1)2 en (3.5) geeft met (2.2)2,3,4 en (4.2)2

00 r 2

J

s:w(s:, 0) J 0 (rOdS: = d r , r E II

--

_2R 0 00 (4.3)

J

~ 2-W(E;,O)JO(rF;;)dE; = -p 0 K , r E 12 0 00

J

t;w(i;,O)JO(rt;)dF;; = 0 , r E 13

°

met 11 := {r 0 ::::; r ::::; cl (4.4) _{12 :-} {r c ::::; r ::::; p}

,

13

.-

.-

{r p :::; r < oo} •

Het rechterlid in (4.3) is bekend. We kunnen dus in principe w(e;,O) bepalen en volgens (4.2) ook

t

(t;,O). De terugtransformatie van deze twee levert

zz de verplaatsing w en zoek zal dUB gericht aile randvoorwaarden

5. Intermezzo

de spanning t op het vlak z "" O. Ret verdere onder-zz

zijn op de triple integraalvergelijking (4.3) waat'mee (2.2) voldaan zijn.

In navolging van [3J voeren we nu een aantal notaties in.

Voor het bewijs van de beweerde eigenBchappen zij verwezen naar [3J.

Definieer de operator 8 door:

n,a (5. 1 ) 8 _n,a f(x)

=

2 x a -a

f

voor 2n+a. ~ -~. Er geldt 8-1

_""

8 (5.2) n,a. n+a.,-a. •

°

00 tl-af(t)J 2 n+a. (xt)dt

6.

Definieer verder de operator I en K door

n,a n,a (5.3) en (5.4) 2x -2a-2n I f(x)

=

...",....,...,~ n,a rea) x x

J

( 2 x -u 2)a-1 2n+ 1 f ( )d u u u,

a

( 2 u -x 2)a-1 -2a-2n+1 f( )d u u u,

beide voor n ~

-!,

a > 0, zodat (5.5) en (5.6) beide Verder (5.7) (5.8) (5.9) (5.10) (5. 11 ) (5.1Z) I f(x)

=

!x-2n-2a-l

n,a

~

dx {x2+za+2n I n,a+l

f(X)lJ

d { 2-2n K

1.

di

x n-l,a+I f(x)

J

voor n ~

-i,

-I < a < O. geldt I 5

=

5 n,a+6 ' n+a,6 n,a K S = 5

n,a n+a,6 n,a+13

s

s

=

I

n+a,B n,a n,a+B 5 _{n,a n+a} 5 _,13

=

K _n,a+B

,

-1 I I

₌

n,a n+a,-a' -I K K

=

.

n,a n+a,-a·

Twee gekoppelde integraalvergelijkingen

We kunnen (4.3) met behulp van (5. I ) schrijven als

So,O w(r) = wI (r) , op I}

,

(6. I)

_Si.-I

_w(r)

₌

_{P2(r) • op 12}

,

50,0 w(r)

=

w

met (6.2)

De onbekende voortzetting van de verplaatsing w(r) op 12 noemen we (6.3)

De functie per) (wat dus niet exact de spanning aan het oppervlak is) zetten we als volgt voort:

(6.4) per)

= PI(r) op II per)

=

P₃(r) op 13 •

We kunnen met (6.3) en (6.4) de triple integraalvergelijking (4.3) reduceren tot twee systemen van duale integraalvergelijkingen.

Sxsteem I

S!,_I w(r) • PI2(r) op 11 u 12

(6.5)

SO,O w(r) == w

3(r) op 13

met PI2(r) == PI (r) voor r E _I} {P2(r) voor r E _{12 •} Sxsteem I I SO,O w(r) == wI (r) op _I) (6.6) S~,_l w(r) == _{P23(r) op 12} u 13 met P23(r) =

r

2(r) voor r E 12 P3(r) voor r E _{13 •}

u

1

-o

I splitsing I I I I I I c

bij ]I I splitsing bij I

I I I - -... p)<n ill" ' ... ___ " p ~:bekend , - - ... _ , ~onbekend

Herleidins van s~steem I

Volgens (6.7) waarmee (6.8) Stel (6.9) (5 • 7) en ( 5 • 8 ) is I_~,

l

SL-I == S~,_~ K~ _, _1 _{2 SO,O .. S1} _1 , 2 (6.5) overgaat in S~,_~ w(r) .. I_~,![pIZ(r)] op II u I_Z Sl,-! w(r) == Kl,_ICw3(r)] op 13 • h( r) e

{I_I,I[PI2(rl ]

K

L

_!Cw3(r)]

..

r

dan is volgens (6.8) (6.10)

zodat met (5.2)

(6.11)

Beschouw vervolgens

(6.12) _{S~,_l w(r)}

₌

_{S!,_I SOt~ her) - IO,-i her) ,} volgens (6.11) en (5.9).

