Hoofdstuk 6:
Oppervlakte en inhoud.
V_1.
a. De diagonaal van de hele puzzel is 12 2 . De zijde van het vierkant is dan 1
412 2 3 2 . De oppervlakte van het vierkant is 3 2 3 2 18 ; dat is het 18 1
1448 deel van de hele puzzel. b. De driehoek rechtsboven en het parallellogram.
c. De oppervlakte van de grote driehoeken is 1
4144 36 cm2 en de oppervlakte van de twee kleinste driehoeken is 9 cm2.
d. De rechthoekszijden van de grote driehoeken zijn 6 2cm, van de middelste driehoek 6 cm en van de kleinste driehoeken 3 2cm. De zijden van het parallellogram zijn 6 bij 3 2cm.
e. 1
2 6 3 9
rode driehoek
Opp en Oppparallellogram 6 3 18
V_2.
a. De diagonalen staan loodrecht op elkaar.
b. 1 1
2 2 6 4 12
vlieger
Opp AC BD cm2.
c. Dan is de oppervlakte ook 12 cm2.
V_3. a. 1 1 1 7 1 6 6 4 12 4 ( ) 9 9 5 wit Opp b. 7 1 12 6 32 Omtrek
c. Bovenste driehoek is een gelijkzijdige driehoek met zijde 3. De hoogte van die driehoek is 1
2
1 3. Dus de oppervlakte is 1 1 1 2 3 12 3 2 4 3. De oppervlakte van de onderste driehoek is 1 1
2 3 3 42 . V_4. a. c. 1 2 7 6 21 ACD Opp b. 1 2 12 6 36 ABC
Opp d. OppABCD OppABCOppACD 57
V_5. a. PQ en RM lopen evenwijdig. b. PQ12, RM 6, QR6 2 en PM 62(6 2)2 6 3 c. 1 2 6 6 2 6 6 2 54 2 PQRM Opp V_6.
a. De hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijde 8 is 4 3. 1
2 8 4 3 16 3
ABT
Opp cm2.
b. AC 8 2
c. AT2TC2 AC2. De zijden voldoen aan de stelling van Pythagoras, dus ATC90o.
d. h AT2AM2 82(4 2)2 4 2
e. De straal van deze cirkel is 4. Omtrek 2 4 8
1.
a. I 8 12,5 12 1200 cm3. b. De hoogte is nog steeds 12 cm. c. De inhoud is hetzelfde gebleven.
2. a. 2 2 5 4 3 AC 1 2 3 4 6 ABC Opp b. IABC DEF. 6 3 18 3. a. h 3222 5 b. . 6 5 ABC DEF I 4. a. I 5 10 2502 b. 4 8 1282 middelste I en 3 6 542 rechter I 5. a. 1 1 2 2 4 2 2 2 AS AC ES 42(2 2)2 2 2 b. I 4 4 2 2 32 2 6. a. d120 d2 0,80 20 16 d3 0,80 16 12,8 b. 2 1 10 4 400 I 2 2 8 4 256 I 2 3 6, 4 4 163,84 I c. 256 400 0,64 en 163,84256 0,64
; de inhoud neemt steeds met 36% af.
7.
a. ABCD.H en BCGF.H
b. De drie piramiden hebben een zijvlak als grondvlak en een ribbe als hoogte. c. Ikubus 4 4 4 64, dus de inhoud van één piramide is 643 2113
d.
-e. De piramiden hebben hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte (de hoogte staat loodrecht op het grondvlak) en dus ook dezelfde inhoud.
8.
a. De diagonaal van het grondvlak is 36 2 m.
lengte opstaande ribbe: (18 2)2222 33,65m. b. hoogte opstaand vlak: 182222 28, 43m.
Totale glasoppervlak: 1 2 4 36 28, 43 2046,62 m2. c. 1 2 3 36 22 9504 I m3. 9. a. Icilinder 5 8 2002 en 5 1 2 3 5 8 663 kegel I b. 1 3 kegel cilinder I I , dus 1 3 33 %.
