Hoofdstuk 8:
Combinaties met sinus.
1.
a. Bij een hoek van 360o (een volledige draai) hoort een cirkelboog van 2 radialen (de omtrek van
een cirkel). Dus bij een hoek van 180o (een halve draai) hoort een hoek van radialen.
b. Bij een hoek van 72o hoort 72 2
180 5 radialen. En bij een hoek van 320o: 320180 179 rad.
2.
a. Als je de grafiek van f verticaal vermenigvuldigd met factor 3 dan ontstaat de grafiek van g. De grafiek van h ontstaat door de grafiek van g ten opzichte van de y-as met 31 te vermenigvuldigen.
b. Als je de grafiek van k 2 omhoog verschuift krijg je de grafiek van m en als je hem 2 naar links verschuift krijg je de grafiek van n.
3.
a. De amplitude is 2, de periode 2 en de evenwichtsstand y 1 . De grafiek van f is ontstaan uit de grafiek van y sin x door een verticale vermenigvuldiging met factor 2 en een verschuiving van 1 omhoog.
b. De amplitude is 2, de periode 1 3
2 en de evenwichtsstand 6 y 0
. De grafiek van g is
ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verticale vermenigvuldiging met factor 2 en een horizontale vermenigvuldiging met factor 3.
c. De amplitude is 1, de periode 0,32623 en de evenwichtsstand y 0 . De grafiek van h is ontstaan uit de grafiek van y sinx door een horizontale vermenigvuldiging met factor 0,31 . d. De amplitude is 3, de periode 22 1
en de evenwichtsstand y 5 . De grafiek van k is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verticale vermenigvuldiging met factor 3, een horizontale vermenigvuldiging met factor 21 en een verschuiving van 5 omhoog.
e. De amplitude is 5, de periode 2 2
en de evenwichtsstand y 0 . De grafiek van l is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verticale vermenigvuldiging met factor 5, een horizontale vermenigvuldiging met factor 1 en een verschuiving van naar rechts.
f. De amplitude is 1, de periode 0,42 en de evenwichtsstand 5 y 0 . De grafiek van m is ontstaan uit de grafiek van y sinx door een horizontale vermenigvuldiging met factor
1
0,4 2,5 en een verschuiving van 2 naar links.
4.
a. y1 sin x en y0 nDeriv(y , x, x)1 . b. f'(x) cosx
c. h'(x) sin x.
Uitwerkingen 5 havo D, hoofdstuk 8 1
-x y 0,5 1,5 2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 g h f
5.
a. f'(x) 5sinx
b. u(x) 2x en g(u) 3 sinu g'(x) 2 cosu 2cos2x c. k'(x) 1 cosx sinx
d. u(x) sin x en l(u) 3u 2 l'(x) cosx 6u 6sinx cosx
6.
a. u(x) 2 x en k(u) 21cosu 1 2
k'(x) 2 sinu sin2 x b. h(x) x en u(h) 3sinh u'(x) 3cosh 3 cos x c. productregel: h'(x) 3 sin5x 3x 5cos5x 3sin5x 15xcos5x d. productregel: 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
r'(x) 2 cos x 2x sin x 2cos x xsin x e. productregel: q'(x) 3 cos 4x 3x 4sin 4x 3cos 4x 12xsin 4x f. p'(x) 2x sinx (x 23) cosx 7. a. f'(x) 2cosx b. 2cosx 1 y x b f'(2 ) 2 y 2x b 0 2 2 b 4 b b 4 y 2x 4 1 2 1 2 3 3 1 2 3 3 cosx x x 1 ( , 3) en (1 , 3) 1 2 3 3 1 2 3 3 3 b en 3 1 b b 3 b 3 1 y x 0,68 y x 6,97 8. a. f'(0) 3 f'(x) abcosbx f'(0) ab 3 b. a 5 , en dan is 3 5 b . 9. a. f(x) 0 sin x cosx 0 sin x 0 cosx 0 b. De periode van f is .
c. De toppen van f liggen precies tussen de toppen van de andere twee grafieken. d. f is maximaal voor x 14 k . Het maximum is 1 1 1 1
4 4 4 2
f( ) sin cos f is minimaal voor x 34 k . Het minimum is 3 3 3 1
4 4 4 2
f( ) sin cos e. f(x) 12sin2x.
