Hoofdstuk 6: Periodieke functies

Hoofdstuk 6:

Periodieke functies.

V_1.

a. Bij een hoek van 360o _{(een volledige draai) hoort een cirkelboog van 2 radialen (de omtrek van} een cirkel). Dus bij een hoek van 180o _{(een halve draai) hoort een hoek van  radialen.}

b. V_2. a. b. x , x 0, x  , x 2 , x 3    c. f(x) 1 voor x  1₂ en x 2 ₂1 d. f(x) 1 voor x  ₂1 en x 1 1₂ e. De periode van f is 2.

f. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x  1₂ .

1 1 1 1 1 1

6 2 2 6 6 6

sin(  ) sin(  (     )) sin(   ) sin1 

V_3. a. b. x  1₂ en x ₂1 c. f(x) 1 voor x 0  d. f(x) 1 voor x  en x  e. De periode van f is 2.

f. De grafiek van f is symmetrisch in het punt ( , 0)₂1 _.

5 1 5 1 5 1

6 2 6 2 6 6

cos   cos(  (     )) cos(    ) cos 

V_4.

a. De grafiek van g is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een horizontale vermenigvuldiging met factor 1₆. De amplitude is 1 en de periode 2₆  ₃1 _.

b. De grafiek van k is ontstaan uit de grafiek van y sin x _{door een horizontale vermenigvuldiging}

met factor 5. De amplitude is 1 en de periode 0,22 10 .

c. De grafiek van h is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een horizontale vermenigvuldiging met factor 3 en een verticale vermenigvuldiging met factor -1. De amplitude is 1 en de periode

1 3

2_{  .6}

d. De grafiek van m is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een horizontale

vermenigvuldiging met factor _41 en een verticale vermenigvuldiging met factor 5. De amplitude is 5 en de periode 2₄_₂1_. graden 0 30 45 60 90 120 135 150 57,3 180 radialen 0 1 6 41 13 21 23 34 56 1  x y 0,5  1,5 2 2,5 3 -0,5 - 1 -1 x y 0,5  -0,5 - 1 -1

V_5.

a. De grafiek van f is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verschuiving van ₂1 _naar

rechts. De amplitude is 1, de evenwichtsstand y 0 _{en de periode 2.}

b. De grafiek van g is ontstaan uit de grafiek van y sin x _{door een verschuiving van} 1

2 omlaag.

De amplitude is 1, de evenwichtsstand y   ₂1 en de periode 2.

c. De grafiek van h is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verschuiving van 2 omlaag. De amplitude is 1, de evenwichtsstand y 2 _{en de periode 2.}

d. De grafiek van k is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verschuiving van 3 naar rechts en 2 omhoog. De amplitude is 1, de evenwichtsstand y 2 _{en de periode 2.}

e. De grafiek van l is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een horizontale vermenigvuldiging met factor 2_ en een verschuiving van 3 omlaag. De amplitude is 1, de evenwichtsstand y 3

en de periode 1 2

2 ₄

  .

f. De grafiek van l is ontstaan uit de grafiek van y sin x _{door een horizontale vermenigvuldiging}

met factor 2, een verschuiving van 0,25 naar rechts en een verticale vermenigvuldiging met factor 3. De amplitude is 3, de evenwichtsstand y 0 _{en de periode 0,5}2 _{  .}4

V_6.

a. De grafiek is ontstaan uit de grafiek van y cosx door een verticale vermenigvuldiging met factor 3 en een verschuiving van 0,4 naar rechts.

b. De halve periode is 2; een hele periode 4. f(x) 3sin (x 0,4 ) ₂1  

c. Het linker punt op de evenwichtsstand ligt een kwart periode links van 0,4, dus bij 0,6_.

De grafiek van y sin x _is 0,6 naar links verschoven; de periode en amplitude blijven gelijk.

1 2

f(x) 3sin (x 0,6 )  

V_7.

a. Het maximum is 5 en het minimum -3: D 5 3₂ 1 en A 5 3₂ 4_.

