H4: Periodieke functies

2.09.2021 Hoofdstuk 4:

Periodieke functies.

V_1.

a. Na 2 seconden herhaalt de grafiek zich.

b. 1 slag per 2 seconden komt overeen met 30 slagen per 60 seconden (per minuut). c. Het maximum is 0,44 mV.

V_2.

a. De eerste grafiek is zeker periodiek met periode 6. Bij de middelste grafiek wordt de

amplitude steeds kleiner en is dus niet periodiek. De rechter grafiek zou een periodieke functie kunnen zijn. De halve periode is 6 en de hele periode is dan 12.

b. Linker grafiek: evenwichtsstand is y 2 _{en de amplitude is 3.} Rechter grafiek: evenwichtsstand is y 2 _{en de amplitude is 2.}

V_3.

a. Evenwichtsstand is ongeveer T 3 . (ik denk dat het minimum -12 zal zijn) en de amplitude is dan 15. b. De grafiek wordt dan 3 omhoog verschoven. V_4.

a. Dan heeft de cabine een kwart draai gemaakt. Dat doet hij in 15 seconden, en 30 seconden later weer.

b. De straal is 20 meter.

c. De grafiek wordt dan verticaal ingekrompen. Het minimum wordt dan -15 en het maximum 15. V_5.

V_6.

a. De grafiek wordt in z’n geheel 2 omlaag verschoven. b. De evenwichtsstand is y 1,5 _{en wordt dus nu} y 2,5

De amplitude wordt 1,75 (was 3,5)

Maxima: (2, 4.25) en (10, 4.25) en minima: (-2, 0.75) en (6, 0.75) x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6

1.

a. Als de stip gedraaid is over 360o _{(een volle draai) dan bevindt het zich weer in de}

uitgangspositie.

b. Bij een draai van 90o_{; de hoogte is dan 1 m.}

c. Bij 30o _{en 150}o _{is de hoogte 0,5.} d. Bij 210o _{en 330}o _{is de hoogte -0,5.} e. Op ongeveer 0,7 meter. 2. a. AC is de langste zijde. b. -c. sin23o _ACBC BC₁ BC 0,39

d. _sin30o_{0,5 sin 45}o_{0,71 sin85}o _0,996

e. o AB AB

AC 1

cos15   AB 0,966 f. _{AB cos85} o_0,087

g. De lengte van BC kan niet groter worden dan de schuine zijde, en dus altijd kleiner of gelijk 1. 3.

a. PQ sin35 o0,574 b. sin  PQ_OP PQ₁ PQ c. PQ sin70 o0,940

d. De y-as (een draaihoek van 90o_{) is symmetrie-as.}

Dus sin110osin(90o20 ) sin(90o  o20 ) sin70o  o

e. sin150o sin30o0,5

f. De hoogte van P wordt negatief als P voorbij het punt (-1, 0) draait: 180o  360o

4.

a. Xmin 0, Xmax 360, Ymin   1 en Ymax 1 _. b. Xmax moet dan op 720 gezet worden.

c. 150 , 390 en 510o o o_.

d. 210 , 330 , 570 en 690o o o o_.

5.

a. 35o _{en 145}o _{leveren dezelfde hoogte op. Dat komt overeen met draaihoeken van 215}o _en

325  o_. b. 57 , 237 en 303o o o 6. x y 50 100 150 200 250 300 350 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1

2.09.2021

7. a.

b. De periode is nu 3 seconden en de periode van opdracht 6 is 360o_.

8.

a. De omtrek van een cirkel met straal 1 is 2. Bij een hoek van 180o _{hoort een booglengte van .}

b. Bij een hoek van 90o _{hoort een booglengte van} 1

2. c. 1 4 45 : o 1 3 60 : o 1 6 210 : 1 o d. 3₄: 135o 9. 10.

11. De hoek is gegeven in radialen, dus de GRM moet ingesteld worden op RADIAN.

a. sin1₄ 0,71 _c. 1 2 sin 4  1 b. sin11₆  0,5 _d. 2 3 sin(   ) 0,87 12. a. sin x 0,1 _b. sin x 0,9 x 0,10  x 3,04 x 4,26  x 5,16 c. sin x 1 als x 1 1₂ 13. a.

-b. De symmetrie-as is x  1₂ . Bij Q hoort: x  ₂1 (₂1    ₆1 ) ₆5

c. Je kunt bij iedere oplossing willekeurig vaak 2 bij optellen of aftrekken. Dus ... 1 , 1 , 5₆  ₆1 ₆1, 5₆, 2 , 2 , ...₆1 ₆5

d. Op één periode heeft de vergelijking 2 oplossingen. In _0,10_{ passen 5 periodes, dus er zijn} 10 oplossingen.