Voor r E 13 is

(6.13)

We bepalen eerst her) volgens (6.9). We vinden (6.14) (6. 15) (6. 16) 2

*

/

- rrr

p

(rlH(:-rl

*

r

P12(u)

h(r)~

P (r) =

J

-;.I~2

::::;2'

du . 0 Vr - u 1

*

- -- Q (r)H(r-p) ,

;;

00 (6.17) Q

*

(r) = -

dr

d

J

r waarin H de Heaviside-functie is.

Betrekking (6.12) luidt: (6.18)

_{S!,_1}

_{w(r) =}

~ d~

J

1''lT 0 r u h(u) du

Vt

2 2 ' r - u wat met (6.14) - (6.17) overgaat in

(6.19) SI I w(r) b -

=

'IT

~

JL

dr

f

o

+

I

JL

J

'IT dr

o

r u

_*

P (u)H(p-u)du + J 2 2 Vr - u r

Laat r E 13 dan is volgens (6.13)

(6.20)

r

P

*

r

*

J

uP 1 12 (u) 2 du +

I

'IT

JL

dr

J

. u I Q 2 (U) 2

°

Vr - u P Vr - u

du •

Werken we deze integral en verder uit, dan vinden we, gebruikmakend van (6.2)3

(6.21) 2 r ) JP

/p

2 - r; 2 - - PI2(r;) 2 2 'IT '/2 2 r -r; Vr - p r;=0 2 met P2(r) gegeven door (6.2) •

Herleiding van sys teem II

Deze herleiding gaat analoog aan die van systeem I.

Vol gens (5.7) en (5.8) geldt

(6.22) I O

'_!

SO,O = 50

,-1

Hiermee gaat (6.6) over in

(6.23)

Stel

her)

-{I

_{o._}

I

[W

1

(rl] voor r E _I) (6.24)

KO,![P23 (r)J voor r E _{12 u 13 '}

dan is volgens (6.23)

en met (5.2)

Volgens (6.26) en (5.10) is 0P II u 12 u 13 (6.27)

Voor r E II is dit PIer), zodat

(6.28) _{S~._l} w(r)

=

PI(r) voor r E II . V~~r her) volgens (6.24) vinden we

(6.29) (6.30) (6.31) I

*

/ - P (r)H(c-r)

.;;

r

*

d

r

her) - \ P (r) ...

dr

oj

2

*

-

Q

(r)H(r-c)

.;;

du , (6.32) Q

*

(r)

=

f

P23(u) ,/2 2' r Vu - r du •

Uitwerking van (6.27) Levert

00 (6.33)

f

\ /2 u h(u) du

2'

Vu - r r en met (6.29) - (6.32) 00 (6.34) S w(r) I d

i.-I

= -:;

dr

_{f ..;./}

_z'

r u - r

*

P (u)H(c-u)du +

-.!..!.

f

u Q* (u)H(u-c)du • 'If dr . /2 2' r Vu - r

Zij nu r E II' dan is volgens (6.28) c 00

f

*

f

*

(6.35) PI (r)

=

_{- ;:; dr} I d u P (u) du

-

--

2 d u Q (u) du

Vr

2

z'

IT dr

v<

2

2'

r u - r c u - r

Verder uitwerking geeft

c 00

v{ 2

2'

f

*

J

(6.36) P (r)

= -

I d u P (u) du

-

-

2 ₂ r ₂ 1;; - c P 23 (r.)dl;; • I IT dr

yo(

2

Z-

IT t; -r

Vc

2

2'

r u - r c c - r

p*(u) is gegeven door (6.30) en (6.2) 1 en P 2(1;;)

2 door (6.2) •

De vergelijkingen (6.21) en (6.36) vormen een systeem van twee gekoppelde integraalvergelijkingen voor de functies PIer) en P3(r). We drukken deze functies uit in de druk p.(r) op de verschillende intervallen van het

1

oppervlak door middel van (6.37) p.(r)

=

E2 K p.(r)

1 1 i=I,2,3.

Er geldt derhalve

(6.38 ) p.(r)

=

-t (r,O), r E 1 . .

1 ZZ 1

We definieren de functies ~I(r) en ~2(r) als

(6.39) (6.40)

- - -

2 d r1T dr r

Vr'

2

z'

P - l; dt; 2 2 r - l; c

*

J

(

u P (u) du + \ 12

2'

Vu - r

*

met P (u) volgens (6.30). Nadere uitwerking levert

• / 2

2'

Vi'; - c

l; 2 2 di'; i'; - r

(6.41) (6.42) waarin (6.43) (6.44) n

(~)

2u pOK

{-;---z

~-=-:z

u~l

x., I u =

rr

,~ V I - k'" - u arc tan

! - z

f '

2 t ₂ (cv) '" -11" VI-u'" VI-u'" 2 2 c V c1r--:j 2 d - - r - VI - v'" + - + R 11"C,~ VI - v~ +

2

pOK

{p~

-

c~

arctan

~}

11"C I~

-r--:J..

k

=

c p VI - v" kVI - v'"

o

s; u, v s; 1 •

Met (6.37), (6.39) en (6.40) gaan de vergelijkingen (6.21) en (6.36) over in c (6.45)

; (,2

1

z'

J

r -p 0 (6.46) 00 .12

2'

2

J

Vl; - c K

p

(r)

=

t (r) - - l;K P3(l;) 2 2 d~ 1 2 11" II 2 2' l; - r Vc - r p We stellen in (6.45) r

=

~ (0 s; u s 1) en in (6.46) r

=

cv (0 s; v s 1): u (6.47) (6.48) K

PI

(cv)

=

~

I

J

11"

.!-z

kVI - v'" 0 1 ds •

We herschrijven de vergelijkingen (6.47) en (6.48) op de volgende manier. Definieer

~

k-!K ... (e.) _{.. f/u) ,}

It7

k

-!