De halve periode is 5 (de grafiek gaat door (0, 1) en (5, 1)); de hele periode dus 10: B_2₁₀_{ 5}1 1

5

f(x) 4sin( x) 1  

b. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x 2 ₂1_{. Het volgende snijpunt met de lijn} y 1 _is

dan x 2 1₂(21₂ ₆5) 5 5_{6. Het daarop volgende snijpunt ligt één periode verder dan} 5 6

x   _,

1.

a. De hoogte verandert niet zoveel als punt P in de buurt is van het hoogste of laagste punt. b. S heeft de grootste snelheid als beide trappers even hoog staan; als punt P in de punten (2, 0)

of (-2, 0) is. P legt daar een ‘grote’ afstand af.

c. De periode is 1,5 seconde. Na 1 seconde heeft P een draai gemaakt van 1 2 2 1 3 11  . 1 3 y sin1   0,87 d. De amplitude is 2 en de periode 1, 5: B 1 1₃ 1 3 h(t) 2sin1 t  2. a. De amplitude is 5, de periode 6 (B_2₆_{ }1_{3 )} 1 3 h(t) 5sin t

b. S zit twee keer per periode op hoogte 2,5.

c. Voer in: 1 1

1 3 2 2

y 5sin t en y 2 _intersect: x 0,5 en x 2,5 

3.

a. periode ₈₈₀2_ ₄₄₀1 _{sec. Dat zijn dan 440 trillingen per seconde.}

b. P 1

f 

c. De amplitude wordt steeds kleiner.

d. De periode is ₁₅₀1 s en daarmee wordt 1 150 2 B_  _300_ u(t) 0,5sin300 t  4. a. B 2 2 1 B P     _dus B 2 f _ 500 2 f  250    b. f 300_2 47,7 c. f 12₂ 6    5. De periode van u en v is ₄₀2 ₂₀1 0,05  

De grafiek van v krijg je door de grafiek van u 0,01 naar rechts te verschuiven. Dat is het 0,01_0,05 deel van de periode.1₅

6. De periode van v is ₈₀2_ ₄₀1 _{. Het faseverschil is 0,3, dus de grafiek van w is} 1 40

0,3 0,0075 ten opzichte van w verschoven.

w 0,8sin80 (t 0,0075)   _.

7.

a. Er zijn vier oplossingen op het interval.

8.

a. Voer in: y13sin( x) en y25 2 1 intersect: x 0,27  x 2,23  x 5,27  x 7,23

b. De periode is 2 5

2 ₅

  . De andere oplossing ligt precies één periode er voor: 0.27 ;2.23

9.

a. De periode van y sin2x _is _{. Als} 1 6

x   een oplossing is dan is ook x    ₆1 11₆ _en

5 1

6 6

x        oplossingen van de vergelijking. Bovendien is de grafiek symmetrisch in de lijn

1 4

x  . De tweede oplossing (binnen één periode) is x  1₄ (₄1_{     . Maar dan ook6}1 ) 1₃

1 1

3 3

x    1  _en 1 2

3 3

x       .

b. Op één periode heeft de vergelijking 2 oplossingen. Op het interval _0, 40_{ heeft de}

vergelijking 40 2 80  oplossingen.

10.

a. De periode van f is 2₂  _{en van g is} 2 2

3 3 . Er passen 2 perioden van f en 3 perioden van g in

2.

b. Omdat de periode van het patroon 2 is.

11.

a. De periode van f is 2₃  2_{3 en van g is} 2 2

5 5 . De gemeenschappelijke periode is 2. b. De periode van f is 1 2 2 _{  en van g is 4 2} 1 2 . De gemeenschappelijke periode is 4. c. De periode van f is 1 3 2 _{  en van g is 6} 1 2 2_{  . De gemeenschappelijke periode is 4} 12.

d. De periode van f is 2_ 2 _{en van g is} 2 3

2 ₃

  . De gemeenschappelijke periode is 6.

