Modelonderzoek open leidingen hydraulisch gladde en ruwe wand

NN31545.0614

JOTA 614 50 maart 1971 Instituut voor Cultuurtechniek en Waterhuishouding

Wageningen

MODELONDERZOEK OPEN LEIDINGEN HYDRAULISCH GLADDE EN RUWE WAND

J.G.S. de Wilde

BIBLIOTHEEK

STARINGGEBOUW

Nota's van het Instituut zijn in principe interne communicatiemidde-len, dus geen officiële publikaties.

Hun inhoud varieert sterk en kan zowel betrekking hebben op een eenvoudige weergave van cijferreeksen, als op een concluderende discussie van onderzoeksresultaten. In de meeste gevallen zullen de

conclusies echter van voorlopige aard zijn omdat het onderzoek nog niet is afgesloten.

Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut in aanmerking.

CENTRALE LANDBOUWCATALOGUS

I N H O U D

B i z .

INLEIDING 1 BESCHRIJVING MEETOPSTELLING STROMINGSMODEL 2

KARAKTERISERING VAN DE STROMING 3

AARD VAN DE WAND * STROMING LANGS HYDRAULISCH GLADDE WAND 6

STROMING LANGS HYDRAULISCH RUWE WAND 9

SAMENVATTING 12 LITERATUURLIJST 1 *

INLEIDING

Omtrent de toepassing van de formule van MANNING bij de bereke-ning van open waterleidingen zijn reeds vele artikelen verschenen

[o.a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10J.

In enkele van deze artikelen vraagt men zich af of deze formule wel een juist beeld geeft van de stroming in open leidingen. Manning introduceerde zijn formule in 1889 [5]. Dit was in de tijd toen de invloed van de laminaire grenslaag nog niet bekend was en men nog niet beschikte over het tegenwoordige inzicht in de tur-bulente beweging langs gladde en ruwe wanden f 2, 4, .5 J.

Het is natuurlijk niet verwonderlijk dat een formule,die zuiver empirisch is en niet berust op een fysisch-mathematische basis, manco's vertoond.

Sinds de invoering van de Manning formule is een groot aantal

nieuwe theoriën ontwikkeld en zijn vele laboratorium- en praktijk-proeven genomen om uit de resultaten daarvan, bruikbare, voor vele stromingsgevallen geldende vergelijkingen, af te leiden.

De enige jaren geleden in het Staringgebouw opgestelde proefgoot die speciaal bedoeld was om eenvoudige hydraulische modellen te

testen, werd gebruikt om een aantal metingen over gladde en ruwe oppervlakken te verrichten.

De opstelling van deze proefgoot zal, waar nodig, in deze nota worden besproken. De nota moet echter in hoofdzaak dienen om de uit de meet-resultaten ontstane formuleringen nader toe te lichten en te verge-lijken met uit de literatuur bekende gegevens.

In het stromingsmodel wordt de leidingweerstand uitsluitend aan de omtrek opgewekt. De ligging van de bodem is horizontaal waardoor een niet geheel eenparige doch wel permanente stroming ontstaat. Permanent houdt in, dat er geen verandering in de waterhoogte op-treedt met de tijd, op een bepaald punt.

De eventuele onnauwkeurigheid ontstaan door niet zuivere profiel-afmetingen werd verrekend, evenals verrekening heeft plaatsgevonden

van de energie-toename ontstaan door de snelheidsverhoging bij het be-nedenstrooms gelegen meetpunt. Voor het verhang is ook steeds het ver-hang van de energielijn berekend en verwerkt. De onderste afvoerbe-grenzing werd veroorzaakt door een onregelmatige watertoevoer bij la-gere debieten en de bovenste begrenzing door de opbrengst van de wa-tertoevoerpomp.

BESCHRIJVING MEETOPSTELLING STROMINGSMODEL

Een indruk van afmetingen en plaatsing van de diverse onderdelen van de proefopstelling kan worden verkregen uit figuur 1.