R. (e.) _{.. m(u) ,}

2 P3 u 2 1 u

u u

(6.49) v v i 7 kK

PI

(cv) .. f 1 (v)

v~k

R.

2(cv)

..

n(v) ,

Dan lui den de betrekkingen (6.47) en (6.48)

1

£3(u) .. m(u) +

_f

M(u,t)£l(t)dt , 0 (6.50)

o

s u, v s 1 • 1 f} (v) .. n(v) +

_f

M(v,s)f 3(s)ds , 0

Door (6.50)1 te substitueren in (6.50)2 kunnen we deze twee gekoppelde integraalvergelijkingen reduceren tot een Fredholmse integraalvergelijking voor de functie fl' (6.51) met (6.52) (6.53) 1 ft(v) .. hey) +

J

H(v,t)f](t)dt, 0 S v S 1

o

1 hey) .. n(v) +

J

M(v,s)m(s)ds ,

o

] H(v,t) ..

J

M(v,s)M(s,t)ds •

o

7. Hachtreekssubstitutie

We lossen vergelijking (6.51)op met machtreekssubstitutie naar machten van de parameter k gedefinieerd in (6.43). Daartoe onderzoeken we aller-eerst h(v) volgens (6.52). Uitgeschreven met (6.49), (6.41) en (6.42) is deze (7. I) We vinden (7.2) met h(v) 2 0 r-:j 2 0

r---z

+-pKvVI-k~ - pKvVI-v k 1T 1T

v;7

arctan +

kVt7

[

.~

_{Vl-k- -}

Q

_{s arctan}

sQ]

_{2 ds •}

Q

00 h(v)

=

L

ht(V)k~

t ... O h 2t+ l(v)

=

0 , t ~ I 4 0 hO(v)

= 2'

p Kv 1T 2 2 d O'/~1T ... V -{ (t - 2v ) S: + - - p K VI - v -} 1T R c 2 4 0 3 2 h

z<

v)

=

2'

p Kv

(2 -

2v ) . 1T

Vervolgens beschouwen we H(v,t) volgens (6.53) en (6.49)

(7.3) H(v,t) 1

f

ds • ,I 2

2'

sVl - k s

o

Dit schrijven we als

00

(7.4) H(v,t) ... \ L H 2t+l 2t+l(v,t)k

met 4 v HI (v,c)

=

"2

-...;...--7'

\ 9

2 2 + - v 3

De oplossingsmethode verloopt nu als voIgt. We stellen de oplossing f1(v) van (6.51) voor door

(7.5)

ex>

fj(v)

=

I

fl,t(V)kt • 9=0

We substitueren fj(v) volgens (7.5), h(v) volgens (7.2) en H(v,t) volgens (7.4) in (6.51). Vervolgens stellen we de coefficient van kt (t

~

0) gelijk aan nul. Dit levert

(7.6) [t-l] 2

L

i=O 1

f

o

Dit is een recurrente betrekking om f1,t(v) te berekenen, zodat f1(v) te bepalen is. We bepalen hiermee f

3(u) volgens (6.50). Immers (6.49) en (6.41) leveren (7.7)

Vt7

2 u _1 0 k 2p K arctan

en dit 1S weer te ontwikkelen naar machten van k:

(7.8)

_I m(u)

=

k ~

met

o

dO(u)

=

~

(I 1I"U OK d (u) == - ~ 2 11"

~

u - arctan ~) u

,---p

VI -

u

De ontwikkeling van M(u,t) volgens (6.49) luidt

00

-i \'

2Hl (7.9) M(u,t)

=

k L M2~+I(u,t)k ~=O met M) (u, t)

=

2 u 11"

.;--.'f

VI - t"" 2 u 2 2 M eu t)

= - -

t (u - 1) 3 ' 'If

r----p

2 VI - t'"

Substitueren we (7.5), (7.7) en (7.9) in (6.50) dan vinden we dat

(7.10)

met

Hiermee zijn de functies ft(v) en f

8. De contactparameters

Veronderstellen we de druk pO en de diameter

~

bekend, dan zijn de contact-c P

grootheden

R

en

R

onbekenden van het probleem. Deze bepalen we als voIgt. Bij de functies f1(v) en f

3(u) volgens (7.5) resp. (7.10) behoren volgens (6.49) de drukken P1(cv) en P3(~)' Door nu deze drukken voor v,u

=

I be-grensd te veronderstellen (wat gelijkwaardig

is

met integreerbaarheid van de spanning), vinden we twee vergelijkingen, die de contactparameters be-palen. Dit zal worden toegelicht bij de berekening van de benaderingen.

