De bepaling van de eigenwaarden en eigenvectoren van een dubbel-symmetrische matrix

(1)

De bepaling van de eigenwaarden en eigenvectoren van een

dubbel-symmetrische matrix

Citation for published version (APA):

Groeneveld, G. (1963). De bepaling van de eigenwaarden en eigenvectoren van een dubbel-symmetrische matrix. (DCT rapporten; Vol. 1963.005). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1963

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

(2)

Doal : We stellen ons ten doel de eigenwaarden en eigenvectoren te bepa- lea van een dubbelsymmetrische matrix A

2

(a .). Onder een d u b b e ~ ~ e -

__.

2 iJ

raatrix van (8-1) elementea a verstaan we een matrix, waazoeer De symmetrie heeft dus betrekking ij

= a = a

ij = aji n-i,n-j n-j,u-i* op beide diagonalen,

rdeproblemen met dergelijje matrices komen voor (of zijn elthans g e te verkrijger%) bij het bepalert van de eigelitrillingen vas sylmne-

constructies * ) of 'bjj het bepalen van kritische t o e r e ~ ~ ~ l l e n vaa

ons doel munen bereiken door het bepalen vaa de eigee- n, beide met eea eindig aantal graden van urijheid.

ectoren vaa twee 8 triseha matrices B ea C. Is a even,

-

IJ elementea, Is n oneven, dan telXea ementea en C

beide matriies

(97

elenent wit dle o m A af te leidela. Het pr

De elementen van B en C zijn 5eer eenvoudig een wordt hierdoor dus we%e

op2g beperk@% we ons tot ~ ~ & t e ~ e ~ , waarvan alle ~ ~ e ~ ~ ver- a a ~ d % ~ ~ sehll2.ea& &jz.

etrhcke matrix met verschil1

$sea,

hetriij an vector een vector

-

Yi =

*

ra-&*

voer een aatimesr%sohe vector gelet

si

s

-

B e e & : Stelleia we k =

n

-

i en B = PL

-

j &a is das a

_%i

w = al

= =ai =

het stelsel v e ~ ~ e ~- h . ~ ~ ~ ) y ~ ~ @ = O ( 1 ) over %n het

ven, daaraa de ees na laatste enze en we in iedeie vergelijki

utstaat het stelsel

-

Ws aoemen nu de eigeevec

waarde '='h. Bet<erste elenent van deze vector Zfj ' . y J q i

,

hek at^^%

(m4

(Ei)

Stel qn-,

1 (1) behorende bij áe a@en=r

P-, I \.,.

n-I

*)

Hierbij meet eokteP orden dat t e n hea

massa 2icb i s he% s g bevinden.

(3)

- 2 -

Het s t e l s e l

(2)

z a l uiteraard dezelfde eigenvector bezitten, na echter

met de elementea, i n omgekeerde volgorde. Duiden we deze elementen aan

met

D a a r echter iedere term van de s t e l s e l s ( 1 ) en (2) volkomen ideatiek

‘m)rt(

₁dan i s dus p. (m)q n-I

*

=

(=)%?i

(4).

zijn bU een dubbelsymmetrische matrix moeten de eigesvectorea e

1

behorende bfj

(ml,

op een constante factor na ge* zijn, met andere

woordeEt i o overeensteraming met

( 3 1 ~

U i t (4) en

(5)

volgt p2 = 1, dm p =

-

1.

Nemea we genoemde constante factor gelîji aan p s dan v o l e

(m)

,

+

‘aa)l:i

= p(m) (i t e m a algemeen g e u t (m)

q I

,

= (m)

(mIq

q3 n-j E

Voor p =

+

1

i n deze eigeavectop s ~ ~ e t ~ i s ~ h ~ voor p = -1

trimh.

(4)

Bepaïing van de symmetrische eigenvectoren

en de bijbehorende eigenwaarden.

Tellen w e i n het s t e l s e l ( 1 ) de ie vergeljjking en de (n-i)" v e r g e w n g

bij elkaar op en delen we door 2, dan on staan de v

In deze vergewkingen is de factor van'de term ,ge= aan de factor

van de t e m -j=ï)+ immers

a 4 a i a

kingen I (n-i is wederom = k gesteld)

(Li.g%L

4

ij k j = il s en

2 2

'ij "ka = O voor i # j en k # j en dus k #

1

en i

+

1

=

3

voor 5. = j e n k #

3

en dus k t f. en f # 9

= voer i # j en k Z. j en dus k #

1

ea i =

1

2

= I voor i = j = k a%% da6 k E

1

= i

terwijl eok

'ik

+%I

= O voor i #

1

en k 9 L

2

= - $ v o o r i = l . e n I r # a

= 3 o o o r i # L e n k = 1

E I v o o T ~ = ~ = ~

We stellem nu iori g = Y en soeken dus uitsluitend naap d e ez

eigeavect oren e bijbehorende e i ~ ~ ~ r a a r d e n ~

Is n oneven, dan kunnea we de temen van iedere vergelijking twee aag tree

$ 1

t e l l e a en verkrijgen

aij i aks

-

h f i j i Okj)l y3 = O niet j = I....

