Analyse van beproevings methoden voor het bepalen van het plastisch gedrag van metalen

Analyse van beproevings methoden voor het bepalen van het

plastisch gedrag van metalen

Citation for published version (APA):

van Bommel, L. V. M. (1983). Analyse van beproevings methoden voor het bepalen van het plastisch gedrag van metalen. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0038). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

•

Analyse van beproevings methoden voor het bepalen van het plastisch gedrag van metalen.

auteur: Lucas van Bommel

juni 1983

WPB rapport nummer 0038

In het kader van de I-1 opdracht van Lucas van Bommel

In opdracht van:

dr.ir. J.H. Dautzenberg

Inhoud. Hoofdstuk Bladzijde 2 3 4 5 Literatuurlijst Biilaqen: Inleiding Trekproef Torsieproef Stuikproef Verspaningsproef 3 4 8 17 21 22 • I I I III IV V

VI

Berekening van de plastische energie voor een variabel verplaatsingsveld,

Rekenprogramma voor de numerieke integratie van de plastische energie

Afleiding van de inwendige energie bij torsie van een elasti5che~vloei-pla5tische-materiaalgedrag.

Rekenprogramma bij bijlage III.

Resultaten in de vorm van grafieken van bijlage III. Bepaling van de rekken uit het verplaatsingsveld volgens Burgdorf .

Symbolen: ~ effectieve spanning [N/mm2] °1,2,3 hoofdspanningen [N/mm2] °vo modelvloeigrens [N/mm2] °B treksterkte [N/mm2] am hydrostatische spanning [N/mm2] T schuifspanning [N/mm2] "t effectieve rek [-]

"to effectieve voordeformatie [-] £1,2,3 rekken in de hoofdrichting [-] ulll,z,r verplaatsingen in de Ill,z,r

richting mm z,r,lll cylindercoordinaten [n/mm2] E elastisiteits modulus C specifieke spanning [N/mm2] n verstevigings expoinent [-] F kracht [N] d diameter mm 1 lengte mm 1 0 oorspronkelijke lengte mm V volume mm3 T temperatuur [K] of DC w hoeksnelheid rad/s R straal mm m optimeer parameter W energie [Nm]of Nmm

RA staal per hoekverdraaiing mm/rad

RB

,

,

, ,

mm/rad

ROOFDSTUK 1 INLEIDING

Dit is het verslag van de 1-1 opdracht van L. van Bommel uitgevoerd in op-dracht van de heer Dautzenberg. Ret doel van de opop-dracht is het onderzoeken van de diverse beproevingsmethoden voor het bepalen van materiaal

eigenschappen. Ret betreft hier de materiaalconstanten voor het beschrijven van het plastisch materiaal gedrag, de specifieke spanning of C-waarde en de verstevigingsexponent n. De bedoeling was om eventueel

beproevings-voorschriften af te leiden en om meer duidelijkheid te verkrijgen over de toepasbaarheid van de proeven. De meeste aandacht is gegeven aan de

torsieproef. Voor deze proef is het verplaatsingsveld gecontroleerd en is de bijdrage van de elastische rek en de vloei-vlag op de totale deformatie energie en het moment bepaald.

Bet plastisch materiaal gedrag wordt volgens Naday beschreven met de volgende fortmule

- C (- -)n

0= • £0+£ .

hierbij is:

a

de effectieve spanning N/mm2

£ de effectieve deformatie (rek)

-

_{£0 effectieve voordeformatie}

C de specifieke spanning N/mm2 orde van groote: 1300 N/mm2 n de verstevigingsexponent 0<=n<=1

Overal waar materiaal gegevens ingevuld zijn is steeds C45 als voorbeeld genomen.

In deze beschouwing is gekeken naar de volgende beproevingsmethoden: 1 Trekproef

2 Torsieproef 3 Stuikproef

4 Verspaningsproef

Voor elk van deze methoden wordt in de volgende hoofdstukken een analyse gegeven ten aanzien van de volgende punten:

- Beschrijving van de meting - Spanningstoestand

- Grensvervormingskromme (G.V.K.), rekweg - Foutenbronnen en afwijkingen

Hoofdstuk 2 Trekproef 1) Beschrijving van de meting.

Tijdens de trekproef worden genormaliseerde trekstaven (DIN

50125,50144,50114) axiaal belast door een toenemende kracht F [N]. Tijdens de meting worden de kracht, de lengte-verandering en eventueel de diameter-verandering gemeten. Het meten kan onder belasting gebeuren of door telkens de proefstaaf elastisch te laten terug veren. Vaak heeft de trekbank de mogelijkheid om de Iengteverandering of de kracht continu te registreren. Uit de kracht en de afmetingen worden de spanningen en de rekken berekend, volqens de volgende formuies.

(j"- E _ 1=

-,q-'%d

4

E=-~t

2) Spanningstoestand.

AIleen in de 1-richting is de spanning ongelijk aan nul, hierdoor voIgt uit de formule van von Mises dat:

a=fi{(o1- o2)2+(o2- o3)2+(o3- o1

f }

Voor de circel van Mohr geldt daarmee:

])e cir.tel

J'dn

IIOIIR

voor

de

trefproe/.

de grootste schuifspanning T_{max=0.5*a1, treedt op onder 45 graden. Onder}

deze hoek zal ook de afschuiving of de breuk optteden. 3) Rekweg.

De staaf is rotat~sym~etrisch'Ewaardoorer een rechte rekweg is. Voor de rek geldt daarom:E.:.}ld./;;" / J"e

De gevonden trekkromme zal ongeveer de vorm hebben van de onderstaande grafiek, afhankelijk van de materiaalconstanten. Eventueel kunnen er

verschillen zijn voor kleine rekken ten gevolge van elastische deformatie of door het optreden van vloei. De meetwaarden bij deze kleine rekken moeten hierom niet bij de berekeningen meegenomen worden. Vaak worden de

meetwaarden op een dubbel logatimisch papier uitgezet, omdat dan de

materiaalcQnstanten eenvoudiger te bepalen zijn. Zie onderstaande figuur.

" : C+---~~ :t:o.~f\ I

- -

-

- -

--,

~':r ~..e~C

.,.

h·

~{£ t~)

P"T-

Pr.C

~ ~.c.