9. Eerste benadering

We benaderen f (v) door de reeks (7.5) af te breken. Doen we dat voor t

=

I

dan ontstaat de eerste benadering voor f1(v) die we aangeven met

f~l)(v):

(9. 1 ) Hierin is volgens (7.6), (7.2) en (7.4) (9.2) I (9.3) _fl,l(v) == h1(v) +

J

H1(v,t)fl,0(t)dt

°

2 c d ₊

_.!.2.

_{p OK}} 4 c 3

°

W,

== v{

'iE -

+ - ] - v

-

P Kv R c _Tr4 11' R zodat (9.4)

We vinden hieruit gebruikmakend van (6.49)

We eisen nu dat de druk

PI

(cv) voor v .. 1 begrensd blijft. Leggen we deze conditie op aan pil)(CV) dan volgt

(9.6) -4 p K(1 0 + -4 k) + -2 k[- -d -J .. c

° .

2 2 1T C R

1T 1T

Dit is een van de twee vergelijkingen waarover in paragraaf 8 gesproken werd. Met (9.6) gaat (9.5) over in

(9.7) Kp(I)(cv) .. -pOK +

~

-Rc

~

_vi.

I 1T

Met behulp van (6.49) is dan

Voeren we voor de coefficienten van

k~

in (7.5) ook bovenindices in: f(I)(v) dan levert (9.8) dat

I , ~

(9.9)

(9.10) f (1 ) (v) .. vVI - v'" [-p K + ;; -R I

r---t

0 4 c . VI -

r---z

v"'J •

1 , 1 n

De eerste benadering voor f

3(u) bepalen we door de reeks (7.10) af te

bre-ken bij ~ .. 2:

(9.11) f

3(1)(U) ..

k-~{f

3,0 (u) + kf 3,1 () u + k2f 3,2 ()} u • De coefficienten f

3,t(u) in

f~I)(u)

berekenen we echter niet m.b.v. f1,£(t) doch met

fi~~(t).

We geven daarom deze coefficienten ook een bovenindex. We vinden (9. 12) (9.13) (9.14) zodat ( 1) 2pOK

iI7

u f

3,0(u) .. d (u) ..

°

_1TU (1 - _U arctan _{I ;----:r} ) VI - u2 I

J

°

8 £ u 3 R 1T

(9.15)

~

- uz' u 8 c k 2 2 arctan ~ -

3 R

--2 u}

u

VI _

u2 1T Volgens (6.49) voIgt hieruit

(9.16)

We eisen dat de druk P3(~) veer u

=

I begrensd blijft. Deze eis opgelegd aan p(l)(~) levert

3 u

(9.17)

Dit is de tweede vergelijking, behorende bij (9.6), waarvan in paragraaf 8 sprake was. Met (9.17) luidt (9.16)

(9.18) KP3 ( I ) (~)

=

'7

2 OK [uVI -•

r-r

u'" - arctan u ] •

Q

Volgens (9.7) en (9.18) is nu de eerste benadering voor de druk bepaaId,

I e p .

a s we de centactparameters - en - U1t (9.6) en (9.17) bepaaid hebben. R R Volgens (9.17) is (9.19)

-

c _"" R 3 OK -1T~ 4 2 ' k

Gesubsti tueerd in (9.6) levert dat de volgende vergelijking veer k: (9.20) 2

~

k4 + _1;(pOK)2k2 + 3(pOK)2k -

~

1T2(pOK)2

=

0 •

'IT

De oplossing hiervan geeft de eerste benadering veor k: k(I).

Betrekking (9.19) bepaalt hiermee de eerste benadering voor ~ Met behuip van de relatie

(9.21) ~

"" 1

£

R k R

ligt de eerste benadering voor

i

(I)

T

vast.

c ( 1 )

10. Tweede benadering

We breken bij de tweede benadering de reeks (7.5) voor fl(v) af bij t = 2. (IO.I)

met fl,O(V) en fl,l(v) volgens (9.2) en (9.3) resp. De term f

l ,2(v) volgt uit (7.6), (7.2) en (7.4): (10.2) zoda. t (10.3) ) f),2(v) = h₂(v) +

f

H 1(v,t)f1,1(t)dt

°

2c d 8 d c + kV{;(a +

c)

+ ~ k(c -

3[)

TT 4c 3 0

.;---:r

- k - - v - p KvkVI - v'" • TT R Met betrekking (6.49): (10.4)

Begrensdheid va.n de druk P1(cv) en daarmee van p;2)(cv) voor v = 1 levert

(10.5)

o

~[..i.. + k

..!2.

