In numerieke simulaties van viskeuze stromingen hebben we te maken hebben met twee soorten diffusie: viskeuze diffusie en numerieke diffusie. Beide effecten zijn altijd aanwezig, hun invloed hangt af van respectievelijk het Reynoldsgetal en één of enkele roosterparame-ters. We vermoeden dat het aantal roosterpunten de grootste bepalende factor is voor de invloed van numerieke diffusie, waarbij het resultaat natuurgetrouwer wordt naarmate het aantal roosterpunten groter wordt. Bij een oneindig aantal roosterpunten zou een continue stromingssituatie ontstaan.
Re N Wc
1500 150 x 100 -9.16 300 x 200 -9.25 15000 150 x 100 -9.57 300 x 200 -9.84
00 150 x 100 -9.96 300 x 200 -9.97
Tabel B.1: Totale diffusie van We bij verschillende Re en N op x= 2.5.
Er zijn met behulp van het Q3D programma zes zeer simpele simulaties uitgevoerd met de volgende configuratie: een Gaussische wervel met maximale vorticiteit in het centrum van Wc,o = -10.0 en beginstraal ro
=
0.4 bevindt zich op x=
0.0 in het midden van het stromingsdomein, dus op (z, y)=
(1.5, 1.0). Er zijn geen wanden aanwezig; er zal dus geen secundaire vorticiteit ontstaan. Voorts bevindt de wervel zich in een uniforme hoofdstroming, waarbij Umax = 2.0. Bij het differentiëren van de convectieve term uit de basisvergelijkingen is gebruik gemaakt van het upwind-differentieschema. Overige niet vermelde parameterwaarden vindt men in (3.1) en (3.2).De simulaties zijn uitgevoerd voor drie verschillende Reynoldsgetallen, voor twee verschil-lende afmetingen van het rooster (N
=
nz x ny). In tabel B.1 staan de resultaten ge-rangschikt van deze zes simulaties. In de derde kolom staan gegeven de waarden voor de centrumvorticiteit van de wervel op x=
2.5, die als representatieve 'moment'opname104 B.l De invloed van viskeuze diffusie
wordt verondersteld. Deze waarden zijn berekend uit de figuren van de werveldoorsnedes op x
=
2.5, afgebeeld in figuur B.2. De doorsnede van de wervel op x=
0.0 is afgebeeld in figuur B.1 In deze figuur is de vorticiteit w uitgezet tegen de straal r voor het interval -0.5<
r<
0.5. In de zes figuren zijn tevens verschillen in de vorm van de vorticiteitsver-deling te zien, waaruit men eveneens conclusies kan trekken over de invloed van viskeuze danwel numerieke diffusie._,
w ..
-1
_,
-10 ~.4 0. 2
...
r
Figuur B.1: Doorsnede van de vorticiteitsverdeling op x= O.O.
B.l De invloed van viskeuze diffusie
We bekijken eerst de verschillende waarden voor Wc bij een gelijk aantal roosterpunten.
Wanneer N = 150 x 100, zien we dat de vorticiteit van de wervel meer afneemt naarmate het Reynoldsgetal kleiner is. De centrumvorticiteit is bij Re = 15000 4.5% hoger dan bij Re
=
1500, bij een oneindig hoog Reynoldsgetal is deze weer 4.1% hoger dan bij Re = 15000. De totale diffusie is dus het grootst bij Re= 1500. Wanneer we de waarden voor Wc op analoge manier vergelijken voor het rooster met vier maal zo veel roosterpunten (N = 300 x 200) zijn deze twee percentages respectievelijk 6.4% en 1.3%. Deze vier genoemde percentages geven een goede kwantitatieve indicatie voor de invloed van viskeuze diffusie.B.2 De invloed van numerieke diffusie
Wanneer we de procentuele verschillen tussen de waarden voor Wc bij verschillend aantal roosterpunten (Re is constant) berekenen, hebben we een kwantitatieve benadering van de invloed van numerieke diffusie.
