Enige problemen bij het toepassen van komplementaire energie in de elementenmethode

Enige problemen bij het toepassen van komplementaire

energie in de elementenmethode

Citation for published version (APA):

Hulsebos, A. (1972). Enige problemen bij het toepassen van komplementaire energie in de elementenmethode. (DCT rapporten; Vol. 1972.013). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1972

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

I N DE ELEMENTENPETHODE

Ton Hulsebos j u n i 1972

Symbolen lij s t I n 1 e i d i n g B a l k

I

B a l k I1 C i r k e l v o r m i g e p l a a t P l a a t I P l a a t I1 P l a a t

111

C o n c l u s i e

B i j l a g e O p l o s s i n g van een tweede o r d e

één

d i a i e n s i o n e l e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g B i j l a g e P o t e n t i a a l v e r g e l i j k i n g B i j la g e P l a a t B i j l a g e B i j l a g e P o t e n t i ë l e en complementaire e n e r g i e . T r a n s f o r m a t i e v a n U en

V

op d e rand S v a n g e b i e d G

Symbolenlij

s t F

f

G

i

' k I

K

n

1

, g

1

x

iIl

M

n

M

nt

variabelen

dwar

skrach

t

rekken

elasticiteitsmodulus

funktionaal

volumekr

ach

ten

gebied

deelgebied

oppervlaktetraagheidsmoment

indices

g

er

educe

er

d

e

dw

ar

s

kr

ach

t p

er e

enhe

id

van

.lengte

indices, duiden op lokaal en globaal

as

s

enkrui

s

lengte

buigend moment bij de balk

aantal elementen

buigend moment per eenheid van lengte

bij de plaat

torsiemoment per eenheid van lengte

bij de plaat

momenten per eenheid van lengte

aantal knooppunten

kracht

mament per eenheid van lengte

verdeelde belasting

-

bij balk per eenheid van lengte

- bij plaat per oppervlakteeenheid

1

MLT-2 I I

dwarskrachten per eenheid van lengte

Qx, Qyy Qn

R

_ILI

I L I

kromt

es

tr

aal

koördinaat op de rand

s

rand van het gebied

G S

k

rand van het gebied g

stuk van S waarop verplaatsingen zijn

voor

ge

s

c

hr

even

k

S U

c

S

P

stuk van S waarop spanningen zijn

voorgeschreven

spanningen

t..

15

raaklijn- en normaal vektor

richting van raaklijn en normaal

komplementaire energie funktionaal

spanningsfunktie vektor komponenten

U

verplaats

ipgen

inwendige energie per oppervlakte-eenheid,

uitgedrukt in de spanningen

U. I

W

W X Y

Y

ILI

i

L I

zakking

koördinaten van het assenkruis

var

iab

e

len

aanduiding voor variëren

spannlngsfunktie

hoekverdraaiing

kromming per eenheid van lengte bij plaat

K

ij

hoek tussen raaklijn en positieve x-as

hoek tussen raaklijn en positieve x-as.

snedemomenten bij de balk

momenten per eenheid van lengte bij de

plaat

x Y X A

T

d u i d t op een v o o r g e s c h r e v e n symbool d a k j e , a l s d i t t e k e n boven een g r o o t h e i d staat, b e t e k e n t h e t d a t d i e g r o o t h e i d een f u n k t i e i s v a n x en y . Het d a k j e wordt a l l e e n g e b r u i k t a l s een g r o o t h e i d a l s vek- t o r geschreven kan worden, maar ook a l s f u n k t i e v a n x en y .

I n l e i d ing

De o p d r a c h t d i e i k Kreeg, l u i d d e : 'Inaak een prograrma v o o r p l a a t b u i g i n g , gebaseerd op d e a n a l o g i e v a n de Veubeke".

Deze a n a l o g i e houdt i n d a t d e aanpak v a n h e t plaat-buigprobleem met komplemeni taire e n e r g i e een g r o t e overeenkomst v e r t o o n t m e t d e oplossingsnethode v o o r de i n h e t v l a k belaste p l a a t net p o t e n t i ë l e e n e r g i e .

B i j d e komplenentaire e n e r g i e wordt g e b r u i k gemaakt v a n s p a n n i n g s f u n k t i e s . I n h e t e e r s t e h o o f d s t u k (Balk I) wordt aangetoond d a t d e s p a n n i n g s f u n k t i e v o o r d e b a l k n i e t b e s t a a t . Aaar t o c h heb i k geprobeerd een oplossingsmethode

t e vinden ( B a l k

11),

omdat i k hoopte h i e r v a n b i j d e p l a a t g e b r u i k t e kunnen maken.

I n h e t h o o f d s t u k c i r k e l v o r m i g e p l a a t wordt d e a n a l o g i e g e d a c h t e i n g e l e i d v o o r d e r o t a t o r i s c h symmetrisch b e l a s t e s c h i j f . D i t i s een eenvoudiger s i t u a t i e dan d i e b i j d e r e e h t h o e k i g e p l a a t , en h e t b l i j k t d a t er span- n i n g s f u n c t i e s kunnen worden i n g e v o e r d .

I n P l a a t I wordt de koritplementaire e n e r g i e voor de p l a a t b u i g i n g g e v a r i e e r d on een a a n t a l r e l a t i e s t e vinden v o o r d e krommingen, en omdat t e kunnen doen wordt g e b r u i k gemaakt vaE de s p a n n i n g s f u n k t i e s . I n P l a a t I wordt d e rand S g l a d genomen. i n P l a a t

11

wordt aandacht geschonken a a n d e d i s k o n t i n u i t e i t e n . I n d i t h o o f d s t u k wordt zowel net p o t e n t i ë l e e n e r g i e (om e v e n w i c h t s r e a l t l e s a f t e l e i d e n ) a l s m e t komplementaire e n e r g i e gewerkt.

I n P l a a t I11 worden een a a n t a l r e s u l t a t e n b i j elkaar geveegd en er wordt een a a n w i j z i n g gegeven v o o r h e t g e b r u i k v a n de elementen methode. h i e r o p wordt i n b i j l a g e P l a a t d e aamzet v ~ o r een r e k e n p r o g r a m s geh~uvd. Ir,

de

Uxjlage w o r d t

or,derueer d e f I e x i S i I i t e i t s z z z t r I x vûûr d e k o z q j l e a e n t a i r e ene-rgie ar'geieid.

T o t h e t programmeren v a n d i t crlles t o t een r e k e n p r c g r a m a ben I k n i e t gekoinen.

. .

I

D e l a a t s t e b i i j l a g e b e v a t n a a s t ie$s van d e achtergronden van complemen- t a i r e en p o t e n t i ë l e e n e r g i e ook d e e i s e n waaraan een kinematisch toe- l a a t b a a r of een s t a t i s c h t o e l a a t b a a r s t e l s e l moet v o l d o e n .

3 e door m i j geraadpleegde l i t e r a t u u r :

-

S t r a i n - e n e r g y bounds i n f i n i t e eleinent a n a l y s i s by slab-analogy, v a n

B.

Fraijs d e Veubeke en O.C. Z i e k i e w i c z , Jozrn. of S t r a i n A n a l y s i s , V o l .

2,

no. 4 , 1967.

