Afleiding van de formule voor de capillaire opstijging bij naar boven regelmatig toenemend capillair debiet

NN31545,0414

FITUUT VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING

NOTA 414, d.d. 23 augustus 1967

Lr

r 1J

6700^Ê'V V ,.;,.,

Afleiding van de formule voor de capillaire opstijging bij naar boven regelmatig

toene-mend capillair debiet i r . W.C. Visser

Nota's van het Instituut zijn in principe interne communicatiemiddelen, dus geen officiële publikaties.

Hun inhoud varieert sterk en kan zowel betrekking hebben op een eenvoudige weergave van cijferreeksen, als op een concluderende d i s -cussie van onderzoeksresultaten. In de meeste gevallen zullen de con-clusies echter van voorlopige aard zijn omdat het onderzoek nog niet is afgesloten.

Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut in aanmerking.

v^im

Afleiding De uitgangsformule i s z + z _o zs+ 2o vc = ko e \ d z (i)

De formule geeft a a n , d a t t e r hoogte v a n de g r o n d w a t e r s p i e g e l , duo v o o r z = 0 , het c a p i l l a i r debiet ^cz0/(zs + zo ) *s» t e r w i j l het aan het m a a i v e l d tot vc stijgt.

D a a r t u s s e n n e e m t het debiet e v e n r e d i g m e t z t o e . De formule wordt nu a l s volgt v e r v o r m d :

du * ... i = d £ du Stel z + zQ = u, dus dz u v , * oko u vc uoko . - * y + e _<*)/> d u Stel u yc = y en e -OLf* Stel Uo^O v c a uok0 = x . Dan i s - o< e v, ©Cj4> dp/ = dx en du = uoko d y ( y + x) dy = dx c x u0k0 ß en y + x = v , dan i s dx = dv - dy v dy = ß dv + ß dy ( v - / 3 ) d y = - / 3 d y d

y = - ß dv

y = v .fi T e r u g s u b s t i t u e r e n :

r'f"

\Z« Z + Z0\ V Ç :s + z0/ k0

ƒ z + z

0

\

\z

s

+ z

0

)

-z. + e k o l o <*(zs+z0)ko I n v o e r e n de i n t e g r a t i e g r e n z e n :

(

z + z0\ Vc zs+ z0 / k0

{ ( — )

\ zs+ z0/ fl. vc v c + e cX(zs + z0) k0 * ? _ vc 0 < ( 3 S + Z0) k0 - z V _{c -} vc _In zs + z0 k0 o < ( zs+ z0) k0

/ilL° l£

+ e

-zs- h z0 k0 *y m vc \ « ( Z g + Z0) k0

Y

V c _{+ 1 . v}c z0 + z0 k0 c x ( zs+ z _{> ) * © /} V e r e e n v o u d i g e n : z + z .

'4

_«fc zs+ zc / ^ .cty izs + zo ^ v k o £ -I- î Z,f o , o

2 -S o - " / « - Z - Z 0+ - / < * \ VC , / , - « / * > ( l - e - ^Z ) = zs + 2o / ko I £ + ( i _o Q - V < * \ Vç + i Ze, + z , ' 1 --/ -*z» i - e ) = ( 1 - e - * ) - ( - S ) ï £ zs+zo k0 'S / t ! £ . + 1 zs+ z0/ k0

De formule wordt m i s s c h i e n het m e e s t o v e r z i c h t e l i j k door h e m a l s volgt te s c h r i j v e n : . / / V / \ . \ f . _ txto)

v / U z

s

+ z

0

/ k

0

y \

vc _„ , ..„ / (zs+z0)k0 (2) De b e r e k e n i n g van de constanten

Bij vereffening van w a a r n e m i n g e n z a l m e n de constanten o(, tf en a e e r s t m o e t e n v a s t s t e l l e n m e t behulp van de f o r m u l e :

( i - e - * 2 ) ^ + 4 ) = (1 - • " " * ) - < f j £ 2 (3)

k0 ko

Heeft m e n deze w a a r d e n , dan kan m e n d a a r u i t de afzonderlijke constanten, die

à en à s a m e n s t e l l e n , b e p a l e n . Uit ï"/o volgt een u i t k o m s t v o o r z0 - /at

T e z a m e n m e t <rt vindt m e n zQ, t e r w i j l o plus z0 de w a a r d e van zs o p l e v e r t .

