Hoofdstuk 8:
Verbanden onderzoeken
1.
a. boven: vermenigvuldigen met 17 2
3 53 en onder: vermenigvuldigen met 33,6
4,2 8. b. onder de 17 komt: 2
3
4,2 5 23,8 en boven de 33,6: 3 8 24
c. Als je de x met 0 vermenigvuldigt, moet je dat ook met y doen. Er komt dan ook 0 te staan.
d. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong: recht evenredig verband.
2.
a. Als de x k keer zo groot wordt, wordt de y k keer zo klein. b. y 1: x 12 en 4
5 15 :
x y
c. x y 12
d. Bij x0 hoort geen enkele waarde van y. e. y 12 12 1 12 x 1
x x
f. y k x1, dus het verband tussen y en x1 is recht evenredig.
3.
a.
b. c 4
c. I is recht evenredig met r3. De
evenredigheidsconstante is 1 3 1 .
4.
a. I 33 27
b. De inhoud is rechtevenredig met a3; de evenredigheidsconstante is 1 c. A 6 52 150
d. De oppervlakte is rechtevenredig met a2; de evenredigheidsconstante is 6
5.
a. I 52 h 25h; I is rechtevenredig met h en evenredigheidsconstante 25 .
b. 1 2 1 2
2 2
( ) 10 2
I d d ; I is rechtevenredig met d2 en evenredigheidsconstante 1 2 2 . c. 1 2 1 3 2 2 ( ) 2
I d d d ; I is rechtevenredig met d3 en evenredigheidsconstante 1 2 . 6. a. 2 3 V t V 2 en t 9 b. V t 150 V 50 en t 25 c. 1 2 2 V t V 8 en t 8 7. a. B: 4 3 3 2 3 4 1 4 3 3 y x x x x C: y x4 2x4 ( 2)x4 D: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 y x x x b. A: -2 en 3 2 B: -3 en 4 3 C: 4 en 2 D: 312 en -1 r 0 1 2 3 4 r2 0 1 4 9 16 r3 0 1 8 27 64 A 0 4 16 36 64 I 0 1 3 1 2 3 10 36 1 3 85
8. a. k: 1 3 2 y x l: y 2x1 m: 2 5 y x n: y x 2 b. lijn m, die gaat door de oorsprong.
c. Die gaan niet door de oorsprong.
9.
a.
b. De grafiek wordt een rechte lijn door (0, 0), (2, 1) en (4, 2). c. Een rechte lijn door de oorsprong.
y is wortelevenredig met x
10.
a. x0,3
b./c. De richtingscoëfficiënt van de lijn is 8.
11.
a. x
b.
c. De grafiek is een rechte lijn: y2 4 x
12. a. b. x3 c. 3 1 4 x y 1 1 1 3 3 3 1 1 3 4 ( )4 0,63 x y y y d. y31 13. 1. 4 1 16 x y 2. 1 1 6 x y 3. x 2y 1 41 41 16 ( ) 0,5 x y y 1 1 1 6 ( ) 6 x y y x (2 )y 2 4 y2 14. a. 2 2 2 2 4000 (0,1 0,5 ) 0,1 0,05 0,1 I d h d h d h b. evenredigheidsconstante 4000h
c. De lijn gaat bijvoorbeeld door (250, 4): I 0,016d2 d. 4 4000h 250 16h
64 20,4
h
15.
a. N1: 100% toename N2: 50% afname
b. 2t kan nooit 0 worden.
c. Dat wordt dezelfde grafiek als die van N1.
d. N2 is een dalende functie omdat de groeifactor kleiner is dan 1. Bij de grafiek van N2
staat er langs de horizontale as 0,5t en dat wordt steeds kleiner.
x 0 1 4 9 16 25 x 0 1 2 3 4 5 y 0 1 2 1 121 2 221 x 0 1 2 3 4 y 0 2 2 2 2 3 4 y2 0 4 8 12 16 x y 1 2 -1 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8
16.
a. log(40 000) 4,6 en log(2) 0,3
b. log(N2) log(40 000 0,5 ) log(40 000) log(0,5 ) log(40 000) t t t log(0,5) 4,6 0,30t
c. Ja, want nu stijgt de grafiek van N1 en daalt de grafiek van N2.
d. De grafieken gaan door de oorsprong.