1~l

. c

-T:-n

Voor de modelvloeigrens geldt: 0vo=

len}

n

De maximale spanning is de treksterkte 0B=c(eJ

.Bij voortgaande deformatie, na het bereiken van de treksterkte, treedt insnoering op. Tijdens insnoering is er geen lijnspanningstoestand meer en kunnen de resultaten niet zander meer worden toegpast. Voor

E

>n kan er een correctie ingevoerd worden voor de insnoering, de zo genaamde Bridgeman correctie factor.

4) Foutenbronnen en afwijkingen. Enkele foutbronnen zijn:

- De invloed van de insnoering, ondanks de Bridgeman-correctie. - De invloed van elastische rek en vloei.

- krachtinleiding. - Reksnelheid

- Temperatuur.

De invloed van de temperatuur en de reksneldheid kunnen gecorrigeerd worden met behulp van de Msnelheids-gemodificeerde temperatuur" T

m. zie lite ] Uit die literatuur blijkt dat voor een klein temperatuur-gebied bij

_.

benadering geldt: S=fi[o(1-k log

t )]

o

Hiermee wordt de invloed van de reksnelheid verrekend in de temperatuur,dus:o= fi(Tm,t)

Meer informatie over de Bridgeman-correctie is te vinden in lit[1]. Ter illustratie is onderstaande figuur toegevoegd. Voor de rek geldt:

~=€2=-2..<:>- G\ 2€r=-2 In~=2 In

.2f

a9

~-~---t----0)

o.'OL

-_!.--._-J.~--L--2~----J--~

inSh()(fli1j5kento/

H

Hoofdtuk 3 Torsieproef.

1) Beschrijving van de meting.

Meestal ronde proefstaven worden op een speciale torsiebank in een aantal omwentelingen getordeerd tot er breuk op treedt. In lit.[2] is een

beschrijving gegeven van een torsiebank. Gemeten worden de hoekverdaaiing en het daarbij behoordende moment, eventueel worden ook de lengte- en of de diameterverandering gemeten.

Uit de gemeten momenten en hoekverdaaiingen worden grafisch of numeriek de materiaalgegevens bepaald. Later zal ingegaan worden op de verbanden tussen de momenten en de hoekverdaaiingen en de effectieve spanning en de rek. Het beproeven van een dunwandige cylinder wordt gedaan door het nemen van het verschil moment van twee torsie-staven met een klein diameter verschil. Om een andere spanningstoestand te verkrijgen kan de proefstaaf oak nog onder een axiale spanning gezet worden.

Een andere variatie op deze proef is het torderen van een platine. Meer informatie daarover is te vinden in lit.[3].

2) Spanningstoestand.

Bij zuivere torsie is er geen spanningsblokje geldt dan:

axiale kracht, dus 03=0. Voor het

C

Uit de evenwichtsvoorwaarde voIgt dat 01=-02' Voor de spanningscirkel geldt:

3) Rekweg. Algemeen wordt plaatsing over

een rekweg verondersteld met een lineair verloop van de ver-de doorsnever-de. Uit het vervolg van dit hoofdstuk zal blijken

dat dit verplaatsingsveld binnen de beschouwde verplaatsingsvelden de beste is.

Voor het verpaatsingsveld geldt dus: n~=t.r.wz=l' uz=or=O

(gg

~~z)

o

€cp2

de oplossing hiervan is

dus

volgen uit

-)..~ t~'

£f:!

~o

De proets~aat is rotat~esymmetrisch,waardoorde reksnelheden eenvoudig af te leiden zijn.

t

=!

If

w)

•~z J. . ) . ~ " , 0

tr~=~(

f·l.)-r-

£.:I ~> trr=tqlcp=tzz=trz=

Voor de deformatie tensor geldt:

De eigenwaardes "1=€3=0

A2=€1=€cpz "3=€2=-€cpz

uit bovenstaande grensvervormingskromme voIgt dat er theoretisch een oneindige deformatie mogelijk is. Er zijn echter beperkingen door diverse afwijkingen van dit model.

4) Foutenbronnen en afwijkingen.

1. De werkelijke spanningsvedeling is onbekend.

2. Ret verplaatsingsveld is een aanname, dat verschillen kan vertonen met de werkelijkheid.

3. fouten t.g.v. de krachtinleiding. 4. Reksnelheid.

5. Temperatuur.

6. Ret optreden van lengte- en diameterveranderingen.

7. Ret vedrmoeden dat er bij grotere deformaties anisotropie ontstaat.

8. De elastische rek en vloei worden verwaarloosd.

9. Mogelijke afwijkingen door het benaderen van een dunwandige cylinder door het verschilmoment van twee staven.

Achtereen volgens zullen de punten 2,9,8,6 en 7 nader behandeld worden.

tY\:::O)"5 "" :1 rr.::2

U

ly-::"';

o..e Ad.2,

Onderzocht wordt welk verplaatsingsveld het beste is; dat wil zeggen de minste energie vergt bij het torderen. Riertoe wordt een variabel

verplaatsingveld aangenomen, dat gevarieerd kan worden met een variabele m. De vergelijking voor dit verplaatsingveld is :

~ 2

f \" )'''''

01fl=Z ~ R INL

Ur=Oz=O

Voor m=1 is dit het bekende lineaire veld. Voor de reksneldheid geldt:

err=elfl~=eZZ=ezr=O

elflZ=t ~

(i)""

0,-trlfl=t

~(~}~

u'-(V'I\-')

De inwendig opgenomen vervormingsenergie:

Voor de eenvoud wordt aangenomen dat over de hele doorsnede van de tors ie-staaf het materiaal zich gedraagt volgens Naday. Verondersteld wordt dat het materiaal geen voordeformatie heeft ondergaan; toO.

Voor de deformatie energie geldt algemeen:

5W pl

=fffl7-([')

0€.

dY

V

In bijlage I is deze energie afgeleid voor torsie, het resultaat daarvan is:

L R ,\

C'f/'\-\

{f

(\,\,\(", ..

1)-\'\.1 • Mol

Wpl=,2.~""'1

)

J

R.