10.
a. BGF.M is een piramide met grondvlak BGF en hoogte FM: 1 1
. 3 2 3 4 3 6
BGF M
I
b. VBGM is een gelijkbenige driehoek met BM 3 2 en BG MG 3242 5. De hoogte van deze driehoek is 2 1 2 1
2 2 5 (1 2) 20 4,53 1 2 3 2 4,53 9, 60 BGM Opp c. 1 . 3 9, 60 ( , ) 6 BGM F I d BGM F 6 3 9,60 ( , ) 1,87 d BGM F 11. a. b. Iprisma 21 20 10 10 1000 en Ipiramide 13 12 20 10 10 333 31 De totale inhoud dat is weggelaten is ongeveer 1333 cm3. c. Iblok 40 30 20 1333 22667 cm3. 12. a. 2 2 1 10 5 5 3 r b. 2 2 2 10 4 84 r c. Icilinder1 (5 3) 1 752 235,6 en Icilinder2 ( 84) 1 842 263,9 13. a.
b. totale inhoud binnenste cilinders: 1932,1 c. totale inhoud buitenste cilinders: 2246,2
nummer van het plakje 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 straal van de buitenste cilinder 19 6 51 8 75 84 91 96 99 10 straal van de binnenste cilinder 0 19 6 51 8 75 84 91 96 99 inhoud van de binnenste cilinder 0 59,7 113,1 160,2 201,1 235,6 263,9 285,9 301,6 311,0
e. 1 4 2 3 10 2094, 4 halve bol I 14. a. 4 3 2 3 2 103 33,51 bal I cm3 en 4 22 16 50, 27 bal Opp cm2.
b. Er kan maar één laag balletjes in de doos; 5 in de lengte en 4 in de breedte: 20 balletjes. c. Idoos20 16 4 1280 cm3 en
20balletjes 20 33,51 670, 21
I cm3.
15. 2 r 40000 2 6 2 6366 0,30 4 6366 153 10 land r km Opp km 16.
a. In een cilinder en een halve bol. b.
c. Icilinder 0,7 1,1 1,692 m3 en Ihalve bol 1 42 30,73 0,72 m3 De inhoud van de glasbak is ongeveer 2,41 m3.
d. Opp20,7 4 0,72 10,6m2. Daarvoor is 10,68 0,75 1 liter verf nodig.
17. 4 3 3r 500 1 3 3 500 3 4 119, 4 119, 4 4,92 r r 2 4 4,92 305 Opp m2. 18. a. r3 1 b. 4 3 3r 1 2 1 6 1 1 6 r Opp cm 3 3 4 0,62 r r 2 4 0,62 4,84 Opp cm2
De oppervlakte wordt dan 6 4,846 100% 19, 4% kleiner.
19.
a. Omtrek 2 5 10 31, 4cm.
b. De uitslag van de mantel is een rechthoek van 31,4 cm bij 11,2 cm c. De oppervlakte van de cilindermantel is 31, 4 11, 2 352 cm2.
20.
a. 1 2
2 20 200
mantel halve cirkel
Opp Opp cm2.
b. Omtrekgrondcirkel Omtrekhalve cirkel 12 220 20 cm.
2 20 10 grondcirkel grondcirkel r r cm c. AT 20 en MT 15. 2 2 20 15 5 7 13, 23 grondcirkel r en Omtrekgrondcirkel 25 7 10 7 83,12 cm. d. Ongeveer het 10 7
2 20 0, 66-ste deel van de cirkel wordt gebruikt. 2
0, 66 20 831, 2
kegelmantel
21.
a. De straal van de uitslag is 10242 116 10,77 De omtrek van de grondcirkel is 2 4 8 cm. De uitslag van de kegelmantel is het 2 8116 0,37-ste deel van de hele cirkel. De hoek van de uitslag van de kegelmantel is 0,37 360 o133,7o
b. Oppkegelmantel 0,37 116 135,34 cm2. c. 225o is het 225 5
360 8-ste deel van de cirkel. De omtrek van de grondcirkel van de kegel is
5
82 12 15 . De straal van de grondcirkel van de kegel is dan r152 712 en de hoogte
2 1 2 3
2 4
12 (7 ) 87
h .
