uitwerkingen 4 havo D H8

Hoofdstuk 8:

De afgeleide

a. Om 07.00 uur en 19.00 uur stijgt de grafiek het sterkst; de grafiek loopt daar ‘t steilst.

b. Nee, in het eerste deel daalde het water minder sterk dan in het tweede deel. c. Om 10.00 uur, 16.00 uur en 22.00 uur steeg of daalde het water niet.

d. e. 2.

a. De snelheid is positief, maar wordt wel steeds kleiner.

b. Langs de horizontale as staat de tijd in seconde en langs de verticale as de snelheid in m/s.

c. De zojuist getekende grafiek snijdt dan

de horizontale as (de snelheid is 0). De gegeven grafiek loopt horizontaal. 3.

a. Voer in: y13x2 en y0 nDeriv y x x( , , )1 . Dit is de afgeleide van y1. De grafiek van de afgeleide van _{f x( ) 3 x}2 _{is een rechte lijn.}

b. De grafiek van f stijgt waar de grafiek van de afgeleide positief is (boven de horizontale as ligt).

4. De helling gaat over van negatief (grafiek is dalend) naar positief (grafiek is stijgend). Er is daar dus sprake van een minimum.

5.

a. _{f x'( ) 3 x}2_6x b.

c. De hellinggrafiek is dan 0 en wisselt van teken, dus bij

0

x  en x 2.

d. De functie stijgt voor x 0 en x 2. De afgeleide is daar namelijk positief.

6.

a. De grafiek heeft daar een horizontale raaklijn. Omdat de hellinggrafiek daar door de x-as gaat, heeft de grafiek een maximum respectievelijk een minimum.

b. Voor x0 is de helling gelijk aan -4. c./d. tijd in uren 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 toename in m 2,4 1,3 -1,1 -2,4 -1,5 1,6 2,3 1,4 x y x f'(x) 1 2 3 4 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6

7.

a. Op het moment dat hij valt.

b. Deze grafiek kan niet getekend worden, want het niet bekend hoe lang hij over de verschillende trajecten doet.

c. zie b. 8.

9.

a. De hellingfunctie snijdt de x-as. b. 2 2 2,01 2 4,01 2,01 2 y x  _  _

  . De grafiek van de hellingfunctie gaat door (2, 4). c. 2 2 3,01 3 6,01 3,01 3 y x  _  _

  . Ja, de grafiek gaat ook door (3, 6). d. We hebben het nog niet voor alle waarden van x laten zien. 10.

a. 0,01 0,001 0,0001 en 0,00001

b. Hoe kleiner Vx, des te nauwkeuriger is de benadering.

c. De differentiequotiënten worden respectievelijk 4,01 4,001 4,0001 en 4,00001. 11. a. 2 2 2 (2 ) 2 4 4 ( ) 4 (4 ) 4 2 2 y x x x x x x x x x x  _   _    _   _{ }    V V V V V _V V V V

b. Als Vxnaar 0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt 4. c. _{f(3Vx) (3 Vx)}2 _{(3Vx)(3Vx) 9 6  Vx(Vx)}2_. d. 2 9 6 ( ) 9 (6 ) 6 y x x x x x x x x  _    _   _{ }  V V V V V

V V . Als Vx naar 0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt 6. De helling van de grafiek van f in (3, 9) is 6.

12. 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) (2 ) 2 y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  _   _    _   _{ }    V V V V V _V V V V . Als Vx naar

0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt naar 2x. Met andere woorden: f x'( ) 2 x.

