Wiskunde leren vanuit
abstracte voorbeelden:
hoe overtuigend zijn de
resultaten van Kaminski?
Dirk De Bock, Johan Deprez,
Wim Van Dooren, Michel Roelens,
Lieven Verschaffel
Over onszelf
• Johan Deprez
♦ docent wiskunde, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL)
♦ docent/praktijkassistent, lerarenopleiding
wiskunde Universiteit Antwerpen en KULeuven ♦ redactielid Uitwiskeling
• Dirk De Bock
♦ docent wiskunde en coördinator onderzoeksgroep Educational Research & Development, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL) ♦ wetenschappelijk medewerker aan het Centrum
voor Instructiepsychologie en –technologie (Departement Pedagogische Wetenschappen, KULeuven)
Les exemples sont mauvais
pour l’apprentissage des
mathématiques
Inleiding
krantenartikels gebaseerd op
• doctoraatsverhandeling
Kaminski, J. A. (2006). The effects of concreteness on learning, transfer, and representation of mathematical concepts.
• reeks onderzoeksartikelen
…
Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., &
Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning
math. Science, 320, 454–455. …
Kaminski et al.
• stellen ter discussie dat wiskundeleren ‘van
concreet naar abstract’ verloopt
“Instantiating an abstract concept in concrete contexts
places the additional demand on the learner of
ignoring irrelevant, salient superficial information,
making the process of abstracting common structure
more difficult than if a generic instantiation were
considered”
(Kaminski, 2006, p. 114)
• voerden een reeks van gecontroleerde
experimenten uit met (voornamelijk)
bachelorstudenten in de psychologie
Kaminski et al.
• enkele besluiten (Kaminski et al., 2008, p. 455)
♦ “If the goal of teaching mathematics is to produce
knowledge that students can apply to multiple situations, then representing mathematical concepts through generic instantiations, such as traditional symbolic notation, may be more effective than a series of “good examples”.”
♦ “Moreover, because the concept used in this research
involved basic mathematical principles and test questions both novel and complex, these findings could likely be
generalized to other areas of mathematics. For example, solution strategies may be less likely to transfer from
problems involving moving trains or changing water levels than from problems involving only variables and numbers.”
Kritische reacties van collega’s
onderzoekers
• in Educational Forum en e-letters in Science:
♦ Cutrona, 2008
♦ Mourrat, 2008
♦ Podolefsky & Finkelstein, 2008
♦ …
• research commentary door Jones in Journal for
Research in Mathematics Education (2009)
• informele reacties
♦ McCallum, 2008
♦ Deprez, 2008
In deze presentatie
1. Inleiding
2. Commutatieve groepen van orde 3
3. De studie van Kaminski et al.
4. Enkele belangrijke elementen van kritiek
1. Onfaire vergelijking
2. Transfer naar orde 4
3. Wat hebben leerlingen precies geleerd?
4. Enkele andere elementen van kritiek
5. Nieuw empirisch onderzoek door De Bock et al.
6. Algemene discussie
Commutatieve groepen van
orde 3
Commutatieve groep met 3 elementen
• een verzameling G met 3 elementen …
bijvoorbeeld ♦ {0,1,2}
♦ {r120°, r240°, r0°} , waarbij r120° staat voor een rotatie over 120°
♦ {a, b, c} met a, b en c niet verder gespecifieerd
• met een bewerking * gedefinieerd op die elementen
…
♦ {0,1,2}: optelling modulo 3, bijvoorbeeld: 2+2=1 ♦ {r120°, r240°, r0°}: pas achtereenvolgens rotaties toe,
bijvoorbeeld: eerst r120°, daarna r240° geeft r0°
♦ {a, b, c}: de bewerking wordt gegeven door een 3 bij 3 tabel
Commutatieve groep met 3 elementen
• een verzameling G met 3 elementen …
• met een bewerking * gedefinieerd op die
elementen …
• die voldoen aan volgende eigenschappen:
♦ commutativiteit: x*y=y*x voor elke x en y in G
♦ associativiteit: (x*y)*z=x*(y*z) voor elke x, y en z in G
♦ bestaan van een neutraal element: G bevat een element n waarvoor x*n=x=n*x voor elke x in G ♦ bestaan van inversen: voor elk element x in G is er
een element x’ waarvoor x*x’=n=x’*x
de twee voorbeelden zijn isomorfe groepen
alle groepen van orde 3 zijn isomorf
0
1
2
Basisexperiment in Kaminski et al.
(80 bachelorstudenten)
Fase 1:
Instructiedomein
studie + toets
Fase 2:
Transferdomein
presentatie + toets
T: Kinderspel A: Kleitabletten van archeologische site C1: Maatbekers C2: Maatbekers + Pizza’s C3: Maatbekers + Pizza’s + TennisballenFase 1
• studie:
♦ inleiding ♦ expliciete presentatie van de regels d.m.v. voorbeelden ♦ opgaven met feedback ♦ complexe voorbeelden ♦ samenvatting van de regels• leertoets: 24
meerkeuzevragen
Fase 2
• presentatie
♦ Inleiding tot het spel
♦ “De regels van het systeem dat je leerde zijn zoals
de regels van het spel.”