-

A p p l i c a t i o n s d e l a methode des elements f i n i s à l a f l e x i o n des p l a g u e s , ^ van S . Sander.

-

De s t i j f h e i d s m a t r i x en d e spanningsvektor voor h e t TRIM-6 element, v a n

P.B.

Veldpaus.

-

S t a t i c - g e o n e t r i c a n a l o g i e s and f i n i t e element models, v a n B.F. d e Veubeke.

De opzet van d i t hoofdstuk i s t r a c h t e n d e t h e o r i e van d e Veubeke t o e t e passen op d e b a l k . U i t b e t e k e n t :

1 .

2 . 3 .

g e b r u i k naken van d e komplementaire e n e r g i e f c r m u l e r i n g . h e t aangeboden momentenveld moet s t a t i s c h t o e l a a t b a a r z i j n .

zoeken naar d e m o g e l i j k h e i d om g e b r u i k t e maken v a n spanningsfunktie v e k t o r koaponenten, om d e o v e r e e n k o m t net d e op trek b e l a s t e b a l k , m e t p o t e n t i ë l e e n e r g i e aangepakt, t e bestuderen (de a n a l o g i e gedachte v a n d e Veubeke).

Yoor d e eenvoud wordt d e b a l k aan een k a n t ingeklemd, aan d e ander z i j d e worden zakking en h o e k v e r d r a a i i n g voorgescnreven. Behalve d e g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q worden nergens op d e b a l k , noch op de uiteinden, hrachten eri/of momenten voorgeschreven (q kons t a n t )

.

x

x

I

D

+

D,

Y'

d

X f i g ,

1

B a l k m e t tekenafspraken en snedegrootheden de komplenentaire e n e r g i e f u n k t i o n a a l v o o r d e z e b a l k

is:

R

Een s t a t i s c h t o e l a a t b a a r s t e l s e l e i s t d a t d e benaderingsoplossing v o l d o e t aan d e e v e n w i c h t s r e l a t i e . Evenwicht:

+ J ) = o ,

D y + q

= o

R,X

X = q

rl’XX

of samen: L rl

,

h i e r i n i s rl d e kromming en W =

-

2 E I Hooke: =

-

-,dn E r z i j n nu één on;,ekend snedemanent (rl), één e v e n w i c h t s v e r g e l i j k i n g en d e r e l a t i e v o o r d e komplementake e n e r g i e . H e t i n v o e r e n v a n s p a n n i n g s f u n k t i e s h e e f t z i n a l s er meer onbekenden z i j n dan e v e n w i c h t s r e l a t i e s tussen d i e onbekenden. I n d a t ge- v a l b e s t a a n er één of meerdere a f h a n k e l i j k h e d e n tussen d e onbekenden, zodat n i e t

a l l e onbekenden b i j h e t v a r i ë r e n v a n d e e n e r g i e f u n k t i o n a a l v r i j z i j n . H e t a a n t a l spanningsfunkties d a t kan worden ingevoerd i s g e l i j k aan h e t v e r s c h i l tussen het a a n t a l onbekenden en h e t a a n t a l e v e n w i c h t s r e l a t i e s B i j d e b a l k i s d i t v e r s c h i l n u l . H e t invoeren v a n spanningsfunkties, nodig v o o r d e a n a l o g i e gedachte v a n d e Veubeke g a a t n i e t d o o r .

Ook i s nu d u i d e l i j k d a t q n i e t w l l l e k e u r i g g e v a r i e e r d kan worden, b i j v a r i a t i e v a n d e komplementaire e n e r g i e f u n k t i o n a a l

(1).

X

D e o p l o s s i n g van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g q

en een p a r t i c u l i e r g e d e e l t e . Noem h e t homogene s t u k TI

= q b e s t a a t u i t een homogeen

xx

en h e t p a r t i c u l i e r e d e e l X Nu: rl = O a XX x

%

= 4

xx

X H e t p a r t i c u l i e r e g e d e e l t e (rl ) l i g t vast, en omdat q c o n s t a n t :

B

x 2

n p = h

x .

2 ’ H e t homogene g e d e e l t e (TI _a ) i s l i n e a i r q = a x + a a 1 (5)

I n (7) z i j n

na

v r i j t e kiezen. D e o p l o s s i n g wordt gevonden door d e a de complementaire e n e r g i e minimaliseren. N moeten P en M u i t ( i ) i n q worden u i t g e d r u k t . en a d i e 1 2 met e v e n w i c h t s r e l a t i e s P = q

/

x=o

Y X en

M

=

n/x=o.

H i e r u i t en m e t ( 6 ) en ( 7 ) : P = a l 2 M = a

D i t omdat P en M n i e t o n a f h a n k e l i j k v a n a l en a

Nu ( 3 ) , (8) en (9) i n v u l l e n i n ( 1 ) en i n t e g r e r e n , g e e f t d e complementaire energ i e :

t e v a r i ë r e n z i j n . 2

I n

(10)

mogen M en P v r i j g e v a r i e e r d worden. En h e t

nulSfeLLëR

v a n d e eerste variatie van

(10)

levert:

p =

- -

3EJZ ( 2141x-

42

)

-

4

qxl

I~

e n M = - 2EJ ( 2

$-

3wx )

+

qX12 l 2

Balk

11.

In balk I zijn

'1

geïntroduceerd als homogeen en particulier

-

deel van de oplossingen van

rl = q

.

Indit hoofdstuk blijven

rl

en

rl

gehandhaafd, maar niet meer als homogeen en particulier deel van de

oplossing. Om redenen die bij de plaat duidelijk worden valt de keuze

anders uit, neem

rl

,in plaats van lineair, constant.

Nu is

rl

niet meer een particuliere oplossing, de randvoorwaarden

worden belangrijk. Want D

= lr' = -17

op x

= o

geldt

P

=-D

= -rl

In Balk I was

rlT. = fqX X.

,dit i

:

nul op de plaats x

= o.

Het mment

rl

Hierin ligt een suggestie voor de randvoorwaarden. Neem b

= o.

Dit be-

tekent dat op x

= 0 9 q B = o .

Dit maakt het mogelijk dat gesteld kan

worden:

a gehaald kan worden. De dwarskracht wordt helemaal opgenomen door

'1

j D =

-qx

x-a. OP x

= 0 %

D

=

-P, hieruit volgt dat a

=

P.

Nu is de zaak rond:

rl

6

'1

wordt gelijk aan

M.

Er

zijn twee onafhankelijke grootheden die bij variatie van de comple-

mentaire energie vrij zijn, En het levert het uit plaat I bekende resul-

taat.

en

n

a

B

_X #XX a $ a

B

B

YX

, x

~ R,x

2

B

ziet er in het algemeen

zo uit

rl

B

B

= i q x x2 +

ax +b.

=

M.

Dan blijft over tezoeken naar een voorwaarde waaruit

'1,

B

wordt uitgedrukt in

qx,

x en de onbekende P;

a

Bij het construeren van een benaderingsopiossing wordt dezelfde weg ge-

volgd. De benaderingsoplossingwordt gevonden met behulp van de elemen-

ten methode.

