2 september 2021 Hoofdstuk 2
Functies en grafieken
V-1. a.
b. startgetal is 4 en de richtingscoëfficiënt -3 c. startgetal van B is 0.
d. De tabel bij formule B is een verhoudingstabel.
e. Omdat de grafiek een rechte lijn is door de oorsprong. Als de x twee keer zo groot wordt, wordt de y ook twee keer zo groot.
V-2. a. R(10) 0,75 en R(20) 3 b. v 50 :R18,75meter c. 0,0075v2 75 2 10000 100 v v
d. R(60) 27 : ja dat punt ligt op de grafiek. V-3.
a.
b. De grafiek van een kwadratische functie is een parabool
c. 10 16 1 4 0 12 a 1 2 ( ) 1 16 P t t V-4. a.
b. Dan wordt de noemer 0 en je mag niet delen door 0. c. f(0,0001) 50001 en f( 0,0001) 49999
d. De y waarden zijn heel groot positief of negatief als x in de buurt van de 0 is.
e. Voor steeds groter wordende waarden van x nadert de y waarde naar 1.
f. V-5.
a. a 2 0 2
a Je kunt de wortel niet nemen uit een negatief getal.
b. Voor a 2 kun je wel functiewaarden berekenen en de uitkomsten zijn groter of gelijk aan 0.
V-6.
a. De blauwe grafiek hoort bij f x( )x3.
b. De grafiek van g(x) is symmetrisch in de y-as: g x( ) ( x)4 ( 1)4x4 x4 g x( )
c. -x -2 -1 0 1 2 3 y 16 10 8 10 16 26 x -10 -5 -1 0 1 5 10 y 0,5 0 -4 - 6 2 1,5 Ax-10123y741-2-5 Bx-10123y-30369 x y 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10
V-7. a./b. A: 12 1 24 2 126 21 63 12 exponentieel verband ( ) 24 ( )21 x f x B: 9 4 5 14 9 5 19 14 5 lineair verband g x( ) 5 x4
C: 1 6 6 2 3 6 3 2 6 4 1,5 6 omgekeerd evenredig verband 6 ( ) p x x D: 0,753 4 123 4 4812 4 exponentieel verband q x( ) 0,75 4 x
V-8. - lineair verband: de grafiek is een rechte lijn, dus grafiek 3.
- Exponentieel verband: de grafiek heeft alleen een horizontale asymptoot en stijgt heel snel: grafiek 2.
- omgekeerd evenredig verband: de grafiek heeft een horizontale en verticale asymptoot: grafiek 1.
- een kwadratisch verband: de grafiek is een parabool, dus grafiek 4.
1. a.
b. R(4, 2)
c. De functie bestaat voor x 4 0, want je mag de wortel niet trekken uit een negatief getal. Dus voor x4 bestaat de functie.
d. Uit de wortel komt altijd een positief getal (of 0). De functiewaarden zijn dus altijd groter of gelijk aan 2.
2.
a. Je mag voor x alle waarden invullen. b. x22x 8 0 ( 4)( 2) 0 4 2 (4, 0) ( 2, 0) x x x x en
c. De x-coördinaat van de top ligt precies tussen de nulpunten, dus bij x 1. T(1, -9) d. De grafiek van g is een dalparabool. Het bereik is:
9 ,x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1
2 september 2021 3. a. R 1 2 ( 1 , 3) b. domein: 1 2 1 , c. bereik: , 3
4. 5. a. 4x14 0 1 2 4 14 3 x x b. 4x14 0 voor 1 2 3 x c. domein: 1 2 3 , en bereik:
3 ,d. De coördinaten van het randpunt zijn de grenzen van het domein en bereik. 6.
