Werkwijzen bij symmetrie/antimetrie en bij gebruik van substructures

substructures

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D. (1971). Werkwijzen bij symmetrie/antimetrie en bij gebruik van substructures. (DCT rapporten; Vol. 1971.021). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1971

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Rerkwijzen bij symmetrie/antimetrie en bij gebruik van substructures.

J.D. Janssen, maart 1 9 7 1 1. Inleiding

Ondermeer door de ontwikkeling van elementgeneratoren neemt het aantal optredende onbekende in de problemen, die momenteel met de eigen program- ma's worden aangepakt, ontstellend toe. De rekentijden op de

EL

X-8 dreigen daardoor te escaleren

Het is derhalve noodzakelijk te onderzoeken of de triviale werkwijze niet vervangen kan worden door een aanpak die de rekentijden aanmerkelijk kan verkorten.

Gedacht kan hierbij bijvoorbeeld worden aan:

I . de mogelijkheid om zoveel mogelijk elementen dezelfde afmetingen te geven. De stijfheidsmatrices voor een groep elementen zijn dan hetzelfde (althans in lokale coördinatensystemen)

.

De opbouw van de stijfheidsmatrixican de constructie kan zo wellicht verkort wor- den.

-

Opm.: Het is uiteraard nodig te weten hoeveel tijd het maken van de stijfheidsmatrix vergt; om na te gaan

langrijk voordeel te verkrijgen is. Voor simpele elementen is dit niet erg waarschijnlijk.

of hieruit een be-

2. Wanneer elementgrootheden berekend moeten worden, moet de stijfheids- matrix van ieder element in sommige gevallen tweemaal berekend wor- den. Bet op magneetband opslaan van de element-stijfheidsmatrices heeft dan voordelen (zie concept balkenprogramma van Bert Janssen).

3 . Gezocht moet worden naar een versnelling van de oplossingsmethode

volgens Choieski. Met name dient dan gelet te wordeiì op de vele ele-

menten die nul zijn in de band van de matrix.

In de literatuur is een programma gepresenteerd waarmee een set al- gor-ithmen wordt gecreëerd waarin de vermenigvuldigingen met nul zijn geliquideerd.

Bij een gegeven topologie en bij gegeven elementtype is de plaats van de nullen te achterhalen. Een optimale Choleski-procedure is dan te genereren (kost uiteraard tijd!) en met deze proeedure kunnen dan alle problemen die gekoppeld z i j n aan deze topologie en elementtypen optimaal worden opgelost.

Deze werkwijze kan voordelen hebben wanneer een aantal geometrisch verschillende, doch topologisch identieke problemen moeten worden

geanalyseerd.

Een andere richting die mogelijkheden biedt (en waarop w e hier verder ingaan) gaat er vanuit de constructie op te bouwen uit een aantal deelconstructies (substructurering).

2. Substructures

Het is zinvol onderscheid te maken tussen het opdelen van de beschouwde constructie in kleinere delen om:

a. de invoer fe reduceren omdat per deel een grote regelmaat in

topologie (en eventueel geometrie) aanwezig is. Denk b.v. aan topologische variabelen en aan mesh-generator.

b. fysische redenen. Denk b.v. aan wijzigingen in bepaalde délen van de constructie of aan de koppelcondities van bepaalde delen.

Verdelingen met als criterium a. zouden

wij

willen aanduiden als subnetten; met als criterium b. substructures (subconstructie).

Wij richten ons hier op substructures, ofschoon het formalisme ook gebruikt kan worden voor subnetten.

(Nomenclatuur is niet erg fraai:)

Bij een substructure wordt onderscheid gemaakt tussen: a. interne knooppunten

b. externe knooppunten

Externe knooppunten zijn die knooppunten die ook in de (háofd-)constructie voorkomen. interne knooppunten zijn alle andere knooppunten

U: externe knooppunten x: interne knooppunten Cubstructure

De verplaatsingsvector voor de substructure, u, wordt gepartitioneerd in:

Er geldt: Qee Qei t Qei

Qii

externe verplaatsingsgrootheden interne verplaatsingsgrootheden U e U. 1 e f f. 1

- =

if,

f. 1 of Qio u i- Qei Ú. = fe Qee e 1 U. 1

'

-1

'

-1

u + Qii u. = f. _u. 1 =

-

Qii

0

,

;

Ue + Oii f; Qei e 1 1

Beschouwen wij de hele substructure als één element met als knooppunten de externe knooppunten, dan is de verplaatsingsvector van dit element u e' de s t ij fheidsmat rix

-1 '

Qei

Qii Qei,

en de kinematisch consistente belastingsvector

-

-

Qee

- 1

-1

_f.

ei %i 1

van de inwendige belasting -Q

Hiervoor is ervan uitgegaan dat alle componenten van u. 1 onbekend zijn.