D a a r e c h t e r zs de diepte v a n het g r o n d w a t e r beneden m a a i v e l d of beneden de

hoofdwortelzone v o o r s t e l t en bekend m a g w o r d e n v e r o n d e r s t e l d , zou m e n hier-aan e e n c o n t r o l e kunnen hebben.

Men kan e c h t e r ook de bekendheid van z3 gebruiken om een schatting van

k0 te m a k e n . Indien gegeven zijn:

zs + z0 / k0 ( zs+ z0) k0

y'/r* i / v' (' i / i ƒ ' 1 /

dan i s « /o = z0 - V«. i * d + /«* = z0, ^ - — - /<* - z0 = k0.

Het i s dus mogelijk alle constanten te b e p a l e n , indien m e n e r i n s l a a g t , ck , 0 en O v a s t te s t e l l e n .

Bijzondere gevallen

Wanneer m e n in de formule in wil b r e n g e n , dat de v o c h t s t r o o m aan het m a a i v e l d gelijk i s aan die bij de g r o n d w a t e r s p i e g e l , zodat de onttrekking aan het vochtprofiel gelijk nul i s , dan volgt uit formule 1 v o o r z = 0:

zo - à

- 3

Dit i s a l l e e n zinvol mogelijk voor z0 =<*> . De constante ï uit formule 3

wordt dan:

zo - V* _ 1 - V

of Z O

zs + z0 * + Zs/z0

De constante o wordt n u l . De formule wordt dus vereenvoudigd tot:

( l _ e -A l t) < l + Ï £ ) M i - e ^ ) m

k0 v '

Van deze formule i s z o n d e r m o e i t e een n o m o g r a m te m a k e n , w a a r m e d e b e r e -keningen v o o r het geval z0 = <?o vereenvoudigd kunnen w o r d e n .

C a r t e s i a a n s n o m o g r a m v o o r de a l g e m e n e formule

F o r m u l e 2 in een n o m o g r a m o n d e r b r e n g e n gaat wat m i n d e r e l e g a n t . Men v o e r t e e r s t nieuwe v a r i a b e l e n in, en wel

= p ocz = •* otf=Y e*Z° " 1 vc = W

« V 1 o<(zs + z0) k0

Dan w o r d t : .

vcz = — — = = pv/x.

( zs+ z0) k0 z0-l/o( <* c * z0 A

F o r m u l e 2 wordt op deze wijze v e r v o r m d tot:

pWx + (1 - e~X)(W + 1) = ( i - e "y) (5)

De v a r i a b e l e n vV en x zijn h i e r m e d e a a n é é n kant v a n het gelijkteken g e b r a c h t . De orde van grootte van de constanten i s :

ä"'= 0-5 &'= 0 . 0 0 0 - 0 . 0 0 5 p = i - 1 0 u y 1~ zo Het n o m o g r a m wordt v e r k r e g e n door de t e r m v o o r het gelijkteken v o o r een a a n t a l w a a r d e n van W, X en p uit te r e k e n e n en op lijnen v o o r gelijke w a a r d e van p - m e t langs de a s s e n "if en x in een geschikte functie - de w a a r d e van Y a a n te t e k e n e n . Gelijke w a a r d e n van f kunnen dan w o r d e n v e r b o n d e n . Omdat het een n o m o g r a m i s m e t v i e r v a r i a b e l e n , m o e t m e n v o o r elke w a a r d e van p

een afzonderlijk blad m a k e n , omdat een additieve b e t r e k k i n g t u s s e n p , "VV en x niet lijkt te kunnen w o r d e n opgesteld en het n o m o g r a m niet eenvoudig in twee d e l e n , elk m e t twee v a r i a b e l e n , opgedeeld kan w o r d e n . Dit l a a t s t e zou een o p -l o s s i n g op een enke-l b-lad p a p i e r moge-lijk m a k e n .