+ k2(64 -

..i..)] -

~(~ + ~) + ~(~ +

.!.

k)

=

0 , k 2 4 6 2 R TT 3TT3 C TT 3 TT TT TT TT TT waarmee (10.4) overgaat in (10.6)

Met behulp van (6.49) volgt

(10.7) fl (2) (v) = [-p 0 K + (Zp 8 0 K + 1f 4

it)

c'~ VI-v"] kvV)-v ....

1/2:

Ook nu geven we de coefficienten f

1,t(v) in (7.5) bovenindices:

f~~~(V)

met volgens (10.7)

(10.8)

De tweede benadering voor f

3(u) bepalen we door de reeks (7.10) af te breken

bij t ::: 3.

(10.9)

Omdat we de coefficienten f3 t(u) berekenen met behulp van f(2)(t) volgens (7.10) geven we ze

boveninde~: f~~i(U).

We vinden 1,£

(10.10) (10.11) (10.12) (W.]3) zodat (10.14)

o

f(2)(u)

=

~(1 3,0 lTU

fj~i(u)

=

a

f (2) (u) ::: 2 u 3,2 IT 3 f(2)(u)

₌

_{o ,}

3,3

v{7

u --.;..--.;;;- arc tan ) u \ r--:j! VI - u" (~ pOK + ~ S)

.

2 IT R IT

Met (6.49) voIgt hieruit

(10.15) (2) 1 2 OK 2 k 2 3 8

a

4 c KP3 (e. u)

= -..;...--

;---r

{~ 'IT u - - -3 IT u ( -2 P K + - -)} lTR + Vl-u~ IT 2 0 u P K arc tan -'IT

va

We eisen weer dat

P3(~)

en daarmee dat

p~2)(~)

voor u '" 1 begrensd blijft:

(10.16)

Hiermee luidt (10.15)

(10.17)

Bij deze benadering berekenen we op dezelfde manier als bij de eerste bena-dering de contactparameters. Volgens (10.16) is

(10.18)

-

c _'"

R

Gesubstitueerd in (10.5) levert dat de volgende vergelijking voor k: (10.19)

+ k3

12(1~

- 1) +

k2(~

+ 24) + k.6 -

~ ~2

'" 0 .

~ ~

(2) (2)

Deze vergelijking levert k(2).

~

voIgt uit (10.18) en

~

voIgt met behulp van (9.21).

II. Discussie en resultaten

Voor de numerieke implementatie zijn we overgegaan op de volgende variabelent wat door de vorm van (9.20) en (10.19) gesuggereerd wordt:

~ 0

.lir

p=pKVCit

(11. I) c = -c

Dan luiden (9.20), (9.19) en (9.21):

(1 I .2) 2k4 +

.!l

p~2 + 3p 2k _

.2

1r2p2 = 0 ,

1r4 8

wat dus de vergelijking is voor k

=

k(I), en

(11.3) "'(I) 3 c = 4 "'(I) "'(1) c p = k(l) en (10.19), (10.18) en (9.21) gaan over in ( 11 .4) +

P

2k312(1! - 1) +

p2k2(4~

+ 24) + p2k 6 - ; tr2p2 = 0 , 1T 11'

wat de vergelijking is voor k

=

k(2) en "'(2) 11' '" c

= -

₄ P (11.5) "'(2) "'(2) c p =('2)' k

Merk op dat de benaderingen voor k : k(l) en k(2) voor dezelfde

p

niet aan elkaar gelijk zijn. Dit geldt ook voor de contactparameters c en p.

We weten dat 0 < k < I. Nu blijkt uit (11.2) dat k

=

1 voor

p2

= .29038 en

"'2 .

uit (11.4) dat k

=

1 voor p

=

.42285. Hoewel volgens onze physlsche

in-'"

tuitie k ~ I voor p ~ 00 is bovenstaande hiermee niet in tegenspraak. Immers

we breken de machtreeks in k voor de druk af en berekenen met de gevonden uitdrukkingen de contactparameters, welke benadering dus redelijk is voor k klein. Voor grote k hoeft de betreffende vergelijking voor k geen goede schatting te leveren.

In de volgende grafieken geven we

~ (i) ~ ~(i) ~

tussen p en k ,p en c , p en

voor 0 ~ p ~ .1 resp. de verbanden weer p(i), k(i) en ~(i), k(i) en p(i),

~(i) ~(i)

e en p ,zowel voor de eerste als voor de tweede benadering. We eon-stateren dat de verschillen tussen de benaderingen relatief klein zijn. Besehouwen we vervolgens de druk

P3

volgens (9.18) en (10.17) dan is

KPjl)(~)

qua vorm weliswaar gelijk aan

KP~2)(~)

maar de parameters daarin zijn verschillend. We schetsen ook de werkelijke druk aan het oppervlak behorende bij het probleem (1.3), (1.5) en (1.7). Deze druk is volgens par.2 en (6.38) gelijk aan pO + per). We doen dit voor de parameterwaarde

~

p

=

.J voor beide benaderingen. Voor deze grote parameterwaarde zijn de versehillen duidelijk te zien.