14. a.

b. Het rad heeft dan ₈1 omwenteling gemaakt: A    ₈1 2 1 0,785

graden 0 30 45 57,3 60 90 180 radialen (exact) 0 1 6 41 1 31 21  radialen 0 0,52 0,79 1 1,05 1,57 3,14 seconden hoogte 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 hoek in graden 6 15 60 115 107 120 172 hoek in rad 0,1 0,26 1,05 2 1,87 2,09 3 x y  2 1 -1 seconden hoogte 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1 -1

c. hA A 1

2.09.2021 d. Na 3 seconden. En vervolgens telkens 8 seconden er bij tellen. Dus na 9, 11, 17 en 19 s.

e. In 2₃ s heeft het rad ₂₄2 omwenteling gemaakt. De afgelegde weg is dan ₂₄2    2 ₆1

1 6

sin  0,5

f. 4 seconden later (halve draai) is de hoogte -0,5; dus na 42₃ s.

15. stel de GRM in op RADIAN.

a. Xmin 0, Xmax 2 , Ymin    1,5 en Ymax 1,5

b. Met 2nd _{window (TBLSET) kun je de tabel instellen:} 1 2

TblStart 0 en Tbl    Je krijgt dan in de tabel de coördinaten van de minima en maxima.

16.

a. De symmetrie-assen lopen verticaal door de toppen van de grafiek: x 2 ₂1 en x 101 ₂1_. b. De punten van symmetrie zijn alle snijpunten met de x-as: (3 , 0), (34 , 0) en ( 53 , 0)    _. c. Een periode is 2. Er passen dus 1000_2 159 _{perioden in} _0,1000_.

17.

a. Er komen 5 perioden in beeld.

b. maxima bij 5 , 3 , 1 ,1₂  1₂  1₂ ₂1, 2 .₂1 minima bij : 6 , 4 , 2 ,₂1  1₂  ₂1  ₂1 , 1₂1 c. Er zit precies één periode (2) tussen elk tweetal

opeenvolgende maxima of minima. 18.

a. _{sin 0,6 0,64}1 _

b. De grafiek is symmetrisch in x  1₂ . De tweede oplossing is dan

1 1

2 (2 0,64)  0,64 2,50 .

c. Bij elke oplossing kan je willekeurig vaak 2 (de periode) bijtellen of van aftrekken voor een volgende oplossing: 0,64 2  6,93 en 0,64 2   5,64.

19.

a. Voer in: y1sinx en y2  0,1. Met intersect: x 3,24 en x 6,18  .

De periode is 2, dus op _0,3 : x 3,24, x 6,18_  

b. Op 4 ,11 : x 15,81, x 18,75, x 22,09, x 25,03, x 28,37, x 31,32_  _       c. sin x 1 voor x 1 , x 3 , x 5 , x 7 , x 9 ₂1  ₂1  ₂1  1₂  1₂

d. Voer in: y1sin x en y2 0,2. Met intersect: x 0,20 en x 2,94  .

Op _0, 4 : x 0,20, x 2,94, x 6, 48, x 9,22_     _. x y  2 3 - -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -1 -2

20.

a. Amplitude, evenwichtsstand en periode is gelijk aan die van y sin x _{. De grafiek van g ‘begint’} alleen in de top. Dus het startpunt (0, 1) is anders.

b. Ook 2.

c. De grafiek van g snijdt de x-as in x ₂1 , x 1 , x 2 , x 3 , ... ₂1  1₂  ₂1

21.

a. Ja, Bart heeft gelijk.

b. naar links: ₂1, 2 , 4 , ...₂1 ₂1 _{of naar rechts:} 1 1 1

2 2 2

1 , 3 , 5 , ...  

22.

a. De grafiek van de cosinus is symmetrisch in de lijn x  . De andere waarde is dan          ( 1₃ ) 2 1₃ 12₃

b. Bij elk van de oplossingen kun je willekeurig vaak 2 optellen: x 9 , x 10 2₃  1₃

23.

a. Op het interval _  2 ,6 _{ heeft de grafiek van f 4 perioden.} b. symmetrieassen: x 0, x  , x 2 , x 3 , x 4     

c. punten van symmetrie: ( , 0), (1 , 0), (2 , 0)₂1 1₂ ₂1

24.

a. Voer in: y1cosx en y2  0,2. Met intersect: x 1,77  x 1,77 .

b. De twee oplossingen zijn elkaars tegengestelde.

c. Weer een aantal keer 2 er bij optellen: x 33,19  x 35,93 _.

d. Op één periode heeft de vergelijking twee oplossingen. Op _100 ,200 _{ (dat zijn 50 perioden)} zijn er dus 100 oplossingen.

