Numerieke analyse van een lineair systeem m.b.v. discrete tijdreeksen, Discrete Fourier Transformatie en spectrale analyse: een beschouwing over systematische fouten

Numerieke analyse van een lineair systeem m.b.v. discrete

tijdreeksen, Discrete Fourier Transformatie en spectrale

analyse

Citation for published version (APA):

Dortmans, L. J. M. G., & Kraker, de, A. (1986). Numerieke analyse van een lineair systeem m.b.v. discrete tijdreeksen, Discrete Fourier Transformatie en spectrale analyse: een beschouwing over systematische fouten. (DCT rapporten; Vol. 1986.029). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Discrete Fourier Transformatie en spectaale analyse :

een beschouwing over systematische

fouten

WFW 8 6 . 0 2 9

L . J . M . G . DOrtmanS A . de Kraker WFW, mei 1986

These investigations were supparted (in part) by t h e

Setherlands Foundation for Technical Reaaearch (STWS, Future Technical Science Branchj’Bivision of the

N e t h e r l a n d s O f g a n i z a t i o n f o r tlne Advancement of Pure Research (ZWO).

In bet rapport “Systeemidentificatie van niet-lineaire dynamische systemen” van F. Bosman (WFW 86.015, maart 1 9 8 6 ) is o.m. nagegaan o f het mogelijk is,

d.m.v. numerieke integratie van de beschrijvende D.V. van een lineair sys-

teem voor een gegeven exciterend signaal en daarop volgende toepassing van FFT-technieken, de overdrachtsfunktie van het lineaire systeem te schatten. Uit deze studie blijkt dat de resultaten niet optimaal zijn in die zin dat

de coherentiefunktie duidelijk afwijkt van de theoretische waarde

1 .

In het

vervolg zullen we trachten een mogelijke verklaring voor een en ander te ge- ven, waarbij we vooral de nadruk zullen leggen op de invloed van systema-

tische fouten die kunnen ontstaan bij het toepassen van nurnerieke integratie i

en de Discrete Fourier Transformatie.

i

s

.

spec tr

Abstract

In this report the experimental system identification of a numerically

simulated theoretical model has been studied. For the model we loo

Duffing oscillator with white noise excitation and numerical in<egration to g e t t h e rándoa zespûase. Vith standard s i g n a l a n a l y s i s routines the

transferfunction and the coherencefunction have, been calculated and compared

with the theoretical values. The numerical integration- and the Dis Fourier Transform algorithms introduce systematic errors in the results which will be explained.

INHOUD

Hoofdstuk 1. Probleembeschrijving. Hoofdstuk 2. Interpolatiefuncties. Hoofdstuk 3 . Respons in het tijddomein.

3.1 Respons bij constante interpolatie. 3.2 Respons bij lineaire interpolatie. 3.3 Respons bij exacte interpolatie. Hoofdstuk 4. Respons in het frequentiedomein. Hoofdstuk 5. Reductie van signaallek.

Hoofdstuk 6. Voorbeeld : Random excitatie.

LITERATUUR

Bosman, F.; Systeemidentificatie van niet-lineaire dynamische systemen, afstudeerrapport FJFW 86.015, Technische universiteit Eindhoven,

INLEIDING

Voor de bestudering van het niet-lineaire dynamische gedrag van een systeem onder random excitatie vornt de numerieke simulatie een krach- tig en flexible hulpmiddel. Bij het toepassen van deze technieken kan men echter met een aantal vervelende foutenbronnen geconfronteerd worden waardoor de numerieke resultaten sterk kunnen worden beinvloed.

Indien men bijvoorbeeld uitgaat vaan een specifiek, tijd-diskreet exci- tatiesignaal met een bepaalde frequentie-inhoud (bijvoorbeeld verkregen via een inverse Fast Fourier Transformatie) zal men bij het toepassen van numerieke integratie procedures met in het algemeen willekeurige skapgrootte ook tussengelegen signaalwaarden dienen te genereren. De wijze waarop dit geschiedt kan het eindresultaat vrij sterk bein- vloeden. Verdere mogelijke systematische fouten hangen samen met:

-

het toepassen van de Diskrete Fourier Transformatie voor het

bepalen van de frequentie-inhoud van een signaal dat op een diskreet aantal tijdstippen gegeven is.