We eonstateren dat de correctie van de tweede op de eerste benadering klein is. We hebben hierbij ptussen 0 en .1 genomen. Veel praetischer zijn

~

waarden van p tussen 0 en .01. In dit geval zullen de afwijkingen van de tweede t.o.v. de eerste benadering erg klein zijn.

Dat p voor een practisch geval kleiner is dan .0] is als volgt in te zien. Voor staal 37 is 0\lt = 3.7 103

~gf/cm2enE

= 2.1106 kgf/cm 2 • Met/ = .25 vinden we dat ~

=

.84 106 kgf/cm en volgens (4.1) is K ~ 10-6 em /kgf. Nemen we verder

If :;::

I dan moet, wil

.5

k{i)

.4

.3

.2

.1

o

o

,,02

.04

.06

.08

-p

l=

1

i::

2

.10

c(i)

1.1

1.0

,9

.8

.7

.6

.5

.3

.2

.1

o

:::::::::::::=================== ::

~

o

.02

....

p

.10

.04

_.06

_.08

is

(i)

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

a

o

.02

.04

.06

.08

,..,

p

i::

2

i

=

1

.10

c(i}

1.1

1.0

.9

.8

.7

.6

.5

.4

.3

.2

.1

o

o

1

2

3

(i)

5

k

--(i)

P

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

o

•

o

.1

.2

.3

.4

-(0

P

11

10

9

8

7

6

5

3

2

1

a

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

. 1.12

c(L) .

"'"

a.

1.4

1.2

1.0

.8

.6

.4

.2

p

=.1

1

p

=

.1

---~--~--~-~--~--~~~~~~~~

--

---2

3

[.

5

Literatuurlijst

[IJ Alblas, prof. dr. J.B., Mech. Res. Corom.

!,

15-20, 1974.

[2J Alblas, prof. dr. J.B., On the Two-dimensional Contact Problem of a Rigid Cylinder, pressed between two Elastic Layers.

Nog te verschijnen.

[3J Sneddon, I.N., Mixed bo.undary value problems in potential theory, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1966.

[4J Watson, G.N., A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1958.

Appendix bij contactprobleem

We zullen de convergentie aantonen van de machtreeksen (7.5) en (7.10). Daartoe gaan we eerst de functie h(v) volgens (7.1) en (7.2) en H(v,t) volgens (7.3) en (7.4) nader onderzoeken. We zijn dan in staat de conver-gentie van fl(v) volgens (7.5) te bewijzen, en die van f

3(u) volgens (7.10) voIgt daar dan op eenvoudige wijze direct uit.

AI: Onderzoek van h(v)

De eerste drie termen in (7.1) behoeven geen nadere beschouwing. De vierde term is

(AI. 1 ) - P 2 0 Kv . VI -

,.----:z

k"'" == 2 P 0 Kv

7T 7T

Omdat (AI.2)

is de coefficient van k21 uniform in 1 begrensd. De vijfde term luidt:

(AI.3) Noemen we (AI. 4) dan is (AI. 5) 2 0

.r-T

- - p Kv VI - v- k arc tan IT f(k,v) == arctan

~

,

kv.7

f' (k,v)

=

-~

g(k,v) , O( 1)

waarbij we onder differentiatie, evenals in het vervolg differentia tie naar k zullen verstaan en

We schrijven g(k,v) als een ontwikkeling: (AI.7) g(k,v) = = Aangezien (AI.8) 00 00 (!)(-l )~2m

r

L

v2nk2n m m=O 00 i

I

I

i=O m=O = -2m m. I n=O (-!)(_J)mv2(i-m)k2~ m = 2t

~s de coefficient van keen polynoom in v van graad 2~ met aIle coeffi-cienten positief. We kunnen dit polynoom uniform in v afschatten door v

=

D h b d .. f . ." k2t f h D te nemen. aarmee e ben we an de coe f~c~ent van a gese at. eze coefficienten zijn op een factor na de afgeleiden van g(k,v) voor k

=

0

(g(~)(O,v».

We vinden

(A 1 .9)

g(2i)(0,V)

Om g(2£)(0,1) te berekenen nemen we in·g(k,v) zelf v = 1, zodat we met

00 g (k, I)

L

en i=O (AI.IO) g(k,l) =

~

g(n)(O,I) kn L

n!

n=O vinden (A 1 • I I )

Terugkerend naar

(AI. 12) f (k, v) _{f(O,v) +}

~

_L f(1) (O,v) k1 _£!

=

1=1

1T • ~ 00 . (9,-1) (0 ) t

= - -Vl - v'"

I

g

r

,v k

2 £=J t,

concluderen we dat in de machtreeksontwikkeling naar k van f(k,v)

(A I • 13) de coefficient van kO gelijk is aan

~

•• . . •• 2£ + 1 .

;----z

g ( 29,) (0, v) ( )

de coefhclent van k gelijk is aan -,vI - v"" (n + 1)

!