N o m o g r a m m e t r e c h t e a s s e n v o o r de a l g e m e n e formule

E e n a n d e r e mogelijkheid b e s t a a t in het afzonderlijk b e r e k e n e n van de d r i e t e r m e n v a n formule 5 m e t 6 evenwijdige en 3 schuine a s s e n , die t e z a m e n d r i e

N - n o m ö g r a m m e n en één n o m o g r a m m e t d r i e evenwijdige a s s e n s a m e n s t e l l e n . De schalen zullen a l s volgt gekozen m o e t e n w o r d e n :

N o m o g r a m 4 N o m o g r a m 2 N o m o g r a m 3 fl x = 0 y ~/A.(-\1

h

x = d y = -/<2PW f4 x = 2d f2 x = d' y = - y " 2 Pw

U

x = 2d y =/<3pWx *3 y = 0 x = £ -t a '^Z+Z^A y = 0 *7 x = 3d N o m o g r a m 4 y =5^3pWx x = 3d x x = 4d fq ₇ y = / *4(1 + w) ( i - e -x) y = - A5( i - e "x) x = (34 £-± \d* y = 0

De v i e r n o m o g r a m m e n w o r d e n tot een geheel samengevoegd m e t evenwijdige v e r -t i c a l e func-tie s c h a l e n i\, £2» £4» £5, £7 en fg op onderlinge afs-tanden van 0, d, 2d,

(?.+ t^i ) d , 3d en 4d, z o a l s w e e r g e g e v e n w o r d t door de x - c o ö r d i n a t e n uit

boven-staande samenvatting van s c h a l e n . De lengte d k i e s t m e n z o , dat het p a p i e r goed gebruikt w o r d t .

4 4 Deze zelfde functie s c h a l e n hebben een modulus , « 4 , /<?' /*3> (jz +/T )» / " 4 e n / * 5

die m e n , behalve v o o r f^, v r i j kan k i e z e n en e v e n e e n s zo n e e m t dat het p a p i e r goed wordt g e b r u i k t . Men moet opletten dat f2 en f3 n a a r beneden w o r d e n uitgezet, z o a l s het negatieve teken aangeeft.

De functie s c h a l e n f3, f5 en fg w o r d e n a l s diagonaal uitgezet m e t een s c h a a l v e r d e -ling a l s door de x - c o ö r d i n a a t aangegeven. Bij een N - n o m o g r a m wordt e c h t e r in

*

p l a a t s van de lengte d de lengte van deze diagonaal d g e b r u i k t . Men kan de 0-punten van de evenwijdige s c h a l e n die door de diagonaal v e r b o n d e n w o r d e n het b e s t e zo k i e z e n dat de lengte van de diagonaal een rond b e d r a g w o r d t , t e r w i j l ook de te--waarden bij v o o r k e u r zo w o r d e n gekozen, dat m e n ze gemakkelijk kan uit-z e t t e n m e t b e s t a a n d e s c h a a l s t o k k e n . Van belang i s in dat geval dat v o o r fg en lQ

de 2 en 3 aangeven, dat de 0-punten van de x - s c h a a l op 2 en 3d van de f ^ - s c h a a l afliggen, m a a r de b r e u k e n v e r m e n i g v u l d i g d m e t d geven dan de lengte langs de diagonale a s s e n a a n .