De inhoud van de kegel: 1 1 2 3 3 (7 )2 874 552 I cm3. 22. a. Opp 2 (3, 6 0,01) 223,6 0, 01 2, 2 0, 01 0, 01312 mm2. b. Opp4schijfjes 2 (3, 6 0,01) 223,6 0, 01 8,8 0, 01 0,02805 mm2. c. 4 0,01312 0,02805 4 0,01312 100% 46,6% minder zuurstof. 23. a. 1 2 3 5 12 100 kegel I en 1 2 3 2 5 6 100 dubbele kegel I b. 10 2 26 13 65 kegel Opp en 102 2 2 2 2 2 6 5 2 ( 6 5 ) 78,1 dubbele kegel Opp 24. a. KL NM 7,5 en NK LM 10. b. met 4.
c. OppABCD 30 40 1200 en OppKLMN 7,5 10 75
d. OppABCD 16OppKLMN
e. IABCD G. 13 1200 60 24000 en IKLMN G. 13 75 15 375 De inhoud van piramide ABCD.G is 64 keer zo groot als de inhoud van piramide KLMN.G.
25.
a. De inhoud is 729 keer zo groot; dan is de zijde 72913 9 keer zo groot.
b. De oppervlakte van de grote kubus is 81 keer zo groot. Voor de kleine kubus is dan 0,18
81 0,0022liter verf nodig.
26. zijden: 5 : 7 : 9
Oppervlakte: 25 : 49 : 81 Oppmiddelste 4925 44 86, 24 en Oppgrootste 8125 44 142,56 Inhoud: 125 : 343: 729 Imiddelste 34312520 54,88 en Igrootste 12572920 116,64
27.
a. De straal van de grondcirkel van de bovenste kegel is twee keer zo klein. De inhoud is dus 3
2 8 keer zo klein. Het 18 deel van de kegel zit in de bovenste helft.
b. Voor het leeglopen van 18 deel van de kegel is 15 seconden nodig. De zandloper loopt dus helemaal leeg in 8 15 120 seconden.
28.
a. Ivaas 13 12 12 28 1344 cm3.
b. De hoogte van de piramide is 28 cm. Er wordt 7 cm weggelaten, dat is het 14 deel. De ribben van de piramide zijn dus ook 25% korter.
c. De ribben verhouden zich als 4:3 en de inhoud als 64:27. De inhoud van de kleinere vaas is dan 27641344 567 cm3.
d. Ivaas114 14 30 1344 4536 cm3. Het gewicht van deze vaas is: 4,536 400 1814, 4 g
2 14 14 23 576 3941
vaas
I cm3. Het gewicht van deze vaas is: 3,941 400 1576, 4 g
29.
a. Als de lengte 4 keer zo groot is, dan is de inhoud 43 64 keer zo groot. De tijger weegt dan ongeveer 288 kg.
b. De oppervlakte is 42 16 keer zo groot: De vacht van de tijger is ongeveer 16 16 240 dm2 c. De warmteafgifte moet even groot zijn als de warmte productie. Een dier dat k keer zo groot is geeft k2 keer zo veel warmte af en produceert k3 keer zo veel warmte. Hij moet dus minder eten. Een kleiner dier heeft dus meer voedsel nodig.
d. De tijger is 64 keer zo zwaar als de kat. De draagkracht van de poten moet dus ook 64 keer zo groot zijn. De oppervlakte van de poten is slechts 16 keer zo groot. De tijger moet dus ook dikkeren poten hebben.
30.
a. De lengte van de vader is 2 keer zo groot. Het volume van de vader is dan 8 keer zo groot. Het volume van Boy moet met 8 vermenigvuldigd worden.
b. Henk zou 8 16 128 kg moeten zijn. c. -31. a. MC MD 9 (straal) CD 2 9262 6 5 b. 1 2 6 5 6 18 5 40, 25 MCD Opp cm2. c. 18 6 5 2 (18 ( )) 6 94, 25 ABCD Opp cm2. 32.
a. BE en DF staan loodrecht op het grondvlak, dus B en E hebben dezelfde afstand tot ADF.
b. ABD is een gelijkzijdige driehoek: d B AD( , ) 3 3 (zie de voorkennis).
c. 1 1 . 3 2 6 6 3 3 18 3 ADF E I d. 1 1 . 3 2 6 3 3 3 9 3 ABD E I e. 1 1 . 3 (6 3 2 6 3) 3 3 27 3 BDFE A I
33. a. A ME N'' MTNT 4,5 6 2,5 4,5 2,5(6 ) 15 2,5 2 15 7,5 h h h h h h h
De hoogte van de piramide is 13,5 cm. b. IABCD T. 13 9 9 13,5 364,5 cm3.
c. IABCD EFGH. 364,5 13 5 5 7,5 302 cm3. d. Nee.