25. Getekend zijn de grafieken van f(x)=-sinx en g(x)=cosx

a. Op het interval _0,2_{ (de gemeenschappelijke periode) hebben de grafieken twee snijpunten.} Op _  4 , 4 _{ (4 perioden) hebben ze dus 8 snijpunten.}

b. Bij een booglengte van 1₄ _{hoort een draaihoek bij van 45}o_{. Het punt ligt dan op de lijn} y x_{ .}

Met andere woorden de x- en de y-coördinaat is gelijk.

c. x 3 , x3₄  2 , x₄3  1 , x3₄   3₄ , x ₄1 , x 1 , x 2 , x 3 ₄1  ₄1  ₄1

26.

a. Voer in: y1cosx en y2 0,67 Met intersect: x 0,84 en x 5,45 

Op _0,3 : x 0,84 , x 5,45 , x 7,12_    _. b. cosx 1,1 _{heeft geen oplossingen.}

c. Voer in: y1sin x en y2  0,99 Met intersect: x 4,57 en x 4,85 

2.09.2021 d. Voer in: y1cosx en y2  0,95 Met intersect: x 2,82 en x 3, 46 

Op 50 ,54 : x 159,08 , 160,54 , x 166,19 , x 166,82_  _    _. 27. a. g(x) 3 f(x)  b. h(x) f(3x) c. d. f( ) f(3₄1    ₁₂1 ) h(₁₂1 ) en f( ) f(31₂    ₆1 ) h( )₆1 e. De periode van h is 3 keer zo klein geworden:

2 2

3  3 .

28.

29.

a. De periode wordt kleiner dan 2. De grafiek wordt horizontaal ingekrompen. b. De periode wordt groter dan 2. De grafiek wordt horizontaal uitgerekt. c. 30. a. De amplitude is 3 en de periode 2₄ ₂1 _. b. De amplitude is 2 en de periode 1 10 2 ₂₀  . 31.

a. f: amplitude is 1 en de periode 2₅  2_{5 g: amplitude is 3 en de periode}  h: amplitude is 2 en de periode 4.

b. f(x) cos5x g(x) 3sin2x 1

2

h(x) 2cos x

32.

a. Tussen twee opeenvolgende toppen ligt ongeveer 12,42 uur, ofwel 12 uur en 25 minuten.

b. Voer in: y11,85 sin0,506x en y 2 1,2

intersect: x 1,39  x 4,81

Gedurende 3,42 uur (3 uur en 25 minuten) per periode is de waterstand hoger dan 1,20 m.

x y  2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f(x) g(x) h(x) amplitude periode f(x) cosx ₁ 2 g(x) cos6x ₁ 2 1 6  3 1 1 2 2 h(x) 1 cos x 1 2 1 1 2 2 _{ 4} b ₂  2 3 210 15 periode  _{2 3 10} x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 1 2 -1 -2

2.09.2021

33.

a. De amplitude is 2 en de periode is 3 s: B_2₃_{ }2_{3 :} 2

t.o.v. A 3

h 2sin t

b. ht.o.v. grond 2sin23 t 5

34. a. Amplitude is 2 en de periode 1 2 2 ₄  . b. g(x) 2cos x 3 ₂1 

c. De grafiek van g moet je dan 4 naar beneden verschuiven. 35.

a. periode1,252 1,6 5 s.

b.

c. Het minimum is 1,2 0,7 0,5  _liter. d. Voer in: y11,2 0,7 sin(1,25x) en y 2 1

intersect: x 2,75  x 4,79

Gedurende ongeveer 2 seconden per ademhaling is de hoeveelheid minder dan 1 liter.

36.

a. Het maximum is ongeveer 16,8 en het minimum 7,5: d_16,8 7,5₂ _12,15 b. De periode is 12 maanden. c. De amplitude is a_16,8 7,5₂ _4,65 _en 2 1 12 6 b_  _{ } 1 6 D 4,65 sin   t 12,15 d. 4,65 sin ₆1 t 12,15 10

Voer in: y14,65 sin 61 x 12,15 en y2 10 intersect: x 6,92  x 11,08

Iets meer dan 4 maanden is de daglengte minder dan 10 uur.

e. Volgens de grafiek is dat ongeveer 4,5 maand. Een afwijking van 12,5%. 37.

a. De maximale waterhoogte is 0,7 1 1,7 m  b.

c. Voer in: y10,7 cos(0,5x) en y 2 0,60

intersect: vanaf 09.13 uur is de waterhoogte meer dan 60 cm. De leerlingen hebben ongeveer 13 minuten speling.

38.

a. Dan kun je in één oogopslag het verband zien tussen het aantal prooi- en roofdieren. b. B is het aantal prooidieren.

c. Nee. Na 45 dagen zijn er ongeveer 2400 prooidieren (linker-as) en ongeveer 48 roofdieren. d. prooidieren: periode is 50 dagen en de amplitude ongeveer 1350.

roofdieren: de periode is ook 50 dagen en de amplitude ongeveer 22.

t (in seconden) h (in liters) 1 2 3 4 5 6 0,5 1 1,5 2 2,5 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1 2

39.