10. a. h(x) 0 1 1 2 2 1 1 2 2 sin(x 0,5) cosx 0 sin(x 0,5) 0 cosx 0 x 0,5 0 x 0,5 x x 1 x 0,5 x 0,5 x x 1 (periode 2 )
b. De toppen zitten precies tussen de nulpunten: het eerste maximum: 0,5 12 1 1
2 4 4
x 0,54. Het eerste minimum:
1
2 0,5 3 1
2 4 4
x 2,11. Het tweede maximum: 0,5 121 1 1
2 4 4
x 1 3,68 en het tweede minimum bij 121 2 0,5 3 1
2 4 4
x 1 5,25
c. Voor die x-waarden zijn de functiewaarden van f en g kleiner dan 1 en groter dan -1. d. De periode van h is .
e. Het maximum is 0,74 en het minimum -0,26. 0,74 0,26 1 0,74 0,26
2 2 2
A en D 0,24 De periode is , dus B 2 2
. De grafiek snijdt de evenwichtsstand in x 0,68.
1
2
h(x) sin2(x 0,68) 0,24 f. Ja, het klopt!
11.
a. De periode van f en g is 2
2 en de periode van h en m is 23 23 .
b. Als je de grafiek van h(x) 16 naar links verschuift ontstaat de grafiek van m.
c./d. De grafiek van y sin2(x 41 ) sin2x is een sinusoïde met amplitude 0,94 0,06 1
2 2
A En de grafiek van y sin3x sin3(x 61 ) is ook een sinusoïde met amplitude 1
2.
12.
a. Een grafiek heeft verticale asymptoten als de noemer 0 wordt terwijl de teller dat niet wordt.
1 1 1 2 2 2 cosx 0 x , x 1 , x 2 , ... b. De periode van f is .
c. f(x) 0 Een breuk is 0 als de teller 0 is. sin x 0 x 0, x , x 2 , ... d. BC AB AC AC sin en cos BC AC sin en AB AC cos BC AC sin sin tan AB AC cos cos 13.
a. Voer in: y1tanx en y2 2 intersect: x 8,32
b. De periode van y tan x is ; de tweede oplossing is x 8,32 5,18. c. f(x) 2 voor 3 , 8.32 121 , 5.18
-14.
a. 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
cosx cosx sin x sinx cos x sin x cos x sin x sin x
f'(x) 1 ( ) 1 tan x
cosx
cos x cos x cos x cos x
b. f'(0) 1 . In alle nulpunten van de grafiek is de helling 1. c. Een kwadraat is altijd groter of gelijk aan 0.
f'(x) 0 voor alle waarden van x, dus de grafiek van f is stijgend.
15.
a.
b. Het kwadraat van een getal (positief of negatief) is altijd positief.
c. Het maximum is 1 en het minimum 0: D1 02 21 en
1 0 1
2 2
A . De periode is : B 2 2
en het ‘startpunt’ ligt bij x 41 . f(x)21sin2(x 14 ) 21 d. g(x) cos x 2 12cos2x21.
16.
a. s'(x) 2sinx cosx 2cosx sin x 2sin x cosx 2sin x cos x 0 b. De afgeleide is altijd 0.
c.
-17.
a. g(x) 4sin x 4cos x 4(sin x cos x) 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
h(x) sin 3x cos 3x sin p cos p 1 waarbij p 3x j(x) 3sin 2 x 3cos 2 x 3(sin p cos p) 3
b. m(x) (1 cosx)(1 cosx) 1 cosx cosx cos x 1 cos x sin x 2 2 2
18.
a./b. maximum: 1 en minimum: -1 D1 12 0 en A1 12 1 De periode is : B 2 2
.
Op tijdstip t 0 is de grafiek minimaal. v(x) cos2x c. u(x) 2x en v(u) cosu v'(x) 2 sinu 2sin2x
d. De amplitude van v’(x) is 2, dus de maximale helling is 2.
19.
a. f(x) 2cos x 2cosx cosx 2
b. De periode van beide termen is gelijk (2), dus het product is ook weer een sinusoïde. c. maximum is 2 en het minimum 0: D2 02 1 en A2 02 1
de periode is : B 2 2
en de grafiek is maximaal op tijdstip 0 f(x) cos2x 1 d. Alleen het ‘startpunt’ is anders. Deze ligt bij 34 3
4
f(x) sin2(x ) 1 e. s(x) 3sin x 2cos x 2(sin x cos x) sin x 2 sin x 2 2 2 2 2 2
x y - 0,5 1 1,5 -0,5
20.
a. De functie bestaat niet als de noemer 0 wordt: cos x 02 .