Uit een reservoir met een inhoud van ca. 30-000 liter, dat door mid-del van kunststofbuizen een circuit vormt met de stromingsgoot, wordt water gepompt in een bakvormige constructie die samen met de daar

opgestelde apparatuur het constante afvoer-controlegedeelte vormt. Mocht de opbrengst van de afvoerpomp een kleine schommeling vertonen, dan wordt deze teniet gedaan door een instelbare overlooppijp. Met behulp van een recorder K kunnen eventuele opgetreden storingen in de watervoorziening direkt worden opgemerkt. De hoogte van het waterniveau

in de bak kan tijdens de meting door middel van een peilnaald G wor-den afgelezen.

Met behulp van deze peilnaald kan tevens nauwkeurig de volgende debiet-stap worden ingeregeld.

Uit de bak stroomt het water via een Thomson- of een Cipolettimeet-schot in een verzamelbak waar de watertemperatuur wordt gemeten. Het water vloeit vervolgens door evenwijdige geleidepijpjes in het ei-genlijke houten stromingsmodel. Het talud hiervan heeft een helling van 45 , de bodembreedte is 250 mm en het meettraject een lengte van 800 cm.

De bodem en het talud zijn voorzien van pvc-doek met een oneffenheid van 0,02-0,05 mm.

Voor de "hydraulisch ruwe" metingen zijn op het pvc, op afstanden van 10 cm kunststofstrippen met een breedte van 18 mm aangebracht (zie detail figuur 1).

ligging van de op vele plaatsen ondersteunde gootbodem door middel van waterpassing gecontroleerd en ingesteld.

Op 2 plaatsen werd de waterspiegelhoogte bepaald ten opzichte van de bodem door middel van peilnaalden, voorzien van gloeilampindi-catie , waarmee een aflezingsnauwkeurigheid van 0,1 mm te behalen is.

Uit de goot stroomt het water vrijuit in een bassin waarin de

af-voermeting plaats heeft. Het is daarvoor voorzien van 2 niveauelek-troden die vooraf op een bepaald hoogteverschil ten opzichte van elkaar werden ingesteld.

Indien het water in het bassin stijgt, start bij het aanraken

van-de laagst geplaatste elektrovan-de (a) een digitale tijd-teleenheid, welke weer stopt als de hooggeplaatste elektrode (b) wordt geraakt door het water.

Als door uitpompen elektrode b vrijkomt, wordt dé tijdwaarde van de tel-eenheid uitgeprint en bij vrijkomen van elektrode a wordt de tel-eenheid weer op 0 ingesteld waarna de automatische meetcyclus weer kan beginnen.

KARAKTERISERING VAN DE STROMING

Gedurende de proeven, waarbij de wanden niet van kunststofstrip-pen waren voorzien, d.w.z. tijdens de "gladde wand" metingen, be-weegt het water met grote snelheid door het model. De mogelijkheid van "schietend" water zou zich kunnen voordoen. In deze situatie mag geen gebruik worden gemaakt van de normale stromingsformules. Het karakter van het bewegende water kunnen v/e nagaan met het ge-tal van SROUDE. Dit gege-tal geeft aan of we met "stromend" dan wel "schietend" water te maken hebben.

De maximumsnelheid in het meettraject van het stromingsmodel zal steeds worden bereikt bij het benedenstroomse meetpunt.