Dit betekent dat de balk

in

lengte richting wordt opgesplitst in een

aantal stukken. In deze stukken wordt een eenvoudige vorm gekozen voor

de onbekende grootheden. De stukken heten elementen.

Ook

voor

rl

wordt een benaderingsoplossing gekozen. Dit betekent dat

niet meer exact aan het evenwicht wordt voldaan.

In de bijlage: "Oplossing van een Tweede orde één dimensionale diffe-

rentiaal vergelijking" wordt uiteexgezet hoe de benaderingsoplossing

voor

rl

B

gevonden wordt door het minimaliseren van een functionaal.

B

.

_.

*

.

_el. * I T

2 el.

X

Voor twee elementen loopt dit proces als volgt:

)y’

Fig.

2. Situatietekening van de balk. Bovendste schets

verdeling in elementen, onderste de knooppunten,

In plaats van het globale assenkruis, wordt een element gebonden lokaal

assenkruis ingevoerd.

i

Dat wil zeggen: in element I

:

x

611

= o ,

x

1 2 1 =

-

2

in element

11 :

x

[:

2

]

= O ,

x

131 =

T.

f

Direct wordt gebruik gemaakt van

TI

Dan wordt

nB

= o (= ria

in het aooppunt

i ) .

B I

I

1

(

=n6

in element I)

= _nB2 (x I

-

7

)

+

qB2.

’r

2

-

I

= 2

%,x

-

₁

2

-

De complementaire energie wordt:

4%

4 1

L j [ M 2 ZEJ +

+

2 M

B 'Idx

&,/

{M2 + (

n

B

+

2 M rl

dx +

O O

-

pw"

-

MdX

( 1 )

wordt uitgedrukt in knooppunts grootheden:

&12.

-

Pw"

-

M Q X ,

( 2 )

geeft na integratie:

Nu trachten

rl

een functionaal. In die functionaal is P onbekend. In die functionaal

komt P indirect voor, er staat een onbekende

D

(x=i), en deze is gelijk

aan

q

.

3

-

P.

en

rlB3

uit te dru

met behulp yan

$2

x

Dit na integreren en vullen van de knooppuntcgrootheden en de relatie

voor D (xzl) levert na variatieen uitstellen.

1

x 2 1

= g q 1

+ P -

rl

82

2

rlB3 =

-g

*

4

x 2 + P 1

1

In

( 4 ) en (5) zit de onbekende P.

Na invullen van

( 4 )

en (5) in

( 3 )

komt er:

1 x 2 1 2

1

2 6 1

(8

q 1

+

P

2)

+

-

1 (6qxi2 +

PI)

+

1

2EJ

*

+

p-)

1 (Sqxi2

+

pi)i

-

Pwx

-

MC$x + x ( g 4 1 2

In (6) zitten de onbekenden P en M.

Na varieren en nulstellen van

(6) komt er:

5 x 3 2

M1

+

3

P12 = 2EIC$X

-

_q

₁

-2

( 4 )

( 5 ) 3

(i

qx12

+

2

Pl)

M1

+

( 6 )

(7)

en (8) geven niet de exacte oplossing. Dit komt omdat de functie

beaderd is door twee rechte stukken.

A l s

de oplossing exact

w a s

zagen de vergelijkingen er als volgt uit:

i x 3

3 2

M1

+

P1'

= 2EIC$X

- -

q

1

De hier gevolgde weg is niet rechtstreeks geschikt voor de computer.

Het rekentuig kan niet rlB2en

uB3

Langs een andere weg zal het wel mogelijk zijn deze weg,

of

zoiets der-

gelijks voor de computer te programmeren. Het lijkt nu echter niet het

eenvoudigste.

Cirkelvormige plaat.

In dit hoofdstuk wordt de theorie van de Veubeke toegepast op de schijf,

die loodrecht op het vlak wordt belast. De belasting Es rotatonisch

symmetrisch.

Om een oplossing

in

de momenten te krijgen wordt het buigprobleem op-

gelost met behulp van de complementaire energie. Het aangeboden momen-

ten veld moet aan het evenwicht voldoen. De evenwichtsrelatie is

M l t

=

(r

x

M

)

+ r

x

DI.

Ir Ir

X

De dwarskracht D l

=

i

q

r ais

qx

constant.

Bij de in zijn vlak belaste plaat, waar de oplossing methode mee wordt

vergeleken, wordt gebruik gemaakt van de potentiële energie. Het aange-

boden onbekende rekveld moet compatibel zijn.

De comtabiliteits vergelijking luidt:

E =

(r

x E

),r

+

r

x

(aCT),r

De term aCT is de uitzetting op een bepaald punt ten gevolge van de

temperatuur op die plaats.

De relaties

( 1 )

en (2) zijn op dezelfde wijze

o p

gebouwd,

Bij de in het vlak belaste plaats werden de rekken als volgt gedefinieerd:

r

t

E = U Y r

-

aCT

E = -

-

aCT

r

t

r

U

Omdat de relaties

( 1 )

en (2) op elkaar Lijken ligt het voor de hand,

en dit

I s

de stap van de Veubeke om te definiëren voor de schijfbuiging:

U

-

Po

-

Mîr -

7

M l t

=

u,r -PO

(3)

( 4 )

(5)

De evenwichtsrelatie

( 1 )

geeft

Pov =

D l

In (5) en (6)is u de spanningsfunctie.

De comp%ementaire energie functionaal is:

21T]

1

B

t +

M2

Ir

-

2vM

It

M

Ir

) x

r dr

-

~ I T R

M x

(W,r)x]

I

r=R

( 7 ) 1

2

(1-v2> &

Eh3

12(1-vL)

Hierin is

B = U

1

r=R

M =

( - - PO)

R

( w1

2

:

voorgeschreven hoekverdraaiing op de rand.

Op

r

=

ais er geen randvoorwaarde, alleen a

-+ o,

als a

= o

dan moet

gelden M

-

Op r

= o

staat geen puntdwarskracht of iets dergelijks.

It - Mir.

De complementaire energie functionaal is te schrijven als:

2

u 2

U

2

(u,r)

+ (--)

-

2 v

-

r

u,

r

+

(2-2u)(Po

-Po.uYr

+

1

2Ti

X

Po

is de particuliere oplossing van de vergelijking (i)@c

Po =

f

q

r.

Na dat dit in

(8)

is ingevuld volgt een vergelijking die oplosbaar

i s

met

behulp van de elementen methode.

Wat bij de .balk mislukte, gaat hier goed. In plaat 1,II en

LI1

wordt

Fig.3. Teken afspraak voor de dwarskrachten en de momenten.

De zakking w loopt in de positieve

z

richting.

z

= o

ligt op het middenvlak (streepstiplijn).

Piaat

i.

In dit hoofdstuk wordt de complementaire energie functionaal gevarieerd.

Nadat de momenten in de plaat uitgedrukt zijn in de spanningsfunctie-

vector componenten. Vergelijk het artikel van

_B.F.

de Veubeke:

Strain energy bounds in finite element analyses bij slob analogy.

Na het nulstellen van de gevarieerde functionaal volgen de compatibi-

liteits vergelijkingen voor de plaat eruit en de aansluitvoorwaarden

voor de krommingen op de rand.