12.

a. De periode van y sin2x _is  _{en de periode van} y cosx _{is 2. DE gemeenschappelijke}

periode is 2.

b. 1 1 1

3 2 6

sin   3 cos  ; sin  0 cos1_{2 ;} 2 1 5

3 2 6

sin1    3 cos  ; sin3  0 cos1₂1

c. x 1₆ , x ₂1 , x 5₆ , x 1 , x 2 , x 2 ₂1  ₆1  ₂1 en x 2 5₆

13.

a. De periode van g(t) cos2 t  _is 2

21 uur: g(t) is dus de minutenwijzer (grote wijzer).

De periode van k(t) cos 1₆t _is 1 6

2 ₁₂

 uur: k(t) is dus de urenwijzer (kleine wijzer).

b. Voer in: y1cos2 x en y 2 cos61x

intersect: x 1,09 _{(1.05.27 uur)} x 2,18 _{(2.10.55 uur)}

14. a. f'(x) 0 _voor 1 1 1 2 2 2 x , x 1 , x 2 , ...    b. f'(0) f'(2 ) f'(4 ) 1     _en f'( ) f'(3 )    1 c. f'(x) cosx 15.

a. Plot de grafiek y2 en y0: y1cosx, y2 sin x en y0 nDeriv(y , x, x)1

De grafieken van y2 en y0 zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as.

b. g'(x) sin x

16.

a. f'(x) 5sinx

b. kettingregel: _{u(x) sin x en g(u) 3 u  } 2 _{g'(x) cosx 2u 2sin xcosx  }

c. k'(x) 1 cosx sinx  

d. kettingregel: 1 3

u(x) x en l(u) 3cosu 1 1

3 3

l'(x)  3sinu sin x

17.

a. u(x) 2 x en k(u)  ₂1cosu 1 2

k'(x) 2    sinu sin2 x

b. h(x) 2 t en u(h)   3sinh _u'(x)   _{1 3cosh 3cos(2 t)} 

c. u(p) 26p 78 en m(u) 200 345sinu    _{m'(p) 26 345 cosu 8970 cos(26p 78)}     

d. u(t) ₂1 t en v(u) 0,5 2cosu  1 1

2 2

v'(t)   2sinu sin( t)

e. s'(x) 2sin xcosx 2sin xcosx 0  

f. _{q'(a) 10cos a sin a 7 cosa 7 cosa 10sin a cos a} 3 _{     } 3

18.

a. f(x) 0 voor x  1₂ , x 1 ₂1 en x 2 ₂1_{ .}

b. g'(x) 5sinx 1 1 1

2 2 2

g'( )  5, g'(1 ) 5 en g'(2 )  _{   .}5

c. De amplitude van g’(x) is 5, dus er is geen punt op de grafiek van g met helling 6.

19.

a. f'(x) cosx 0,2 

Voer in: y1cosx en y2 0,2 intersect: x 1,37

b. De hellinggrafiek is puntsymmetrisch in ( , 0)1₂ _{. In} 1 1 2 2 x  (  1,37) 1,77 _{is de helling -0,2.} c. f'( )  1 y x b 0 b b y x            

20.

a. De periode is 2 seconden. De frequentie: ₂1_0,16 _{trillingen per seconde.}

b. u'(t) 6cost _.

u’(t) is maximaal als t 0, t 2 , ...  

Op de tijdstippen t , t 3 , ...  _{is de snelheid ’t grootst naar links.}

c. De snelheid is 0 als de uitwijking maximaal/minimaal is: t 1₂ , t 1 , t 2 , ... ₂1  ₂1

d. u(100) 3,0 _en u'(100) 5,2

Na 100 seconden is de slinger ongeveer 3 cm links van de verticale lijn en beweegt met een snelheid van ongeveer 5,2 cm/sec naar rechts.