-

Het toepassen van window-functies voor het reduceren van signaal-lek tengevolge van niet-periodieke signalen bij het toepassen van de DFT. Aangetoond wordt dat het gebruikmaken van nietperiodieke excitaties tot slechte resultaten kan leiden tengevolge van signaal-lek. Tevens wordt aangetoond dat het gebruik van een window-functie de signaal-lek in bepaalde gevallen drastisch kan reduceren, maar dat tengevolge van het window bij systemen met scherp geprofileerde eigenfrequenties de

resultaten verslechterd kunnen worden door het uitsmerende effect van het window.De aldus verkregen overdrachtsfuncties hangen af van de gehanteerde interpolatiefuncties, maar de verschillen tussen de drie geanalyseerde functies zijn beperkt.

Aan de hand van theoretische analyses en numerieke simulaties zullen genoemde foutenbronnen zichtbaar gemaakt worden en hun mogelijke oplossing (of gedeeltelijke eliminatie) worden besproken.

Hoofdstuk 1

in dit rapport gaan we uit van een lineair systeem waarvan het verband tus-

sen het exciterende signaal y(t) en de bijbehorende respons x ( t ) gegeven wordt door

waasbij h(t) de impulsrespons van het systeem is, die gegeven wordt door

Hierin zijn A V en s H ( s ) van h ( t ) :

de residuen en polen van de Laplace getransformeerde V

Vaar het bepalen van de respons x(t) kan relatie(1~1)gebruikt worden, waar-

bij veelal numerieke integratie moet worden toegepast.

I.v.m. een beperking van de vereiste geheugencapaciteit van de computer is het signaal y ( t ) dun slechts op een discreet aantal tijdstippen gegeven. Dit leidt er dan toe dat bij de numerieke integratie een i n t e r p ~ l a t ~ ~ ~ u ~ k t i e ge- kozen moet, worden waarmee de € u ~ k t i e w a a r ~ ~ van y ( t l bepaald kan worden voor een tijdstip dat niet samenvalt met een van de tijdstippen waarop y(t) gege- ven is. Met zal duidelijk zijn dat de keuze van de interpolatiefunktie van

invloed kan zijn op het. resultaat van de numerieke integratie.

Stel dat we de beschikking hebben over een reeks van ~ u n k t i e ~ a u ~ ~ e n y ( t ) en de bijbehorende responsies x ( t ) . Deze kunnen dan gebruikt worden voor het

toepassen van de Discrete Fourier Transformatie (DFT) om daarmee te komen

tot een schatter H voor de overdrachtsfunktie van het lineaire systeem.

Hiertoe delen we reeksen funktiewaarden y

x

= y(kbt) (k=O

. . . ,

Nt-l) en k

= x(kAt) (k=O

. . . .

Nt-l) op in M zgn. records van N punten (Nt= M.N):

k

y;')= y( (l.N+k)At) = recosd 1 (k=O..

.

.N-l) van yk ₍₁₁₄₎

x("= _k x((l.N+k)At) = record 1 (k=O

. . . .

N-I) van xk (1,5)

Elk van deze records wordt nu m.b.v. de DFT omgezet in diens Fourierge-

transformeerde ( v o m O

i

z

i

N-1 1:

Vervolgens berekenen we in een middelingsproces de powerspectra ( o f althans schatters daarvoor) van de signalen y(t) en x(t):

Hierin Fs Sxx(zAf) het autopowerspectrum van xCt), S

S ( Z A € ) het. crosspowerspectrum van xft) en y ( t ) .