a. f(0,3) 1 3 0,3 1 1 0,1 en dat kan niet. b. nee c. 3x 1 0 e. 37 6 x0 1 3 3x 1 x R( , 1)31 1 6 6 37 6 x x d. domein: 1 3, en bereik:
1, domein: 1 6 , 6 en bereik:
3 , 7.a. Je kunt voor alle waarden van x een functiewaarde berekenen. b. x24x0 ( 4) 0 0 4 x x x x
Snijpunten met de x-as: (0, 0) en (-4, 0)
c. De top ligt bij x 2: T(-2, 4) d. bereik: , 4
8. a. 15 4 x 0 3 4 4 15 3 x x b. domein: 3 4 , 3 c. y 2 d. bereik:
2 , 9. a. 4 7 x 0 b. 8t45 0 c. 4u 1 0
4 7 4 7 7 4 : , : , 5 f f x x D B
5 8 5 8 8 45 5 : 5 , : 18 , g g t t D B
1 4 1 4 4 1 : , : 12 , K K u u D B ongelijkheid 2 x 6 x 9 x0 2 x 1 getallenlijn interval
2 , 6 9 , , 0 2 , 1
d. A is een lineaire formule (grafiek een rechte lijn): DA :¡ en BA:¡
e. h is een derdegraads functie: Dh:¡ en Bh:¡
f. 2 1 2 1
4 8
( ) (2 3)( 1) 2 3 2( ) 3
f x x x x x x . De grafiek van f is een
dalparabool met top 1 1
4 8 ( , 3 ): Df :¡ en 1 8 : 3 , f B 10. a.
b. Dan wordt x 3 0 en je mag niet delen door 0.
c. Voor x-waarden dicht bij 3 wordt de noemer bijna 0. De breuk wordt dan heel erg groot (positief of negatief).
d. Als x steeds groter wordt, wordt de noemer ook steeds groter: de breuk wordt dan heel klein (bijna 0).
e. 6 13 ( 10) f en 6 103 ( 100) f f. 6 3 1000 x 6 1000 6 1000 3 3 2,994 x x
Voor x 2.994 , 3 zijn de functiewaarden kleiner dan -1000. 11. a. b. 7 2 x0 1 2 2 7 3 x x
c. Dan wordt de noemer heel erg klein en worden de functiewaarden heel erg groot (positief of negatief). d. Voor grote waarden van x wordt 7 2x1 vrijwel gelijk
aan 0 en komt de functiewaarde steeds dichter bij 1 te liggen. e. f. 1 2 3 x g. bereik: ,1 1, 12.
a./b. De asymptoten zijn: x0 en y 0. c. Als a positief is ligt de grafiek in het
eerste en derde kwadrant. d. g(2) 2a 3 6 a x 0 1 2 2,9 3 3,1 10 100 f(x) -2 -3 -6 -60 - 60 6 7 976 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 g(x) 1 11 1 1 9 1 1 7 1 1 5 1 1 3 1 2 0 2 3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 a=2 a=-2
2 september 2021 13.
a.
b. Voor grote waarden van x wordt 1 2
( )x bijna gelijk aan 0. De functiewaarden komen
dan steeds dichter in de buurt van -1.
c. De grafiek van p heeft geen verticale asymptoot. d. domein: ¡ en bereik: 1,
14. a. b.
c. Voor grote waarden van t wordt 0,75t bijna gelijk
aan 0. De temperatuur nadert de waarde 20. Horizontale asymptoot: T 20
d. De temperatuur van het pak melk zal de omgevingstemperatuur naderen.
e. In de koelkast: T 20 16 0,75 0 4oC en
daarbuiten: 20oC.
15.
a. 3 uur en 20 minuten: 200 belminuten. 5 200
(200) 0,09 0,115
G
b. De totale kosten zijn dan 0,115 200 € 23,
c. x wordt steeds groter, 5
x wordt dan steeds kleiner (nadert 0). De gemiddelde prijs per belminuut nadert €0,09
d. horizontale asymptoot: G0,09
e. Als je niet belt is er ook geen gemiddelde prijs per belminuut. 16.
a./b.
c. Er zijn twee snijpunten. 17.
a. De coëfficiënt voor x2 is groter dan 0, dus de grafiek
is een dalparabool.
b. Nu is de coëfficiënt voor x2 kleiner dan 0, dus een
bergparabool. c. Klopt. 18. a./b. c. De grafieken van s t( ) 1,5 t en 2 ( ) 6
s t t t hebben twee snijpunten.
x 0 1 2 3 4 10 100 p(x) 3 1 0 1 2 3 4 -0,999 -1 t 0 1 2 3 4 8 10 15 T 4 8 11 13,25 14,94 18,40 19,10 19,79 t (in uren) T (in graden) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4
19.
a. Chris: y110 / 2 x 5 x en dat wordt een rechte lijn.
b. K(a) is een gebroken functie. De grafiek is een hyperbool. c. Je moet 10 delen door 2 a .
d. y2 35 / (4a10)
20. y110 / (4x15) en y2 10 / (4 ) 15x
21.
a. De grafiek heeft één snijpunt met de x-as. b. Voor x 2 is x 2 0 en je kan geen wortel
trekken uit een negatief getal. c.
d. De formule geeft uitkomsten voor x 5. e. 2x18 0 2 18 9 x x 22.
a. De x-coördinaat van de top ligt tussen x0 en x1. b. 2nd window (TBLSET): TblStart = 0 en VTbl 0,1
De parabool is symmetrisch in de verticale lijn door de top. De x-coördinaat van de top is dus 0,35.
c. Top (0.35, -1.225) d.