17. y 10log( )y 101x 10 101 x 10 10 x 18.
a. A: log( )y 0,5x3 B: log( )y x 0,5 b. A: y 100,5x3 10 (103 0,5)x 1000 0,316 x
B: y 10x0,5 100,510x 0,316 10 x
19. log( ) log(6,3 0,1 ) log(6,3)y x x log(0,1) 0,80 x
5 5
log( ) (6,3 10y 1584,9 ) log(6,3 10 )x x log(1584,9) 4,2 3,2 x
20.
a. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn, dus het verband lijkt inderdaad exponentieel. b. 1 16 log( )P h3 1 1 16 3 3 16 10 h 10 (10 )h 1000 0,866h P 21. a. b. De verticale as is nu logaritmisch. 22. 2 15 log( )y x2 1 5 log( )y x1 2 2 15 2 15 10 x 100 (10 )x 100 0,74x y 1 1 5 1 5 10 x 0,1 (10 )x 0,1 1,58x y 23.
a. N1: toenemende stijging N2: afnemende stijging N3: afnemende daling
b. Dat worden drie dezelfde lijnen rechte lijnen door de oorsprong met helling 100. c. Je kunt t 0 niet invullen in de formule voor N3.
d. Er is geen verschil meer te zien tussen de grafieken.
24.
a. log( ) log(100N1 t1,5) log(100) log( t1,5) 2 1,5 log( ) t
b. 0,5 0,5
2
log(N ) log(100 t ) log(100) log( t ) 2 0,5 log( ) t
0,5 0,5
3
log(N ) log(100 t ) log(100) log( t ) 2 0,5 log( ) t
c. Ze gaan alle drie door (0, 2). De lijn van N2 heeft helling 0,5 en die van N3 heeft
helling -0,5 d. log( ) 0t en log( ) 2N 0 10 1 t en N 102 100 log(y ) -1 0 1 2 3 4 5 y 0,1 1 10 100 1000 10000 100000
25. a. y 101 2 log( ) x 10 (101 log(x) 2) 10x2 b. l: 2 3 log( )y log( )x m: 1 2 log( )y log( ) 3x 2 2 3 3 log( ) (10 x ) y x 1 1 1 2log( ) 3 3 log( ) 2 2 10 x 10 (10 x ) 1000 y x c. 4 5 log( )x en 3 5 log( ) 2y 4 5 10 6,3 x en y 10235 398,1
26. Zet langs de horizontale as log(t) en langs de verticale as log(N) Teken de lijn: y 2x4 27. a. m: 1 2 log( ) 1 log( ) 1y x 1 1 1 2 2 2 1 log( ) 1 1 log( ) 1 1 10 x 10 (10 x ) 0,1 y x n: 1 1 4 2 log( )y log( ) 3x 1 1 1 1 1 4log( ) 32 32 log( ) 4 4 10 x 10 (10 x ) 3162 y x
b. log( ) log(4y x0,7) log(4) log( x0,7) 0,6 0,7 log( ) x 2,5
2,5 316
log( ) log(y x ) log(316) log( x ) 2,5 2,5 log( ) x
c. -28. a. (1, 1) b. 103 c 1p c c. 104 10 103 p 103p 1 p d. 1 2 0 (10 , 10 ) e. 1 2 10 c 1p c 2,5 0,5 3 3 0,5 10 10 (10 ) 10 1 p p p 0,5 10 y x 29.
a. De grafiek van V gaat door (1, 10 )4 , dus c 104 b. De helling van de lijn is 1
3 p c. W: y 10112 x112 d. 5 5 5 1,5 1,5 10 10 10 10 y x x x
De grafiek wordt een rechte lijn door (1, 10 )5 en heeft een helling van -1,5.