Een schatter voor de overdracht H(zAf) = H(s = 2RjzAE) wordt dan bepaald uit

( z h f ) idem van y(t) en YY

XY

terwijl een maat voor de aanwezigheid van random of systematische fouten wordt gegeven door de coherentiefunctie y - 2 ( a A f ) :

( 1 , 1 2 9

De theoretische waarde van de coherentiefunktie is 1, maar wordt soms niet

bereikt door :

- de invloed van aliasing indien de signalen x ( t ) en y ( t ) frequenties

>

i

bevatten. Indien dit zo is dan biedt ( numeriek ) filteren een mogelijke oplossing.

-

de invloed van signaal-lek indien de funkties x ( t ) en y ( t ) niet periodiek zijn met periodetijd T. Een remedie hiervoor is het toepassen van een zgn.

~ ~ i n d o w f u n c t i e ~ ( k ) wiarmee het signrial periidiek gemriakt wordt h i j v . het ~anning-wind~w

(1) I.p.v. de DFT te laten werken op de tijdreeksen xk

wk en yk wk (wk= w(kAt1 k=O.

.

.

.N-l)

.

Nierdoolr (i)

dan met de tijdreeksen xk

kan de invloed van signaal-lek drastische worden gereduceerd, maar tevens worden de resultaten van de DFT behvloed door het "uitsmerende" effect van de w i n d o ~ ~ ~ n c t ~ e .

en ,)':y werken we

(J-1

in het navolgende zullen we trachten meer quantitatief aan te geven wat de

Hoofdstuk 2

INTERPOLATIE-FUNKTIES

Zoals in hoofdstuk

1

vermeld, kunnen we t.b.v. het numerieke integratiepro- d

ces een inteerpolatiefunktie hanteren waarmee een funktiewaarde wordt bepaal

voor het geval deze vereist is op een tijdstip dat niet samenvalt met een

van de tijdstippen waarop de funktie exact bekend is. We bespreken hier 3

interpolatiefunkties, nl.: - constante interpolatie - lineaire interpolatie - "exacte" i n t e r p o l a t i e Constante interpolatie L

Figuur

1.

Constante interpolatie tussen twee ti jdstigpen t i en ti+l

-

De functiewaarde y ( t ) wordt constant verondersteld OP de waarde y, voCpx

Lineoire interpolatie

Figuur 2. Lineaire interpolatie tussen twee tijdstipgen t en _i t _it-î

De Eunktie y ( t ) wordt lineair geïnterpoleerd :

voordeel t . o . v . de constante interpolatie is een mogelijk ~ a u w k ~ u r ~ ~ ~ ~ be- schrijving van y ( t ) maar een nadeel i s een grotere rekentijd b i j het nuane-

rieke integaatieproces.

Exacte interpolatie

Stel dat d e tijdreeks y ( t ) bestaat uit M punten ~ ( 0 ) . , . y ( (N-i ] A t ) . Dan

luidt de DFT van deze tijdreeks

wls interpolatiefunktie kunnen we dan volgens het theorema van Shannon hanteren

met

waarbij wij er echter van uit gegaan zijn

periode T en dat in het signaal de maximale frequentie

dat de functie y ( t ) periodiek is met

~

is.

1

&E

~~

Het zal duidelijk zijn dat de rekentijd bij het n ~ m e K i ~ k e i ~ ~ bij ~ ye- y ~ ~ K ~ ~ bruik van deze funktie drastisch zal toenemen.

De invloed van de vonn van d e i n t e r ~ o ~ ~ t i e f ~ ~ k t i ~ komt in de volgende hoofd- stukken ter sprake.

Hoofdstuk 3

RESPONS IN HET TIJDDOWEIN

Voor een analyse van het probleem gaan we uit van een exciterend signaal

y ( t ) d a t a l s volgt gegeven is :

o

e

a

.

c

Figuur 3. Diskreet excitatie signaal.