De formule voor de berekening van het getal van Froude luidt:

V

waarin:

v = de gemiddelde stroomsnelheid in m/sec

g = de zwaartekrachtsversnelling in m/sec

A

D = •= is de hydraulische diepte in m

2

A = de natte doorsnede in m

T = de breedte van het vrije wateroppervlak in m

Indien nu F <C 1 spreekt men van "stromend"water en

voor F

y

1 spreekt men van "schietend" water

Geval A. Gladde wand

•> •••'•'•

2-v max. = 0,605 m/sec g = 9,81 m/sec T <= 0,42 m

A = 0,028 m

2

D = I =

2 * T | £ =

0,0666 m

0,605

P

r = \ / 9 '8lx0 066& = '

v 0

> 7 4 8 O - Dus h e t water "stroomt"

Geval B. Ruwe wand

"* 2

v max. = 0 , 2 9 m/sec T = 0,52m A = 0,053 m

D = 0 3 2 " = 0,102 m

0,29

F =

r

=

\ / Q 8V 0 102

= ^°>29 <

1 Dus

n e t

water "stroomt"

Hieruit blijkt dat het stadium van "schieten" bij geen van de

uit-gevoerde metingen werd bereikt.

AARD VAN DE WAND

Het pvc-doek aangebracht op bodem en talud werd als gladde wand

beschouwd. Er dient nu te worden nagegaan of deze wand als

hydrau-lisch glad mag worden opgevat.

De technische oneffenheid van het pvc-doek is erg klein en de grootte

van de wandoneffenheid k ligt clan ook (volgens AKZO Arnhem) tussen

0,02 en 0,05 mm. Aangehouden werd

•%.

= 0,05 mm

ÏÏ12LX •

Voor een hydraulisch gladde wand moet gelden, dat het quotiënt van de

g r o t e r moet z i j n dan 4,

dus £ > 4 | > ]

De dikte van het laminaire sublaagje kunnen we berekenen met de formule van NIKURADSE:

12 \T

6 =

\/r^v (2)

VgTË.s

waarin:

<5 = dikte van het laminaire sublaagje in m ~fr = kinematische viscositeit in m /sec

o g = zwaartekrachtsversnelling is 9>81 m/sec

R = hydraulische straal in m

m

S = verhang van de energielijn in /m

Voor het gehele meetgebied "gladde wand" moet nu 6 . bepaald worden. Deze waarde verkrijgen we indien voor het produkt van R en S de maximale waarde wordt ingevuld.

R = 0,061 m en S = 0,00094 m/m

De gemiddelde kinematische viscositeit werd aan de hand van de

-6 2 temperatuur voor het gehele proces vastgesteld op "£*= 1,18x10 m /sec

12-fr" 12x1,18x10"6

6 •_min. = V g X i V = 1/9,81x0,061x0,00094 - 0-997x10-4.- 0,597 mm

k max.

= 0,05 mm dus | = 2 ^ 1 = ^ 1 2

Hieruit volgt dat de stroming is op te vatten als een stroming langs een, hydraulisch gladde wand.

Bij de beschrijving van de meetopstelling is reeds uiteengezet wat wordt verstaan onder een ruwe wand.

Voor de ruwe wand moet echter nog worden vastgesteld of zij inderdaad hydraulisch ruw is voor het gehele meetgebied.

De grootte van de wandoneffenheid k = 18 mm. Deze ruwheid komt ongeveer overeen met grind-, gezette steen-, of oude betonnen

wanden. , f 3"j Voor een hydraulisch ruwe wand moet gelden dat

Voor het ruwe meetgebied moeten we nu 6 bepalen.

ÏÏlclX-Die waarde verkrijgen we indien we voor het produkt RS de minimale waarde invullen. Hiervoor is

R = 0,03166 m S = 0,000785 m/m en V?"= 1,18x10 m2/sec g = 9,81 m/sec2

12x1,18x10

6

» 1/9,81x0,03166x0,000785*

=

°'

00

^

o6Q ra

=~°>9 "»

!

=

I§_

= 20 dusk>>

et

Dit betekent dus dat we inderdaad met een stroming langs een hydrau-lisch ruwe wand te maken hebben.

Opmerking:

Het gebied tussen hydraulisch glad en hydraulisch ruw, dus dat gebied waarvoor •? ( — ^ 4 geldt, heet het overgangsgebied.