-

n-1

2

e

D i t zijn 11-1 vergeErkingen, die eekter twee aas twee &&ea*&& r&ia !di 5 e a

de ge). We kunnen dus de h e l f t van deze vergeEjgingea wegstrepen ea houden

door ?J

= O, We kunnen de factor 6 . 4 8 vervagen

over ji. 4. a kj *

qjpj

vi

k j

n-4

%--

op grond van het f e i t , d a t voor i = ? a . &

;;2.

steeds geEdt k =

ij n-I n-7 # j e t j = I...

-

2 n-1 i = 'I-...

-

₂

I

Indien n eve= is dan verloopt de procedure vrijwel geheel hetzelf&e; a l l e e =

de aiddelete term en de ~ i d d ~ e - ~ ~ r g e ~ n g worden anders behandeLd*

Het s t e l s e l (6) biijft ~ n v ~ r ~ n d % ~ ~ s . 3 ~ we de Iiriddelste vergeli&iag (I = k =

l a t e i staaa,

n

i. Y1 voor j = le.*.-

-

1, * e r a l

2

We iaoet.cn mi echter a p ~ i o r l s t e i l e

i n iedere v e p ~ e ~ ~ n g de term-aiiit ongewijz%gd blijft. Eierdoor var$rijgea

we het v e r g ~ ~ ~ ~ - ~ t e ~ e ~

(5)

- 4 -

W e zien, dat de matrix van dit eigenwaarde probleem niet m e m 6

is (en dus de eigenvectores &et meer orthogonaal zijn). Wil men dit endep- vangea, dan moet men een nxeuwe ceördinaat invoeren volgeas y

en moet mea de laatste vergewking door

4

.ielen+ Hen krUgt

$

dan he% stelsel = z& -&bij) yj ais=

6,

z =

o

{j =

I

..+

-

1 a n 2 ea

= o

De matrix 13 = dus u i t de matrix A =

Voor n even : r a + & i bij Lj n-i,j V~%QF n eneven 2 i = I**.*-

-

1 an, j

\12

(aij)

als volgt :

n-I i = --.....I 2 %-I j = i r r r . ~ = - -

_z

2

I

ItIiePbQ moet men bedenken, dak in dit laatste gewal de mîddelsde term valk etrische eigaaweetcar ge- is aan

da

X de laatste t e m wan de eigen- %rect€lr vaza

B,

(6)

Bepaling van de antimetrisehe eigenvectores

en de bijbehorende eigenwaardea.

Trekken we i n het s t a b e l ( 1 ) d s (r?&)evergelfjkfig af van de ievergelij-

Rimg en delen we doos 2, dan ontstaan de volgende n-1 vesgel3jk.b

Overeeakomstige overwegingen als bi5 het s t e l s e l (6) tonen

faetoz van de term y

di@ met (-4

1.

(n-Jd) a

We s t e l l e n nli, bfJ de a n t ~ a e t r i a e b ~ e i g e n v e e ~ Q r e ~ yl =

-

gJ6

Hek t r e s aan twee

lavsrt. rag, a l a n oneven i a :

4Wì au de

ge- is apla de factor van de t e m yl, v 0 ~ ~ e ~ ~ ~

-d

elkaar voegsar van de termen va= iedere vergeBjkhp

I5 d i t geval zjjn de ie en ke

kunnen dus wederom de h e l f t wegetrepen en heuden OveP

(7)

Samenvallende eigenwaarden,

Indien de matrix A een aantal a g e w e eigenwaarden heeft, dan behoeft;

niet iedere eigenvector synmetriseh of antimetrisch t e &&De eigen- i.

rectoren behorende bij deze gelijje eigenwaarden spannen samen ean s-dimen-

sbonale ruimte op en e r zijn steeds e onafhanìeeljjkc e i g e ~ ~ e c t Q r e n %e vin-

dea. Ook is iedere vector i n deze ruimte eigenvector, We kannen nu gemak-

ea, d a t iedere abet-symmetrische en niet-antimetruehe eigen-

werden geschreven als l i n e a i r e cambinatie van een etrische

en eeB ~ n t ~ e t r i a c h ~ . Immere indien S S ze sen ve is met

elementen z' dan ia ook z" met als eleioieatea zts

za

eea oigerrvector

3 '

-a

j = n-3

x A, KeB b e a s t d i t weer door de voPgorde van a l l e verge%-

het s t e l e e l ( 1 ) en va8 a l l e termen vas deze rerge-gea %e

.

Dus zijn de lineaire combinaties van ze en e i g

erisclij en

E?*

3

3 a-3

3 -3

-3

met elementen y* P z*

*

Z' ( 8

nret elemea~en ytt zo

-

8' ( ~ t ~ e t r i s ~ h )

3

=

a

a-$

e l d t nag dat

_-a

z9 *

at dus geen enkele ve i n de s-dimeasionale ruim

ahre combinatie van trische-ea e m antimetr

ea geaohev.so, nioe ha6es-e wQm-detl er $6: een basis

a a O uit alleen a

iscke eigenve~toren worden weer gevonde~ plet behulp v a de aa-

a n t ~ e ~ r i ~ c ~ e met ae matrix C.

dies geen enkele w over h e t a l dan n i e t nde eigenwaardeii nodig om met behtCLp van B en van samenva

(8)

en

(9)

3. Gevraagd wordea de eigenwaarden en eigeavectoren vaa de m a t r b

We h d e n :

‘x

= doch

Y