21.

a. De periode is 0,42  sec. Dit komt overeen met 12 ademhalingen per minuut.5

b. p'(t) 0,4   20cos0, 4 t   8 cos0, 4 t

p'(1) 7,8 _{mm Hg/s. De luchtdruk neemt af, de persoon ademt uit.}

c. Het maximum van p’(t) is 8. Dat gebeurt op de tijdstippen t 0, t 2 , t 5, t 7 , ...  ₂1   1₂

22.

a. Bij het laatste meetpunt hoort ongeveer 330000 werklozen. Deze is van het eerste kwartaal van 2004.

b. De lijn gaat door (0, 500): q 500

Verder gaat de lijn ook door (21, 400): p 400 500_{21 0} 4,76     c. 4,76t 500 0  4,76t 500 t 105  

105 kwartalen komt overeen met 26 jaar en 1 kwartaal. Dus rond het eerste kwartaal van 2014.

23.

a. De periode is 38 kwartalen: b_2₃₈ _{G(t) 4,76t 500 100sin(0,165t) }

b. G(t) 50

Voer in: y1 4,76x 500 100sin(0,165x) en y  2 50 intersect: x 80,6

Het aantal werklozen zakt voor ’t eerst onder de 50000 rond het jaar 2008.

24.

a. Er is sprake van een procentuele daling: de groei is exponentieel.

b. _{T(t) 9000 0,95 } t

c. jaarlijkse schommeling: de periode is 1 en dus B2₁ 2 S(t) 250sin2 t  t

B(t) 9000 0,95  250sin2 t

25.

a. T(t) 5t 10 

b. De periode S(t) is 1. S(t) is maximaal 6 voor t 1₄, t 1 , t 2 , ... ₄1  ₄1

c. f'(t) 5 2 6cos2 t 5 12 cos2 t        

d. f'( ) 5 12cos1₄   ₂1_{  . Als f’ maximaal zou zijn dan zou de afgeleide 0 moeten worden.}5 e. De afgeleide is groter dan 0, dus de grafiek van f stijgt. Hij gaat dus nog naar het maximum

toe.

26.

a. f'(x) cosx



f'(0) 1 De lijn y x is de raaklijn aan de grafiek van f in (0, 0).

b. Voor a 1 heeft de lijn y ax één snijpunt met de grafiek van f; dit zijn de lijnen die steiler lopen dan de groene lijn. De lijn y 0,217x raakt de grafiek in de buurt van  1 1 

2 2

( 1 , 1) en (1 , 1).

Voor a 0,217 heeft de lijn ook maar één snijpunt met de grafiek van f; dit zijn de lijnen die lopen zoals de zwarte grafiek in de figuur.

c. Nee, twee snijpunten is niet mogelijk. d. De getekende lijnen hebben 5 (eigenlijk 3

snijpunten en twee raakpunten) en 9 (eigenlijk 7 snijpunten en 2 raakpunten) snijpunten.

Tussen deze twee lijnen liggen de lijnen met precies 7 snijpunten met de grafiek van f.

5: y 0,128x en 9: y 0,071x

27.

a. B₃₆₅2 _{: de periode is 365 dagen.}

b. De evenwichtsstand is O 6,5 en de amplitude 2,2. Het minimum is dan 6,5 2,2 4,3  uur (4.18 uur) en het maximum 6,5 2,2 8,7  _{uur (8.42 uur)}

c. 2,2cos₃₆₅2 (t 11) 6,5 7_{  }

Voer in: y12,2cos3652(x 11) 6,5 en y  2 7 intersect: x 66,9 en x 276,1 

210 dagen per jaar komt de zon vóór 7 uur op.

d. u(t)_3652(t 11) en O 2,2cosu 6,5_{  } 2 2

365 365

O'_  _{ }2,2sinu_{ }0,038sin  (t 11)_

okt aug

O '(273) 0,037 en O '(212) 0,024 

De zonsopkomst neemt op 1 oktober sneller toe dan op 1 augustus.