13.

a. Een rechte lijn door (0, 3) met richtingscoëfficiënt 5. b. c. g x'( ) 5 . d. y 5(x x) 3 (5x 3) 5x 5 x 3 5x 3 5 x 5 x x x x x x  _     _     _{ }    V V V V V V

e. Als Vx naar 0 nadert, dan is het differentiequotiënt altijd 5, voor elke waarde van x. x y x y x y x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1

14. a. _{f x( Vx) ( xVx)}3 _{(xVx) (}2 _{xVx) ( x}2_{2x xV (Vx) )(}2 _{xVx) x}3 _2x2_{Vx x x (V )}2_x2_{Vx2 (x xV )}2_(Vx)3 _x3_3x2_{Vx3 (x xV )}2 _(Vx)3 b. _{f x( Vx)f x( )x}3_3x2_{Vx3 (x xV )}2_(Vx)3_x3 _3x2_{Vx3 (x xV )}2_(Vx)3 c. f 3x2 x 3 (x x)2 ( x)3 3x2 x 3 (x x)2 ( x)3 _3x2 _{3x x ( x)}2 x x x x x  _   _{     }  V V V V V V V V V V V V

d. Als Vx naar 0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt naar _3x2_. Met andere woorden: _{f x'( ) 3 x}2_.

15.

a. Voer in: y₁ x en y0 nDeriv y x x( , , )1 .

Stel de tabel in met TblStart 0 en VTbl 0,1. b. Met VTbl 0,01 is de helling bij 0,01 ongeveer 5,

maar bij 0 nog steeds error. Bij een kleinere verfijning wordt de helling in de buurt van x0

alleen maar groter. c.

16.

a. 0,01 0,001 0,0001 0,00001

b. Het differentiequotiënt is respectievelijk 10 31,6 100 en 316,2

c. Hoe kleiner de Vx, hoe beter/nauwkeuriger de benadering.

d. f x 0 x 1 x x x x x  _  _{ }   V V V V V V

e. Als Vx naar 0 nadert, wordt de noemer kleiner. Het differentiequotiënt wordt steeds groter.

f. De helling in (0, 0) bestaat niet. De grafiek loopt in (0, 0) verticaal. 17. a. g 3 2 4 x 4 (3 2 4 4) 3 2 x 3 2 x 2 x x x x x x                V V V V V V V V

b. Als Vx steeds kleiner wordt, wordt het differentiequotiënt steeds groter. De helling in het randpunt bestaat niet.

18.

a. Horizontale asymptoot: y 0 en verticale asymptoot: x0. b. De helling wordt in de buurt van x0 steeds groter.

19.

a. De functie bestaat niet in x0. b. 0,1 0,01 0,001 0,0001

c. Het differentiequotiënt is respectievelijk -50 -5000 -500000 en -50000000 d. De helling wordt heel erg groot. De grafiek loopt dus heel erg steil.

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 yo ERR 1,581 1,118 0,913 0,791 0,707 0,646 0,598 0,559 0,527 0,500 x y 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 -1

20. a./b. 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2( ) y _{x x x x x} x x x x x x x     _{      }   VV V V V V VV V V V

c. De helling wordt weer heel erg groot.

21. Als de grafiek een horizontale asymptoot heeft gaat de grafiek steeds minder steil omhoog. De helling nadert dan naar 0.

22.

a. Als de hellingfunctie 0 is, loopt de grafiek van de functie horizontaal.

b.

c. De grafiek moet dalen (helling is negatief) voor x2

en stijgen (helling is positief) voor x2.

B.v. _{y (x2)}2_{c voldoet voor iedere waarde van c.} 23.

a. f heeft een top voor x 4 (maximum) en voor x 2 (minimum)

g heeft drie toppen: x 5 en x 2 (maxima) en x 0 (minimum). b.

-c. Er zijn meerdere grafieken mogelijk die voldoen. Door een verticale verschuiving van de grafiek van f verandert de hellinggrafiek niet.

24.

a. Voor x  1 en voor x1 is de helling negatief: de grafiek van f daalt daar. b.

c. De hellinggrafiek blijft negatief bij x0; de grafiek loopt even horizontaal, maar blijft dan verder dalen. Bij x 5 gaat de helling van negatief over in positief. De grafiek gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum.

d.

e. zie ook opgave 23c. 25.

a. De grafiek van g is overal stijgend.

b. De grafiek van g heeft één of twee horizontale asymptoten. c. 26. a. f x'( ) 2 b. c. y 2x d. y 2x c , waarbij c een willekeurig getal is.