5

-Vereffening met het nomogram met rechte schalen

In het nomogram zijn de constanten c* en o in de variabelen opgenomen om het nomogram algemene geldigheid te verschaffen. Stelt men de formule in 2 schrijfwijzen onder elkander:

£'vcz + (1 - e - *Z) ( r vc + 1) = (1 - e'""") pWx + (4 - e 'X) ( W + 1) = (1 - e"**) dan kan men aantonen dat p = à /&.X

Men kan nu het nomogram als volgt gebruiken: Men kiest een waarde voor ex, en à Men berekent J^VQ = W

£K Z = X

*$* = y

Nu trekt men in het nomogram voor elk stel waarden voor W, x en y van vc> z en *fJ alle lijnen die getrokken kunnen worden. Deze lopen door de punten op de functie schalen f^, f5, f£, f7, f g en f9.

Maar uit de punten op f5 en f7 kan men een snijding afleiden op f4. Dit punt op f4, tezamen met het punt op f5, levert dan een snijding op f2. En de punten op f^ en f2 leveren een snijding op f3. Omdat de waarde van p echter voor elke groep van vc, z en ft waarden een constante is voor een bepaald profiel, moeten op een punt van f3 alle lijnen elkaar snijden.

Door enkele keuzen voor de schatting van rteno te maken, kan men vast-stellen welke combinatie de minst variabele p geeft. Dit is de meest juiste com-binatie.

Doel van de afleiding van de formule

Wie de waterhuishoudingsparameters van een bodemprofiel wil leren kennen, maar geen geroutineerd laboratorium achter de hand heeft, zal met eenvoudige middelen een pF-curve nog wel kunnen bepalen, maar de bepaling van de onver-zadigde doorlatendheid zal veel moeilijker zijn. Met een aantal herhaalde vocht-bemonsteringen en een pF-curve is het echter mogelijk, om het vochtverlies van de verschillende lagen vast te stellen en de vochtspanning te bepalen, terwijl de grondwater diepte eveneens bepaald kan worden.

Het model met lineair met z toenemende vocht onttrekking is bij gebruik aL

van eenvoudige formules een vrij/gemeen model voor de capillaire opstijging. Wanneer men mag aannemen, dat de afname van het vochtgehalte in de verschil-lende lagen, tezamen met de vochthoeveelheid die onttrokken moet worden om de

6

-g r o n d w a t e r s p i e -g e l te doen d a l e n , -geheel m o e t v e r d a m p e n en m e e r s p e c i a a l niet door d r a i n a g e o n d e r g r o n d s a f s t r o o m t , dan kannen m e t d e r g e l i j k e w a a r n e m i n g e n de d r i e k e n g e t a l l e n k0, c*. en z0 w o r d e n afgeleid. Deze grootheden zijn dus aan

v e l d w a a r n e m i n g e n te ontlenen.

Nu i s bij een homogeen profiel a l l e e n een s t a t i o n a i r e toestand mogelijk, wan-n e e r door elk wan-niveau vawan-n het p r o f i e l evewan-n v e e l vocht s t r o o m t , w a wan-n wan-n e e r dus zQ- c *3

i s w a a r b i j o = 0 en Y7 = vc/ kQ. Dan geldt formule 4 . Veelal zullen e c h t e r n i e t

-s t a t i o n a i r e t o e -s t a n d e n o p t r e d e n , bijvoorbeeld a l -s gevolg van bevochtiging van de bovenlagen door r e g e l m a t i g e r e g e n v a l . In dat geval kan formule 2 b e t e r zijn. Het z a l d a a r b i j w e l blijken, dat t u s s e n z0 en zs, en d a a r d o o r t u s s e n / e n I een r e

-latie b e s t a a t , die bepaald wordt door de hoeveelheid vocht in de grond in e x c e s t e n opzichte van de s t a t i o n a i r e t o e s t a n d . Over deze r e l a t i e t u s s e n z0, zs en deze

v o c h t o v e r m a a t geeft de f o r m u l e geen inzicht en m e n z a l die s a m e n h a n g e x p e r i m e n -t e e l m o e -t e n v a s -t s -t e l l e n . He-t doel van de f o r m u l e , m e -t eenvoudige m i d d e l e n e e n inzicht in de k e n g e t a l l e n v o o r de onverzadigde s t r o m i n g te k r i j g e n , kan n i e t t e m i n op deze wijze worden n a g e s t r e e f d .