£?! 0 .. • ." 2 9 , + 2 . . .

de coefflclent van k gellJk lS aan 0 (Q, ~ 0) ,

waarin

(AI. 14)

I

_~

g(2£)(0,v)1 <

~

g25/,(0,1) ::;

'iJ7

(-3/2)(_1)£ (2£):

v (2R. + I)! - I -v (2R. + J)! 1'. (2£ +

0:

~ ~

_1

9,-~

(1 -+ (0) = 0(1) •

;;

Dus in de machtreeksontwikkeling naar cienten uniform begrensd.

Vi7

k van arc tan

-kVt7

zijn de

coeffi-In de integrand van de zesde term komt de volgende uitdrukking voor:

(AI. 15) P (k,

s)

= arctan

sVi7

r---z

VI -

s Differentieer naar k: p' (k,s) = -svi="7 q(k,s) met (A I • 16) q (k, s) ::: k(l-k) (l-sk) 2

-!

2 2 -1 (=kg(k,s»

.

d

s~

h k 'kk l'

We weten derhalve at arctan - - - een mac tree sontwl e lng naar k heeft

r--:J.'

me t a l s V 1:-s"

(AI.I7) : arc tan -"'""--s

.. . ," 2Hl

coefflclent van k 0 (t ;:: 0)

.. . . .. 2~ + 2 .I----;Z

coeffl.clent van k -sVI - 8 a

2hJ (8) (~ ;:: 0)

met

(AI. 18) _{= -}q(2t+l)(0 8) _(2t+2)!

~.;i

a(2t+l)(0 _(2t+2)! I) _{= (Q.} 3/2 _)(-1) t (2t+J)! _(2t+2)!

~-L

t-

i

(t

~

00) = 0(1) uniform in 8 en t.

;;

Beschouw de totale integraal van de zesde term

1 (AI.19)

f

o

1

=

f

o

arctan

sv;7] ds _

n

~

(!) ( I)m. 2m 2m

~

k 2n 2n 2nJ

~

J t SV;7}d L - K s L s v

1.

- -

arc an s m=O m n=O .. I " ? ' J 2 s 2 . r-?'J 2 sVl-s"" VI-s"" Terwille van de convergentie splitsen we dit in

(AI.20)

f

l{

_{- - - - 2'}

V;-kz'

I

arctan

S~-k2\

f

ds +

o

sV;-s2' s Vt-s2 J

.rz

./2'

L'

L'

(!)(-) _{)mk 2(m+n)v2n}

f

s2(m+n) { Vl-k"" -

~

arctan SVl-k .... } ds , m m

r--t

s I r-:y

o

sVl-s'" VI-s'" waarin een accent achter het sommatieteken betekent dat

De eerste integraal is elementair zodat we voor (AJ.20) vinden: (AI. 21) 'IT 2

Vt7 -

k arctan k +

vR

(I'

m n 1 \

12'

.

;---z

(

~)( _- l)m. 2 (m+n) 2n _{k v}

f

_S 2(m+n) {VI-k" _--2 1 _{arc an} t SVI-k'"}d _{S •}

m

,/'"'1

I r t

o

sVI-s" s

Vl-s-Deze uitdrukking gaan we ontwikkelen. Er geldt

met (Al.22) met (AI.23) Verder is

((

(!)(_I)mk2(m+n)v2n

J

1 s 2 (m+n) -.;...,;..;.-

VI -

k2' ds

=

s 0

m n (Al.24)

I'

m De coefficient (AI. 25)

o

L' L

(~)(_I)~2(m+n+~)v2n e)(-l)~ 1 m lJ n ~ van k 2t hierin is 1 (!)(_I)m(!)(_I)l.tv2n

J

m ~

o

2 (m+n) s

wat we afschatten met (AI.26) I 2 (m+n)

f

s

_s~

ds 0 ds ,

Als laatste onderdeel van (AI.21) beschouwen we (AI.27) I

f

o

s2(m+n)

s~

--~2- arc tan ds

=

s

\{"7

m n m n 1

f

o

2 (m+n) ..;;.s_-."._ arctan s ds k 2(m+n) + s2

~

1

<!)

(-1 )mv2n

I

s2(:+n)

~

a 2]..l+1 (s)ds k 2_{(m+n+J.l+l) •}

o

"ff' . ,. 2J1.

De coe ~c~ent van k (JI. > 0) hierin is

(AI.28) + wat we in (AI.29)

L'

( !)