---_

---

yr.

z

'Y2

Met behulp van de tekeningen zijn de afspraken voor de momenten en

de dwa skrachten

te

maken:

M

=

7

CT

.zdz

( 1 )

K

J

z

X T

.z.dz

XY

(3)

h

Y

Y

h

2

-

M

= o

.zdz

(2)

--

h

Qx

=

T T ~ ~

dz

( 4 )

-h

2

-

h

De evenwichtsrelaties zijn:

+ M

XXYX

XYYY

Qx

=

M

Q

= M

+ M

( 7 )

Y

YYYY

XYYX

Nu de transformatiecregels

op

de rand

X

Qx,x

+

Qy,,

= -q

Fig.5. Afspraken

op

de rand voor de spanningen

p l y

p2, p3 en

de normaal en tangent vector.

-

tij

De afspraak is

pi

-

YYnY

y

3

xy y

yx x y z

p 1 = t

n

+

txyny

+

txynx

+ t

maar

p = t

n

+

t n

n

io-i-

xx x

pn

=

(p,~)

=

p.n.

=

t..n.n

pt

= (p-,~) = p.t. = t..n.t 1 1 I J J

i

De component van

p op

n

I

-

1 1 I J J

i

De component van

2

op

-

t

h

-

h

-

(10) 2

Nu is

M

= p

zdz

=

1

t,.n.n zdz

=

n

M

+

n

M

+

2n n M

n

n 1 J J

i

x

*

Y

Y

x Y XY

h

h

2

- -

2

- -

Hier is gebruik gemaakt van de relaties

( 1 ) ,

(2) en (3)

Nu is

t =

-

n t

= n .

X

Y

Y

x

Hiermee:

Met de relaties

(6)

en (7) wordt

+

Qyny

-

-

$‘Iij, jni.

Qn

=

Qxnx

Op

de rand zal gebruik gemaakt worden van de gereduceerde dwarskracht Kn.

Deze is K

=

Qn

+

- M

a

₍₁₃₎

n

as

nt.

In plaat

I1

zal hierop worden ingegaan.

De complementaire energie functionaal voor een plaat met een continue rand

zonder knikken. En nergens puntkrachten, puntzakkingen en momenten.

Deze functionaal

i s : U G S x

op Sp: Kn

= Knx.

M

=

M

n

n

Om de analogie te handhaven wordt bij de plaatbuiging gebruik gemaakt

van de complementaire energie.

Om

hiermee een geschikte benaderings oplos-

sing te kunnen construeren moet het aangeboden momentenveld in evenwicht

zijn (een statisch toelaatbaar stelsel).

De uit dit momentenveld, met behulp van de wet van Hooke, bepaalde

krommingen zullen in het algemeen niet zo impatibel zijn.

Er zijn nu drie evenwichtsrelaties en vijf

Volgens de bepaling uit Balk I kunnen er twee spanningsfuncties

worden ingevoerd.

Evenwichtsrelatie

(8):

Q

onbekenden.

x x,x + Qy,y = -q

-

= n

- P

Kies

Q =

R I

po,x en Qy - -

2

0,y X x = -4

.

-

In (8) geeft dit R

+

R

- P

Kies

R en R

20 dat R

+

R

=

o.

I,x 2,Y 09xx po,YY

1

2 l,x l,Y

+ R = R e n R

= - R

1 Y 2 1 X'

x

(8) wordt dan

APO = q

Nu relaties

( 6 )

en

1 7 ) :

+ M

en

QY = XY9X Y Y ¶ Y Qx = Mxx,x + M xy,y

Neem

M =

V,y -

Po

xx

M

= U,x- P YY O

Hieruit R

= f ( V , ,

-

Aan

( 1 6 )

worden geen duidelijke randvoorwaarden

op

gelegd.

Nu de inwendige energie <p?uit(l

u)

uitdrukken in

?I,

u

en

V

U i t r e l a t i e (16) v o l g t SPO = O hiermee w o r d t : D i t i n t e g r e r e n o v e r G en dan p o r t i e e l i n t e g r e r e n g e e f t : Godxdy =

i

G G Op Sp z i j n Mn en K n voorgeschreven dus op S P g e l d t 6U = 6V = O. De k r i n g i n t e g r a a l o v e r S u i t

(20)

g a a t o v e r i n de l i j n i n t e g r a a l o v e r SU.

Nu d e t r a n s f o r m a t i e van u en v op d e r a n d : x F i g . 6 . Tekenafspraak op d e r a n d . ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~

u

= n U + n V n X Y U = n U - n U x n y t = n V - n U ut X Y H i e r m e e wordt d e l i j n i n t e g r a a l u i t ( 2 0 ) , n a p a r t i g e i - i n t e g r e r e n . ~

+

&Y

(ny 2

-

n2 x

) ) ]

d s

In de bijlage: Transformatie u en v op rand S van gebied G.

wordt áfgeleid hoe Mn en K uitgedrukt in u en

u

n eruit zien.

n

t

Hiermee wordt het tweede stuk van de complementaire energie

functionaal

(1

4 ) :

Hierin zijn

b en e begin en eindpunt van de kromme

S U

.

Omdat S aansluit aan S kunnen in b

eb e

de variaties van

U

en

U:

nul genomen worden.

n

u.

P

t

Nu de resultaten h m l l e n in

(14)

en

ïìâ

variatie komt

er:

b

SU

+ ( ~ n n

-

~

n

n

+ k

(ik

-

ni3)l

ds-

X X Y

Y X Y

XY

P

Nazhet nulstellen van de gevarieerde integraal volgt:

-

in

G:

K - K = o

YYX

XY,Y

de compatiliteits vergelijkingen voor de plaat.

De transformatie regels voor de uitingen op de rand, en de

aansluiting aan de voorgeschreven zakking en hoekverdraaiing.

De overeenkomstige relaties tussen plaat in het vlak belast en de

plaatbuiging.

- P

M

O E =

u,

-

CZT X X

x

at

verplaatsingen u,v

M

= U , - P

Y

X O

M

XY

=

-uv,,

+

spanningsfunctie vector componenten u,v.

compatiliteitsvergelijkingen

evenwichtcvergelijkingen

X

+

2M

+ M

= -g

2

=

-

V

(aCT>

M

x

,xx

XY3YX

Y3YY

E + E

-

SE

X,YY

Y3XX

XY

9XY

K = W, X

xx

o = X K =

W,

Y

Y

YY

XY

XY

o

=

K = W , X i

evenwicht

svergel

ij

kingen

o

+ o = o

XY,X

YYY

compatibiliteits vergelijkingen

k - K = o

Hierin: a : uitzettings coëfficiënt; c: constante (

1

als vlak- spanning); $: Airy spanningsfunctie.

(zie bijlage bepalingcompatibiliteits vergelijkingen uit com- plementaire energievergelijking);

Plaat

11.

In Plaat I1 wordt onderzocht wat er gebeurt als er in de rand

S

een knik zit.

Bekend is dat in de hoekpunten van een rechthoekige plaat, die

ingeklemd is aan de rand, en belast met een verdeelbelasting,

puntkrachten ontstaan. Omdat het torsie moment M

daar, om

zo’n hoekpunt, van richting verandert.