E e n r e k e n v o o r b e e l d

De b e r e k e n i n g van de afgeleide formule i s eenvoudig u i t v o e r b a a r m e t behulp i T i v i -x - 0 , l xt ,. -O.COOïx . . .

van e e n r e k e n l m e a a l , w a a r o p s c h a l e n v o o r e , e tot e • zowel a l s de s c h a l e n e tot e ' v o o r k o m e n . Niet alle r e k e n l i n e a l e n hebben deze C s c h a l e n . M a a r de zogenaamde L L s c h a l e n voor een p o s i t i e v e exponent k o m e n op vele l i n e -a l e n v o o r .

Men m a a k t gebruik van de f o r m u l e :

e-*Vs e " *2/ " •«•( l + z zo -° ~ ' * Is) - (4A < vc\ / z + zz + z° - / Z£ \ 0- V zs+ zo ko ^ Vzs + zo k o ' e = ( u + 1) e - P z - Q v„ l ^ ZQ-VCX VC _ 50 Voor P = vc = — en Q = " ° ' /p* IS =• ( zs + z0) ks 2500 zs + z0 kg 2500 v o o r de w a a r d e n z0 = 150, zs = 100 _Y_£ = 0 , 1 en < X = 0 , 0 1. w o r d t de f o r m u l e : , -*V 2550 e " *Z - z - 50 e = 2500 +x In geval bij gebruik van een eenvoudiger r e k e n l i n e a a l de L L - s c h a a l voor e m o e t w o r d e n g e b r u i k t , r e k e n t m e n m e t

<xp 2500 6 " 2550

« z

Het volgende v o o r b e e l d geeft een indruk van deze b e r e k e n i n g : n> £t 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 221 222 223 224 223,3 ex. z e 1,22 1,49 1,82 2,22 2,72 3,32 4,05 4,95 6,05 7,40 9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 Z55U e«Z I 2090 1710 1400 1150 938 769 630 516 421 345 284 281 278 274 271 z+50 II 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 271 272 273 274 I-II III 2020 1620 1290 1020 7 0 0 1 U(J 599 440 306 191 95 14 10 6 1 -3 0 25UU III 1,24 1,54 1,94 2,45 3,17 4,17 5,69 8,16 13,10 26,3 178 250 416 2500 C O

f

21, 5 43,1 66,2 C9,6 115,2 142,9 174 210 250 327 518 551 614 782 OD

De w a a r d e voor e wordt op de r e k e n l i n e a a l op de LL»-schaal afgelezen bij cz op de D - s c h a a l , dé w a a r d e v o o r <xfiwordt op dezelfde s c h a l e n t e r u g g e z o c h t . W année r w a a r n e m i n g s m a t e r i a a l b e s c h i k b a a r i s , z a l m e n d a a r u i t de w a a r d e van zQ willen b e r e k e n e n . De formule d a a r v o o r i s : zs v # (e - e ) + £ l4 - e ) - z z o = - 7 -otzx ko / - z -«yv (1 - e ) --—- (e - e_vc r)

Voor een wat nauwkeurige b e r e k e n i n g van z m o e t e n de e - w a a r d e n tot de 4e

p l a a t s a c h t e r de k o m m a w o r d e n afgelezen. Omdat het h i e r uitgewerkte r e k e n m o d e l niet geheel m e t de w e r k e l i j k e s t r o m i n g z a l o v e r e e n k o m e n , z a l m e n bij opklimmende z een v e r l o o p van z vinden. Een gemiddelde w a a r d e z a l een redelijke a a n p a s s i n g kunnen geven.

T ekenvoor schrift n o m o g r a m

Het n o m o g r a m b e s t a a t uit 8 evenwijdige l o o d r e c h t e lijnen, die op afstanden s t a a n van:

Schaal 1 3 6 7 8 9 10 11 Afstand 0 70 7 4 , 7 8 8 , 5 3 9 9 , 3 140 210 280 in m m

D a a r t u s s e n k o m e n 3 scheve lijnen v o o r , die van v e r t i c a l e a s tot a s p r e c i e s 200 m m lang zijn.