30.
a. de horizontale as is lineair en de verticale as is logaritmisch b. De grafiek gaat door de punten (0, 0.2), (1, 1) en (2, 5) c. Het verband tussen y en x is exponentieel
31.
a. De grafiek gaat door de punten (0.1, 3), (1, 0.3) en (10, 0.03) b. Het verband tussen y en x is een machtsverband.
c. y 0,3xp 1 0,03 0,3 0,03 0,3 10 10 0,1 10 1 p p p 1 0,3 y x 32.
a. De waarnemingen liggen op enkellogaritmisch papier op een rechte lijn. b. 2,51 b g 0,03 en 5979 b g 37,6 1 37,57 0,03 37,6 37,6 0,03 37,57 5979 2,51 0,03 2,51 5979 2,51 5979 2382 2382 1,23 2,51 1,23 b g g g g g g b b 33.
a. De punten liggen op dubbellogaritmisch papier op een rechte lijn, dus een machtsverband. b. 0,0015 c 0,016p en 1325 c 4875p 4875 0,016 4875 1325 0,016 0,0015 1325 0,0015 0,0015 1325 0,016 4875 0,0015 4875 1325 0,016 ( ) log( ) 1,084 p p p p p c p 1,084 0,0015 0,0113 0,0015 0,016 0,0113 0,133 c c c 34.
a. De punten liggen op enkellogaritmisch papier op een rechte lijn, dus het verband is exponentieel. b. 10 b g 0 b 1 88 88 88 52,4 10 5,24 5,24 1,019 g g g 10 1,019t A c. 2011: A10 1,019 11180,786 miljoen De afwijking is 83,2 80,78680,786 100 3%
35.
1. g5 0,03980,1826 0,218
0,0163
5 0,0398 0,410
g
De groeifactoren zijn niet gelijk, dus is het een machtsverband. 0,1826 c 5n en 0,0053 c 25n 0,1826 0,0053 5 25 0,0053 25 0,1826 5 5 5 0,029 log(0,029) 2,2 n n n n n c n 2,2 2,2 0,1826 5 0,029 6,3 6,3 c c c V t 2. 17,118 0,6 3,5598 4,809 g 82,317 0,6 17,118 4,809 g 395,84 0,6 82,317 4,809 g 1903,5 0,6 395,84 4,809
g de groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus een exponentieel verband. 1,1 3,5598 b g en 1903,5 b g 3,5 1,1 3,5 3,5 1,1 1 2,4 3,5598 1903,5 2,4 1903,5 3,5598 535 535 13,7 g g g g b g g 1,1 3,5598 17,8 3,5598 13,7 17,8 0,2 0,2 13,7p b b b Q 36. a. 3 kubus I a 1 2 1 3 3 3 piramide I a a a 1 1 2 1 3 3 (2 ) 12 kegel I a a a
b. De evenredigheidsconstanten zijn resp. 1, 1
3 en 121 .
c. Dat worden drie rechte lijnen door de oorsprong met helling 1, 1
3 en 121 . 37. a. b. c. log( ) 4,127 0,046A t d. A104,127 0,046 t 104,127(100,046)t 13400 0,90 t e. 13400 0,90 t 5000 0,90 0,90 0,373 log(0,373) 9,36 t t
Na bijna 9,5 jaar zal het aantal veldmuizen lager zijn dan 5000.
38.
a. log(100) 2 : log( ) 7y en dan is y 107 10 000 000
b. 1
100
log( ) 2: log( )x 1 en dan is x1010,1 c. d. log( ) 1 3 log( )y x e. y 101 3 log( ) x 10 (101 log( ) 3x ) 10x3 f. y is rechtevenredig met x3. Evenredigheidsconstante is 10. t 0 1 2 3 4 A 13400 12060 10850 9770 8790 log(A ) 4,127 4,081 4,035 3,990 3,944 x 10-2 1 102 1000 log(x ) -2 0 2 3 log(y ) -5 1 7 10
39.
a./b.
c. De punten op dubbellogaritmisch papier lijjken meer op een rechte lijn te liggen. Tussen d en v bestaat een machtsverband.
d. 34 c 2n en 10 c 300n 34 10 2 300 300 10 34 2 150 10 34 150 log( ) 0,244 n n n n n n 0,244 0,244 34 2 0,84 40,3 40,3 c c c v d e. 40,3d0,244 19 1 0,244 0,244 0,47 0,47 22 d d
De dichtheid is dan ongeveer 22 vliegjes per cm2.