(Ro)

[~

\I>.

t~~['fV\-\l\] drd~

Deze integratie is analytisch erg moeilijk uit te voeren, en wordt daarom numeriek opgelost. Het rekenprogramma daarvoor is gegeven in bijlage II. Aangezien r varieert van 0 tot R, en r=O kan worden, is bovenstaande

integraal zonder problemen oplosbaar als de exponent m(n+1)-n groter is dan 0; dus voor m~~ ~0.2 voor n=0.23

Resultaten van deze integratie zijn: m _{Wp1 N mm} 0.25 3.1.108 0.5 1.4.108 0.75 5.3.107 1.00 8.1.106 1. 25 4 .107 1.5 7.7.107 2 1.5.108

uit de nevenstaande grafiek blijkt dat er een duidelijk m~n~mum is voor m=1, dus voor het lineaire verplaatsingsveld. Dat is dus op energetische gronden de beste oplossing binnen de gestelde mogelijkheden van verplaatsingsvelden. Er is getracht dit te verifi!ren, door in de proefstaven gaten te boren van ±1 mm. Deze gaten zijn vervolgens dichtgesoldeerd. Doordat er versneld breuk optrad, door de kerfwerking van de gaten zijn van deze experimenten geen resultaten bekend.

'1,-

,ei'

Ad 8 en 9.

Deze beide problemen z~Jn terug te voeren tot de vraag wat de invioed is van het elastisch-vloei-gebied. Bovendien dient er bepaaid te worden of deze invioed een vaste factor is en of het afhankeIijk is van de geometrie van de proefstaven.

Om dit te onderzoeken is een elastisch-vloei-plastisch materiaal gedrag aangenomen, en wordt de inwendig apgenamen energie berekend bij het tarderen van ~=O tot ~=~eindrad.)

vt

figuur elastisch-vloei-plastisch

I

[, )

~A~ ~v

V3

·L

IS.

door R2. Voor R2 geldt dat: verondersteld

_{ OV,,)

'In

V3

L

~2-

C

~

vloeigebied begrensd

Bij het torderen zal er steeds een elastisch gebied aanwezig zijn, en vanaf een bepaalde haekverdaaiing oak gebieden met vloei- of plastischgedrag. Deze drie gebieden zuIIen nu bepaald worden:

1) Over de hele doorsnede is de defarmatie nag elastisch zolang de maximale

spanning kleiner is dan 0vv,dat is de vioeiviagspanning. dus tot 0elast,max=ovvi bij de haekverdaaiing ~1

Met de wet van Hook voIgt hieruit:

E.£max=ovv .

r::

t'l d) ID z- (fVI/ v3 E: ", '" .,.~

=

(lvoJ '11 -(::G

Bij

ver~~otderen

zal het

~l~stisch

gebied steeds kleiner worden en het op pervlak beslaan tussen r=O en r=R₁, waarbij voar r=R₁ geldt dat:

°eIast,r=R₁=ovv dus

Eo 1Z.,

~ ~

tT." •

R'

~

flV"

V3

L

~ ~~

~ L oJ".) ~ 5 ~ .,.}

2) Vanaf ~lt/m ~2 _{zal er een gebied zijn tussen R1en R waar vloei optreedt.}

Voor ~2 geldt: °vv=oplast 0vv=Cl

£

1"~

...

)"''-a =iCto

«

\.f

)1\_

vv v-tt"

o =0

vv _{plast, r=R Z} IT.. '11\ Ii;'

L

00.

C(~ ~ R

(VII)

v3 - ""~

°vv=

VfT

i 2=

C

-W--

~

3) Vanaf ~=~Z is er een plastisch gebied tussen RZ<=r<=R.

~Jf/f\' -

J

val

Als £0,#0 _{geldt er voor R2: R2=[{}

C

-

£0 -;;...

altijd moet gelden dat RZ grater of_gelijk is lanR;t: dus dat

""f'

13L<=[(~"/,n_

tv )

]~L

dus

E"

~ (~j'IV\

-

~II

Samengevat de diverse parameters:

14>,;. r:Tw

\13·l _

'R~ [rOod]

R·

E - R .

~2

::

(Z"Y'''

~'L ~

f..:

[("aJ]

Numeriek gelden de volgende waarden, als de invoer gegevens zijn:

0vv=365 N/mm2 C=1300 N/mm2 n=0.23

RA=0.301 ""'_. RB=0.692 ~.-.

De afleiding van de inwendige energie is in bijlage III gegeven; de resul taten worden hieronder verme~d: 7':: Ii 't 2.

1) Elastisch: ~<~1 4 ' . . W/ ::;ii. t R~

'-P

2-W - I~L (') ,.,-~=~1 I - lj ~ I'" ';VI! Z) ~1

<

=~

<

=~2 3. } WZ

=

!i

!

((Y~t

+

I~: f(~~

{

~~

-

:"tJ

+

~;~~ [~(f-

4',)

+

R2,(:\ (111/ -

'/'flt)

3) ~>=~Z I . 3 . 1

.7

\i7,,, 'C 3 1\ J. _J.,\

W3=

fi

~

It'

tf.l.+.it

RA't(~,'2.

-

40.,.

\tr

_Oi

n:

f'~,'lf<p1.-tfl)+ ~

(Ii..-

*,2.)J

-+ :1

~

IRf! - RAJ

("'~~

If

')+

'*

Als aangenomen wordt dat er over de hele doorsnede het plastisch materiaal gedrag mag worden aangenomen, dan geldt er voor de plastische energie :

2.r-: (~)nH ~n~3._

Wpl=Cfn+-\)(Y\~.3) ~ "J.,1I'l

Voor de afleiding hiervan zie oak bijlage III.

Voor de berekening van de numerieke waarden van deze energieen en van de nog te bespreken momenten is een rekenprogramma geschreven (zie bijlage IV). Bovendien zijn de volgende grootheden ook uitgerekend en getekend:

- ~W=Wplast(d=6mm)-Wpla5t(d=5mm) volgens het volledig plastisch model - ~W=Wplast(d=6mm)=Wplast(d=5mm) volgens het elast-vloei-plastisch model

- Het verloop van het moment is bepaald door de energie Wplast te

differentieren naar de hoekverdaaiing ~. De afleiding daarvan is in bijlage III gegeven; de resultaten daarvan worden slechts vermeld:

~<=~1 Mw=~

f

Rlt'PR.~4 I~\

:2'T"v rt:'

f

~_

IH\?{

~3)J

~

1

<

=~

<

=~

2

~

=

'it

(I'f/.. Xo:i

~

1.J. 3 Z

~

c.

f

M3» (ll-3 .l )

~)=~2

Mow= 'tE

I2A41.!.)~ ~

2.