♦ 12 voorbeelden van combinaties
• transfertoets
Resultaten
• leertoets: A = C1 = C2 = C3
Belangrijke elementen van
kritiek
1. Onfaire vergelijking
• Kaminski controleerde voor “superficial similarity”
(andere) bachelorsstudenten lazen beschrijvingen van T-A or T-C, maar werden niet getraind in de regels
“similarity ratings” laag
geen significante verschillen tussen T-A vs. T-C
• kritieken: onfaire vergelijking t.g.v. “deep level
similarity” tussen T en A op vlak van
1.rol die gespeeld wordt door aanwezige voorkennis 2.het centrale wiskundige concept dat geleerd wordt 3.structuur
(McCallum, 2008; Cutrona, 2009; Deprez, 2008; Jones, 2009a, 2009b; Mourrat, 2008, Podolefsky & Finkelstein, 2009)
A
C
1. Onfaire vergelijking
1. rol van voorkennis
A en T:
♦ ‘willekeurige’ symbolen
♦ bewerkingen bepaald door formele regels
♦ boodschap: maak geen gebruik van voorkennis!
C: fysische/numerieke referent
♦ fysische/numerieke referent voor de symbolen ♦ fysische/numerieke referent voor de bewerkingen ♦ boodschap: voorkennis kan nuttig gebruikt worden!
A
C
1. Onfaire vergelijking
2. centrale wiskundige concept
A en T: commutatieve groep
(commutativiteit, associativiteit, bestaan van een neutraal element, bestaan van inverse elementen)
C: expliciet gecommuniceerd (commutatieve groep) vs. impliciet gecommuniceerd (modulaire optelling) beide zijn betekenisvolle wiskundige concepten
… maar verschillend!
♦ 2 en 3 elementen: groep bepaald door modulaire optelling is de enige groep
♦ n elementen, n>3, niet priem: ook andere groepen dan de groep bepaald door modulaire optelling
A en C leren verschillende concepten!
concept geleerd in A is beter bruikbaar voor T
A
C
1. Onfaire vergelijking
3. structuur
A : neutraal elt. n, 2 symmetrische generatoren a en b
♦ {n,a,b},
♦ (1.1) a+a=b, ♦ (1.2) b+b=a
♦ (1.3) a+b=b+a=n
C: symmetrie verbroken (1 vs. 2), één generator
♦ {n,a,b}
♦ (2.1) a+a=b ♦ (2.2) a+a+a=n
equivalent, maar focus op verschillende aspecten A/C leerden/negeerden verschillende aspecten
in T: geen aanknopingspunten voor 2de set basisregels
A
C
T
1+1=2
1+1+1=3
2. Transfer naar groep van orde 4
• een experiment uit doctoraat van Kaminski
waarover niet gerapporteerd wordt in Science
en andere tijdschriften
• onze interpretatie van de resultaten van dit
experiment
• transfertoets over een groep van orde 4: zie
volgende slide
2. Transfer naar groep van orde 4
• eerste instructiedomein nieuwe experiment =
A-instructiedomein uit het basisexperiment
(kleitabletten uit een archeologische site)
• resultaten op de orde-4-transfertoets niet
beter dan puur gokken
• transfer vanuit A-instructiedomein blijkt erg
beperkt! ( affirmatieve titel van Kaminski et
al in Science)
• concept van modulaire optelling werd
inderdaad niet geleerd door de
2. Transfer naar groep van orde 4
• tweede instructiedomein nieuwe experiment
= A-instructiedomein uit het basisexperiment
+ ‘relational diagram’
• goede resultaten op de orde-4-transfertoets
• diagram communiceert het cyclische karakter
van de groep (equivalent met modulaire
2. Transfer naar groep van orde 4
• derde instructiedomein nieuwe experiment is
een concreet instructiedomein met een
‘grafische voorstelling’
• goede resultaten op de orde-4-transfertoets
• ook vanuit een concreet instructiedomein
2. Transfer naar groep van orde 4
De experimenten van Kaminski et al geven een
meer genuanceerd beeld dan de beweringen in
het artikel in Science!
3. Wat leerden de studenten precies?
• Meerkeuzetoetsen tonen enkel het eindresultaat, maar
niet hoe dat antwoord werd gevonden.
• Wat leerden de studenten?
♦ een set van specifieke regels? ♦ modulaire optelling?
♦ groepseigenschappen (commutativiteit, …)? ♦ …
• Is er enige evidentie van een bewuste toepassing van
groepseigenschappen of modulair optellen?
Met commutativiteit, … is men ook vertrouwd vanuit het rekenen met (gewone) getallen!
De proefpersonen kennen geen rekensystemen waarin commutativiteit, … niet gelden: daardoor hebben ze een evident karakter.
4. Enkele andere elementen van
kritiek
• Transfer in experimenten van Kaminski is
♦ nabije transfer
♦ onmiddellijke transfer (i.t.t. op lange termijn) ♦ uitgelokte transfer (i.t.t. spontaan)
… erg verschillend van transfer in een echte
onderwijssituatie!