We veronderstellen dat. het exciterend signaal y(t) opgebouwd uit een aantal

records q (cj = l... M). Elk record bevat fa punten met een gelijk tijdsver-

Y

schil A t zdd bF . A t =T. Voor de funktiewaarde y ( (9-1 )T

+

m A t ) van y(t) in

P Y

. .

Y Y Y

record g künnei, we dan scha*;ven

y((q-l)T

+

m At. ) = y"'(m A t ) ; O

i

m

<

N -1

Y Y Y Y Y - Y

Voor de DPT van het signaal y(S.1 in record g volgt dan

Y

ofwel N -1 Y l=O De respons x(t) wordt nu ( O < m

SN'

-1%

( 3 . 3 ) 2rjlm /N Y Y 9'") (1Af ) e Y Y Afy Y

gegeven door relatie (1.1) waarbij gebruik gemaakt van een interpolatiefunctie.

We veronderstellen nu dat het. numerieke integratieproces exact is in die zin dat liet numerieke integratieproces de exacte waarde van x(t) oplevert bij een gegeven impulsrespons h(t), exciterend signaal y ( t ] en een gegeven in- terpolatiefunctie.

Daarmee kunnen we dan het signaal x ( t ) bepalen in M records met lengte T en met Nx punten met tijdsverschil A t

Hiervoor kunnen we dan schrijven:

zodanig dat N A t =T. x' x X x((q-1)T 9 mXAtx) = ~ ( ~ ) ( m ~ A t ~ ) ; O

<

mx

<

NXq1 (3.4) (3.5) Y

kan zijn, terwijl in het signaal x(t) de maximale frequentie

-

1 mag zijn.

2 A t x

Indien A t

x(t). WE! nemen d i . t effect in eerste instantie toch mee om te laten zien dat dit inderdaad gebeurd, en dat derhalve restricties t e stellen zijn aan de

keuze van het signaal y ( t ) of aan N en N Wel gaan we er in het vervolg van uit dat de verhouding van N en Nx een geheel getal 2 1 is.

<

A t

Y X dan kan dus aliasing voorkomen bij de DFT van het signaal

X Y' Y N Y = . ) l NX ( 3 . 6 ) of ook

met f

l/Aty; fsx = l/Atx).

en fsx a l s de sample frequentie van de signalen y(t) en x ( t ) (f =

SY SY

In de volgende paragrafen beschouwen we de respons x(t) voor de in hoofdstuk 2 besproken interpolatiefuncties.

3.1. Respons bij constante interpolatie Er geldt: s t _V 2v v= 1 h ( t ) =

E:

AV e

%iI. b. v. partiële integratie volgt

omdat K(O) = staprespons H ( t = O) = O 2v AV s*p: H ( t ) =

L

(e - 1 ) v=1 v ( 3 . 8 )

( 3 ~ 10)

Daarmee kunnen we schrijven

N

-1

M Y

L L tH(mxAtx - kAt

+

(M -I 1 - q)T)

-

Y

q=l k=O

H(mxAtx

-

( k -I 1)At f (M -I 1

-

q)T)}y'3 Y an .cn-l X Substi.tueren w e nu h i . e r i n en dan volgt -ävAt m cl-1 2v N

-1

X Y Y) j : + t

L

L afy

P

(Mfl)(lpf )

-

*

( 1

- e k-O Y-i 1=0 y sv

Y 2 8 j l k l N

Svmxbtx

*

e -svkAt

e (3.12)

In deze uitdrukking kunnen we nu direct sommeren over k door gebruik te ma-

ken van de relatie

Daarmee volgt dan

(x,(t)

1

:

(3.13)

tenslotte voor de respons x(t) bij constante interpolatie

-sv8t

+

28jl/?J y -

1 )

Y sv(W

-+

1

-

q)T -sVT e (e - l)/(e -s m A t

+

28jlmx -svAt 9 28jl/N y - 1) Y

-

lf/(e

v x

A (e (3.14)

We laten d i t moeilijk i n t ~ ~ p ~ e t e e r b a ~ e resultaat even voor wat liet is en be-

palen in de volgende paragrafen soortgelijke uitdrukkingen voor de lineaire

en exacte interpolatie. Deze uitdrukkin~en gebruiken we dan later voor het

íK+Í 1

3 . 2 Respons h i j lineaire i.ntespo1ati.e.