In het algemeen kunnen echter een aantal componenten van de interne verplaat- singsvector bekend zijn.

Schrijf voor de interne verplaatsingsvector:

'

1

U. U O

1 O

Q-d

-

onbekend bekend,

# O

bekend, gelijk O Dan vinden wij :

Qee

I

$ei Qii s p . Uit 1 u = f. volgt dan:

9

,

;

ue + Qi; U. 1 + Qio o 1

-1 . '

-1

-1

U

_-

Qii Qi0 u o + Qii fi Qii Qei e

u. =

-

\ 1

D e i n t e r e s s a n t e r e l a t i e s l u i d e n dan:

-1

-

(Q

e o - 1 - Qei Qii

Q;,)

u. Opm. ~

1

W i j z i j n e r v a n u i t g e g a a n d a t Q. i n v e r t e e r b a a r is. ii U i t b i j v o o r b e e l d : I u = f . (uo i s a f w e z i g ) Qei ue +

Q;;

U . 1 + Qio o 1

v o l g t d a t Qii a l l e e n d a n i n v e r t e e r b a a r i s , wanneer b i j gegeven

f. en gegeven u t e k e n t d a t door u moet z i j n . D i t i s zeker n i e t a l t i j d h e t geval. en u d e v e c t o r u . l e e n d u i d i g v a s t l i g t . D i t be- 1 e O en u d e beweging a l s star l i c h a a m v e r h i n d e r d e O V o o r b e e l d : Qii

=[

4

s2

R2

i““.”

2

s2

R 2 6 S2 R 2 12

s2

6

s2

R

1

2

s2

R2 6 s 2 4

s2

R’J

I

u = u(0) e - EI s2 -

a3

Z e t i s

-

ook f y s i s c h - d i i l d e l l j k d a t Q . . s i n g u l i e r I s . Imers: 11

l x

tweede r i j = eerste

+

d e r d e r i j .

Opm.

2

W i j z u l l e n d e volgende n o t a t i e gebruiken:

Opm. 3 De p o t e n t i ë l e e n e r g i e i n d e s u b s t r u c t u r e b e d r a a g t :

1 - 1 1

-u - -u f - u f. e l V = ’ u _{2 e e e e} Q _{e e}

3. Symmetrie en

Antimetrie

Er bestaarr nog al wat constructies die een of meerdere symmetrievlakken bezitten. Door een symmetrievlak wordt een constructie verdeeld in twee delen, met de eigenschap dat het ene deel te verkrijgen is door.spiege- ling in het symmetrievlak van het andere deel. Aan iedere punt van het ene deel is een punt toe te voegen van het andere deel door spiegeling t.o.v. het symmetrievlak.

Wanneer er meer dan één symmetrievlak is, kunnen allerlei eigenschappen over de onderlinge oriëntatie van deze vlakken worden afgeleid.

Wij beperken ons hier tot de situatie waarbij alle symmetrievlakken een gemeenschappelijke snijlijn bezitten (de as van de constructie). Wij kun- nen dan onze aandacht richten op de snijlijnen van de symmetrievlakken met een vlak loodrecht op de as van de constructie (= symmetrielijnen).

Wanneer het aantal symmetrielijnen n bedraagt (waarbij n de waarde 1 , * 2 , 3 , . . ,

kan hebben),dan is de hoek tussen twee opeenvolgende symmetrielijnen:

Uit een segment van de constructie ter grootte 4 kan de hele constructie worden opgebouwd door herhaalde spiegeling t.o.v. de symmetrielijnen. Het heeft zin een dergelijk segment te begrenzen door twee symmetrielijnen. In onderstaande figuur is een constructie met vier symmetrielijnen we erge-

Het is duidelijk dat uit de elementverdeling voor één bepaald segment, een elementverdeling voor de hele constructie te genereren is door spie- geling t.o.v. de symmetrielijnen. Uiteraard moeten dan geen elementen over de grenzen van het segment vallen. Of anders gezegd: de symmetrie- lijnen

zijn

begrenzingen van elementen. _/

/

spiegeling

/

#I

/

ongeoorloofd geen net" element

Het is geschikt de segmenten te nummeren en per segment een segment- coördinatensysteem te hanteren, die onderling via spregeling in elkaar zijn over te voeren (zie fig.)