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 -1 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 y  2x y 2x 3  y 2x 2, 5 

27. a.

b. De grafiek van g’(x) snijdt bij 1 2

1

x  de x-as en gaat over van negatief naar positief.

c.

d. _{s x( ) x}2

e. De top van de grafiek van g is bijvoorbeeld

(1; -1,5). 1 2 1 2 4 ( ) ( 1 ) 2 g x  x  28. a. f x'( ) 2 x4 _{f x( )x}2_{4x c} b. 1 3 3 ( ) g x  x c. Elke functie 1 3 3 ( )

g x  x c voldoet hieraan. Hierin is c een constante. 29. a. f x'( )x en g x'( ) 3 b. 1 2 2 ( ) f x  x c en g x( ) 3x c 30. a. _{F x( ) 2 x}2 _{c. F x( ) 2 x}5 b. 1 4 2 ( ) F x   x d. F x( ) 2x 31.

a. Voer in: y12x en y0 nDeriv y x x( , , )1 activeren.

b.

c. De hellinggrafiek lijkt op een exponentiële functie met groeifactor 2. 32. a. 3,01 3 2 2 5,564 3,01 3 y x  _  _

  De echte helling is ongeveer 5,545 b. Voer in: ₁ 2 1 x y x   1(0,1) 0,7177 y  y₁(0,01) 0,6956 y₁(0,001) 0,6934 y₁(0,0001) 0,6932

De uitkomsten naderen een vaste waarde. c. De waarde van de breuk wordt ongeveer 0,6931

d. 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2 2 1 x x x x x x x x x x y x x x x x   _  _   _   _{ }   V V V V V V V V e. _{f x}'( ) 0,6931 2_{ } x

f. De groeifactor van f’ is weer 2 en de beginwaarde 0,6931.

33. 3 3 3 3 3 3 (3 1) 3 3 1 x x x x x x x x x x y x x x x x   _  _   _   _{ }   V V V V V V V V

Als Vx naar 0 gaat, wordt de laatste term ongeveer 1,099

'( ) 1,099 3x h x   . x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 10 12 -2 -4 g'(x) g(x)

34. a.

b. De hellinggrafiek lijkt ook weer exponentieel. c. beginwaarde: -0,693 0,347 0,693 0,5    0,3470,173 0,5    0,0870,173 0,5    … groeifactor: 0,5 d. 1 2 '( ) 0,6931 ( )x g x   

e. Op dezelfde manier als in opdracht 32. 35.

a. _{f x}'( ) 1,609 5_{ } x _en 1

5

'( ) 1,609 ( )x

g x   

b. f is een stijgende functie (groeifactor is groter dan 1), dus de afgeleide moet altijd

positief zijn. En g is een dalende functie; afgeleide altijd negatief.

c. _{h x}'( ) 1,099 3_{ } x _en 1

3

'( ) 1,099 ( )x

k x   

d. De bijbehorende constanten (de startwaarden) zijn tegengesteld.

36. 3 5 3 50 3 5 3 3 (5 1) 3 5 1 x x x x y x x x x x  _    _   _   _{ }   V V V V V V V V

Als Vx heel klein wordt, gaat y

x   naar 3 1,609 4,828 4,828   37. a. f x( ) 0 2 3 3 2 2 3 9 9 ( 9) 0 0 9 x x x x x x x x x x x          b. f x( ) 0 voor x 9. c. y 3 x x x 0 3 x x x        V V V _V V

d. Als Vx naar 0 nadert, gaat het differentiequotiënt naar 3. e. y 3x f. f













g. De helling van de grafiek in (9, 0) is -1,5. h. y  1,5x b 0 1,5 9 13,5 13,5 1,5 13,5 b b b y x            i. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 g(x) 1 0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,016 0,008 0,004 helling -0,693 -0,347 -0,173 -0,087 -0,043 -0,022 -0,011 -0,005 -0,003 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