STROMING LANGS HYDRAULISCH GLADDE WAND

Door middel van een diagram dat de relatie weergeeft tussen het getal van REYNOLDS Re en de wrijvingsfaktor f (wordt bij buizen A genoemd) van DARCY-WEISBACH kan een stromingsbeeld gevormd worden. Een diagram dat aldus ontstaan is, wordt een STANTON-diagram genoemd, het werd oorspronkelijk ontwikkeld voor buizen, doch is voor open leidingen ook goed te gebruiken. f 5 1

De begrenzingen van de gebieden waar laminaire of turbulente stroming optreedt, alsmede het tussenliggende overgangsgebied kan hierin worden aangegeven.

De stroming in buizen verandert van laminair naar turbulent tussen de Re-waarden van 2000 en 10.000. Opgemerkt dient te worden dat er in wer-kelijkheid geen scherpe bovenste begrenzing is. [2, 5 J

Voor bepaling van het Reynolds getal wordt gebruik gemaakt van de for-mule:

v.

L

V

v = de gemiddelde stroomsnelheid in m/sec L = de karakteristieke lengte in m

* - ^ O) [5]

o

Bij buizen wordt voor de karakteristieke lengte de diameter D

ge-nomen en voor open leidingen de hydraulische straal R.

Aangezien D = 4R mogen we, indien we R in (3) invullen, stellen dat

het overgangsgebied tussen laminaire en turbulente stroming zich

bij open leidingen uitstrekt tussen de 500 en 2500,. alhoewel de

bo-venste begrenzing evenals bij buizen niet scherp te stellen is.

Voor open leidingen wordt (3) dus:

R e = ^ G A )

De wrijvingsfaktor f laat zich berekenen uit de formule van

Darcy-Weisbach:

f-§£jg§2. (4)

v

waarin:

g = de zwaartekrachtsversnelliüg: In

va/tsec

R = de hydraulische straal in m

Se = het verhang van de energielijn in m/m

v = de gemiddelde stroomsnelheid in m/sec

De gestreepte lijn in figuur 2 (stanton-diagram) geeft de relatie

weer tussen de uit de meetresultaten berekende waarden voor f en

Re op dubbel-logarithmisch papier voor de stroming langs de

hy-draulisch gladde wand.

Tot Re = 900 is er nog sprake van een zekere laminaire stroming,

hetgeen zich uit in het lineaire verband tussen f en Re.

17 24

De punten bevinden zich dan tussen f = — en f = — .

*

Re Re

Tot Re = ca. 5500 strekt zich ongeveer het overgangsgebied uit, want

vanaf deze waarde gaat de puntenzwerm zich richten naar de door

0 22"3

BLASIUS bepaalde relatie f = ' ;

c

. Dit verband geldt voor

Re-R e

0 , 2 5

waarden tussen 750-25.000 Voor hogere Re-waarden, dus boven de

25-000, geldt de relatie die door Prandtl-von Karman gevonden is:

— = 2 log(Re |/f) + 0,4

l/f

Opmerking:

Door technische begrenzingen konden geen meetresultaten worden

ver-kregen voor Re < 5 0 0 en Re

y

35.000

Volgens Rrandtl-Nikuradse is bij stroming langs een hydraulisch gladde wand f een funktie van Re.

Veel wordt daarom gebruik gemaakt van deze relatie en een formule van

»tcj€(eiOl

de vorm

™ = a l o g R e | / ? + b [ 1 ]

In figuur 3 wordt dit verband, tussen en Re tff op half-loga-rithmisch papier weergegeven door de uit de resultaten bepaalde re-gressielijn, voor de stroming langs de hydraulisch gladde waüd:

- ~ = 1,51 log Re y ? + 2,38 (5) waarbij een correlatiecoëfficiënt van r = 0,9369 werd berekend.