-23.
a. Om een grafiek goed in beeld te krijgen kun je in het
window de x-waarden instellen. Vervolgens ga je naar
zoom optie 0 (ZoomFit). En dan kun je eventueel de
y-waarden in het window bijstellen. b./c. d. e. f. 1 1 2 4 (3 ,11 ) T 24. x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -19 -9 -1 5 9 11 11 9 5 x 7 8 110 120 f(x) -1 -9 -19 -31 x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 1 2 3 4 -1 2 y x 5 y x 2 18 y x x y 1 2 -1 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 5 10 15 20 -5 -10 -15
2 september 2021 25. a. zie grafiek b. 2x100 0 2 100 50 x x R(-50, 0) c. 55 x 5 en 0 y 15 26. a. In de derde plot.
b. Die bovenste y-waarden heb je dus niet nodig, De Ymax moet dus lager worden. Bijvoorbeeld: Xmin 1,5 Xmax 1,5 en Ymin 15 Ymax 5
27.
a. Hoogte en tijd zullen altijd positief gekozen worden. b. 0 t 3 en 1 2 0 h 11 c. 28. a. 0 x 25 en 0 y 1000 b. 0 x 30 en 0 y 2000
29. Na het invoeren van de functie en de x-waarden in het window kun je met zoom optie
0 (zoomfit) de grafiek laten tekenen. De rekenmachine stelt dan zelf de y-waarden in,
zodat de grafiek voor die x-waarden goed zichtbaar is. Daarna kun je in het window zelf de x- en y-waarden aanpassen.
a. 15 x 15 en 150 y 20 d. 190 x 300 en 40 y 20
b. 5 x 5 en 2 y 15 e. 2 x 50 en 0 y 350
c. 10 x 5 en 10 y 15 f. 30 x 10 en 400 y 600
30.
a. 0 y 50
b. Voor grote waarden van x gaat 0,9x naar 0. De
uitkomst van de formule nadert 17. c.
31.
a. De grafiek heeft drie snijpunten met de x-as.
b. 2nd trace (calc) optie 2 (zero): x 1,42 x 0,51 x 1,14 (De linker- en
rechtergrens kan ook ingetoetst worden in plaats van met de cursor de grafiek af te lopen.)
c. 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): x 0,88. T(-0,88; 3,61)
2nd trace (calc) optie 3 (minimum): x0,88. T(0,88; -0,61)
32. a. Voer in: 1 4 1 4 5 1 y x x b. zero: x0,20 x2,08 c. maximum: (1,36; 4,09) x y 5 10 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 t (in seconden) h (in meter) 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 x y 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -5 x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10
33.
a. Ze moet in het window Xmax en Ymax groter kiezen.
b. Voer in: y15x230x en y2 5x40 intersect: (-1, 35) en (8, 80)
34.
a. xMin 10, xMax 10, yMin 10 en yMax20
b. Voer in: y1 x26x en y2 3 x 7
intersect: x 7,52 x 1,04
35.
a. Nulpunten: x 5,32 x 1,32 Top: (-2, -11)
b. Nulpunten: x 0,5 x0 x 0,5 Toppen: (-0.29, 9.62) en (0.29, -9.62) c. Nulpunt: x12,61. Een exponentiële functie heeft geen toppen.
d. Nulpunten: x 14,76 x 20,06 Top: (2.65, 13.42) 36. a. y113 1,08 x en y2 25 b. intersect: x 8,50 c. Voor x8,50 geldt 13 1,08 x 25. 37. a. x3,46 b. n0,41 c. 1,61 x 22,39 d. t 8,70 38. a. 2b10 25 b. 3p 5 13 7 p c. 23,2a17 86 6,8 a 1 2 2 15 7 b b 4 28 p p 30 2,369 a a d. 1,5(6q8) 22 (4 q5,6) e. 110m120m5(20 6 ) m 9 12 22 4 5,6 13 15,6 1,2 q q q q 1 2 110 120 100 30 40 100 2 m m m m m f. 45x6(x3) 20 x18 45 6 18 20 18 31 0 0 x x x x x 39. a. 6a 3 7 b. p83 4 c. 10 3 m 3 d. 450x110 2 3 6 3 49 6 52 8 a a a 8 4 3 2 5 p p 1 3 10 3 9 3 1 m m m 50 10 4 1 5 4 4 1 x x x 40.