• De concrete instructiefase is geen goede
wiskundeles:
♦ erg gekunstelde contexten ♦ geen abstraheringsfase
♦ regels zijn niet functioneel (je gebruikt voorkennis i.p.v. regels) en worden dus niet geleerd
Een empirische studie door
De Bock et al.
Methode
• Subjecten: 130 bachelorsstudenten in de
pedagogische wetenschapen
• Twee fasen
(1) instructiedomein: studie en toets
(2) transferdomein: presentatie en toets
• Vier experimentele condities
(A = abstract, C = concreet)
♦ AA, CA, AC, and CC♦ AA and CA: “Kaminski condities”
Methode
Operationalizering van de domeinen
• A-learning:
kleitabletten van archeologische
site
• A-transfer: kinderspel
• C-learning: maatbekers
• C-transfer: pizza’s
(stukken pizza die zich op dezelfde manier gedragen
als de maatbekers)
Methode
In alle condities:
Juist voordat de test werd afgenomen, werd
een samenvatting van de regels
Methode
Toets op het einde van de instructiefase
Methode
Tweede belangrijk verschilpunt met Kaminski’s
procedure:
Open vraag op het einde van de instructiefase
Bijv., na de “concrete” instructiefase:
Wat komt er op de plaats van het vraagteken?
Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit
gevonden hebt.
Methode
Of na de abstracte instructiefase:
Wat komt er op de plaats van het vraagteken?
Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit
gevonden hebt.
Instructie + toetsing
♦ individueel
♦ twee fasen onmiddellijk na elkaar
♦ eigen tempo
♦ computer
Methode - Analyse
• Scores op instructie- en transfertest:
statistische analyse (ANOVA + Tukey HSD) na
verwijdering van een aantal ‘outliers’
(volgens eenzelfde procedure als Kaminski)
• Verklaringen ‘open vraag’:
scoringssystem ontwikkeld en toegepast op
de data door twee onafhankelijke
Methode - Analyse
Scoringssysteem
• Analyse-eenheid = verklaring van een
deelnemer
• Vier hoofdcategorieën:
♦ G (Groep)
♦ M (Modulo)
♦ R (Regels)
♦ N (Niet)
• Subcategorieën:
♦
G
1, G
2, G
3, G
4♦
M
1, M
2• Scores: 2, 1 of 0
Methode - Analyse
Scoringssysteem
• 2 = formulering op algemeen niveau
Voorbeelden
♦ “volgorde doet er niet toe”
♦ “als je een vlag combineert met een ander
symbool dan krijg je altijd dat andere symbool”
♦ “2 + 2 = 4 – 3 = 1”
• 1 = ondubbelzinnige toepassing
• 0 = anders
Resultaten – Kwantitatieve resultaten
• Instructietoets: AC < CA, CC
• Transfertoets: CA < AA, AC, CC en AC < CC
Conditie
Gemiddelde en standaarddeviatie van de toetsscores (Max = 24) Instructietest Transfertest AA (N = 23) 17.1 (3.9) 18.1 (3.8) AC (N = 30) 15.3 (3.5) 17.4 (4.2) CA (N = 28) 18.5 (2.9) 12.0 (4.3) CC (N = 24) 18.3 (3.5) 20.2 (2.4)
Resultaten – Kwantitatieve resultaten
• Kaminski bevestigd (transfertoets: AA > CA)
• Omgekeerde geldt ook (transfertoets: CC > AC)
• Ondanks AC < CX (instructietoets), AC = AA
(transfertoets): studenten lijken “modulo 3
rekenen” te “leren” met weinig of geen hulp van
de instructieconditie
Resultaten – Kwalitatieve resultaten
• Letterlijk herhalen van combinatieregels
• Formuleringen van groepseigenschappen op
algemeen niveau komen nauwelijks voor
(ondanks het feit dat expliciet werd gevraagd om “zo precies als mogelijk” te verklaren)
Instructie -domein Score G M R N G1 G2 G3 G4 M1 M2 A (N = 66) 2 0 6 0 0 0 0 – – 1 16 43 0 3 0 0 11 0 50 17 66 63 66 66 4 55 62
Resultaten – Kwalitatieve resultaten
• Toepassing van “modulo 3” rekenen door ongeveer de
helft van de deelnemers (geen expliciet doel van
instructieomgeving!)
• In sommige gevallen: zonder referentie naar de context
• …
Instructie domein Score G M R N G1 G2 G3 G4 M1 M2 C (N = 52) 2 0 0 0 0 7 0 – – 1 13 7 0 2 22 5 5 14 0 39 45 52 50 23 47 47 38Resultaten – Kwalitatieve resultaten
• …
• Pure herhalingen van combinatieregels komen zelden voor
• Enkele spontane toepassingen van groepseigenschappen
(hoewel minder dan in de A-instructiegroepen)
Instructie domein Score G M R N G1 G2 G3 G4 M1 M2 C (N = 52) 2 0 0 0 0 7 0 – – 1 13 7 0 2 22 5 5 14 0 39 45 52 50 23 47 47 38