Voor stromingen in open leidingen maakt men voor het bepalen van de gemiddelde snelheid veel gebruik van de formule van CHEZY:

v = C VR.Se1 (6)

De C in deze formule wordt de coëfficiënt van Chezy genoemd en uitgedrukt in m2/sec.

Voor stroming langs hydraulisch gladde wanden blijkt deze C uitslui-tend een funktie van Re te zijn, dus C = f(Re) [2~\

De formule die naast (6) nog veel toepassing vindt, is die van Man-ning :

v = 1^ x R ^ . Se2 (7)

De faktor k^ wordt de coëfficiënt van Manning genoemd. Hij heeft de ' 1 / 3

dimensie m /sec en blijkt een funktie te zijn van de relatieve wandruwheid — .

K

Stellen we (6) en (7) gelijk dan vinden we C = k^ . R waarbij dan echter C = f (Re) en )s-, = f (r-)

Hieruit blijkt dus dat de formule van Manning niet is te gebruiken voor stroming langs hydraulisch gladde wanden. Aangezien de wandoneffenheid in ons geval een constante waarde heeft die ligt tussen 0,02 en 0,05 nim moet, indien k„ = f(ïr)j K, bij een toerame van R ook toenemen.

In figuur 4 zijn de uit de metingen langs de gladde wand berekende k-waarden uitgezet tegen R. Aan de relatie die wordt voorgesteld door de streeplijn is duidelijk te zien dat bij een toename van R de waarden van 1^ konstant blijven.

u e js.M—wetaiiicn j . j . g g e i i OUÖÖCXI ua. l u u - i c u if

8

Hieruit blijkt dat de formule van Manning inderdaad niet te

gebrui-ken is voor stroming langs een hydraulisch gladde wand.

STROMING LANGS HYDRAULISCH RUWE WAND

De relatie tussen de wrijvingsfaktor f en het Reynolds getal

Re voor de ruwe wand wordt in figuur 2 weergegeven door de getrokken

lijn. Deze kromme op dubbel-logarithmisch papier, is zonder grote

fouten weer te geven door een gebroken lijn, in ons geval 3 maal

ge-broken met lijnstukken A, B, C en D.

Deze lijn is dan voor de vorm log f = - b log Re + log a, waarbij

dus b de richtingscoëfficiënt en a de verschuiving van de lijn

voor-stelt, a is tevens een maat voor de invloed van de

stromingsweer-stand. Het verband tussen f en Re is nu dus:

f = a Re"

b

(8)

Door (4) in een iets andere vorm te schrijven vinden we

Vullen we nu achtereenvolgens (8)en(3A) in (9) in dan vinden we:

S e

=

a

•

R e

"

x

v

=

a • v" x R~ x y

=

a .$

x

^(2-b)^.

R

(-1-b)

R x 8 g sa. -b „ o 8 g &

\r x R x ög

B

-2-b

=

8 x Se

a .^

b

. R

(

"

1

-

b )

1 1 1

_1+b

r

x Se"

-

*' x

B.

c

_

7

4 , 4 8

2

-

b

x Se

2

~

b

7k,k8

2

-

h T S p

ä *

T B

2 - b

~ _ 1 _ _b_ -1-b 1 b

2 - b vV2-b „ 2 - b 2 - b , , . 2 - b

a xV xR a xV

1

Indien we faktor

{

' . = C (10)

1 b

a

2 - b ^ - b

s t e l l e n , dan i s dus 1 1+b

7 = C x S e

2

'

b

x R

2

"

b

(11)

We zien dus dat we uiteindelijk de formule terug kunnen brengen tot

de vorm

S x R tot welke vorm de formules van Chezy

- - - - 1/6

-(v = C . S

2

xR

2

) en Manning (v = k^ x R ' x S

2

x R

2

)

v = C

l l

ook behoren.

We zullen nu voor de lijnstukken A, B, C en D eens nagaan welke

ge-daante, van de vorm (11), ze aannemen.