1 1 1 2 2 2 cosx 0 x , x 1 , x 2 , ... b. De periode van f is . c. 2 2 2 2 sin x sin x f(x) ( ) tan x cosx cos x d. h(x) tan x sinx cosx 2 2 2 2 2 2 2
cosx cosx sin x sin x cos x sin x sin x
h'(x) 1 1 tan x
cos x cos x cos x
2
u(x) tanx en f(u) u f'(x) (1 tan x) 2u (1 tan x) 2tanx 2tan x 2tan x 2 2 3
21.
a. f (1) sin 1 0,7082 2 f (1) sin 1 0,5014 4 f (1) sin 1 0,3556 6 en f (1) sin 1 0,2518 8 Hoe groter de macht, hoe lager de functiewaarde bij bijvoorbeeld x 1 .
b. Bij x 0, x , x 2 , ... zal de grafiek steeds meer horizontaal lopen en schiet in de buurt van x 21 , x 1 , ... 21 steeds steiler omhoog.
c. B : 0,1f
d. als a oneven is: B : 1,1f
22.
a. De periode van B is 0,4.
b. maximum: y 5,83 en het minimum: y 5,83: A 5,83 en D 0 De periode is 0,4: B0,42 5 het ‘startpunt’ ligt bij x 0,33
B(t) 5,83sin5 (t 0,33)
c. B'(t) 5 5,83cos5 (t 0,33) 91,6cos5 (t 0,33) d. De maximale snelheid van B is ongeveer 91,6 cm/sec
23.
a. De periode van h is 2 3
2 3 .
b./c. h(x) asin 23 x 2sin23 x (a 2)sin 23x De amplitude is a 2 .
24. Het maximum is 3,68 en het minimum -3,68. A 3,68 en D 0 De periode is 1 2 2 4 en het ‘startpunt’ x 0, 46 1 2 s(x) 3,68sin (x 0,46)
25. De somgrafiek is geen sinusoïde want de amplitude verandert steeds.
Uitwerkingen 5 havo D, hoofdstuk 8 5
-x y 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 -1 -2
26.
a. De periode van zowel y 3cosx als y 4sin x is 2. Dus de somgrafiek is een sinusoïde. b. f(x) 5cos(x 0,93) c. a 3242 25 5 en 1 4 3 c tan ( ) 0,93 . d. a 52122 169 13 en 1 5 12 c tan ( ) 0,39 g(x) 13cos(x 0,39) 27.
a. De periode is 0,4. De grafiek van y 5sin5 t is een kwart periode naar links verschoven. Dat wil zeggen: r(t) 5cos5 t
B(t) 3sin5 t 5sin5 (t 0,1) 3sin5 t 5cos5 t b. a 3252 34 en 1 3 5 c tan ( ) 0,54 B(t) 34 cos5 (t 0,54) 28.
a. Bij een frequentie van 440 Hz is de periode 4401 . Dan is 1 440
2
B 880 en bij een frequentie van 880 Hz is de periode 8801 . Dan is 1
880
2
B 1760 . f(t) sin880 t sin1760 t
b.
c. Omdat de periode van y sin880 t twee keer zo groot is als de periode van y sin1760 t .
29.
a. Voor t 2 geldt dat weer.
De gemeenschappelijke periode van f en g is 2. b. De periode van h is 2.
c. Omdat dan de grafieken van f en g zich dan weer herhalen.
30. De periode van f is 1 3 2 6 en de periode van g is 1 4 2 8 .
De grafiek van f herhaalt zich na: 6, 12, 18, 24, 30, … en de grafiek van g na: 8, 16, 24, 32, … De gemeenschappelijke periode is 24.
31.
a. De periode van y sin 51t is 1 5
2 10
(10, 20, 30, 40, …) en de periode van y sin 152 t is
2 15
2 15
(15, 30, 45, 60, …). De gemeenschappelijke periode (en dus de periode van f) is 30. De periode van y sin0,5t is 0,52 en de periode van 4 y sin0, 4t
is 0,42 . De 5 gemeenschappelijke periode (en dus de periode van g) is 20.
De periode van y sin 41t is 1 4
2 8
(8, 16, 24, 32, …) en de periode van y sin 16t is 1 6
2 12 (12, 24, 36, …). De gemeenschappelijke periode (en dus de periode van h) is 24.
x y 0,01 0 1 2 -1 -2
b.
32.
a. De periode van f is 21 2 en de periode van g is 2 2
.
b. Er bestaat geen gemeenschappelijke periode van f en g. c. is niet rationaal, dus niet als een breuk te schrijven.
33.
a. s(x) sin120 x sin110 x
b. Vermoedelijk is de gemeenschappelijke periode 0,2. Dat kun je in de grafiek zien. De periode van de eerste term is 601 en van de tweede term 551 .
In 0,0.2 passen 12 periodes van de eerste term en 11 periodes van de tweede term. De gemeenschappelijke periode is dus inderdaad 0,2.
34.
a. Grafiek 1 hoort bij c 0,2 .
b. Als c in de buurt van 0 komt geldt er: s(x) sin2 x sin2 (x c) sin2 x sin2 x 2sin2 x c. Als de grafiek van f een halve periode wordt verschoven, dan heffen de twee sinusoïden elkaar
op. Dan geldt: s(x) 0 . Een hele periode is 1; dus s(x) is geen sinusoïde als c 0,5 k , waarbij k een geheel getal is.
d.