Om de evenwichts relatie af te leiden wordt gebruik gemaakt

van een kinematische toelaatbaar stelsel. Hiervoor

i s

vereist

dat het aangeboden benaderingsveld voldoet aan de compatili-

teits vergelijkingen. Uit de eis dat de potiëntiële energie

van deze kinematisch toelaatbare toestand een minimum heeft

volgt de evenwichtsrelatie. Het bepalen van dat minimum wordt

gedaan met de variatierekening.

De zo verkregen relatie rond de puntkracht wordt gebruikt in de

complementaire energie relatie om te kijken wat er gebeurt bij

een punt akking.

Om

de algemene evenwichtsrelaties uit de potentiële

nt

’ k

te galen wordt

S

nul genomen

U

(of

s ~-

=

Sp).

L

X

Fig.7.: Het gebied

G ,

rand S, op

s = s

zit een knik, en

d

X

er grijpt een puntkracht

Z

aan, Over de knik

X X

zijn

Qn

en Mn continu.

De potentiële energie functionaal is nu:

W i s d e inwendige e n e r g i e u i t g e d r u k t i n d e krommingen. ( I ) v a r i e r e n g e e f t :

Na Hooke:

M

=

-

-

_{en de r e l a t i e tussen d e krommingen en d e}

aKij ij zakkingen, K~~ = Wyij. Nu (3) v e r d e r u i t werken:

-

6WYij =

-

[(M..SW.)

-

6w)

,i

+

M..

.

.6w) 'ij i j i 'j (Mijyj I J , J 1 D i t r e s u l t a a t i n d e o p p e r v l a k t e i n t e g r a a l : r G (Mij 6 w Y i ) 'j + (Mijyj6w),i

-

M

ij ,ji

Nu Gauss t o e p a s s e n op h e t eerste s t u k van

( 4 ) .

En b i j d e l i j n i n t e g r a a l wordt d e k n i k u i t g e s l t e n door een E g e b i e d j e .

s .-E

d

6w,

) + n

(M

clxdy =

-

[

(..

(Mx6wYx + Myx 6 w Y x t

L J I

'J

J Y Y XY

\

-

Ml,6w,,) G s + E d

aw

aW en

-

_{a t}

Nu w, en w, u i t d r u k k e n i n

-

X Y an Hiermee wordt (5) :

( 4 )

s +& d

2 2 Neem: M = nxMx

+

2n n M + n M, n X Y Y X Y Y 2 2 M = n n ( M - M ) + M (n - n y ) n t x y y x XY x (buigend moment) ( t o r s i e moment) 6W H i e r m e e wordt ( 6 ) :

-

s +E d aBw

-

a ô w a t 6s Omdat 6w een s c a l a r i s g e l d t

-

-

Nu h e t tweede s t u k van ( 7 ) : s -E d

H

d s

J

a 6 w M

d s =

-

as mat : s

_a

+E a t n t S d + E aw

E r moet p a r t i e e l g e ï n t e g r e e r d worden, omdat 6- as n i e t o n a f h a n k e l i j k i s v a n 6w. Dus (8) wordt:

-

I

sd-E J Sd+ E § -E \ d + f s .+E d D i t wordt n a p a r t i e e l i n t e g r e r e n : s -E 6w n . d s

+

6w ' n t d s

9

-

M. i j , j l .6w dxdy +

''1

M i j , j ₁ s +E d s +E d G ( 7 ) ( 9 )

Nu

Kn

=

Qn

+

a

Writ>

=

Mij

,,

.n.

+

aMnt

as

Nu

: (10)

en

(11)

in

( 2 )

dit geeft:

Nu volgt uit

( 1 2 ) :

-

de evenwichtsrelatie in

G:

-

op S :

M

=

M

K

='K

MCI

e

.+

qx = o .

x

I J

;j

L X

n

n 9

n

n

NG is bekend: continuiteit in

W. Dus

als

E -+ O

d a n w

=

W.

o i ow =

ôw,

P

Hieruit

Zx =

Mnt (sd

+ E )

-

Mnt (sd

-

E )

F

Nu terug naar de complementaire energie. In dit geval wordt

S

=

SU

dus

over

de

hele

rand

worden

zakkingen er,

horkverdraaiingen 'SToOTge-

schreven. Op de plaats van de discontinuiteit wordt een puntzakking

Y

, ,

voorgeschreven.

Zo ziet de complementaire energie functionaal eruit:

-

wxK

\

ds

-

Zwx

P. n

S

d x d y

+

I{(%)

aw GIn

-

wx6Kn\ d s

-

6Z w X.%

P

G S Nu i s

Mn

=

-

aut

+ U * d c -

dij, P 0 3 s formule

(20)

u i t Plaat I g e e f t :

-

K )

-

( ~ ~ 6 v - i ~ ' 6U) - ( K y 6 U -I¢ 6V) y ( 1 8 ) XY xy

x

6U (K

-

K Y 9 X XY9Y

3-

L Nu (16), (17), (18)

in

(15)

g e e f t : ( 19) wordt: r d-E S

X X

n P

-

5 +E

d

D e formule

(20)

h e e f t een d u i d e l i j k e overeenkomst met d e r e l a t i e s u i t P l a a t I. Maar i n P l a a t I w a s S g l a d en er z a t e n geen punt- zakkingen. H e t i n t e r e s s a n t e g e d e e l t e van

(20)

is: x - w

6Z

P S .+E J

C e r e s t vu11 (2G) g e e f t d e -it plaat I bekende r e l a t i e s . Met uitzondering vanz.het randpunt s = s . . d R e l a t i e (13): Z = Mnt (s d +E)

-

Mnt (')

'd-au..

au

=

-i

(

-

t

+

2)

( z i e b i j l a g e t r a n s f o r m a t i e van U en V op rand S a n Q t Mnt van g e b i e d G). s .+E 5 -E d s -E

i'

s +E d

Nu

( 2 3 )

schrijven in komponenten ten opzichte van het assenkruis

x,y. En neem rechte randen(-

dS

=

O

)

en dan wordt

-

awX -

-

-

awx

ds

as

at

Transformatie formules:

U

= n U + n V

n

X

Y

Ut

=

nxV

-

n U.

Y

Dit in gevoerd in

( 2 3 )

geeft:

s -E

d

s +E

d

X x

Als

&+O

dan wordt

w =

w

.

Dit geeft:

P

s .-E

In Plaat

I

kon;t de grcotheid

Q V O C ~ Q =

4

(V,x-

au

au

n - - - ,-l,c..

U G L G I c l d L L e op de rand is i2 = i 2 --i(

\an&

-

-'

at-*/

's +E

d

In het artikel Static-geometric Analogies and Finite Element Modeis"

van B.F. de Vzubeke. Wordt aangetoond dat U,

V

en

Q

enkelvoudig zijn

en continu. Daarom is

( 2 5 )

nul.

Dat betekent dat de overgangsrelaties van

IC nt

en

IC

n' zoals afgeleid

in Plaat I gelden tot vlak bij de knik

( E -+ o

dan s

9

sd>. En de

knik levert geen bijdragen

( ( 2 5 ) =

o ) .

Plaat

111.