In tabel 1 worden de berekende waarden gegeven.

Tabel 1

lijnstuk

A

B

C

D

b

0,85

0,73

0,46

0,38

1

2-b

0,87

0,787

0,649

0,617

1+b

2-b

1,61

1,36

0,948

0,852

C

C

A

C

B .

c

c

C

D

. .gedaante

V = C , . S e ° '

8

W '

ê l

» - 4 • Se

0

'

787

* R

1

/ *

v . C

r

.

Se

0

<

6

*9x R

0

^ *

8

7 - c£ . Se°-

6 , T X

R

0

'

852

De C-waarden van A, B, C en D zijn niet gelijk, daar de faktor a en de exponent b, die er deel van uitmaken, niet constant zijn.

We weten dat f = a. Re Daar we b voor de verschillende lijnstukken hebben bepaald, kunnen we a., a enz. berekenen door een punt op het lijnstuk te kiezen en de daarbij behorende waarden voor f en Re af te

lezen. Vullen we deze waarden in (8) in dan valt a te berekenen. -6 2 De gemiddelde kinematisch viscositeit V^= 1,18 x 10 m /sec

Met behulp van (10) kunnen we dus de verschillende C-waarden (C., Cn enz) berekenen.

In tabel 2 vinden vre de berekende waarden voor a en C.

Tabel 2. lijnstuk

A

B

C

D i

a

730

295,8

30

13,8

C

345O

901,9

110,5

72,26

10

De volledige formuleringen voor de aldus ontstane vergelijkingen,

voor berekening van de gemiddelde snelheid van de waterstroming in

de gebieden bepaald door de lijnstukken A, B, C en D, zijn

respec-tievelijk:

v

A

= 3^50 x S e

0 , 8 7

x R

1

'

6 1

(12A)

VB = 9 0 1 , 9 x S e0 , 7 8 7 x R1'5 6 (12B)

•7

c =

n o , 5 x S e

0

'

6 4

9

x R 0

' 9 * 8

( 1 2

c)

7

D

. 72,3 x S e

0

'

6 1 7

x R

0

'

8 5 2

(12D)

We kunnen nu inzien dat (11) voor het geval b = 0 overgaat in

v = C x .Se

2

x R

2

, de formule van Chezy.

De richtingscoëfficiënt b = 0 wil zeggen, dat de lijn die het

ver-band tussen f en Re weergeeft, evenwijdig aan de x-as loopt.

Deze formule zou dus, in ons geval, bij benadering opgaan voor

water-stroming bij zeer grote Re-waarden en dientengevolge zeer grote

— 8

v en/of R. We moeten hierbij denken aan Re-getallen^» 10 .

— i 2/3

Manning's formule luidt: v = le. x Se^ x R

Indien we deze formule vergelijken met (11), dan zien we dat b = 0

moet zijn voor de exponent van Se en dat b =

•?

is voor de exponent

van R. De waarde voor b die formule (11) dicht laat naderen tot die

van Manning, zal dus liggen tussen 0 en •=• , stel b.v. b = — .

5 i

v

Ook deze richtingscoëfficiënt (denk aan het - teken) duidt op zeer

7

grote Re-waarden, nl. Re

y

10 . Doch de formule van Manning zal,

wat de exponenten voor Se en R betreft, eerder gebruikt kunnen worden

dan die van Chezy (C en 11. buiten beschouwing gelaten).

Aangezien v in de Nederlandse open leidingen, afhankelijk van

max.

de bodemgesteldheid op ca. 0,6 m/sec gesteld mag worden

\_

9 J ter

7

voorkoming van erosie, zou voor het bereiken van Re = 10' een

hydrau-lische straal R = 20 m nodig zijn, hetgeen in de praktijk vrijwel

on-mogelijk is.

In figuur 4 zijn ook de waarden voor t . en R uitgezet voor de ruwe

wand.

