Workshop op het T3-symposium 2004

(1)

Rijen en differentievergelijkingen

met de

TI-83/84-familie

Johan Deprez

T3-symposium

Oostende, augustus 2004

(2)

Overzicht

► inleidinginleiding

► werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve

vergelijkingen (werktekst 1) vergelijkingen (werktekst 1)

► synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeeldensynthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden ► inleiding op werkmoment 2inleiding op werkmoment 2

► werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2)werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) ► synthese werkmoment 2synthese werkmoment 2

► werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden

bijgevoegd) bijgevoegd)

 recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)_{recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)}

 een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)_{een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)}

 een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking _{een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking} (werktekst 5)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN

DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(3)

Overzicht

► werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en

recursieve vergelijkingen (werktekst 1)

► werkmoment 3: uitbreiding (keuze)werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

 recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)_{recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)}  een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)_{een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)}

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE

DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(4)

Bronnen

J.D. en Jan Roels, Discrete

dynamische systemen,

Uitwiskeling 20/3, mei

2004

(5)

Bronnen

C. Biront, J.D., Wiskundige

begrippen en methoden –

deel 3, Wolters-Plantyn,

1998

(6)

Overzicht

(werktekst 5)

(7)

Overzicht

► synthese werkmoment 1 synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeeldenen bijkomende voorbeelden ► inleiding op werkmoment 2inleiding op werkmoment 2

(werktekst 5)

(8)

Een bos beheren: basisscherm

…

op lange termijn:

(9)

Een bos beheren: recursieve

vergelijking - differentievergelijking

450 )

1 (

1 .

0 )

1 (

)

(

t



B

t





B

t





B

450 )

1 (

9 .

0 )

(

t





B

t





B

3000

)

0 (



B

recursieve vergelijking:

beginvoorwaarde:

)

(

)

1 (

)

(

t

B

t

B

t

B









differentie:

differentievergelijking:



B

(

t

)





0 .

1 B

(

t

)



450

(10)

Een bos beheren: vergelijking en tabel

accolades worden door

de rekenmachine

(11)

Een bos beheren: grafiek

(12)

Een bos beheren: expliciete vergelijking

GRAPH: geen

(13)

Een bos beheren: LIST-commando’s

verschillen

worden steeds

(14)

Een bos beheren: dynamisch evenwicht

bij evenwicht:

450 bomen worden gekapt

450 bomen worden geplant

AANTAL bomen blijft gelijk, maar het zijn niet

allemaal dezelfde bomen:

dynamisch evenwicht

evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450, dus B = 4500

opgave 12

(15)

Een bos beheren: evenwicht

opgave 14: als je start op het evenwicht: aantal bomen

blijft constant

opgave 15: als het systeem uit evenwicht gebracht

wordt, keert het terug naar het evenwicht:

stabiel

evenwicht

opgave 16:

evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450 , dus B = 4500

evenwicht = getal B met B = 0.9 B +450 , dus B = 4500

evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450 , dus B = 4500

500 ?

5000

?

(16)

TI83/84 en rijen (deel 1)

► gebruik van de [ANS]-toets bij berekeningen op

gebruik van de [ANS]-toets bij berekeningen op

het basisscherm met recursieve voorschriften

► LIST-commando’s

LIST-commando’s



seq(… voor een rij

_{seq(… voor een rij}



sum(seq(… voor een partieelsom

_{sum(seq(… voor een partieelsom}



∆

_∆

List(seq(… voor een verschilrij

► TABLE en GRAPH in SEQ-vorm

TABLE en GRAPH in SEQ-vorm

► (STAT-omgeving)

(STAT-omgeving)

(17)

Overzicht

► synthese werkmoment 1synthese werkmoment 1 en en bijkomende voorbeeldenbijkomende voorbeelden ► inleiding op werkmoment 2inleiding op werkmoment 2

(werktekst 5)

(18)

LIST-commando’s: differenties van

‘veeltermrijen’

(19)

LIST-commando’s: financiële algebra

Vanaf het jaar waarin ik 40 werd, stort ik elk jaar op 1 januari 1000 EUR op een rekening die 5% (samengestelde) intrest per jaar

opbrengt. Ik zal dat volhouden tot het jaar waarin ik 64 word.

Hoeveel geld zal er op deze rekening staan op 1 januari van het jaar waarin ik 65 word?

waarde van de 1ste storting: 1000×1.0525

waarde van de 2de storting: 1000×1.0524

waarde van de 3de storting: 1000×1.0523

waarde van de laatste = 25ste storting: 1000×1.051

(20)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: grafieken

van meetkundige rijen

reden positief en >1

punten op de

grafiek van een

stijgende

exponentiële

functie

versneld stijgend,

limiet +∞

(21)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: grafieken

van meetkundige rijen

punten

verbinden!

explosief

schommelend,

geen

limietwaarde

(22)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van

Fibonacci

recursieve

vergelijking van

de tweede orde

twee

beginwaarden!

zelf accolades en

komma plaatsen!

beginterm met

rangnummer 1

(23)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van

Fibonacci

5

1

5

1

5

2

5

2

n n n

x





_







_





_



_



_



_









(24)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van

Fibonacci

5

1

5

1

5

2

5

2

n n n

x





_







_





_



_



_



_









een expliciet voorschrift:

-1 < grondtal < 0

 0 als

n

groot is

(25)

Overzicht

(werktekst 5)

(26)

vergelijking (1), aanbod:

product met productietijd van ongeveer één jaar

(wintertarwe, varkens, …)

Vraag en aanbod: inleiding –

vergelijking (1)

1 



_n n

p

a

beslissing om te produceren (en product op de markt

aan te bieden) valt één jaar vóór het effectief

aanbieden

1

4

30 

_





_n n

p

a

aanbod reageert met

vertraging op de prijs

(27)

Vraag en aanbod: inleiding –

andere vergelijkingen

n n

p

v



n n

a

v



n n

p

v



150 

5 vergelijking (2), vraag:

25

0



p

vergelijking (3), evenwicht:

vergelijking (4), begin:

mechanisme:

prijs van jaar n – 1 bepaalt aanbod van jaar n

in jaar n stijgt/daalt prijs om evenwicht te krijgen

er worden geen voorraden opgebouwd (product is

bederfbaar, modegevoelig, …)

(28)

Vraag en aanbod

...

2



a

16

1



p

25

0



p

70

25

4

30

1











a

1 1

?

zo

dat

70

150

5 p

p





70

1 1

 a



v

rechtstreeks !

(29)

Overzicht

(werktekst 5)

(30)

Overzicht

(werktekst 5)

(31)

Vraag en aanbod

25

0



p

x

y



recursievergelijking:

webdiagram:

)

16 ,

25 (

36

8 .

0

₁







_n_ n

p

36

25

8 .

0

16 







)

25 ,

25 (

36

8 .

0 





x

y

?

25 invullen

voor p

₀

25 invullen

voor x

(32)

Vraag en aanbod

(33)

Overzicht

(werktekst 5)

(34)

Overzicht

 recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)_{recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)}

 een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)_{een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)}

(werktekst 5)

(35)

Overzicht

(werktekst 5)

(36)

Overzicht

 een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking _{een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking}

(werktekst 5)