De coördinaten van de knooppunten van segment

1

t.o.v. (xl, yl) zijn dan gelijk' aan de coördinaten van de ;overeenkomstige knooppunten van segment 2

t.o.v. (x2,

Y,>

Er bestaan nu

-

tenminste

-

2 verschillende wegen om van de symmetrieën in de constructie gebruik te maken:

1. superpositie van een aantal belastingssituaties zodat de gegeven belasting verkregen wordt, terwijl bij ieder der deelproblemen de belasting óf symmetrisch Óf antimetrisch is t.o.v. de symmetrielij- nen. Wij kunnen ons dan in eerste instantie richten op één segment, waarbij voor ieder der deelproblemen andere geomettische randcondities op de symmetrielijnen gelden (zie hooidstuk 4 , waarin aangetoond is

àat deze werkwijze beperkt is>.

2. gebruik van substructures. Ieder segment wordt als een substructure gez ien.

Wij zullen in de volgende hoofdstukken deze twee wegen nader uitwerken en eva- lueren.

4. Symmetrie en htimetrie: superposikie van deelproblemen

Opm.:

1 .

Wij zullen ons louter bezighouden met situaties van voorgeschreven

-

belastingen. De ondersteuningen (verplaatsingen gelijk aan nul) vol- doen aan de symmetrierelaties. Problemen waar verplaatsingen worden voorgeschreven, ongelijk aan nul, kunnen analoog worden aaqgepakt.

2. De opzet moet zo zijn dat de gebruiker de resultaten verkrijgt, die hij wenst. Hij moet dus van superpositie-werkzaamheden worden ontlast.

Het is bekend dat

bij

constructies met één of twee (onderling loodrechte) sym- metrielijnen de belasting altijd gezien kan worden als de superpositie van een aantal belastingssituaties (zie figuur).

symmetrische be las t ing

Opm: De constructie is uiteraard voldoende ondersteund.

-

c antimetrische belasting c

+

IA A

1

A

-

3 4

I’+

I

I

(S: lijn t.o.v. waarvan belasting symmetrisch is) (A: lijn t.o.v. waarvan belasting antimetrisch is)

Bekijken van Gén segment, met verschillende geometrische randcondities langs de begrenzingen is dan voldoende.

Hoe gaat dit wanneer er meer dan 2 symmetrielijnen bestaan? Is het dan ook voldoende om één segment met verschillende randcondities te bekijken? Aan een voorbeeld is simpel toe te lichten dat het in het algemeen n5et voldoende is een segment te analyseren.

-

Neem b.v. een constructie met 4 symmetrielijnen, belast door een wille- keurige belasting

I '

De 4 v . r C L U~vac z c j u i s t w e r t dit prcblee~ o v e r i n de vier) hieronder schematisch

aangegeven problemen.

I I1

I11

IV

Analyseren van

De problemen I en IV kunnen direct worden overgevoerd in problemen waar-

bij ook van symmetrie t.o.v. de lijnen 2 en 4 gebruik wordt gemaakt. van de constructie is dus weer zonder meer mogelijk.

Wij bekijken daartoe eenvoudig als nieuwe constructie

i

van de oude.

_ _

-.-

- " i

Dus voor I: voor IV:

A

2

I

5

Beide (nieuwe) constructies zijn symmetrisch t.o.v. de lijn 2.

Dus : vooor I:

+

voor

11:

- A

Proberen wij hetzelfde voor b.v. constructie 11, dan moet onmiddellijk geconcludeerd worden dat deze nieuwe constructie

-

niet symmetrisch t.o.v. iijn 2 is (zie fig.)

Is

géén symmetrielijn van deze constructie!

Conclusie: Wanneer een constructie 4 symmetrielijnen bezit, dan hoeft slechts

a

van deze constructie geanalyseerd te worden. Er moet echter ook tenminste

4

geanalyseerd worden.