28.

a. De periode van beide functies (en dus ook de gemeenschappelijke periode) is 2

5

2 ₅

 .

b.

c. maximum: 2,5 minimum: -2,5 zero: x 0,31

x y  2 3 4 5 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5 5 9 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2

29.

a. 448 Hz houdt in: 448 trillingen per seconde. De periode is ₄₄₈1 : 1 448

2

B_  _896_{ .} 440 Hz houdt in: 440 trillingen per seconde. De periode is ₄₄₀1 : 1

440

2

B_  _880_{ .} b. De perioden zijn niet gelijk, dus de som is geen

harmonische trilling.

c. Als je de plots bekijkt op de verschillende intervallen zie je dat de tonen elkaar soms versterken en soms ook opheffen. De amplitude verandert.

d. In de getekende figuur kun je aflezen dat een kwart periode ongeveer 0,06 is. De periode zou dan 0,24 moeten zijn.

e. Voor elke a geldt: a 1_a 1_.

f. 220₄₄₀1  1₂ 224₄₄₈1

g. _{440 2 5 11} 3_{  en 448 2 7} 6_{ . De kleinst gemeenschappelijke veelvoud is 8.}

Kies a 55 en b 56

De gemeenschappelijke periode is 0,125.

T_1.

a. De amplitude (maximale uitwijking) is 0,3 mm.

b. De periode is ₂₀₀2_₁₀₀1 _{s. Dat houdt dus in een frequentie van 100 trillingen per seconde.}

c. De verschuiving is 0,002. Dat is het ₅1 deel van een periode. Het faseverschil is ₅1 .

x y 0,05 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5 -2

T_2.

a. De periode van f is 1 2

2 _{  en die van g is 4 2}

2  . De gemeenschappelijke periode is 4.

b. Er zijn 7 oplossingen op de gemeenschappelijke periode.

c. In het interval _0,250_{ passen 62,5 perioden. Er zijn dan 62 7 4 438}   oplossingen.

T_3.

a. u(x) 3(x 0,25 ) en f(u) 2sinu    f'(x) 3 2cosu 6cos3(x 0,25 )    

b. _{u(x) sin x en g(u) 0,5u } 3 _{g'(x) cosx 1,5u } 2 _{1,5sin x cosx}2 _

c. u(t) 0,5  t en h(u) 3cosu h'(t)  1 3sinu 3sin(0,5 t)

d. k'(x) 2sinx cosx 2cosx sinx 2sin x cosx 2sinx cos x 4sin x cosx          

T_4.

a. De lijn gaat door de punten (0, 338) en (8, 350).

350 338 8 0

a  1,5



  _{en b 338} .

b. De periode is 1: q_ 2₁ _{ }2 _{en de amplitude is ongeveer 4. Op tijdstip t 0 is het CO}

2-gehalte 4 onder de evenwichtslijn; dus beginnend in het minimum. S(t) 4cos2 t

c. Voer in: y1338 1,5x 4cos(2 x) en y   2 400 intersect: x 39,4

Rond 2019 zal de concentratie voor ’t eerst boven de 400 ppm liggen.

T_5.

a. De periode is 2₃_2_{3 s. Dat is een frequentie van} 2 3

60 _90

slagen per minuut.

b. De evenwichtsstand is p 110 _{en de amplitude: 20. De bovendruk is dan 130 mm Hg en de}

onderdruk 90 mm Hg.

c. D_175 115₂ _145 en A_175 115₂ _30_.

100 slagen per minuut; de periode is dan ₁₀₀60 0,60 _{s, en} B _0,602 3₃1

T_6.

a. De periode van f is 1 3

2 ₆

 . Als de periode van g 3 of 6 is, dan is de gemeenschappelijke periode

6. En is de periode van g 12, dan is de gemeenschappelijke periode ook 12. Maar de gemeenschappelijke periode is 18.

b. De periode van 9 moet dan een deler zijn van 18; en dat zijn 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Bij een periode van 1 en 2 is de gemeenschappelijke periode 6, dus blijft over: 9 of 18.

2 9

g(x) Asin x_{. Voor de amplitude zijn meerdere mogelijkheden over.}

T_7.

a. Het faseverschil is het deel van de periode waarover de grafieken verschoven zijn ten opzichte van elkaar. En dat kan maximaal een halve periode (naar rechts of links) zijn.