IT".,

11: (

~B

-

~A

j (If) +-

~~,

n

p}

R

Ifn - ROO

InJJ

-n-

If ~ z~c V3 l (fl J T •

Volledig plastisch:

M

_w l=V~:'''1 (M~

ttY'

R"'+-'\ - De diverse verschilmomcrttkrommeh worden

oo~

berekend.

- De momentkrommen zijn ook dubbel logarithmisch uitgetekend. - Bovendien zijn enkele metingen grafisch uitgezet.

Al deze grafieken zijn in bijlage V te vinden. Analyse van de computer resultaten

1) De energie berekeningen en tekeningen:

- Zoals verwacht neemt de inwendig opgenomen energie toe bij voortgaande torsie. Bovendien neemt de inwendig opgenomen energie bij een dikke staaf meer toe dan bij een dunnere. Hierdoor is het verloop van de grafiek van de verschil energie ongeveer congruent aan die van de massieve staven.

- Het verschil in energie tussen de twee modellen; volledig plastisch en elastisch-vloei-plastisch is erg klein.

Bij een nadere beschouwing van de numerieke waarden blijkt dat het verloop van de energieen er ongeveer als in de onderstaande grafiek uit ziet:

t

Dit verloop treedt ook op bij de verschil-energie~n bij de beide materiaal modellen,alleen ligt hier het snijpunt bij 4.050 .

Een orde van groote van de afwijkingen is 0.4 J bij een waarde van ongeveer 400 J. De verschillen moeten dus als minimaal worden gezien; of er zit een fout in het model voor het materiaalgedrag. Te overwegen valt om een ander materiaalgedrag in te voeren, bijvoorbeeld de modelvloeigrens

2) De numerieke waarden en de grafieken van de momenten:

- Ook hier is het verschil tussen volledig plastisch en elastisch-vloei-plastisch erg klein.

Vanaf 449.360 is er zelfs geen verschil tussen beide modellen. Tot 2.520 is het moment volgens het volledig plastisch model groter, hierna kleiner of gelijk. Zie onderstaande figuur.

Fl"t""

(..~~

v G.. ...

~ ~\oC'f' ~o..'"

dL V\A.o_e"," kre:;,--"~.

Het verschil-moment heeft een gelijk verloop, alleen zijn de twee modellen nu eerder aan elkaar gelijk, namelijk bij 82.90 .

3) De logarithmische grafieken

- Door het uitzetten op dubbel logarithmisch papier worden de verglijkingen lineair in ~, zie onderstaande verglijklingen.

log Mw=log C + log 2w - (n+1)10g 13 - log (n+3) + n.log

(~)

+ (n+3).10g R Met deze verglijkingen kan men op een eenvoudige wijze de

verstevigi~gsco~fficient n bepalen . Hiertoe moet men de

richtingsco~fficient nemen.

4) Verglijking met de experimentele waarden.

Het blijkt dat de experimentele grafieken lager liggen dan de theoretische grafieken. Dit komt doordat de theoretische grafieken gebaseerd zijn op materiaalgegevens uit de trekproef.

Uit de logarithmische grafieken is de n-waarde bepaald, die blijkt erg goed te kloppen.

Ad. 6 en 8,

Anisotropie. lengte- en diameteryerandering

Bij de torsieproef wordt soms een lengte- of diameter verandering waargenomen twee mogelijke oorzaken voor die effecten zijn:

1e Ten gevolge van welving treedt er een lengte verandering op. Dit betekent dat er met een ander verplaatsingsveld gerekend zal moeten worden.

2e Door het deformeren ontstaat er een bepaalde gerichtheid in het

materiaal,doordat de kristallen vervormen. Hierdoor is het materiaal niet meer isotroop. Door deze anisotropie treedt er een diameter- of lengte-vernadering op. Vooral doordat er bij torsie grote deformaties mogelijk zijn kan dit verschijnsel duidelijk optreden. Om deze anisotropie in een model te verwerken , kan men andere vloeivoorwaarden in voeren. Meer informatie

hierover is te vinden in lit[4] (Langsdehniung bei plastischer torsion infolge Bauschinger).

Om deze hypothesis te toetsen zullen nag uitgebreide onderzoekingen verricht dienen te worden, en gezien hun omvang vallen ze buiten het kader van deze opdracht.

Beproevingsvoorwaarde:

Uit bovenstaande theorie Zl]n de volgende eisen te concluderen:

- Het gebied waar alleen elastische rek optreedt wordt bij voortschrijdende torsie snel erg klein.

- De invloed van de elastische rek en vloei is klein. Na ongeveer 1/4 slag is de invloed verwaarloosbaar.

- Het toepassen van de verschil-moment-methode is mogelijk indien de proefstaven precies even lang zijn, en indien men nauwkeurig het verschil moment kan bepalen. Het voordeel van deze methode is dat het elastische gebied nag eerder te verwaarlozen is.

- De bepaling van de n-waarde kan erg goed door (eventueel numeriek) de

Hoofdstuk 4 STUIKPROEF 1. Beschrijving van de meting

Een cylindervormige prop met een genormeerde hoogte-diameter-verhouding wordt axiaal gestuikt. Gemeten wordt de preskracht F en de zakking. Deze meetwaarden worden omgerekend naar resp. spanningen en rekken volgens de

vOIgen~eFformules:

Q--=(jj'.t:. 'r(j:i~ onder de v.eronderstelling dat 02=03=0

E..;

-~

(

'fJ..~/'{(~~

(F))

~~h

(.!l./.e..cJ

Tijdens het beproeven zal de diameter van de prop toenemen, waardoor er wrijving optreedt in het contactviak tussen stempel en prop. In de normen

(DIN 50106, ASTM E9-77) staan deze smeervoorwaarden beschreven. De Manier van smeren bIijkt grote invloed te hebben, waardoor dit een belangrijk discussie punt is.