Dit hoofdstuk wordt een opening naar Bijlage Plaat gegeven, daarin wordt

een suggestie gegeven hoe de complementaire energie functionaal

en de functionaal van het potentiaalprobleem kunnen worden opge-

lost.

Als voorbereiding op die bijlage worden in dit hoofdstuk een aan-

tal dingen onderzocht:

-

de eisen waaraan het benaderde U,V veld moet voldoen.

- randvoorwaarden voor het potentiaal probleem.

-

de reden waarom aan de eis "statisch toelaatbaar momenten-veld''

niet geheel wordt voldaan.

Om met het eerste te beginnen.

In Plaat

I is aangegeven hoe de oppervlakte integraal van de ge-

varieerde transformeert (formule (20)):

S

Als de plaat wordt opgesplitst in deeigebiedjes g

k' zódat

i

g

k

"

'

Y

dan wordt bovenstaande transformatie:

-

k=

1

5

&.Pk

dx dy

=

k

k=l g

M J

k

k=1

s

Er kan voor twee, aan elkaar grenzende gebiedjes

g

worden wanneer de lijn integralen langs de gemeenschappelijke rand

wegvallen.

k+l

k+l

K

Deze lijn integraal wordt:J[6ukr

n n

- "n

n

k+l ds.

k+l

-

6Ut

nt

i

Hierin zijn

K

en

K

de echte krommingen, deze zijn continu.

n

nt

Dit moet nul zijn voor alle variaties van Un en

U

en SUt

= 6Ut

als 6Un

=

6Un

Dat kan alleen

t'

k

k+

1

k

k+

1

Omdat de echte

U

moeten zijn, levert dit de eis continuyteit in de benaderde

U en U

.

Deze zijn met een lineair transformatie verkregen uit

4 en

5.

Dus het benaderde U,V veld moet continu zijn.

Er is nog een eis, Deze bepaalt de keuze van het element, waarmee

de oplossing bepaald kan worden.

Bij het oplossen van het probleem met behulp +an de elementen methode

en

Un continu zijn, de gevarieerde continu

t

t

n

wordt hier gebruik gemaakt van driehoekige elementen met rechte ran-

den. Met dit type elementen kan alleen rand contour redelijk benaderd

worden.

per element is.

Voor het

U,V

veld is de eenvoudigste keus dat het lineair

DLt betekent dat U en V de volgende gedaarìte he3beï1:

A

6 "

U = a x + a y + a ; v = " x + " y + "

1

2

3

4 ' .

5

Er zijn voor U en V ieder drie parameters nodig om ze te bepalen.

Hiervoor worden gekozen hun waarden in de hoekpunten. De inwendige

momenten

M

M

en

M kunnen nu in de

01's

worden uitgedrukt:

x y xy

Y

M

= V , - P

= a

- P

X

y

o

5

0

Y X O

1

O

M = U ,

- P = c i

- P

M

=

- 4

(Uyy

+

V,x)

= -i 2 ("* +

" 4 ) '

XY

Bij de balk was er sprake van een

uit een homogeen en een particulier gedeelte van de oplossing

van

TI =-q

.

(Balk I relatie

( 3 ) .

Bij de plaat is het particuliere deel

P

bestaat uit de

a ' s .

In balk

I1

is aangetoond dat, als het homo-

gene deel van

TI

(dit is

na)

constant was, het evenwichts probleem

niet gescheiden kon worden opgelost van het bepalen van

n

de complementaire energie. Dit, omdat

n

geen dwarskracht

kan

op-

nemen, Bij de plaat doet zich zo iets ook voor.

Want de uitwendige potentiaal is:

er geen puntzakkingen).

snedemoment

(TI)

wat bestond

X

'

xx

en het homogeen gedeelte

O

met

a a

I

($y

Mn

-

ds (ais

Po =

c -P

Het buigend moment Mn

=

-

aut

-

1

_o'

(ci

=

c

1

(U,V)

maar constant).

at Li

a

un

-

_-

ap0 =

-

_-

ap0

De gereduceerde dwarskracht

K =

-

w

an

an

n

n

a

2U as

Omdat

-

= O. 2 X

Als

nu de randvoorwaarden voor

A

P

= -q

oplossen van de potentiaal vergelijking P en

-

"0

bekend.

bekend zijn dan zijn, na het

O

O

an

Dat betekent, na variatie van de uitwendige potentiaal:

Er kan op deze wijze geen zakking op genomen worden. Met andere woor-

den bij een lineair

U,V veld kan, als ook de zakking mee wordt geno-

men, het potentiaal probleem niet onafhankelijk, van het bepalen van

een minimum voor de complementaire energie, worden opgelost.

Het lijkt me het eenvoudigste om toch de twee problemen gescheiden op

te lossen. Maar dan zal het

U,V

veld op zijn minst kwadratisch moeten

zijn, zodat er ook dwarskracht kan worden opgenomen door de

U

en

V.

De randvoorwaarden voor het evenwichts probleem worden afgeleid

uit de randvoorwaarden voor het hele plaatprobleem.

X X

- op Sp:

M

=

Mn

en

Kn

=

Kn

n

Nodige randvoorwaarden voor het potentiaal probleem

zijn:

apO

ap0

9%

(an)

-

op

s 1 :

-

= an X

- op

s2:

P

-

O

-

po

(zie bijlage potentiaal probleem)

Nu zijn er een aantal mogelijkheden:

+

s2

=

su+s

-

S I = o

-

o;>

s

= o +

s

=

su+s

P

2

1

P

-

s1

= S

en

S2 = S U

P

-

S

= S

e n s

= S 4

1

P

2

Ik heb voor de laatste gekozen.

CI n ap x

a

LU = o . O, x +

-T7-

Dat betekent dat

-íc)

=

Kn

X

Nadat het Po probleem is opgelost wordt

5

=

M

n

+

P

O

at

Dit bepaalt de randvoorwaarden.

Er is nog een ding. Aan het evenwicht van de momenten wordt niet

exact voldaan. Dit omdat

P

benaderd wordt. Het betekent dat het

momenten veld niet statisch toelaatbaar is. Het voldoet er zo goed

mogelijk aan.

Conclusies.

Er zijn enkele conclusies te trekken:

i .

Het

is

mogelijk om gebruik te maken van de analogie van de

Veubeke een programma voor plaatbuiging te schrijven. Een

opzet hiervan wordt beschreven in de bijlage Plaat.

2. Het eenvoudigste element is een kwadratisch element.

3.

Het evenwicht wordt benaderd. Er wordt niet geheel voldaan

aan de eisen van een statisch toelaatbaarstelsel.

4 .

Voor de balk gaat de analogie niet op, omdat er geen span-

ningsfunctie gevonden kan worden.

Nog uitgezocht zal moeten worden hoe een voorgeschreven moment

en gereduceerde dwarskracht vertaald kunnen worden

i n U

en

V

op die plaats hebben deze waarde. Dus het vertalen van de

kinematische randvoorwaarden in groottes van U en V.

Bijlage Oplossing van een tweede orde één dimensionale differentiaal

vergelij

king.

In deze bijlage wordt een methode gegeven voor het bepalen van een

x

benaderingsoplossing van de differentiaal vergelijking

Q = q .

PYXX

uit Balk

11.