Het verband wordt hier weergegeven door de getrokken lijn.

We zien hier dat k^ = f(R), hetgeen we reeds eerder hadden

aan-gevoerd. De formule van Manning zou hier dus te gebruiken zijn,

daar k^ in verband kan worden gebracht met de gemiddelde afmeting van de wandruwheid en dit verband bij de hydraulische ruwe stroming aanwe-zig is.

Voor hydraulisch ruwe buizen is volgens Prandtl-Nikuradse de

weer-k •

standsfaktor uitsluitend afhankelijk van de relatieve wandruwheid —. Bij hydraulisch ruwe wanden in open leidingen gaat men er ook van

k ~i

uit dat f uitsluitend een funktie van — is. f 2 j

Veel wordt daarom gebruik gemaakt van formulering in de volgende

ge-1 R d a a n t e : ——- = a l o g —s- + b

Vf

y1

Hierin stelt y de afstand voor tot de wand waarop de ongestoorde lo-garithmische snelheidsverdeling een waarde v = 0 aangeeft. Hierbij

1 k wordt voor stroming langs hydraulisch ruwe wanden y = -=rr genomen.

1 18 5

In ons geval is k = 18 waarbij y = — = 0,6 wordt.

I

R

In figuur 5 wordt nu hst verband tussen —-= en —r op

half-loga-Vf y

rithmisch papier weergegeven door de regressielijn, door de berekende punten, waarbij y =0,6. De aldus ontstane lijn wordt weergegeven door de formule:

- ^ = 2,58 log ^r + 5,74 (13)

\R

y

1

waarbij een correlatie-coëfficiënt van r = 0,99^3 werd berekend.

SAMENVATTING

Weergegeven zijn de resultaten van een serie stromingsmetingen langs een hydraulisch gladde- en ruwe wand, waarbij tevens het gebruikte stro-mingsmodel is beschreven.

Aangetoond werd dat de formule van Manning niet te gebruiken is bij turbulente stroming langs een hydraulisch gladde wand.

Eveneens werd aangetoond dat in het hier beschreven stromingsgeval, namelijk turbulente stroming langs een hydraulisch ruwe wand, de for-mule van Chezy pas bij Re-waarden y 10 en de formule van Manning

7

pas bij Re-waarden ^> 10 te gebruiken zijn.

Voor de berekening van de gemiddelde stroomsnelheid in open leidingen, waarvan de wandruwheid overeenkomt met grind-, gezette steen-, of oude

H-13 oq CD p H} M d-P

B.

N P H CD: CD 4

I

H-P* 0)

4

CD 3 5 P P

S- P-CD & o o oq CD CR p p N p o p i (D O H) P i CD N CD H !3 _P< CD •i) O CD o o p-CD oq 01

H-'S

p i d-< O O 4 M P< CD P. 4 (D (D O

a

co i (D CD 3 • J (0 P* CD c H -Oq CD < (D (D <+ O CD P

B-CD 0 N P P-(D H) O 4 o il —« o VJ1 CQ (D 0\ vo

O" 4 £ H-fT CD P O P d -s CD 4 « _P O 4 S s; o P H • o • s; P O • U I oo — j • o • s: H

6

te fn O t3 • ö M w —» VO - 3 O 1 H g <! H O CD P. < P P P-fD H CD P- H-ö ^ O 4 3 o T5 o. CD c+ CD 0 1 s: P c+ CD n M o • ö CD P < P P P. CD O p f-J e t C

S

d -CD O

B"

H-M CD < CD 4 CD P H-oq H-P (W VO » H-O c+ H * C M 3 CD P <î O O 4 P' CD c+ O P ç+ « CD n •o CD P <! P P O •a CD P s: P c+ CD 1 O •o CD P te « 1 vo VT1 0 0 1 s: CD 4 fi" O CD t-3 CD O

B

- H-O P H ff H H CD c+ & H • O

k

P O • VJ1 o CD CD P

?•

SS o s *•!* 5& <• — j vo _ON - O 1 w «i

S

p) & F -O 4 CD H -01

BT

o CD M O Ht) P>

£

•o H-CD oi I ce CD d " CD *i H-3 oq CD P • ËS o c+ P> H • O • s: P o • V>J V_>J 4 ^ - J w — » VO o\ ON 1 Ö CD O* CD d -CD !V CD 3 H-w < P) 3 P. CD P4 O O

?