2. Spanningstoestand.

Voor het eenvoudige model, zander uitbuiken en dergelijke is de spanningstoestand ais voIgt:

De grootste schuifspanning treedt op onder 450 met de eerste hoofdas.

4. Rekweg en grensvervormingskromme.

De rekweg is in principe hetzelfde als bij de trekproef, aIleen is de axiale rek nu negatief. Hierdoor zou er theoretisch een onbeperkte rek mogelijk zijn. zie figutl~

In de praktijk blijkt de rekweg geen rechte lijn te zijn, maar buigt de experimentele lijn voor grotere rekken af van de theoretiosche lijn, zie

figuur.

tIft

\ '..~--~

\ '

I

~

. - .

... -

-.,.

IcIe~\.

Dit wordt veroorzaakt door de wrijvingskracht, waardoor de prop tijdens het stuiken tonvormig wordt.

4) Fouten en afwijkingen

1. Ten gevolge van de wrijving treedt er een drie dimensionale

spanningstoestand op. Wat is de invloed van de wrijvingskracht op de totale axiale kracht, welke invloeden heeft dat op de effectieve spanning?

2. De deformatie is door de wrijving niet homogeen. Hoe moet het uitbuiken in de deformatie verwerkt worden?

Ad. 1

De grootte van de wr~JVlng is afhankelijk van het smeermiddel. De standaardisatie van het smeermiddel is ook een belangrijk, en moeilijk

onderdeel van de standaardisatie van de hele proef. Enkele voorbeelden van veel gebruikte smeermiddelen zijn:

*

PTFE-laag;

*

Stearine; zie Rastegav-test.

Meer informatie hierover is onder andere te vinden in lit.[5].

Door de wrijving kunnen er diverse vormen van de prop ontstaan. Zo kan er negatieve "barrelling" optreden, wat blijkt uit proeven van Jovane. Door A. Dankers is hier een analyse van gemaakt, zie lit.[7].

Ad.2

De invloed van het uitbuiken moet in een model worden beschreven om het proces bij grotere deformaties ook nog goed te beschrijven. Een uitdrukking voor de gemiddelde spanning is gegeven door Kals, zie lit. [7]. Er dient echter lokaal gekeken te worden omdat het doel van deze proef is om de materiaal constantes nauwkeurig te bepalen, en niet de proceskracht of de vorm van de prop. Door met gemiddelde waarden te werken krijgt men een vertekend beeld van het materiaal gedrag.

Beter is het om een verplaatsingsveld te veronderstellen dat het uitbuiken ook beschrijft; Hieruit de deformaties te berekenen en met de formule van Naday en constitutieve vergelijkingen voor de wrijving de energie te

bepalen. Deze dient dan geminimaliseerd te worden, om zo het best passende verplaatsingsveld te bepalen binnen het scala van de gestelde

verplaatsingsvelden. Door de energie naar de zakking te differentieren kan er een relatie gevonden worden tussen de kracht en de zakking.Deze relatie kan vervolgens vergeleken worden met de experimenten.

Er is een begin gemaakt met het opstellen van de theoretische vergelijkingen voor een verplaatsingsveld. In lit.[8] door Burgdorf wordt een mogelijk verplaatsingveld gegeven, dat gebaseerd is op waarneming. Een fysische interpretatie van dat veld blijkt erg moeilijk te zijn. De grondgedachte is echter dat, zoals onderstaande figuur laat zien, het uitbuiken een

parabolisch verloop heeft, en dat er een diameter toename optreedt. Daarvoor heeft Burgdorf een verplaatsingveld bepaald:

1 C(rj

3

elf) ~)

.

v~=

\Is'

r·

(2~

+

4:[ -

~ ~

c(r) is hierbij een onbekende functie, in bijlage VI is voor dit veld de rek uitgerekend. Daarbij is c constant genomen. Met een rekenprogramma zijn numerieke gegevens voor de rekweg bepaald.

Bet onderzoek hierin is niet verder gegaan; als vervolg hierop kan nog het volgende gedaan worden:

- Bepalen van de rekweg, effectieve rek, deformatie energie en de totale energie.

- Ret optimaliseren van de totale energie.

- Bepalen van een kracht-zakking relatie afhankelijk van C en n waarden. - Experimentele verficatie.

Hoofdstuk 5. Verspaningsproef. 1) Beschrijving van de meting

In lit.[9] staat deze meting en het daarbij behorende verspaningsmodel beschreven. Tijdens zo'n verspaningsproef worden de

beitelkrachten,toerental, aanzet etc gemeten. Uit deze waarden is af te leiden: n _

fF:+Ff

CO~(~.e--)~\,,\1f)

'[

~'"

i.,

""'~

-

~

.b I: ' / tI

.£

I'l.f:

c7p\•• ;'

t e l

'crt)

d

t; ;"'.,

lid:):: "'.'

.:J t¥'\t>I) •r:;t

C

-

_-

~»i

,,,..,..

_l~,,,

_"

Y.:-2,3) Spanningstoestand, rekweg en grensvervormingskromme.

Het toegepaste model is gebaseerd op energieprincipes, en wel een

bovengrensmethode. Hierdoor zal zullen de evenwichtsvergelijkingen niet kloppn. Hierom is het zinloos om de spanningstoestand en de rekweg te bpalen 4) Foutbronnen en afwijkingen:

- Het optreden van wrijving. - Hoge temperaturen.

Hoge deformatie snelheden.

- Fouten ten gevolge van het uitmiddellen door het meten van gemiddelde krachten.

- Erg veel parameters die invloed kunnen hebben, zoals aanzet,~o etc,. - Onbekendheid met het werkelijke deformatie-mechanisme.

Literatuurlijst 2 3 4 5 6 7 8 9

Dankers,A "Negative barreling"bij stuikproeven, onderdeel van het college Bijzondere

onderwerpen uit de omvormtechnologie, prof Kals, 1982.

Lamers,W.J, De wringproef als onderzoeksmethode voor het vaststellen van het plastisch gedrag van metalen, 1983.

Tekkaya,AE, Deteriming Stress-Strain Curves of sheet metal in plane torsion test. Annals of CIRP vol 31/1/1982.