Voor elk Reynoldsgetal geldt dat de totale diffusie het kleinst is wanneer het aantal rooster-punten het grootst is. Voor Re= 1500 is dit een verschil in Wc van 1.0%, voor Re= 15000
Hoofdstuk B. Viskeuze en numerieke diffusie 105
a) Re
=
1500, N=
150 x 100 b) Re= 1500, N=
300 x 200... ...
-<> -<>
w -< w -<
-7 -7
_. -l!
.. ..
-<1.4 -<>.2 0.2 0.4 -<1.4 -<>.2 0.2 0. 4
r r
c) Re
=
15000, N=
150 x 100 d)Re=
15000, N=
300 x 200-J
-2 ...
-<>
...
w w -<
-< -7
-l!
_.
..
-<1.4 0. 2 0.4 -<14 -<1.2 0.2 0.4
r r
e) Re
=
oo, N=
150 x 100 f) Re=
oo, N=
300 x 200-3
-2 ...
-<>
....
-<
w w
-< -7
_.
..
-<1.4 0.4 -<1.4 -<1.2 0. 2 0.4
r r
Figuur B.2: Doorsnedes van de vorticiteitsverdeling op x
=
2.5.106 B.3 Conclusies
2.8% en voor een oneindig groot Reynoldsgetal is dit 0.1 %. Bij dit laatste percentage dient aangetekend te worden dat een waarde van Wc= -9.96 nauwelijks nog kan toenemen (wc kan niet groter worden dan -10.0).
De verlaagde totale diffusie bij een groter aantal roosterpunten kan alleen het gevolg zijn van een verandering van de numerieke diffusie. De percentages van 1.0%, 2.8% en 0.1%
zijn duidelijk lager dan de berekende percentages voor de viskeuze diffusie.
B.3 Conclusies
Samenvattend leidt dit tot een aantal bevredigende conclusies:
• viskeuze diffusie neemt af bij een hoger Reynoldsgetal,
• numerieke diffusie neemt af bij een groter aantal roosterpunten en
• de invloed van numerieke diffusie neemt toe bij een hoger Reynoldsgetal, maar zelfs voor Re
>
1500 is de invloed van numerieke diffusie kleiner dan de invloed van viskeuze diffusie.Dit laatste betekent dat voor Reynoldsgetallen van kleiner of ongeveer gelijk aan 1500 vis-keuze diffusie zeker dominant is boven numerieke diffusie.
Uit de figuren van de werveldoorsnedes kunnen we ook nog concluderen dat de vortici-teitsverdeling puntiger wordt naarmate het Reynoldsgetal hoger wordt. Vergelijk hiervoor figuren B.1a, c en e of figuren B.1b, den f. Ook het aantal roosterpunten heeft duidelijk invloed op de vorm van de vorticiteitsverdeling: deze is puntiger wanneer het aantal roos-terpunten lager is.
Het niet-Gaussisch worden van de vorticiteitsverdeling is een ongewenst effect, hoewel de puntiger vorticiteisverdeling bij hogere Reynoldsgetallen wellogisch is. Viskeuze diffusie is dan immers kleiner; de vorticiteit blijft dientengevolge meer in het centrum geconcentreerd.
Deze redenering gaat volgens deze numerieke simulaties niet op voor numerieke diffusie. De vorticiteitsverdeling zou dan bij een groter aantal roosterpunten puntiger moeten zijn, wat deze niet is. Een verklaring hiervoor is nog niet gevonden, nader onderzoek naar numerieke diffusie zou hierover opheldering kunnen geven.
Hoe dan ook is het geruststellend om te zien dat de vorticiteitsverdeling voor beide roosters Gaussisch blijft bij Re= 1500. Dit is voorspeld in [Van Heijst 92].
Werkeenheid:
Vakgroep:
Af st u deer hoogleraar:
Begeleider:
Met dank aan:
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Technische Natuurkunde
Vakgroep Transportfysica