Bij de oplossingsmethode wordt gebruik gemaakt van het

variëren en nul stellen van een functionaal. En van de elementen-

methode

.

De voorgeschreven

q

De functionaal voor de hele balk ziet er als volgt uit:

x

mag een willekeurige bekende functie van x zijn,

en

op

x

= o

is

rl

voorgeschreven: nB(x=0)

=

0.

B

fig.8.

~e

balk,

cp

gesplitst

i n Mielementen.

Ce functlonaa?

( 1 )

wordt

EU

geschrever, als

son;

aver de elementen

gevarieerd

I

B

is het verschil tussen

Q

De gevarieerde

rl : 6rlB

-

-

-nB

-

rlBy

B

B

Er zijn in het gebied geen discontinuyteiten in de functie

i7

en zijn afgeleide

worden,

.

De stoktermen kunnen daarom herschreven

B Y X

-

+

...

-

1

2

-

-

2 1 X

1 1

X K k= 1 Xk

1

M-

1

k-

1

De somterm moet nul zijn voor alle variaties van rl

Dit kan alleen als

B'

De echte

rl

is continu. De bovenstaande eis

daar bij gevoegd, leidt

tot de eis dat de benaderde functie

q

Dan wordt

( 2 ) .

2

B

ook

continu moet zijn.

B

M xk

k=l xkl

Het nulstellen van

(3)

geeft:

k

(k

= 1

-

N)

-

%,xx

- qxk

Als benaderingsformule voor

Q

functie van x. En

F is uitgeschreven in de knooppunt, waarden van

n

Na variatie kwam er toen de oplossing voor

rl

is in Balk

I1

gekozen voor de lineaire

B '

B

in de knooppunten.

B

B i j l a g e P o t e n t i a a l v e r g e l i j k i n g .

I n B i j l a g e Oplossing van een Tweede o r d e één dimensionale d i f f e - r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g i s u i t e e n g e z e t hoe i n h e t één dimensionale g e v a l een

n a d e r i n g s o p l o s s i n g gezocht v o o r de v e r g e l i j k i n g

benaderingsoplossing gevonden werd. Nu wordt een be-

n 0 a'p

a%

X _10

+

-2"

=-q ax

:;2

ay D e f u n c t i o n a a l h e e f t de volgende gedaante: X F =

-

)[i

P d x d y

+

d s an o;i o , i G S1 X met op S2:Po

-

-

Po

.

Y

Fig.9. H e t g e b i e d G, met rand S , S wordt opgesplitst' i n S en S h i e r v o o r g e l d t S

+

S 2 = S.

I 2

1

G wordt o p g e s p l i t s t i n M d e e l g e b i e d j e s z o d a t

= G. Gladde rand.

k=

1

Voor een i n elementen v e r d e e l d g e b i e d kan ( 2 ) geschreven worden a l s

M

X

4- 6Po

-

"0

ds

@@

an

k k

k

Bekijk uit

( 4 ) de term

n. 6Po) ds

k=l sk

k

ap

k

k

De term P

n.

= (- o )

o,i

i

an

dit is de exacte normaalafgestelde

van

P

e

Deze is continu over de element grenzen.

Om

nu de termen langs de

binnenranden te laten wegvallen is het nodig dat 6P

O

continu

i s ,

Hieruit volgt, de eis continuiteit voor de benaderde

P

O O

Op S2

geldt

6Po = O,

omdat

op S

P

2

0

is voorgeschreven.

-

(5) wordt

[

go

6P

O

ds

an

1

c

Nu

(6) in

( 4 ) en dit geeft:

k

x

k

X

M

ap

dx dy

+

J

6p0 ( O

- -

spo)

ds

an

an 6F

=z

[

(po,ii

-

¶k>

s1

k=

1

Uit het nulstellen van

(7) volgt:

- evenwichtsrelatie P

_{0 , 1 1}

. .

=

q

X X O ap ap

-

op S I :

2

=

-

an

an ( 4 )

(5)

( 7 )

De eis waaraan voldaan moet worden in het benaderde veld moet

continu zijn over de elements grenzen.

Bij

lage Plaat;

In deze bijlage wordt aan gegeven:

-

hoe de flexibiliteits matrix voor een kwadratisch U,V. veld

wordt samengesteld;

-

hoe het evenwichtsprobleem wordt opgelost;

-

en op

S

hoe de uitwendige potentiaal kan worden uitgedrukt in

U

bijdragen in de knooppuntswaarden.Dit als er puntzakkingen zijn,

Het element wat--gebmlkt-<wordt

is TRIBEC

-

6

(TRI angular Bending

Complementory

- 6 ) .

Y1

i

& 3

FLg,!O. Bet TRIBEC

-

6

element.

Bij het bepalen van de flexibiliteits matrix

i s

gebruik gemaakt van

de memo

6

element" van F.E.Veldpaus.

"De stijfheidsmatrix en de spanningsvector

voor

het TRIM

Er brorden lokale assen ingevoerd

(v-

en

yi):

1

g l

Xli

=

xgi

-

x

-

Yli

- Ygi

-

Yg

I

Laat nu de index

1 weg,

a l s

gesproken wordt over het punt (xi,

y;)

dan wordt daarmee bedoeld (x

_Y1

> -

'

i+

1

- 1

+

y . + l ) .

Y;

-

2 (Yi-1 1 = O

en y

met:

i

= 2 , 4 , 6

en

x7 = x1 I: = y 1 = O. 7

In het element zijn

U

en

V

kwadratisch. Kies nu voor

P

O

ook

een

kwadratisch veld:

2 n a3y 4. a4x2

+

a xy + a 6 y

+

a x2

+

a I 1 X y

+

a 5 u = a + a x

+

1 2

V = a

+ a x +

7

8

2 n 12y a9Y 10 CI

P

=

Bi

+ B2X + B3Y O

De vetztor

U

is te schrijven

a l s

het product van de matrix

B

met

de vector

a :

U

k

= B

k

a

k

(k slaat op element nummer)

= (ai: a . 9 0 e a )

én

kT

kT

waarin

U = (UlU2

,...

U

_6'

V V

_{1 '} 2

....

V

6

en

a 2 , 12

k

Voor de vector

P geldt:

Po

=

B

Bk

waar

in

: O

P

=

( P ~ ~ ~ . . . ~ P ~ ~ )

en(Bl

i...986).

1 2x3 x5 fx5 O O O $Y3 _4x3y3 1 y5 I "yg O O 1 2 I/ 2 TX3 P 3 3 y3 3 x3y3 y3

2 1 (x3+x5)

f

(Y3+Y5) 4(x3+x5> T(X3+X5) (Y3+Yg) Z(Y3+Y5)

2 2 X X 1 2 1

1

2 2 2 5 y5 X 1 2 4' 5 -V 1 2

TX5

x5y5 4;"5y5

1

De relaties ( 4 ) en

(5)

kunnen worden geïnverteerd: -f a

= B

uk

=

A%k

k - 1

k

k k O =

AP

po

B

= B

P

A

wordt op de volgende bladzijde uitgeschreven.

P

I N U ?In x" W W h N -F n h I h In m W XW N I n In

v

_W h h N I W W n

T

x" x" W N I U< m h -3 I U e

x

O O

-

W W h x N I U

7

N

x

x w h n W h

+

XIn

3;;

In X W N L n hm h N I In *W x N I

o

O O In

?h

X N I n W

%

%

x I In x W -IN II U

..