34.
a. Er zijn 48 driehoeken.
b. AE is de lichaamsdiagonaal van een kubus met ribbe 4. M is het midden van AE.
1
2 4 3 2 3
AM
c. De driehoekjes zijn gelijkbenig met basis 4 en twee gelijke benen van 2 3 cm.
d. e. MN 4 en FE4 2 1 2 4 4 2 8 2 FMEN Opp
f. Bij elk van de acht hoekpunten van de kubus liggen drie van zulke piramiden. Dus er zijn 24 piramiden.
g. 3 1 2
3
8 24 4 2 256
trickstar
T_1.
a. De straal van de grondcirkel is 2. Icilinder 2 10 402 cm3. b. IAPHD BQGC. IbalkIPEH QFG. 4 4 10 12 3 4 4 136 cm3. c. Dan moet van APHD.BQGC nog een prisma er af gehaald worden.
1
. 136 2 3 4 4 112
APQB RHGS
I cm3.
T_2.
a. Neem de afmetingen in dm: Icilinder 1,5 3,9 27,62 dm3 (liter). b. c. 10h 615h 2 2 1 1 3 3 15 10(6 ) 60 10 5 60 12 1,5 1,8 1,0 1, 2 3,0 midden h h h h h cm I liter d. Imelkbus 27, 6 3, 0 1,0 0,9 33, 42 liter. T_3.
a. De straal is 10 cm. De lengte van de paal zonder halve bol is 230 cm.
2 1 4 3
2 3
10 230 10 74.351
paal
I cm3.
Het gewicht van de paal is ongeveer 0,074 2200 163,6 kg.
b. 1 2
2
2 10 130 4 10 8796
paal
Opp cm2.
Voor 25 palen is er 25 0,8796 8 2,75 liter verf nodig.
T_4.
a. Het lichaam ABC.DEF bestaat uit een prisma met grondvlak ABC en hoogte 2 en een piramide met een grondvlak van dezelfde vorm en hoogte 4.
1 1 1 2 12 5 2 3 2 12 5 4 100 I b. 1 2 3 12 6 288 kegel I
c. De straal van de uitslag van de kegelmantel is 12262 180 6 5 . De omtrek van de grondcirkel van de kegel is 2 12 24 . Dat is het 2 24180 0,89-ste deel van de omtrek van de uitslag. De oppervlakte van de uitslag van de kegelmantel is 0,89 ( 180)2 506 T_5.
a. 1 1
3 2 6 6 6 36
I
I
b. De zijden van de grote piramide (I en II samen) zijn 2 keer zo groot als de kleine piramide (I). De inhoud van de grote piramide is dus 238 keer zo groot.
c. III 8 36 36 252 IV
De delen III en IV zijn ook gelijk. 12 8 36 23
2 576
III IV
T_6.
a. De zijde van het vierkant is 6 2: Oppvierkant (6 2)2 72 cm2. b. De zijde van de gelijkzijdige driehoek is 6 2: 1
2 6 2 3 6 18 3
driehoek
Opp cm2.
c. Oppkubo octaeder 6 72 8 18 3 432 144 3 cm2.
d. 3 1 1 3 2 12 8 6 6 6 1440 cubo octaeder I cm3. T_7. a. BK 620,52 36, 25HL en KH 424,52 36, 25LB b. KL 624242 68 en BH 624252 77 c. BKHL is een ruit. d. 1 2 68 77 36,18 BKHL Opp cm2.
e. De straal van deze cirkel is 1 2 2
2 4 6 13. 2
( 13) 13
Opp en Omtrek2 13
T_8.
a. Neem aan dat de kubus een ribbe heeft van 1. 3 4 3 3 3 4 1 0,62 r r r 2 6 1 1 6 4 0,62 4,84 kubus bol Opp Opp
De oppervlakte van de kubus is dus groter.
b. De straal van de uitslag wordt r2(2 )h 2 r24h2 De omtrek van de grondcirkel blijft 2r