38. a. b. _{Vy s t( Vt)s t( ) 5 t}2_{6t10t tV 6Vt 5( )Vt} 2_{(6t5 ) 10t}2 _{ t tV 6Vt5( )Vt} 2 10 6 5 y t t t  _{  }  V c. naar 10t6

d. De snelheid van het voorwerp, t seconde nadat het is weggegooid kan berekend worden met v 10t6 39. a. 0 2 2 2 3 3 3 ( ) x ( ) ( ) x 1 y x x x    _{ }  V V V V b. f'(0) 0,405 40. a. 1 2 '( ) 3 ( ) F x  x f x b. P(2, 2): Opp_DAKP   4 2 8, 1 2 4 2 4 DPL

Opp     Totale oppervlakte is 12.

c. Als x 2 ligt K op A en is de oppervlakte 0.

d. AK     x 2 x 2 P(x, 2) 1 2 ( , 3) L x x 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 4 ( ) ( 2) 2 ( 2)( 3 2) 2 4 ( 2)( 1) 2 4 ( 2 2) 3 5 O x x x x x x x x x x x x                      e. O x'( )f x( ) f. 2 1 2 4 '( ) 3 1 G x  ax  b x  1 4 1 12 3 1 12 3 1 '( ) a en b a G x x x c       2 3 2 3 ( 2) 2 0 2 G c c        g. x3 h. 1 3 2 11 12 3 12 (3) 3 3 2 7 Opp G      41.

a. De functie stijgt op interval , 4 (de afgeleide is daar positief) en daalt vanaf

4

x  .

b. Bij x 4 gaat de helling van positief naar

negatief. De functie gaat van een stijging over in een daling, dus is er een top in de grafiek. Bij

0

x  verandert de afgeleide niet van teken, dus blijft stijgen.

c.

d. Daar heeft de helling een uiterste waarde; de grafiek loopt daar het steilst.

t s(t) 1 11 2,3 40,25 1 t _{6(t 1) 5(t1)}2 _{6t 6 5(t}2_{2t  1) 5t}2_16t11 tVt 6( ) 5( )2 6₂ 6 5( 2 2 ( ) )2₂ 5 6 10 6 5( ) t t t t t t t t t t t t t t t t               V V V V V V V V x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 3 4 5 6 -1 -2

T-1. a/b/e.

c. x 0: helling is maximaal 0; de grafiek daalt en heeft daar een buigpunt met horizontale raaklijn.

2

x : de grafiek heeft daar een minimale waarde. d. De grafiek stijgt op 2 ,

f. De helling is minimaal: buigpunt in de grafiek. T-2. a. _(xVx)4 _{(xVx) (}2_{ xVx)}2 _(x2_{2x xV (Vx) ) (}2 _{ x}2_{2x xV (Vx) )}2 _ 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 2 ( ) 2 4 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 6 ( ) 4 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                V V V V V V V V V V V V b. 4 3 2 2 3 4 4 1 1 2(x 4x x 6 (x x) 4 (x x) ( x) ) 2x y x x       _{ }  V V V V V 3 2 2 1 3 2 2x 3x x 2 (x x) ( x)   V  V  V

c. Als Vx naar 0 nadert gaat y

x



 naar 2x3. T-3.

a. De grafiek is dalend, dus f’ is negatief. b. y













T-4. a. _{F x( ) 3x}4 _b. 1 0,693 ( ) 2x G x   c. H x( ) 2x d. 1 6 2 ( ) K x  x T-5. a. b. a0,693 b1,099 c1,386 c. x0,592 T-6. a.

b. De hellingen veranderen daardoor niet.

c. De helling is maximaal (bij x0); de grafiek loopt daar ’t steilst (in een kleine omgeving rond x0) en de helling is minimaal (bij x 1,2). De grafiek heeft op die plaatsen een buigpunt.

d. De hellingfunctie heeft 3 snijpunten met de x-as. T-7.

a. 0 ,

b.

c. Verticale asymptoot: x0; horizontale asymptoot: y 0. d. Het domein van de hellingfunctie is gelijk aan die van de

functie, en het bereik: 0 , .

x y 1 2 3 -1 -2 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 1 2 3 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 2 4 6 8 10 12 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12