Anders gezegd: er kan voor de oplossing slechts van 2 sym- metrielijnen (onderling orthogonaal) gebruik gemaakt worden. De belangrijkste beperking van deze methode is hiermee aangegeven.

Wij willen nog iets nader ingaan op een constructie met 3 symmetrielijnen (zie figuur)

Een willekeurige belasting kan uiteraard weer gezien worden als de super- positie van een belasting die symmetrisch en een die antimetrisch is t.o.v. één symmetrielijn (b.v. lijn

1);

S

Bestudering van het zesde gedeelte van de constructie is alleen mogelijk voor belastingssituaties die

-

of synnrEtrisch of antimetrksch zijn t.o.v. alle drie de symetrielijnen.

Dus b.v.:

Wij gaan nu verder uit van de situatie dat de beschouwde constructie twee (onderling loodrechte) symmetrielijnen heeft en dus opgebouwd wordt uit 4 segmenten, Bij meerdere symmetrielijnen kan uiteraard via iden- tieke subnetten gebruik worden gemaakt voor de topologie en geometrie van een segment.

Wij richten onze aandacht op één segment (het hoofdsegment). Het coördi- natensysteem waarin wij werken wordt bepaald door de symmetrielijnen.

De verplaatsingsvector voor dit segment wordt geschreven als:

I t I U U U

A.

]

L-

AXX XY YX

YY

1 waarbij : u. : inwendige verplaatsingsgrootheden 1

u : verpl. grootheden op x-as in x-richting xx

u : verpl. grootheden op x-as in y-richting

XY

u : verpl. grootheden op y-as in x-richting YX

: verpl. grootheden op y-as in y-richting.

UTTV _{J J} Er geldt:

Q *

f _xx - f XY f YX f

YY

f. 1

-

-De krachtengrootheden f

de verplaatsingsgrootheden u

...,

u

.

(Behalve de geformeerde verplaatsingsvectoren,

zijn

er uiteraard ook een aantal verplaatsingen gelijk aan nul; Qndersteuning van de constructies).

...

f zijn op analoge wijze gedefinieerd als

i'

YY

i'

YY

Voor de verschillende deelproblemen geldt:

u

= o

XY u

= o

YX 6 f

= o

xx f = 0- YY u

= o

XY u

= o

YY

f = 0 % xx f = O * YX - f. y"= fSA

fi

- f~~ 1 u

= o

u

= o

xx YX XY

YY

f =

o *

f

= o

f. = fAS 1 u

= o

u

= o

xx

YY

XY

YX

f = 0% f =

o p

f. = f u 1

Wij moeten nog nagaan hoe f. voor deze deelproblemen eruit ziet. ₁

ir, het algemeen niet identiek zijn. Eet zal duidelijk zijn dat fcs,

...,

fAA

Uiteraard moeten de plaatsen worden gekarakteriseerd waar krachten aangrijpen. WaEineer de elementnummering per segment verkregen is door spiegeling om de

symmetrie-assen van de nummering in segment

1 ,

dan is een unieke karakteri- sering mogelijk door aan te geven:

- segmentnummer

-

segment-knooppuntsnummer

Stel dat in alle vier de segmenten op overeenkomstige plaatsen krachtgroot- heden zijn voorgeschreven. Stel dat deze krachten betrokken zijn op de seg- mentcoördinatensystemen uit onderstaande figuur

ft

Alleen juist, wanneer geen uitwendige belasting op de symmetrielijnen aanwezig is.

o

Y

o

o

Noem deze krachten resp. f l y f2’ f 3 en f 4’ Wat is dan krachten in f s S y

. .

.

y fa.

Wanneer voor S =

1

en A = -1 wordt genomen (dus f

1 1

y 1

f ) dan geldt:

AA

de bijdrage van deze

-

- f S S ) ...y 2I-ly-i

fliyjl: = $ 1 1 x f l

+

j

x f2 + i x

j

x f 3 + j x f41 (i: = iy-i; j: =

1,-1)

Transformatie van grootheden in een segment cozrdinatensysteem naar het glo- bale x-y-stelsel i s zeer simyel en wordt gecommandeerd door:

-

-xx f f Xy f YX f f. YY 1 Eet s t e l s e l d a t d e problemen b e s c h r i j f t , l u i d t : U xx U YX U YY U.

