analyse oefeningen examen KJJDiFm

Analyse: Metrische ruimten en reeksen

Professor Sioen

Oefening 1

𝐴 is een deelverzameling van een metrische ruimte (𝑋, 𝑑). Bepaal of 𝐴 open, gesloten, compact, samenhangend en aftelbaar is en verklaar.

a) 𝑋 = ℝ, 𝑑 is de Euclidische metriek, 𝐴 = {𝑥 ∈ [0,1] | 𝑥2∈ ℚ}.

b) 𝑋 = ℝ2, 𝑑 is de Euclidische metriek, 𝐴 = {(𝑥, 𝑓(𝑥))|𝑥 ∈ [0,1]} met 𝑓: [0,1] ⟶ ℝ is een continue functie.

c) 𝑋 = ℝ2, 𝑑 is de Euclidische metriek, 𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥, 𝑦 ∈ ℝ\ℚ}. d) 𝑋 = ℝ2, 𝑑 is de sommetriek, 𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}. e) 𝑋 is een eindige verzameling, 𝑑(𝑥, 𝑦) = {0 𝑎𝑙𝑠 𝑥 = 𝑦_{1 𝑎𝑙𝑠 𝑥 ≠ 𝑦}.

𝐴 = 𝐵𝑋(𝑥0, 𝑟), 𝑥0 ∈ 𝑋 is een punt en 𝑟 > 0. Opgelet het antwoord kan afhankelijk zijn van 𝑟.

Oefening 2

Voor iedere 𝑛 ≥ 1 definiëren we de functie 𝑓𝑛: [0, ∞[ ⟶ ℝ: 𝑥 ↦ 𝑥𝑛

1+𝑥𝑛.

a) Bepaal een zo groot mogelijk 𝐴 ⊆ [0, ∞[ zodat (𝑓𝑛|𝐴)𝑛 puntsgewijs convergeert en bepaal de

limietfunctie 𝑓: 𝐴 ⟶ ℝ.

b) Bepaal 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 zodat (𝑓𝑛|[𝑎,𝑏])𝑛 uniform naar 𝑓|[𝑎,𝑏] convergeert.

Oefening 3

Voor iedere 𝛼 ∈ ℝ bespreek de convergentie en absolute convergentie voor volgende reeks ∑ (−1)𝑛

𝑛𝛼_(𝑛2₊₁₎

∞

𝑛= . Leg bij elke stap goed uit welke stellingen je waar gebruikt hebt.

Oefening 4

Bespreek de convergentie, absolute en uniforme convergentie voor volgende reeks ∑ (−1)𝑛(𝑧−3)𝑛

2𝑛_𝑛3 (𝑧 ∈ ℂ).

∞