40.

a. 1₂1 periode in 1 seconde. Dus de periode is _1,51  seconden.2₃ b. Het hart maakt dan 1 60 901₂  _{slagen per minuut.}

c. De amplitude a is 20 mm en 2 3 2

b_ _{  .}3

d. Het verschil tussen onder- en bovendruk verandert nauwelijks: de amplitude blijft 20 mm. 120 slagen per minuut: de periode ₁₂₀60 0,5 _s. 1

2 2 b_ _{  .}4 De onderdruk is 70 mm: de evenwichtsstand p 90 _. p(t) 90 20 sin 4 t   _. 41. a. 2 3 2 periode  3 s    _. b. 8sin( t) 32₃ 

Voer in: y18sin( t) en y23 2 3 intersect: t 0,18  t 1,32  t 3,18  t 4,32

c. 8sin( t) 6 of 8sin( t)2₃  2₃  6

Voer in: y18sin( t) en y32 2 6 intersect: t 0, 40  t 1,10

Ongeveer 2 (1,10 0, 40) 1, 4   _{s ofwel} 1,4

3 100% 47% van één periode is de uitwijking meer dan

6 cm. d. u(t) 8sin(2,5 t)  grafiek a periode b I 6 4₅  3 22₅ 2 5 2 5 6 2 II 2 4 3  12 ₁₂2_₆1 III 4 2 2   4 2₄ ₂1 

2.09.2021

T_1.

a. De hoogte is symmetrisch in _{x 90} o_{. Bij een hoek van 90 (137 90) 43  } o _{heeft het punt}

dezelfde hoogte.

b. Je mag er willekeurig vaak 360o _{bij optellen of vanaf trekken: 223 , 317}o _ o_.

T_2.

T_3.

a. Voer in: y1sin x en y2  0,25 intersect: x 2,89  x 0,25

b. Voer in: y1sinx en y2 0,25 intersect: x 0,25  x 2,89

c. De periode is 2: x 9,68  x 12,31  x 15,96  x 18,60

T_4. a.

b. maxima: (0, 1) en (2 , 1) _minimum: ( , 1)  _. c. Dan is cos( )2₃  ₂1_{, want de grafiek van de cosinus is}

symmetrisch in de lijn x 0 en cos(1 )₃1  ₂1_{, want} de grafiek van de cosinus is symmetrisch in de lijn

x  .

T_5.

a./b. f: amplitude is 1 en periode 2,5 f(x) sin(0,8 x)  g: amplitude is 2,5 en periode 2 g(x) 2,5sinx h: amplitude is 1 en periode 4 1

2

h(x) cos x

T_6.

a. y sin x _{is maximaal als} 1 2

x  . F is maximaal als ₂1x  1₂ , dus als x  . b. Het maximum is 3,2 4,5 7,7  _.

c. n(x) 4,5sin( x) 0,8 ₂1 

maxima: ( , 3.7) en (5 , 3.7)  _minima: (3 , 5.3) en (7 , 5.3)   

T_7.

a. 20 trillingen per seconde, ofwel 1 trilling in ₂₀1 0,05 _{s. en de amplitude is 5 mm.} b. u(t) 5sin(40 t) 

c. Voer in: y15sin(40 x) en y 2 4 intersect: x 0,007 en x 0,018 

Het 0,018 0,007_0,05 0,2 _{deel van een periode.}

hoek in graden 45 125 240 229 600 72 hoek in radialen _{0,79 2,18} 1 3 1  _{4 10,47} 1 4 1 x y  2 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

T_8.

a. Het maximum is 19,2 uur en wordt bereikt na 25 weken.

b. Voor t 11,5 en t 37,5  _{is de daglengte gelijk voor alle breedten.} c. Dan is de daglengte gelijk aan de evenwichtsstand.

d. 365,25₇ 52,2 weken.

e. De amplitude is a 16,8 12 4,8   _.

f. Voer in: y112 4,8sin( _52,22 x) en y2 16 intersect: x 8,2 en x 17,9 

Ruim 8 weken na 21 maart (eind mei) en bijna 18 weken na 21 maart (begin augustus) is de daglengte in Nederland 16 uur.

T_9.

a. De cirkel is symmetrisch in de lijnen _{x 0 (0 en 180 )} o o _{en y 0 (90 en 270 )} o o _.

b. In één periode heeft de sinusgrafiek twee symmetrieassen.

f(x) sinbx _{heeft b perioden op het interval} _0,2_{. De grafiek van f heeft dan 2b} symmetrieassen.