Door gebruik t e maken van de lineaire interpolatie en van eenzelfde werkwij-

ze als i n

gebruik van li.neai r e interpolatie :

3.1 volgt na enig elementair rekenwerk voor de respons x ( t ) b i j

-sVAt 28 -j

1

/NY

( e

-

1 )

*

(1-2 y )

Pll 2v N

-1

C L L Afy j(')(lAf

1

-

s Ai; Y y sv V Y g=1 v=l l = o -S A t -svmxbtx 9 2TTj1rnx/Nx

-

If / v y svmXAtx ( e

(1

-

e 'e 5 AS, V Y - s v A t

+

2TfjlJN 2% j lmxNx 2TTj h /N { e Y Y - 1)

-

( e - l ) / í e y -

1 )

(3.15)

3 . 3 Xesptins bij exacte interpolatie.

a

(-sv+ 2Tí jlAfx) ( 3 . 1 6 )

-

Uitgaande van de in hoofdstuk 3 bepaalde responsies in het tijddomein bepa-

len we nu de DFT van de tijdreeks X(M*l) (m A t x ) mX= o . .

.

. M V - l :

X LI

Voos de constante, lineaire en exacte interpolatie volgt dan niet gebruikma- king van relatie (3.13) :

constante interpolatie s A t - 21Tjz/Nx v x

-

1 1 1

~ sVT

-

( e - l)/(e 28j(l

-

z ) - I O l j z + k N x I

-

e Met 2Wj(l - z)/Nx 1 = z f kMx (k = O . . . . U -

1 )

e - 1 v o l g t dan

2V N

-1

- s v A t

Y A V

v=l i l=o i A f A t y x - ( ? - e S V

Lineaire interpolatie

Analoog aan d e ui.tdrukking voor constante interpolatie volgt :

y 2Wjl/N svT 2v Ny-1 -SvAt-- ( e Ie jl - e s At i & A f A t

-

v=l 1-0 y

x

s

v

V Y - 11 f

svbtx - 21Tjz/Nx

-

111

*

( e

U i . t de relaties ( 4 . 2 ) , (4.3) en (4.4) kunnen we nu de volgende conclusies trekken :

1

-

er treedt inderdaad aliasing op indien i'q'rz~f 1

p

O voor z

>

px.

Y

Omdat Afx=4f

beperkt worden t o t 1/28tx om aliasing te voorkomen.

moet d e freq~ent~einhoud van het. signaal y ( t ) deis inderdaad

Y

Voor verdere beschouwingen nemen wij dan ook aan dat N =N _{Y X}

.

- We zien dat in record fPI+l) ook de excitatie van de vorige records door-

werkt, maar dat. deze ex~onen~ieel afneemt (voor een stabiel systeem geldt

immers Re (sv)

<

Q!], W e nemen nu aan dat we kunnen stellen e a O .

Daarmee volgt dan :

Ofwel: de respons wordt mede bepaald door de periodiciteit van hei: excite-

rende signaal.

Indien het ~ i g n a a ~ niet periodiek is ( Y'--- (lAfy) f Y (ILfy)

1

dan

geeft dit anl lei ding tot signaal-lek. Hierop koanen we verderop n ~ g t e m g .

-

rnn4-1 1 * (Ml

We verwachten natuurlijk dat we een verband vinden van de vorm

We zien dat dit alleen geldt. voor de exacte ~ n e e r p ~ l a ~ i e ~ maar de constan- te en lineai.re interpolatie afwijkende overdrachtsfunkties opleveren.