Li

$

3

rl al Li al

c

Ei

2

3 rl 3 &i al a a O U

..

U

x

U Ln ,

,I

O NIn h n

F

XW h" W m I n h i h In W W

x

m I n In h I h h m W m N n

i"

C-l x v

x

N U -3 I x" U h e ut

o

n ut

?

x

W h W A U h I h W h In m W a n

T

x" W W I N n A I h ut W W N A

r"

8" W N U N N I

D e momenten kunnen worden u i t g e s c h r e v e n i n d e a ' s .

M e t ( 6 ) e n ( 7 ) kunnen ( 8 ) , ( 9 ) en (10) i n deV en V 9 s worden u i t g e d r u k t .

M _X = (A9

+

A l l j x

+

2A 12 j y ) u j

-

P

O

Ak M = (A

+

2A : x . + A5 j ~ ) u .

-

Po

I -

Y 2 j 4 j J

(A3 j + j ) + (As j + ZA10 j > X + ( A l l

j

+ j > Y

j

"j

XY

= - $ [

j = 1 t / m 12 D e r e l a t i e s ( 1 1) y (12) en (13) z i j n t e s c h r i j v e n a l s : k m k = c u . D i t is een a n d e r e u v e c t o r dan d i e i n r e l a t i e

(4).

T e n z i j a n d e r s I s aangegeven wordt i n h e t v e r v o l g met d e b i j (15) i n g e v o e r d e v e c t o r gewerkt.

D e krommingen K~~ kunnen a l s v o l g t g e s c h r e v e n worden: K~ = Sijmj

-a K K ) en m . = (El M M .)

T

K = ( K XY Y > XY J KY YY XY D e t r a n s f o r m a t i e

s = s L

1 B(1-v) m a t r i x S wordt: 1 -V 1 1

+ v

1 + Y 1

+ v

1

+v

O

O

y h: p l a a t d i k t e . Eh-' 2 B: plaatmodulus B = 12(1-v )

D e inwendige e n e r g i e wordt: cp = ~ K . M , =

4

akTCTSCuk

-

ukT C T S ~ o k

+

" k T P

" k

po 1 1 O M e t ( 3 ) en ( 7 ) i s

Prik

t e s c h r i j v e n a l s : O i = 1 t / m 6.

T

po (17) i s t e s c h r i j v e n a l s een i n w e n d i g p r o d u k t = p-k o = 2 2

x

+

Bp _{3 i y}

₊

_Bpqix

+

Bpgixy + Bpgiy

.

waarin c .

-

i

-

B p l i + BP2i *k (18) k o p p e l t PO a a n de v e c t o r m e t d e knooppuntswaarden v a n P _O

( 1

6 ) wordt m e t (18)

k

k T T T k kT cScTp cp =

4

UkT CTSCP

-

u

c

s c Po

+

Po O O D e Q g e i n t e g r e e r d o v e r e e n e l e m e n t . T k

i[

Q, dx dy =

JI

(;ukT cTscuk

-

ukT C ~ S C ~ P O

+

PTCSC

P O

A A ) dx dy If Noem Qek' =

]I

CTsc

dx dy 83 T T Qek2 =

11

C SC dx dy A Qek

-

-

(I

=SeT dx dy

A

Voor h e t b e p a l e n van i n t e g r a l e n

IJ

xbyq dx dy wordt verwezen n a a r h e t v e r h a a l van Veldpaus.

A

Hiermee wordt (20) :

kL kT kT 3p

k

Om d e g r o o t t e van d e inwendige e n e r g i e t e kennen is h e t n o d i g d e b e n a d e r d e P t e kennen. P P o t e n t i a a l probleem.

F =

-

5

I

O wordt b e p a a l d m e t d e f u n c t i o n a a l z o a l s gegeven i n d e B i j l a g e O ^k ^k ap0 P o , i )

+

qk P i k

j!

dxdy + / P o

(r)

d s

k=

1

gk

sr x Met: op S2: Pg =Po I n (22) i s q, R e l a t i e (18): Po X

een bekende f u n c t i e =an x e n y.

= 0 Po ^k T D i t d i f f e r e n t i e r e n P0,Z (Bp2i -r

P41

p 5 i ~ ) 'oi* ^ k

-

-

+ 2B

2s

+

B

-

-

^k (Bp3;

+

B x

+

2B . y ) Poi p 5 i P61 P 0 , Y i = 1 t / m 6. ^k ^k

-

^k 2 T ok

Dan wordt i P

-

(Po,x) = P Qe P

o , i o , i Ok (25) ingevhad i n (22) g e e f t :

M

4 Noem: Qe =

i

Qe dxdy gk

9:

=

\

c q x dxdy :Q iseeen v e c t o r , (25)

.

Dit ingevuld in (26) geeft

M

ap

Op de rand

S I

is de dwarskracht

(-o)x an

voorgeschreven.

Po

i s

een kwadratisch veld, dus de voorgeschreven dwarskracht kan

- -

dxdy

+

alleen naar een lineair verloop hebben:

X X

-

D l

(s

-

I)+

D3

.

D3

ap,

x - - ) =

an

1

1'

Fig.11: Een element waarvan zijde 1,3 samenvalt met

S

apo

Met daarop de voorgesehreven

.__

3,

De lengte I,3 is

1.

h h

Po loopt langs

s

kwadratisch Pos

=

as2

+

bs

+ c .

A

als

s = o -+

Pos

-

Pol

-f

c

=

Pol

1

D e rand i n t e g r a a l S 1 wordt d e som van d e b i j d r a g e n o v e r d e rand elementen, deze b i j d r a g e i s :

A

+

P O l

ds D i t g e e f t na i n t e g r a t i e : A l s er

B

elementen l a n g s S 1 l i g g e n , en b i j e l k v a n d e z e e l e m e n t e n ’ l i g g e n de punten

1,2

en 3 l a n g s S dan w o r d t :

₁

-

(28)

kan worden geschreven a l s P

T.

f.

o

T

H i e r i n i s Po en f : _{f i} f l =

( P O ~ , . . . , . . ~ P O ~ )

N:

a a n t a l knooppunten. = O a l s i een binnenpunt i s of op

S2

l i g t

= de som van de b i j d r a g e n u i t

(28)

v o o r d a t punt a l s i op S 1 .

M e t (29) wordt (26):

M

Voor de

s o m

over de elementen, het eerste stuk van

( 3 0 ) ,

i s te schrijven:

f

Po

T

Q

4

Po

+

Po

T g

Q

(31)

T

P,

=

(po1..

.

.Po

_N

)

T

T 4

T g

Met (31) wordt (30):

F

=

-

(4

PO

Q PO

+ Po

Q

)

+ PO .f

Het variëren van (32) geeft:

Uit het nulstellen van (33) volgt voor willekeurige variaties van Po.

4

3

Q P o = f - Q

-1

5

4-1

of Po

=

(Q,)

( f - Q X = Q * F .

Gegeven was

op C is Po

bekend.

Dit wordt oplde vplgende wijze in rekening gebracht,

2