(-1) m+ J v 2n

r

s 2J1. m+n=JI. m

2

arctan 0 s I 2 (m+n)

I'

(!)(_I )mv2n

I

s m+n+).l+ 1 =R, m s 0

absolute waarde afschatten met I

L

C + m+n=JI. 0 s ds +

va

~

_{a 2).l+1 (s)ds ,}

Resumerend kunnen we concluderen dat voor de coefficienten hJ/,(V) van de ont-wikkeling van h(v) naar machten van k geldt:

Er bestaat uniform in v en JI. een constante c

I zodanig dat voor J/, ~ 0: (AI.30)

A2: Onderzoek van H(v,t)

De uitdr.ukking voor H(v,t) volgens (7.3) laat zich als voIgt uitschrijven: (A2. 1 ) I

J

s s2(n+~+v)ds k2(m+n+~+v)+1 ,

o

~

zodat (A2.2) 1

f

a 2 (n+~+v) ads

o

dus (A2.3) 1 = I .~e2i+l VI - t-met (A2. 4)

A3: Convergentie van fl(v)

Volgens (7.6) luidt de berekening van fl(v) naar (7.5) als voIgt: f₁,O(v) = hO(v) (A3. I) £-1 [-2-_J

L

i=O 1

)

(t ;::: I) •

Door grove afschatting zullen we een ondergrens vinden voor de convergentie-straal van fl(v).

Ifl,O(v)1 = IhO(v)1

(A3.2) [Q,-I

J 1

2

If 1,Q,_(2i+I)(t)1

J

If1 Q,(v)1 :S _{IhR,(v)1 +}

L

_max

IH

2i +1(v,t)ldt

,

i=O tdO,lJ 0 Noemen we (A3.3) 1 == Jr dt 1T c 2 ==

'2 '

~

o

dan leveren de coefficienten

(A3.5)

een eerste majorant v~~r de coefficienten fl,Q,(v). Dit is met volledige inductie eenvoudig te verifieren.

Een nog grovere majorant ontstaat bij de volgende recurrente betrekking:

(A3.6) met (A3.7) R, YQ, .. dR, + C

z

L

YR.-ses s=1 1 Z e_s = 48 (s+I)(8+5) •

Dat dit een majorant is voor bR, is weer eenvoudig in te zien met volledige inductie.

De coefficienten YR, schatten we als voigt:

R.+I R,

(A3.8)

Yt +l = dH1 + C

z

L

Yt+1-ses

..

dR,+ 1 + c 2elyR, + c 2

L

ep+IYt-p

s=1 p=1 d Q, _e Q,+l d

L

...£!l.

== c 2e 1yR, +-- + C

_z

_{e epYJI,_p} dJl, JI, p==1 _P

Aangezien (A3.9) is (A3.10) zodat (A3.11) YR,+1 R, ~ 2.5yR, + 2.S{dR, + C 2

I

pat

Hiermee is aangetoond dat

(A3.12) zodat ook (A3.13) Derhalve is (A3.14) 00

L

YR,kR, < 00 voor

k

<

.2 ,

R,=O

L

taO b kt < 00 voor k < .2 . R, e y }

=

P

R,-p

uniform convergent in v E [O,IJ voor k < .2.

We hebben nu het volgende bewezen. Als ft,t(v) gegenereerd wordt door (A3.1) dan is (A3.14) uniform convergent in v E [O,IJ voor k < .2.

Verder vinden we dan, als we in

00

(A3.1S)

_L

n=1

de coefficient van knafschatten,dat deze reeks uniform convergeert. Dit betekent dat we in de integraalvergelijking

(A3.16)

1

f1(v)

=

h(v) +

I

H(v,t)f

1(t)dt

o

waarin we H(v,t)f1(t) door zijn reeksontwikkeling voorstellen (evenals f1(v) en h(v» integratie en sommatie mogen verwisselen.

We vinden door machten van k te vergelijken juist de recurrente betrekking

(A3.l).

Hiermee is het bewijs voltooid dat de oplossing van (A3.16) voor te stellen is door een convergente machtreeks naar machten van k in een omgeving van

k

=

O.

Eenvoudig is in te zien dat voor de oplossing f

3(u) van (6.50)1 volgens (7.10) een convergente ontwikkeling geldt uniform in u E [O,IJ.

Uitbreidingsmoselijkheden

We zullen een kort overzicht geven van de mogelijke uitbreidingen die naar aanleiding van [IJ, [2J en dit verslag voor de hand liggen.

Met 2D (2-climensionaal) bedoelen we dat de stempel oneidnig lang veronder-steld wordt en met rotatiesymmetrisch dat de stempel deze eigenschap heeft t.o.v. een as loodrecht op de halfruimten/lagen. Halfruimten/lagen betekent dat zowel het geval van twee halfruimten als dat van twee lagen die tegen elkaar gedrukt worden beschouwd kan worden.

i) Als eerste uitbreiding van dit verslag ligt het, zoals [2J een general i-satie van [)] is, voor de hand het rotatiesymmetrische probleem van twee lagen te beschouwen.

ii) Verder kunnen we onderzoeken het 2D geval van twee halfruimten/lagen waartussen een stempel eenparig beweegt, welke beweging aanleiding geeft tot wrijving in de contactgebieden tussen stempel en halfruimte/ laag.

iii) Een andere mogelijkheid is de 2D/rotatiesymmetrische situatie van twee halfruimten/lagen met een asymmetrische stempel er tussen.

iv) Als laatste noemen we het 2D geval, waarbij zich op gelijke afstanden tussen twee halfruimten/lagen oneindig veel stempels bevinden, welke periodieke situatie hieronder schetsmatig is weergegeven,