Indien geldt svAtx<<l en z/Nx<<l dan volgt ook voor die inter~olati~~unc- ties de goede overdrachtsfunctie ( na r e e k s ~ ~ ~ w i k k e ~ i ~ g ) *

Schrijven we nu -S,Rtx -s,5ex

+

21Tjz/Nx 2v v

1

- e H,(zAfxf

=,LI

y

V e - 1 (4.6)

dan volgt, ondem: de hiervoor gedane aannamen,

( 4 . 9 )

( 4 . 1 1 )

met

N Y-1 2 v a-e -Swatx (lPfxl-Y(M' (lAfx)

XC(ZABfx) =

-

E E: -sWAtx+2njl/N swAtx-2njz/Nx

x-l) (e -1)

%x l=O w=l Irce

( 4 . 1 2 )

(4.14)

Het zal duidelijk zijn dat. de stoortermen RC, RL en R E bij h e t toepassen van de spectrale analyse W e r a ~ ~ W Q o ~ ~ e l ~ j k k u n ~ e n zijn voor een (sterk) a f -

ijk ende coherentie zoals in hei-. weKw~lg zal. blijken bij de K e s ~ l . t a ~ e ~ van

de analyse wan een e ~ ~ v Q ~ ~ i ~ systeem. In het v o l ~ ~ ~ ~ e h ~ ~ zullen f ~ s ~ ~ ~

Hoofdstuk 5

REDUCTIE VAM SIGNAAL-LEK

Voor het reduceren van de signaal-lek kunnen we een w i n d ~ w f ~ ~ c t i ~ toepassen.

Een vaak gehanteerd window bij random-signalen is het ~anning-win~ow :

Bj.7 h e t toepassen van de DFT bepalen we dan niet de fousiergetransformeerde

X van het signaal x ( t ) , maar die van het signaal x ( t ) . w ( t )

_:

1

et w(kAt) =

2

( 1 - cos2Bk/Ea) volgt dan

en

We zien ten eerste dat er een ~ i t s ~ e r e n d effect i s doordat X(zAf ) ook com-

ponenten van ~ a ~ ~ j ~ e ~ ~ g e n ~ r e ~ ~ ~ n ~ i e s bevat.

Verder zien we, na ~itwerking~ dat in de st~orte~men Re, R E en RE de term

T = (2 5 X s Atx - 21Tjz/Nx

-

1 v e ~ v ~ n ~ e n wordt door de t e m T : v z 4 s v A t x - 21T j z /Nx - 21T j /Nx e -1 i ( 5 . 4 ) svhtx-28jz/Hx 2 n j /Nx

en nemen we aan dat N groot is z&.e X

Stellen we nu F = e

2 (IF-I

i-1 -

2 ) 2 2 1

- I 1

- (F-I) -F E 2 F-1 ( 5 . 5 )

e zien dat, indien F

-+

1 ,

de term T circa een factor ~ ?2 kleiner ~ ~as a l s ~ }

z

-5

T. (%Jx = 512 + reductie met factor 4 . 1 0 ) . In dat geval wordt d e signaal-

lek inderdaad drastisch gereduceerd. T n d i e ~ F :T, 1 dan helpt het ~~~~í~~ niet.

D i t i s het geval indien svA

voorkomen b i j polen met een klein negatief reëel deel en een ima~inair ge-

deelte f O ( * zwak gedempte m e c h a n i s ~ ~ e systemen met een ~ e ~ Q n a n t ~ e f ~ e ~ u e n - tie).

In dat geval kan het gebruik van d i t - window z e l f s leiden t o t ~ l e c ~ t e ~ ~ co- ~ e r e n ~ i e ~ door ket ~ ~ t s m e ~ e ~ d e effect van het ~ ~ n d o ~ omdat X ( a ~ f ~ ) dan ook

andere frequentie ~ o m ~ o n e n t e n gaat bevatten die in feite on~ecQ~rel€erd zijn met de frequentie component zAf

z 28jz/Nx ofwel a l s 2 ~ j z 5 ~ ~ z sV. Dit kan

..

Hanning window is toegepast volgens relatie ( 5 . 3 ) en waarbij constante, li- neaire of exacte interpolatie is toegepast.