40.
a. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn; er bestaat een machtsverband tussen A en t. b. 58 c 87,97n en 4500 c 60195n 0,67 60195 4500 87,97 58 684 58 (87,97) ( ) log(77,6) 0,67 2,9 n n c 0,67 2,9 A t met t de omlooptijd in dagen en A afstand tot de zon in miljoenen km. c. AVenus 2,9 224,7 0,67 109 miljoen km. d. 2900 2,9 t 0,67 1 0,67 0,67 1000 1000 30034 t t 41. a. 422 c 1,76n en 1882 c 16,69n 0,66 16,69 1882 1,76 422 9,48 422 1,76 ( ) log(4,46) 0,66 291 n n c 0,66 291 A t b. 291t0,66 11094 1 0,66 0,66 38 38 249 dagen t t d 2 4 10 20 40 80 200 300 log(d ) 0,30 0,60 1 1,30 1,60 1,90 2,30 2,48 v 34 31 25 21 17 14 11 10 log(v 1,23 1,15 1,04 1
T-1.
a. Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met hoogte 3 3 1 2 ( 6 3 3) 6 54 3 prisma I b. 1 1 1 3 1 3 2 2 4 4 ( 3) 3 3 prisma I a a a a a c. 1 1 1 2 2 2 2 ( 5 2 3) 3 5 5 12 3 75 Opp d. 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( 3) 3 3 3 ( 3 3) Opp a a a a a a a T-2. a. b. x2 c. 1 4 d. 1 2 4 y x 2 4 4 4 2 x y x y y y x is evenredig met y . e. 1 2 y x: de richtingscoëfficiënt is 1 2. T-3. a. A: 3 1 4 2 log( ) 1y x B: 3 1 4 2 log( )y x1 3 3 1 1 2 14 2 14 10 x 10 (10 )x 3,16 56,23x y 1 3 1 3 2 4 2 4 1 1 10 x 10 (10 )x 0,032 0,178x y
b. log( ) log(1000 10 ) log(1000) log(10 ) 3y x x x T-4. a. A: 3 1 4 2 log( ) 1 log( )y x B: 3 1 4 2 log( )y log( ) 1x 3 3 3 1 1 2 1 log( )4 2 log( ) 14 14 10 x 10 (10 x ) 3,16 y x 1 3 1 3 3 2 4 2 4 4 1 1 10 x 10 0,032 y x x
b. log( ) log(40y x1,5) log(40) log( x1,5) 1,6 1,5log( ) x
T-5.
a. 16,7
6,8 2,46 34,516,7 2,07 niet constant, dus niet exponentieel.
Op dubbellogaritmisch papier liggen de
punten op een rechte lijn. Er is dus sprake van een machtsverband. b. 6,8 c 1200n en 174 c 2700n 4 2700 174 1200 6,8 2,25 12 6,8 1200 ( ) log(25,59) 4 3,28 10 n n c 12 4 3,28 10 E T T-6.
a. Het verband tussen log(y) en x is lineair. b. Het verband tussen x en y is exponentieel.
x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1
c. log( )y 2x32 d. 1 1 1 1 2 32 32 2 10 x 10 (10 )x 3162 0,316x y T-7. a. a 437,5 362,53,5 2,9 125 362,5 2,9 125 0
b ; de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. b. zie a: V 125Gp c. 31,0p 2,9 38,5p 3,10 47,1p 3,30 31,0log(2,9) 0,31 p p 38,5log(3,10) 0,31 p 47,1log(3,30) 0,31 d. 450 180 G 0,25 0,25 4 2,5 2,5 39,1 G G