De s c h a a l v e r d e l i n g langs de a s s e n i s a l s volgt v o o r afstand in m m en bij te s c h r i j v e n g e t a l : Getal oiz 0.10 0.20 0 . 3 0 0.4C0. 0.50 0 . 6 0 0.70 0.80 0.90 1.00 1 .10 1.20 1. 30 1.40 1.50 1.60 1.70 1 .80 1.90 2 . 0 0 2 . 5 0 3.00 4 . 0 0 5.00 oç> Schaal 1 1 9 . 0 3 6 . 2 5 1 . 8 6 5 . 8 7 8 . 6 9 0 . 2 1 0 0 . 6 1 1 0 . 0 1 1 8 . 6 1 2 6 . 4 1 3 3 . 4 1 3 9 . 6 1 4 5 . 4 1 5 0 . 6 1 5 5 . 2 1 5 9 . 6 1 6 3 . 4 1 6 6 . 8 1 7 0 . 0 1 7 2 . 8 1 8 3 . 6 1 9 0 . 0 1 9 6 . 3 1 9 8 . 6 2 0 0 . 0 Afstand s c h a a l 4 1 8 . 2 3 3 . 4 4 6 . 2 5 7 . 2 6 6 . 7 7 5 . 0 8 2 . 4 89.0 9 4 . 8 100.0 1 0 4 . 8 1 0 9 . 0 113.0 116.6 120.0 123.0 126.0 1 2 8 . 6 131.0 1 3 3 . 3 1 4 2 . 8 150.0 160.0 1 6 6 . 7 2 0 0 . 0 Getal "W 0 0. 0. 0. 0. 0 0. 0. 0 . 1. 1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Gebruikte Afstand schaal 2 6 6 . 7 7 0 . 9 7 5 . 0 7 8 . 8 8 2 . 3 8 5 . 7 8 8 . 9 9 1 . 9 9 4 . 8 9 7 . 4 100.0 s c h a l e n : Schaal Lengte langs a s

1 2 3 4 5 9 10 11 2 0 ( l -e-<*Z) 20(1+W) 2.111+W 1 8 ( l - e - ^ ) 2 0 x x + 1 20 2<*z0- 1 250Q 250R 500W

• 9

-Getalo(*ft Afstand s c h a a l 3 Getal oCz„ Afstand s c h a a l 5

0.4 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1.0 1.1 i . 2 4 . 3 4 . 4 1.5 4 . 6 4 . 7 4 . 8 4 . 9 2 . 0 2 . 5 3.0 4 . 0 5 . 0 CO 47.0 3 2 . 6 4 6 . 6 5 9 . 2 7 0 . 8 8 1 . 2 9 0 . 6 99.0 106.8 1 4 3 . 8 120.0 425.6 430.8 4 3 5 . 6 139.6 443.6 1 4 7 . 0 450.2 4 5 3 . 0 455.6 465.2 474.0 176.7 478.8 4 8 0 . 0 ,00 ,10 ,20 25 ,30 ,40 50 ,75 200.0 166.7 1 4 2 . 8 1 3 3 . 3 425.0 414.2 400.0 8 0 . 0 2 . 0 0 2 . 2 5 2 . 5 0 2 . 7 5 3.00 4 . 0 0 5.00 6.00 7.00 8.00 10.00 66. 57. 50. 44. 40. 28. 2 2 . 2 1 8 . 2 1 5 . 4 1 3 . 4 1 0 . 6 7 2 0 4 0 6

Voorbeeld van gebruik van n o m o g r a m Gegeven: cx= 0.04 z = zs = 80 c m v = 5 m m / e t m W = MilÇ = 0.14 475 c m k„ = 4 0 . 5 m m / e t m z0 + zs ks

"Wegens yw= 50 de y aflezen op s c h a a l 8 l e v e r t lf- 460 c m