a. Voer in: y125 65 0,8 x en y2 50 intersect: x 4,28
b. Voer in: y2 30 intersect: x11,49
2 september 2021 41. a. 9x 1 0 b. 13x 7 6x1 c. 3x2 15 1 9 9 1 0,11 x x 1 7 7 8 1 1,14 x x 2 5 5 5 2,24 x x x d. 0,5n2 9 17 2 2 0,5 26 52 52 52 7,21 n n n n 42. a. 0,005v20,33v 10 Voer in: 2 1 0,005 0,33 y x x en y2 10 intersect: x 22,6 km/u b. 0,005v20,33v 80
Voer in: y2 80 intersect: x97,7
Voor snelheden tot 97,7 km/u is de stopafstand kleiner dan 80 meter. 43. a./b. 5a 3 2(4a6) 5 8p 1 7 90 7a2 10 1 3 5 3 8 12 5 3 10 3 a a a a 8 1 49 8 48 6 p p p 90 10 7 2 9 7 7 1 a a a Voer in: 1 500 1,7 x y en y2 1270 intersect: x 1,76
Voer in: y1 8x1 en y2 10x intersect: x 4,15
Voer in: 1 90 7 2 y x en y2 4x1 intersect: x 1,83 x1,79 44. a. t 0 :N 1500 850 0,89 0 1500 850 650 vliegjes. b. 1500 850 0,89 t 1000 Voer in: y11500 850 0,89 x en 2 1000 y intersect: x 4,55
Op de 5e dag is er voor ’t eerst meer dan 1000 vliegjes.
c. Op tijdstip t 12,4 zijn er 1300 vliegjes en op tijdstip t 18,4 zijn er 1400 vliegjes. Dat duurt dus 6 dagen.
d. Voor grote waarden van t wordt 0,89t bijna gelijk aan 0. Het aantal vliegjes nadert
dan de 1500. Horizontale asymptoot: N 1500
45. a. 7x 6 3x10 b. 18x35 35 2 x c. 6x12 12 4 16 4 x x 1 2 20 70 3 x x 66 12 144156 x x
d. 50(2a4) 600 (200 a50) e. 250 0,16 t 300 0,12 t f. 120 4a6 4 1 2 100 200 600 200 50 300 450 1 a a a a 0,04 50 1250 t t 120 4 4 6 30 4 36 9 a a a 46.
a. f(x) is een kwadratische functie. De grafiek is een bergparabool, vanwege x2, dus
grafiek C. g(x) is een gebroken functie. De grafiek van g is dus een hyperbool: B. De functie h is een wortelfunctie. De grafiek van een wortelfunctie heeft een
randpunt; grafiek D. En m(x) is een exponentiële functie. De bijbehorende grafiek is dus A.
b. Verticale asymptoot: x4 en horizontale asymptoot: 1 2 y c. Df :¡ en Bf : ,10
Dh: , 5
en Bh: 0 ,
: , 4 4 , g D en 1 1 2 2 : , , g B Dm:¡ en Bm: 0 , 47.a. Xmin 5, Xmax 5, Ymin 10, en Ymax 10
b. 3x28x 1 x22x1 2 1 2 4 6 2 (2 3) 0 0 1 x x x x x x c. f x( )g x( ) voor 1 2 0 , 1 x 48.
a. Je moet delen door t282. Dat moet dus allemaal in de noemer.
b. Voer in: 1 2 75 82 x y x maximum: y 4,1mg/liter c. Voer in: y2 1 intersect: x1,11
Na ruim 1 dag is de concentratie voor ’t eerst groter dan 1 mg/liter. d. Tweede snijpunt: x73,9
Na 74 dagen is er geen gevaar meer. 49.