-e. De grafiek van s snijdt de evenwichtslijn een kwart periode voor x 0,35 , en dat is dan bij x 0,35 0,25 1 0,1 . s(x) 1,62sin2 (x 0,1)
f. Als c 0 .
35.
a. De periode van f is 2 en die van g is 23. De somfunctie is dus geen sinusoïde. b. De gemeenschappelijke periode is 2.
c./d.
e. Steeds meer termen 1
nsin(nx) erachter plakken met n oneven.
Uitwerkingen 5 havo D, hoofdstuk 8 7
-x y 5 10 15 20 1 2 3 -1 -2 -3 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 1 2 3 -1 -2 -3 x y 5 10 15 20 25 30 35 1 2 -1 -2 f(t) g(t) h(t) x y 2 3 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5 -2 x y 2 3 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5 -2
36.
a. u(x) sinx en f(u) u f'(x) cosx 1 cosx 2 u 2 sin x b. 12 1 2 3 1 6 2 2 f'( ) 0,61 1 1 2 6 y 0,61 x b 2 0,61 b 0,32 b b 0,39 y 0,61 x 0,39
c. De afgeleide bestaat niet als de noemer 0 wordt, ofwel wanneer sin x 0 . Dit is als x 0 en x
d. In de punten (0, 0) en (, 0) heeft de grafiek van f een verticale raaklijn.
37. a. y 0 b. y 0 2 1 2 3 5t 50tsin 5t 25 3 t 0 t( 5t 25 3) 0 t 0 5t 25 3 t 0 t 5 3 2 5t 50tsin 0 5t( t 10sin ) 0 t 0 t 10sin
Na 5 3 8,7 s komt het voorwerp weer op de grond. De horizontale afstand is
1 3
50 5 3 cos 125 3 216,5 m. c. s 50 10sin cos 500sin cos
d. s' 500cos cos 500sin sin 500cos2 500sin2
2 2 1 4 s' 0 cos sin
S is maximaal 500 meter als 14 .
-T_1.
a. amplitude is 4 en de evenwichtsstand y 1 . De periode is 2 3. b. R'(t) 4sin3t 3 12sin3t
T_2.
a. Om dat de periode van zowel f als g gelijk is aan . b. p(x) 0 1 3 1 1 3 3 1 1 1 2 6 3 sin2x 0 sin(2x ) 0 2x 0 2x 2x 0 2x x 0 x x x (periode : )
c. Voer in: y1sin(2x) sin(2x 13 ) maximum: ( , )61 34 en minimum: (1.31, -14) De periode van p is , dus de andere toppen liggen bij x 61 k en x 1,31 k e. D 0,75 0,252 0,25 en A 0,75 0,252 0,5. De periode is : B 2 2
en het ‘startpunt’ is bij x 0,13 p(x) 0,5sin2(x 0,13) 0,25
T_3.
a.
b. 0 (sinx) 4 1, maar 1 (cosx)5 1 en ze heffen elkaar niet op.
c.
-T_4.
a. De periode van zowel f als g is 23 23 . De grafiek van de som is een sinusoïde. b. De periode van s is dan ook 23.
c. maximum: 6,16 en minimum: -6,16 D 0 en A 6,16
B 3 en het ‘startpunt’ is 1,90 s(x) 6,16sin3(x 1,90)
T_5. a. De periode is 18. b. De periode van f is 1 3 2 6 .
c. Als de periode van g 3 of 6 zou zijn, dan was de gemeenschappelijke 6 geweest en geen 18. Zou de periode van g 12 zijn dan was de gemeenschappelijke periode ook 12.
d. De periode van g moet wel een deler zijn van 18. Voor de periode van g houden we dus over: 9 of 18. e. g(x) 2sin 29x T_6. a. De periode van f is 1 2 2 4 en die van g is 1 5 2 10
. De somgrafiek is dus geen sinusoïde. b. De gemeenschappelijke periode is 20. x y 0,5 1,5 2 1 2 -1 -2
T_7. a. Nee, 1 10 1 10 sin2x sin2x g(x) tan2x cos2x cos2x b. cos2x 0 1 1 2 2 3 1 4 4 2x 2x 1 x x (periode : ) c. f(x) 1 d. f(x) 100 1 2 tan2x 10 2x 1,47 k x 0,74 k x 0,74 x 2,31 1 2 1 4 tan2x 1000 2x 1,57 k x 0,78 k f(x) 100 : 0.78, T_8.
a. De som van twee sinusoïden met dezelfde periode wordt een sinusoïde, ook weer met dezelfde periode. De som van deze sinusoïde en de derde sinusoïde (beide met dezelfde periode) wordt dus weer een sinusoïde met dezelfde periode.
b. De periode van y sin x is 2 en die van y sin x is 2. Deze twee hebben geen gemeenschappelijke periode.