Backhaus,G, Lingsdehnung bei plastischer Torsion

infolge Bauschinereffect und Faserdrehung. Acta Mechanica 26,115-128(1977).

POhlandt,K, Recommendations for an Unified Upsetting Test for Determining Flow Curves. jan 1982 Unn. Stuttgart

Kals,JAG, Estimation of the surface strain

distribution in upsetting, Annals of CIRP vol 30/1/1981

Burgdorf, M, Untersuchungen Ober das Stauchen und Zaphenpressen, 1966 (KFL 67 BUR bsw)

Dautzenberg,JH, The minimum energy principle for the cutting proces in theory and experiment, Annals of CIRP 30/1/1981

Macgragor,Cw, A velocity-modified Temperature for the platic flow of metals.

~S(o.~

J:.

~e.eQ\i"'~

l.jr:..,,,,,

~ (?\~\-l~C~ e.v-.~lQ..

.

...:k:cr~'-->CJ..r\~bel

u u

--~p\t>.."'<l>~",~'L ..mm_~

(L ( '

._- _.

....

.AQ.II'\~"'o~~.\.>U'"~\o...~h.~",,-~v-Uc::!.._~-

0...'{) .=--_L

...

~ ...

R

QJ..

l.t

-

,'J .:: 0 ...- ..-.---..- .. - ---.- _- __ . _ -.;;-_ .. -. .. - r- ""a···· _. .._ _.

--F========::;;:::;:;;;;L~~t.f~'l

.._..__.. _. __ .

~._~ R~___._._.

__._.

._.._..._

.J-r-r.o_~.---_

..

~~~. ~.L~~

L)_._.

.

. -.-_.

Ro- - -.-..---..-..-

~.---.

..-_.. - - -

-

---

---

- .

...._._. _Y' _._.. _.. - - ..- - .----. - .. .J-- _ -..--.

- -

~~~,.~.

__

~jJ2--V\o~-'!...___ p\Q.~~.i.s...c-\.,..e..

__

~gr'.l.c;...._L.___

.._ _. _.. _

I

r

l

«..

<fe.

#

~~--- w~;;jfJr~xi)

1

t-d-I/~1IJ-J~ (iJ~-:ri:;\':~9~~d~ ~-~

. _.- .._.__...Jt'.

..

.

.0 -D_O._..__._. ._ _ _._ _ _.._ . .._ _.

-- -..lJ)c

(~~ZD·~\Z,~L1J;_,)f]nu~~-;;:;_cl*d£_d_;::~=_u

-- -_._..__.--- ---e-<>"!f---{-f..

+t}-nJ-[

·l.·-I7. _. . -.. ...

il~io'-_----.-

..-.

..

.._ ..

--l,.J,L~

'lie:

"";~_1j

R..a.J __ ._

L

~.l!~

-±...

~~L~~.'}~_.J---d.:r:<!2..

.. -.-_...

_ . - - --- _. ----... -.-...9-.₀ .- - -.-- - ._ _ _.. . - - _ .__.__ _. ._.-.. __ _._. ._.._ .

• -- 50 55 100 105 110 111 112 113 200 --- 300 400 - - - 500 650 --- - 700 800 900 1000 ---- 1300 1350 --- 1400 1500 1800 1900 2000

$ SET INTALLATION AUTOBIND $ BIND

=

FROM MAIHLIB/=ON APPL

B~GIN FILE OU1PUTCKINDrR~M01E)i

REAL Et='S,X,Y,Mi

REAL PROCEDURE DOUBLEINTEGRALCF,AlrBl,A2,B2,EPS); VALUE A1,A2,B1,B2,EPS; REAL Al,A2rBl,B2rEPS;

REAL PROCEDURE Fi

EXTERNALi

REAL PROCEDURE FCX,Y); VALUE X,Y; REAL X,Y; BEGIN REAL PHI,N,C,FIE,RR,Li N:=.233C:=1300;RR:=5~L:=100~FIE:=50; PHl:=4*ARCTAN(1)i F:=2*PHI*C*FIE**CNfl)*RR*CY/RR)**CM*NfM-N)/CNfl). CStlRT CY

**

2

+

C<

*

CM- 1 ) )

*

*2 ) / CL

*

SUR T( 3 ) ) ) • *01+1 ) ; END F; EPS::::l0*.C-3); WRITE(OUTPUT,(/,KN:=.23;C:=1300;RR:=5;L:=100;FIE:=50·)); FOR M:~2,1.5,1.25,1.1,.9,.3,O DO BEGIN WRITECOU1PUT,(/,·Mr K,F9.3,·W-PLAST=·rEl0.3)rM, DOUBLEINTEGRALCF,O,100,O,5,EPS»; ENDi \~ ""----~) ----\.1 2200 END. - - - --- --- --- --- --- --- --- --- - - - - _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- _._--- ---_._

.

. ._ - - - ~ - -- -- -- -

---~5L~W"

'-~\..~"O- ~c..

... .Q.a.