a. Voer in: y10,02x35 en y2 500 0,01 x intersect: x 15500
b. 0,02x35 500 0,01 x 0,03 465 15500 x x
c. Vergelijking 2 en 3 kun je niet algebraïsch oplossen. d. Voer in: y1x32x2 en y2 15 intersect: x 1,95
Voer in: y123 3 1,5 x en y2 50 intersect: x 5,42
2 3 4 x x 2 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 x x x x x x
2 september 2021 50. a. 6000 2,7 s 4,5s 1 3 1,8 6000 3333 s s
Bij 3333 paar slippers is de opbrengst ongeveer even hoog als de kosten. b. TK 6000 2,7 3000 14100 3000 14100 € 4,70 TO p p c. s 10400 1200 6,4 2720 2720 6,4 (6000 2,7 2720) € 4064, W d. Voer in: 2 1 34080 13640 1200 y x x maximum: x 5,68 en y 4680
Bij een prijs van €5,68 is de winst maximaal €4680,32 51.
a. Vul d 0,1 en h1,5 in: v 18,3 m/s
b. v 10 3 3h
h
. Als h heel klein (bijna 0) wordt, dan moet v heel groot zijn wil het muurtje omgeblazen worden. Een lage muur is steviger dan een hoge muur. c. Als de hoogte van de muur groter wordt, dan is er een lagere windsnelheid nodig
om die omver te blazen.
1, 0,1: 24,5 h d v m/s h2,d 0,1:v 15 m/s d. 90 km/uur 90000 3600 25 m/s: 100 3 3 1,9 25 1,9 8,7 0,475 0,16 d d d
Dus die muur was minstens 16 cm dik.
e. 1,9 : 100 8,7 155,24
1,9 d
T-1.
a. Df :¡ en Bf : , 5
c. Dh:¡ en Bh :¡b. Dg : , 8
en Bg : 2 ,
d. Dk : , 3 3 , en Bk : , 2 2 ,T-2.
a. Verticale asymptoot: x3 en horizontale asymptoot: y 2
b. p185
c. x2 3 0 voor alle waarden van x. Dus er zijn geen verticale asymptoten.
T-3.
a. K a( ) (3 a2)(4 2 ) a 6a216a8: dus een bergparabool.
b. c. 20 5 t 0 5 20 4 t t T-4.
a. Xmin 5, Xmax 10, Ymin 10 en Ymax 15
b. Xmin 5, Xmax 10, Ymin 0 en Ymax 10
c. Xmin 5, Xmax 5, Ymin 0 en Ymax 1000
d. Xmin 3, Xmax 3, Ymin 20 en Ymax 10
T-5.
a. Voer in: 1 3
1 2 3 8
y x x zero: x 3,29 nulpunt: (3.29, 0) b. maximum: (-1.41, -5.17) minimum: (1.41, -10.83)
c. Voer in: y2 4 intersect: x3,57
Voer in: y2 3x7 intersect: x 3,38 x 0,17 x 3,54
T-6. a. 18x3(2x3) 4(6 x2) 1 45 60 5 p 5 1 2 18 6 9 24 8 1 12 18 1 x x x x x 45 5 1 5 60 5 9 5 51 10 p p p b. Voer in: 1 4 3 y x en y2 2x5 intersect: x 4,19 x 1,31
Voer in: y1x3 en y2 4x10 intersect: x 1,59
c. 35 4x3 2 7 8(x3) 14 5( x2) 35 5 4 3 7 4 4 1 x x x 8 24 14 5 10 13 0 0 x x x x t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 q(t) 6,3 5,9 5,5 5 4,5 3,9 3,2 2,2 0
2 september 2021 T-7.
a. grafiek 1 is lineair: 1 2
( ) 3
k x x. Grafiek 2 is een exponentiële functie, dus
( ) 3 1,5x
f x . Grafiek 3 is een hyperbool, een gebroken functie en dus 1 ( ) 1 2 h x x
en grafiek 4 is een wortelfunctie: g x( ) 9 2 x b. A(0, 3), B(6, 0), C(0, 3) en D 1 2 (4 , 0) c. grafiek 2: y 0 grafiek 3: y 1 d. Dk :¡ en Bk :¡ Dh: , 2 2 , en Bh: , 1 1, : f D ¡ en Bf : 0 , 1 2 : , 4 g D en Bg : 0 ,
T-8. a. V(0) 30 3 27000mm3 b. 0 t 20 en 0 V 27000 c. d. Voer in: y1(30 1,5 ) x 3 en y2 10000 intersect: x 5,6 minutenNa 5 minuten en 38 seconden is het volume kleiner dan 10000 mm3.
t (in minuten) V (in mm3) 5 10 15 20 5000 10000 15000 20000 25000 30000