7:

1 L 911 Q12 922

-

‘13 Q2 3 Q33 ‘14 Q2 4 Q34 ‘44 -1 ‘15 Q25 435 Q45 Q55

_--

S u b s t i t u t i e i n d e andere v e r g e l i j k i n g e n levert:

-

‘11 Icls

9;:

‘51 Q12 -“15

‘i;

Q52 ‘13 -‘I5 ‘53 ‘14 -Q15

‘i;

‘54

1

‘22 -Q25

‘i:

Q52 ‘23 -Q25 Q53 Q24 -‘25 454 Q33 -Q35 Q;: Q53 934 -Q35

‘i:

454 444 -45

9,:

Q54

-

Afgekort weergegeven:

-

Qe waarbij geldt : of . -xx f f XY f YX f YY - -

.

-Q15 Q2 5 Q35 Q45

-

--

- 1 Qe

p,j]

=

Q

ij

-

Qi,

Q,,

Q5j -1 Q55

fi

(i,j

= 1 ,

...,

4)

Q2 5

_>I

945

Wanneer b.v. de belasting symmetr-sch op te lossen vergelijkingen:

is t.o.v. be ie lijnen, -an zijn de

-1

_ /

-

r51

Q55

fss

xx

f

-

Opm.: Wanneer de knooppunten op de symme- teielijnen uitwendng onbelast zijn,

xx YY dan geldt: f = f =

o

Opm.

1 .

Oppassen met eventuele beweging als star_lichaam!

2. De selectie van de matrices voor een bepaalde belastingsconfiguratie is zeer simpel.

Het bovenstaande stelsel vergelijkingen bevat evenveel onbekende als er randpunten op de symmetrielijnen zijn.

Wanneer het reehterlld wül is, behoeft het stelsel üiteraard =iet q g e - lost te worden.

3 .

Is b.v. f = f3 en f

1 2 = f 4 = O (zie figuur) dan geldt:

dus

en

1 f

p,lj

=

6

f

-

f

[-',-'I

=

1

f l (dubbele symm. ) (dubbele antimetrie)

Hieronder volgt in het kort de werkwijze die gevolgd zou kunnen worden.

-

Bekijk segment 1

( i

van de constructie)

-

topologische karakterisering: (Re, Rnp)

karakterisering knooppunten op symmetrielijnen

onderscheid in verpl. in de rich- ting van en

1

lijnen

op de symmetrie-

-

coördinaten knooppunten en andere geometrische

-

en materiaal- gegevens.

-

Generatie van elementverdeling voor hele constructie door spiegeling

t.o.v. symmetrielijnen.

-

analoge knooppuntsnummering in ieder segment

-

Karakterisering van de belasting van de constructie b.v.

in segment

1 ,

knooppunt 26, kracht in xl-richting in segment 3, knooppunt 46, kracht in y,-richting

J

of in globaal coördinaten- systeem. (Hier zijn uiteraard verschillende karakteriseringen

mogelijk; b.v. een faciliteit wanneer

in

meer seg- menten "dezelfde" belasting gegeven is. )

-

- -n *rormeren van f li,j _{(zie pag.15)}

-

met de faciliteit dat f li,jl voor bepaalde combinaties (i,j) nul is.

-

uitkijken met krachten op de symmetrie-assen.

-1

en

Qi,

Q

,

,

e

-

-

Bepaling van de relevante posities van

Q

(i

= l , . . . , 4 )

Wanneer niet alle f [i,j] van nul verschillen, behoeft slechts een deel van de matrices bepaald te worden.

Deze matrices kunnen snel bepaald worden.

-

Bepaling van u

...,

u voor iedere relevante combinatie van symmetrie

xx’ YY

en/of antimeteie.

-

Bepaling van u. voor iedere belastingscombinatie (in dezelfde loop als het

1

voorgaande)

-

Per segment berekening verplaatsingen, spanningen enz.

-

Opm: Noemen

wij

de knooppuntsverplaatsingen die horen bij de belastingssituatie f [iyj]

(i

=

-lyl,:j

= - 1 , l ) voor segment

1

plaatsingen voor de verschillende segmenten aan:

u

[i,j],

dan voldoen de ver-

1

2 segment

1 :

u 2: u enz.

l 4

3 I

1

1

- I “2 u[-1 ,-l]

Opm: Bovenstaande relaties en’de betrekkingen voor f

I

i,j

I

zijn m.b.v. virtuele arbeid uit elkaar af te leiden.