N.8. Linksboven in de figuren vindt u een verklaring voor de grafieken.

EXACT-TV-1: exacte overdracht volgens ïelatieb$.23),

CI-IV-NW-1: overdracht bij const. interpolatie zonder Nanning window hij D . V . (6.1))

LI-IV-W-1: idem maar bij lineaire interpolatie

ET-ïV-NW-1: idem maar bij exacte interpolatie

CI-IV-WW-1: als CI-IO-NW-I maar wel window.

Uit de figuren 6.4 en 6.5 zien we dat de overdracht bij constante interpola-

tie relatief sterk afwijkt van de exacte, zeker in vergeli~king niet de re-

sultaten voor: lineaire en exacte interpolatie. Verder zien we dat inderdaad

signaal-lek optreedt als we geen window toepassen en d a t de ~ ~ ~sterk ~ ~ r ~ ~ t . ~ ~

verminderd. Toepassing van het windo brengt hier een behoorlijke verbete-

ring maar ter plekke van de ï e s o n a ~ ~ i e p i ~ k treedt toch no2 een kleine ver- mindearhg van de coherentie op, gepaard ~ a a ~ d e met een lichte on~ersc~iattin~

van de hoogte van de ~ e s o n a ~ t i e ~ ~ e k .

Dit verschijnsel komt duidelijker naar voren in de figuren 6.13

-

6.15 die

gelden voor het systeem

2

H

i- x = y ( t ) (demping 1%) _{( 6 . 3 )}

dat op eenzelfde wijze ~~analyseerd is voor de lineaire interpolatie (het

effect van d e interpolatie functie blijkt ~ e t z e l ~ d ~ als bij de ~ o ~ ~ g ~ ~ ~ ~ ~

resultaten).

Ook voor een systeem met twee vrijheidsgraden zien we deze effe~ten (figuren

6 - 1 6 - 6-18) V O O T het systeem met de ~ ~ e r d ~ a ~ ~ l ~

1 2 t

1

2 H(w=2nf) = -w tO.2jw+l -w t0.2jwt3 en figuren 6.19

-

6.21 Voor t 1 2 H(w) = -w +O.O2jwtl

ket systeem niet de overdracht 1 .

1

2

we zien:

- als de overdracht H niet vlak ( waarbij we onder een vlakke overdracht een 2

overdracht. verstaan waarvoor geldt H _f

H en

yxY

-

X Y

f 1 . In de figuren 6.22-6.24 wordt d i t n ~ ~ . ~ ~ o ~ ~ a a n d e relaties ~ e d ~ ~ ~ n s t ~ ~ e r d aan de hand van het systeem m e t 1

%

domp;r,g.

Vooral in de buurt van scherpe pieken

.h

de ~ ~ H kan de e coherentie ~ ~ r ~ ~ ~ ~

scherp dalen (we zien ook dat dit kont door toepassing van het ~ i n ~ o w d a t

hier dus kan leiden tot slechtere resultaten ! f . De enige remedie is dan

het vergroten van de resolutje (A€ 1 z,@, de overdracht vlakker wordt

tussen twee ~ a ~ ~ j g e l e g e ~ f ~ ~ q ~ i ~ n ~ i e ~ ~ ~ t ~ n d i e m.b.v. de DPT bepaald

z H z H, ) is dan Ps N

-

X

.

ACT-I

V-I TRANSFERFWT ION

.---

Ct-1v-M-1

... C~-lV-UY-l

~

‘L

Y = MGNITUOE

EINOHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

X X = FREQUENCY [Hzl

w

Fw

OATE 0528% T I E 18:12 USER:

m m

.

