Overzicht van definities en stellingen bij vectorvelden, naar Kowalsky

(1)

Overzicht van definities en stellingen bij vectorvelden, naar

Kowalsky

Citation for published version (APA):

Meiden, van der, W. (1975). Overzicht van definities en stellingen bij vectorvelden, naar Kowalsky. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7501). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1975 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde.

Memorandum 1975-01 j anuari 1975

Overzicht van definities en stellingen bij vectorvelden, naar Kowalsky

door

W. van der Meiden

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

(3)

Overzicht van definities en stellingen bij vectorvelden, naar Kowalsky Deformatie. A: J

~

CI(D,X) met J E N(O)

in~,

DC'X

=

~n,

en A(O)

=

IdID.

Lineaire deformatie. D = X en A (J) C £ (X,X).

Divergentie van een lineaire deformatie. div A :=

~

det A(t) I 0'"

dt t:=

•

1. div A

=

spoo~ A(O).

2. Als A E £ (X,X) 'zijn er een a E £ (X,X) en een T E £ (X,X) ZQ dat

i) T is orthogonaal.

ii) a is positief definiet (en symmetrisch). iii) A

=

T 0 a,

en deze decompositie is eenduidig.

Het geval van een positief definiete lineaire deformatie a. 3. ~(t) is symmetrisch.

4. (C_I(t), ••• 'Cn (t)) := spec a (t), {~1 (t), ••• '~n (t)} is de bijbehorende or-thonormale basis van eigenvectoren; dan

i)

v.

C.

(0) E spec ~ (0) •

1 1

ii) Voor rijen t. ~ 0 met e. * = lime.(t.) is e. * eigenvector bij

J -1 _j-+oo_-J _J 1 6" (0) •

Het geval van een orthogonale lineaire deformatie T •. , 5. t(t) is scheefsymmetrisch.

6. Zij T(t.)a(t.)

=

a(t.), t. ~ 0 en a(t.) ~ a*; dan is t(O)_a*

=

£.

1 - 1 - 1 1 - 1

-c.

(0) van

1

7. Zij M. (t) := M[e! (t) ,e'~ (t) ] een invariante deelruimte van T (t) met

J - J - J

{e! (t) ,e'! (t)} als orthonormale basis en T (t) I M. (t)

=

D (t) ,

-J -J J Cij e

~k)

:= lim e

~k)

(t) (k = 1,2); dan -J t~ -J i) ii) lim Ci. (t) t~O J a. (0)2 is J

=

o.

e.w. bij _teO) 0 teO)

Het algemene geval A(t)

=

T(t) 0 a(t).

8. T(O)

=

a(O)

=

Id.

met e. v.

9. 20(0) =

~(O)

+

~(O)T,

2t(0) =

~(O)

-

~(O)T.

Rotatie van een lineaire deformatie. rot A =

2a(0)~;

X =

~3;

hierin is (zie 7ii)

.=. :=.=.'

x e" met &(0) ~ O.

(4)

2

-. Ret geval van strorrring: q): D x J -+ JRll, met D C JRn: J c lR en cp

(~,O)

=

11. [DICP(~,t)J is een lineaire deformatie.

12. (D2CP(~,t)J is de snelheidsverdeling van de stroming.

13. Iedere ~: lRn -+lRn is snelheidsverdeling van een stroming, bijv.

cp(~,t) := ~ + t~(~)

Divergentie van een stroming. div cp

:=

Ix

div

D1CP(~tt).

Divergentie van een vectorveld. div ~ := div cpo n

14. div

~

=

I

L

D.~.(e).

A. i= 1 1. 1.

, 3 ~

Rotatie van eenlR -stroming. n

=

3 en rot cP

:=

I~rot DICP(~,t).

Rotatie van eenlR3-vectorveld. rot

~ :=

rot cpo

15. rot

~

:=

leVX~(~).

n