P> d-CD H-C_>. 3 cr H-c . CD

5"

CD 4 1 1 g $, ff CD H-P. 01 H) p) tv d -O ** CD P H ' P O •a CD 13 H CD H-P.

H-£

_s

4* 53 O P H • O

JS

p o •

8

0 0 ON g hg w w

S

_O V« ÇH «• 1 VO ON U l 1 hrt L j ^ CD M CD O 3 CD n w H 03 CD P Q < CD 4 P. CD C CD % M OQ <!

B

o0 O w o o 3 •o _p p << «• H P O • • ^ m "

S

S

Q s: u

?

ö • te — » vo VJl vo 1 o •a CD P Ci P* P p 5 CD H P* «<!

Ç

ë

M H-O 01 *• S _o Q 4 P3 « H--P^ » O

S

te JÜ w — » vo 4=r VO 1

1

S

CD CD 4

H-(g

P*

Ç

P C H H-O en CH o

B

s; H-M CD «< 8» O P m <• o o" o c « w 5 p. H-<n _CD p VJJ g c Si w H S • CD P a • <! G

g

S V vo ro J-bd > H M o

53"

s z o W | £o te Ö • > te Vu

s

1 ON O 0 0 O 1 a ^

C

p) c H H O PJ O O 4 « p> d-CD H H CD 03 CD P. H-O c+ P> (0 d -P" PJ C H H-O P) C^ O

S

P P t -1 O H) d-P" CD P* ^ P . 4 P C H H-O (0 P. 4* < H-0) H-O P <! O H VO ON P O •

3

VJl te 3 CD H-VO -<] o -* C H >

1

g § te <! '<î te — » vo _-<] O 1 W CD 01 H-01 d

-S

o CD 01 c+ C P. H-CD 01 O P 01 3 o o

S

o •o CD P O pT CD H 0 1 1

fiOD£N &£Af£»£AfSr#oorrs Ae> v£wsr*ao/*s *Ot£ 6£2>££IT£-fOOfifW' *i m

*

1

Jfe.

r1) >t> i &>//;> jfytut >7}i>>t>Afo.< iurfSt/11 ifoi» > >9)>?n i'formfö > v •> iip>/>} jPii/rrtW r/js/ïj??

Sm

U

| +*XEm*( ' t t

key

/f Ca. 4f/tf M

/testopstelling

O 9 . . • W Vj _{t i}

ii

7 * i .< > /. /y # ' /

h

5' /

* 1

h f % j •

1-N

A

o > O m . 2 _ O

y

r / / / »

y

/ •

t

j

/ / / m •xs c ~ m > 7 O >

WAND

log ReVT • 2.38

0 1000 1 2000 3000

_l

ReVÎ

en RcVT

vT

1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 RUU/P _{WAM ft}

I

4==2.38 loq—,

._... ' z _

* 3.74 ƒ

Vf y

t k 18 _ , waarin y = — = —— = 0.6 30 3 d / / ( •

y

( •i » « • •ƒ # / ƒ / • /

ƒ

f

1 0.03 0.04 0.06 0.08 0.1 0.15 T^j

1 R

fig. 5 relatie tussen - en —

M O W O A o Ol o Ol o ^1 o . CD o <o o o o *•*•.- _• * - T - 4 - * - - « « • • • • t T - y - « • - ? - - « r X > z a % i -> D O m > 2

5'

3

3