OATE 052886 T I M 18:15 USER: DORTB -ACT-IV-1 Y

t

TRANKERFWFION

___

CI-1v-NU-1 ._.._. CI-1v-uw-1 Y = PHASE X X = FREQUENCY CHZI

EINOHOVEN UNIVERSITY OF TECHNCLOGY

WFW

i

f

DATE 852086 T I E 18:13 UCER: W)RTII -CT-1 V-1 COHERENCE WNKTION

't

y = nAGNITllE

____

CI-IV-NU-I

_...__. CI-1v-vu-1 x x = FREQUEKY CHZI

i EINOHOVEN UNIVERSITY OF TEcWHOLOGY

w

F

w

iiquur 6. Eiesaltaten b i j constante inLerpolatie; systeem met 10 % demping.

TRANSFERFUNKT ION

,....-. LI-lV-w-1

b-3 _DATE

852686

T I E let17 ????XACT-iV-l

_{__}

TRANSFERFUNKT I ON

Li-1V-NW-i 'LrdHASE x x = FREWRNCY wzi USER: WRTH

..._. LI-\Y-uw-1

EINWOVHI UNIVERSITY OF TEUHOLOGY

WFW

Figuur 8. Resultaten b i j lineaire interpolatie; systeem met 10 % demping.

F i g u u r 10. R e s u l t a t e n b i j exacte interpolatie; systeem m e t

10

% demping.

___

Ei-lV-NY-1

..-..

EI-IV-w-1

="-I Y

t

COHERENCE FUNKTION DATE 852886

T I E 18:B .USER: üûñlll .___ EI-IV-NU-1 _.._._. EI-1V-VU-1 Y = iiAGNITUDE x x = HKOUENCI ca1

EiWHOVEN kNiVERSITï OF TECHNOLOGY

w

F

w

Figuur 12. Resultaten bij exacte interpolatie; systeem met 10 % demping.

..---. LI-IV-uw-2

V C T - 1 V-2 TRANSFERFUNKT ION

----

LI-IV-NY-2

't

_{X X=FREOUENCY} f = P H A S E _Ml

EIHWIIVEN UNfVERSITï OF TEMH[EOG'I

....-..

LI-1V-uw-2

WF

w

DATE 852886 T I E 18:26 USER: ûûRTlí

..-...

LI-IV-YY-2

DATE 052886 Y

t

T I E 18:32 USER: DORM EINDHOVEN ~ I V E R S I T I OF TEwoLûöY

-

----

LI-2V-NN-1 X X=FREOUENCY Wzl

..-....

LI-2v-NU-1 Y = MûNITUDE

WF

\lil

3. W 4:ee 5:ee x10-1

Figuur 16. Resultaten voor systeem met 2 vrijheidsgraden en 10 % demping.

.--- LI-2v-Nu-1

....__. LI-2V-MY-1

-

Figuur DATE 852886 TIHE i8:31

m:

~ T n %CT-2V-l CWERENE RMKTIffl

___

LI-2v-Nu-1

.--...

LI-2v-w-1

't

x Y x = = MGNITVa FREOUEWCY MI E I W V E N UNIVERSITY OF T E C W O G Y

w

F

w

18. Resultaten voor systeem met 2 vrijheidsgraden en 10 % demping.

___

LI-2V-NU-2

.-._. LI-a-uw-2

DATE 852886 T I E 18:34

_--

LI-2v-Nw-2 ' t . r = P H A S E X X = FREQUENCY CHZ1 USER: W)IZT!l

TRANSFERFUNKT ION

EI- üNïVERSITY OF TECHNOLOGY

w

F

w

....-.

LI-2v-WY-2

Figuur 20. Resultaten voor systeem met 2 vrijheidsgraden en 1 % demping.

_--

LI-ZV-NY-2

...-..

LI-2v-YY-2

DATE @ai I SC

TIt'tE í 5 : i E

USER: Ci3RTM

- EXACT-2V-Nd-2 Y COYERENCE FUNYTION Y = MAGNITUDE

X X = FREQUENCY tHZ1 ---EXACT-2V-Yd-2

EINDYOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

w

F

w

I

1: 08 2.68

Figuur 22. Uitsmerend effect van een window bij zwak gedempte systemen.

x10-1