\."'~~~~ ~v-Cj~"\:.. ~ ~ ~""""'~. I,)o.}jc.",,~

_.;- .~ . ~Q...~h ~ ~

-e\

~~~\ So. ~- ~~.4.t" ~

o....t

~dr"~_m_. _

----

---:;:-

----~.q>----

----_._.-:..._- _

.. _- .. __ ..

_._._.. _._.. __ .

._._______ f. :.

~

'-

.'f . t7:-~

_e__

&. • ---

---

---- ----

--~- /5- -.- .-_..

-____ !.It

~.

We.!-:.

//i~-G {ii~' (iJ-L~

r:

J.4d~

d'f -'"'

I

~

7:

rz~

I.f'

_ m O '----·---·---0

o-'l--~-~-·--·--·--·-·--·-·-

.. .-.- -.---..--.-.-. .-.--- ---

--.-..----.

."-'-_._--'-'---'.-'- . --._....•.._._..---.--.--.--. . ._---.--_.. - •...

_

.._._.

__

._._-_..•.-.._-'.-..._.- .- _.._.._. .

__

._-_._._--IS

~

l'

~

.

-_.-JJ-t-{q

;;~~e~--Q'"~-:.---

..-_ ..._..

- --- - _ . _ . - . _ .__.__. _ - - - _. . .

- _

..

_

.._---_. ._._.__._- ---_..•

-.-2) ....

GJQ,._~\;;i s.<J....:_~lQC.1_

-

j~k~ ~J~-

i3

L--- . .-

-- -

--- ---

~·T~-"I-~~-4.----'f.

...

-~~)

----"i?--- ---._-- -- .--.-.. -.----.---..-.--- -- ...

---300'--_=-<.--'---'r~--'Rt~-dCL~~~~e-h----_--_tr.':

t-~----tRA---··---·

"'''

-. -.

..

g~.~

•.

~_:~.

:11

1/

~-(;~';~J:~~;;~d·~;·:{rt {-~ ··J·L:~:

\;.L~

..

t c.f-3

~J-·--jTI---~2J.---~-

---... --

"L-1Jjw.'/i-l.

--r-d-

4rd

1

- - - " t r - - o - . . - - - · · - - - .- .-.---...

---'f---y,Kr

O .--- - - - -.

_----=::~lp.'f ~I~

*

i:-:I:r;;Jv'l-d:p-i-.1N:~1fR.~~Jrtt~--~-==-:-:

- - - .._- ._-.

.----.---<fr---.-.-.--.---.- _..- ..

~t--.- -.' ..--- ..---.---.-.

__

..,Jfl~~_~a±- :~R~~a~:-1l;iI~::-~~fR~2~~lfrl;¥i1j.-7;.~J

. _ - - - _.._._._---_ _-.__.-._---._-_.-.._-_.. ----_. .--- -- ---_._.

__

.-- _ . _ .-- .-- .-- .-- .-- -_._.

__

._-_.- . _ -- -- - - I ---_.._

-~

E

lo..~

b:

'3o..c:.L... -

u

tae.~

-

~'1oS ~ ~

ie.d. ,',

~- ~~--

If

~

'P,

0 S Y"'~ ~\ _~elc::.s \}~ '!.-~-

_{---- I}

V"V:J

IJ~

'h

_L

~ ~_

-R ':

l---

..::

---

R.\

~'(' So

Rl.,- -:

J.)t

~---- --~-

-

-c.-

--I{)- - ---

'f

...

---

~---

-

-Rl;;~

.,..

~~~-~l'\-"'-~~~~ ~---'P.--~---

---.~.~.~~~~~"v.L"J-;f/f~{~)I£I~~~d~d~~~~It7Vv~l~~J2,~;~~.l~d~~i

~=~~~+Jlj~.~~~~··~J=rdfTpl~·fiL;~:~2~.r~~~~~d~·~~~

.

_______ - -_ fL

i L <?--- --- _ ---- --- ___

---lf~R~

o______

~___ ---~

~==~j!rZ.~R'r~~+JiLR!l'r(1~~-~~2)--:~v~~/~l~:'i~)~¥J.IJ~~?--'/~:lt~:·=

... _

.=-_fli~~~~lJ~~~'$7.d.~+~~~=Z"t~tiR:-Z;-'~L~I'f~d;-~~~

:--=~,=~ fBV;t~ t~~r;~~ jj:;;.j~0 ~~<F~~t~aL'f~~'}±~~('l;~--l\p,:jF

.~~.~~«~..c-f./.~-'I'f>.)i-;:.:--;:-:..-t"~,~~(Il'--,,.,:"}i(~}.·

"'-'n1

---

--~---~-

'.l_L_l

iL_ --- - --- -

~-~-tf.---<eJ -~- _._----~~---~---- ---_.~---_.~-~--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- ---_.. _~--~---_._--- --~---- -- ~-- ~

-__2)

M

"'to

(f) "

n:;

t.

R

A(

'lIP

aj

~_'1.aV"~

'" {

R~

_

R

11

3

(

l'

<pl)

J- _.

--

~-

._.

-·1eE

RB"(lt.

;o.--~Vj,II>e(

.3.1

i3

>.",C -_._-_.( R":lft_

RiH(~

311

---t'1.w3{..p)"61.--(P~~?1IJ'"

RB-RR)(

'f)~vl"L"{"~~

t·

._-

'f~J

__.t.. .__ . ~__~. .._~ ..__. ._._,~ ~__. ... ,...,.__.__._._._ ....__ .. _.._~_...,__, .• _.,,_.._._-. ~_ _ .__._._. __,.__ ._., _. ...__', __"'_' . ._. .__. _ _~. ,,_ ... _. " _

.---11

0

it

t.J.~

O--P

to..s.~s._ ~-.;-- --- --- .---.-- -.----.--..--.--.----.

--.---:·-:~I·~~~.~ ~:;.~~::

r

T

!l"R"·3 .- -.::

________~~--.b~J ~jS'-- w--~-~---~ku...prcJcQ..~~¥_yw~--~JkJ._

__

___..

~

__

we.~~ ~~~_~_~_~~-bo~~l:o.c..~ ~fe.c~ !oo..-~~

--_~L_{e"o~_t:e..~

do.

OJ"

~-CL~_--~~-Q.-CA~-~~---~S lQ..~_Jl....

-__ .

_

- - - -~ -.._---_._.._ - ---_._~-._---~---_.._-_.._ -.---~ -- - - _ . ---_._-_._~--_._._._--. _ - -

_._-_

...---_._..._._._.- ..-._.---_. .- - - _ . _ - - - ----.... -- -- ---_._.--._---_._-_. - - - ~ -- - - _ .----_._--_._-,,--_._-_._---_._- ..._..--. ' ---.._ --- _._-. _._-~----,,--- ---_. - - - _ . _ - - - -... - - _...__..

_

..._-- _ .- - - - _ . -. _ -._---_._----_..._--- - - - - , , - - - - _. .

_---.k

Cl.~

'-'0... __

~~-Uj\.tU;_""-eJCv,)~~~ -_\,)~-p\ _~_h;/.,\oh.

.

\":)~L. ~

-~

J{~

pf'"OZ)('Cot. ...

~

---~ -~~~-- ._~\_~

1::>_~_~~ _L~ 1os.._.~~ee.;J..) _~l'e..,

_

__

~

__ CQl.._c::k...

1A.!.o..~_ ~~~v.:. ~~ ~ , I "

~r-~~

- - - ---_.- --- --- + --- --- --- --- --- _ . _ --- --- --- ---_.---._._--- --- --- - - - -- - - _ . _ - - - - --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- - - - -- - - -- -- -- -- -- -- -- -- -- --- --- --- -- -- -- --- --- -- -- -- -- -- -- --- - - - . --- ---_..--- ---_ ..---_.._ - - -.---

-r

'!..

~

lr\,we",

d-\.

~ o~

'"

0\Il.A.

~

~",er~~~ \,)o\~~ ~dL ~o\Q,.~-.odeA\.."".

It

~

'Kt

0 160 320 480 640 800 960 1120 1280 1440 1600 1760 1920 2080 600000 6000; 575000 57501 550000 5500: 525000 5250( 500000 50001

'?

475000 4750i

1,

450000 4500r 425000 4250(' 400000 4000r 375000 3750( 350000 3500r 325000 3250( 300000 3000r 275000 2750r 250000 2500i 225000 2250( 200000 2000i 175000 1750r 150000 15001 125000 12501 100000 1000i 75000 7500r 50000 5000r 25000 2500: 0 a 0 160 320 480 640 800 960 1120 1280 1440 1600 1760 1920 2080

"P

t,r..

~(

. 81882 . 4 r - - - . - - - , - - - , - - - , - - - r - - - , - - - r - - - . , - - - , - - - - -... 181882.<1 .63694.2

r

'5505.' """,,,27317.7 t

•

~

-

3,09129.4 90941.2 i2752.96 4564.72 ,,6376.48 .8188.24 163694.,: 145505.C, 127317.7 109129.11 90941.2 72752.Cj[ 54564.7L 36376.118 18188.211

O-""'- . . L - --'-- ---i.- ---L ----L ----.l . l - - ...l....- --l...- ---lo

0 81.58177 163.1635 244.7453 326.3271 407.9088 489.4906 571.0724 652.6541 734.2359 815.8177

U-l

J""

w""'"

cl

~

o~..""o~ ,-..c~

u..-

~

\

g..",c.r

₄

te.

(d,

r-co't • d

k\lk

IoJ..

'e..:.

4t.

~ Q.~~.-d oM.Q

cla.lh.

0 160 320 480 640 800 960 1120 1280 1440 1600 1760 1920 2080 72000 72, 68000 68

'i'

64000 64 ~ 60000 60r

~'r

'0

-

56000 56f ~

i

,.

52000 52 r

;;

48000 48( 44000 44f 40000 40r 36000 36( 32000 32 ( 28000 28f 24000 24f 20000 201 16000 16f 12000 12r 8000 80r 4000 40r 0 0 0 160 320 480 640 800 960 1120 1280 1440 1600 1760 1920 2080

\f

(~r~~e~

>

•

M 0 \1'00\~'t ) ~clL ~Qw-\..c;.\ ~dGU~.

-y.-'f

"'C!lOI" 0 160 320 480 640 800 960 1120 1280 1440 1600 1760 1920 2080 19000 19000 18000 18000 17000 17000 16000 16000 '"' 15000 15000

g'DDD

14000 13000 13000 12000 12000 11000 11000 10000 10000 9000 9000 8000 8000 7000 7000 6000 6000 5000 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000

a

a

a

160 320 480 640 800 960 1120 1280 1440 1600 1760 1920 2080

'i

(3r~~

•

JI-rs

734.2359 652.6541 571.0724 489.4906 407.9088 326.3271 244.7453 163.1635 81.58177 815.8177 , . - - - , - - - , - - - . - - - r - - - , - - - , . - - - , - - - , - - - , - - - = = " " - " ' I J 15435

o

15435.3 9261 .. 7717.( 6174 .. 9261.183 7717.652 6174.122 13891 .77 13891

lr

23 •8.2• 12348 ) ~10804.71 10804 4630.591 4630 .. 3087.061 1543.53 3087.i 1543.' 571.0724 652.6541 734.2359 'f("r()O~"')

>

489.4906 407.9088 326.3271 244.7453 163.1635 81.58177 "--- ...L- --l.- ---l.- ---L ----l . I - ..L- ....I..- ---l.- ---lO 815.8177

o

o

~-6

I

,

•

•

•

•

....

~

...

_

...

~

..

,

""

. et(jr.o.~

. .

-

-

til

_

~v~ l&.~~

u...-t.L

~q prQiJ-5l

•

•

,

•

,

•

•

,

e.

: ·r...

;;---'i""'--,...

...,,...---====:'~

..;;:'...:·:.

:::::.=::~~~r:·~···1::

,).,...

~~

5

~

•

0>.

_I'

\;\.o.o"...

'co....

I ,

I'

1

..

-1 -,18 til ~-~

I

t

-J

•

1/

_-1 U 101

t

~.r

cJ-"-:.c.La.

'--Q"",,-..,....)-

k ..

0 ""'"~'L • 2 10 10:I

·1

.1

•

.1

.1

,I

bjl~~ ~

~e.

po..\A ...

<J

\,,)Q.A.

de..

r-~k. ~

\,A.; \--

~ ~e~

0..'-

t4~ ",~ve..l

d

",",0 ,

~ ~

8.1..A..~ ~:{

.

..

V"U"p\eu;...~~:"'~

v-eJ.

d

~

vr : v~·

r.

(.l.t

+

~

_ -3. C(r)

<.,-)

~~

g3

J.

a

r) ~C(

9

'\

dec:)

.!:.

d

c.ttJ

~,

"1r....

-Vs'

~(\('"

;:Q; -

'W

~~

i-;g -:-; -

\:;...$

~

2)

" '/7

b->

-

-1-\J

e.. Q....

~ ~

Ql...u-

~

-.:lQ...

~ kc..rc.1....k..<...~

r..\'

rt-~ ~ ~

k

~

-..) oL

~ """'~ Ie :

(i

c-

t) {

(i

r

-'\(-<.

ir->-) -

i~r)~c_

C,

::

A,

::::. G

_r

I;;i , _l.

.

Jfi-;

"<..'

t-a..

.-.

-

~

c.'r

+

~

€.~r

.I.... ,

J9

'

"

t"l.l

{

~3

_{== - 4.-}

$r

-

c;

t

_r

+

",..