Vierpuntsmeting voor het bepalen van de weerstand van de kabel

1. Inleiding

4.5 Vierpuntsmeting voor het bepalen van de weerstand van de kabel

meting gebeurt aan de hand van een gescheiden spannings- en stroommeting. Er wordt gebruik gemaakt van een stroombron om ervoor te zorgen dat de meetsnoeren en contacten geen invloed meer hebben op de stroom.

Figuur 27: Opstelling vierpuntsmeting

De vierpuntsmeting werd zowel op de binnenkern als op de mantel van de coaxiale kabel met lengte 9m uitgevoerd. De binnenkern heeft een weerstand van 1,167 Ohm. De weerstand van de mantel is gelijk aan 0,284 Ohm.

Indien deze waarden vergeleken worden met de opgegeven waarden door de fabrikant DRAKA, wordt er vastgesteld dat de gemeten waarden voor de binnenkern ongeveer gelijk is aan de vooropgestelde waarden. De gemeten waarden voor de mantel wijkt ±25% af.

DRAKA gemeten

DC weerstand binnenkern

126 mOhm/m 129 mOhm/m

DC weerstand mantel 40 mOhm/m 31,6 mOhm/m

Tabel 6: Resultaten vierpuntsmeting

5 Opstellen van het mathematische model van de kabel

5.1 Gebruikte software: Matlab

Matlab is een technische softwareomgeving uitgegeven door The Mathworks. Het softwarepakket wordt vaak gebruikt zowel in de industrie als in de academische wereld.

Matlab kent vele toepassingen: het berekenen van functies, werken met matrices, gebruik van fourier- en laplacetransformaties. Indien er veel en complexe berekeningen gedaan moeten worden is het interessant om een matlabscript te schrijven. Dit script moet geschreven worden in M-code.[11]

5.2 Basic fitting op gemeten amplitude- en fasekarakteristiek

De functionaliteit “Basic Fitting” in Matlab maakt het mogelijk om van een aantal opgegeven punten een functievoorschrift op te stellen. Hierbij kan er gekozen wordt voor verschillende benaderingen zoals bijvoorbeeld: lineair, kwadratisch, n^de orde polynomen.

De gegevens van Tabel 5: Amplitude i.f.v. frequentie DRAKA worden gebruikt om een grafiek op te stellen in Matlab. Dit gebeurt aan de hand van volgende commando’s:

freq=[1 1E3 1E6 1E7 5E7 1E8 1.5E8 200E6 250E6 300E6];

amp=[318 318 308 285 257 231 210 193 183 171]/1000;

figure(1);

plot(freq,amp,'LineWidth',4);

Vervolgens wordt er gebruik gemaakt van de toolbox ‘Basic Fitting’. De toolbox kan gevonden worden onder Tools. Basic Fitting maakt het mogelijk om verschillende benadering te berekenen op een aantal opgegeven punten.

Voor de benadering van de gemeten amplitudekarakteristiek en fasekarakteristiek werden 4^de en 5^de orde polynomen berekend. De polynomen van de amplitudekarakteristiek worden geplot in onderstaande figuur. De dikkere blauwe lijn stelt de oorspronkelijke data voor. De geelgroene lijn representeert de 4^de orde polynoom. De 5^de orde polynoom wordt

voorgesteld door de zwarte lijn.

Een polynoom benadert de oorspronkelijk data. De orde van het polynoom zal bepalen hoe groot de fout is ten opzichte van de oorspronkelijke data. Hierbij geldt: hoe hoger de orde van de polynoom, hoe kleiner de fout tussen de polynoom en de data.

Figuur 28: Curve-fit van amplitudekarakteristiek

Afhankelijk van de manier waarop de curve-fit plaatsvindt, wordt andere informatie

verkregen. In onderstaande tabel staat het voorschrift van de 4^de en 5^de orde polynoom met telkens de bijhorende coëfficiënten.

4^de orde polynoom 5^de orde polynoom

y = p1*x^4+p2*x^3+p3*x^2+p4*x+p5 Coefficients:

p1 = 6.3588e-035 p2 = -4.5615e-026 p3 = 1.1862e-017 p4 = -1.6381e-009 p5 = 0.31226

y =

p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6 Coefficients:

p1 = -1.1223e-042 p2 = 8.9671e-034 p3 = -2.6009e-025 p4 = 3.4004e-017 p5 = -2.3908e-009 p6 = 0.31378

Hetzelfde werd gedaan worden voor de fasekarakteristiek. Hierbij worden volgende polynomen verkregen.

4^de orde polynoom 5^de orde polynoom

y = p1*x^4+p2*x^3+ p3*x^2+p4*x+p5 y =

p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6

Indien bovenstaande karakteristieken gebruikt worden om de coaxiale transmissielijn te simuleren, worden onderstaande grafieken verkregen. De amplitude- en fasekarakteristiek bekomen via de basis fitting wordt vertaald naar respectievelijk een amplituderesponsie

|H(w)| en een faseresponsie ARG(H(w)).

De amplituderesponsie dient een even functie te zijn, d.w.z. dat de functie symmetrisch moet zijn met als symmetrieas de y-as. Het faseverloop moet een oneven functie zijn. Een oneven functie is een functie die symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong.

Deze responsie in het frequentiedomein kan getransformeerd worden naar het tijdsdomein via een inverse fouriertransformatie. Vervolgens wordt een puls met de impulsresponsie geconvolueerd. Het verloop van deze puls na convolutie wordt voorgesteld in de onderste plot.

Figuur 29: Responsie via basic fitting

Bij bovenstaande tijdsresponsie moet er opgemerkt worden dat er een puls van met een breedte van 50ns gebruikt werd. De reden hiervoor is dat de amplitude- en

fasekarakteristiek zijn opgemeten tot 300MHz. De gebruikte oscilloscoop heeft een

bandbreedte van 500MHz. Er werd besloten om op 300MHz met de meting te stoppen om

geen bandbreedte gerelateerde invloeden te krijgen. De relatie tussen het frequentiebereik van de meting en de tijdsresolutie wordt duidelijk aan de hand van Figuur 30: Het

frequentiedomein en Figuur 31: Het tijdsdomein.

Op onderstaande figuren wordt aangenomen dat een signaal een beperkte bandbreedte ωB

heeft en beperkt is in de tijd. Op de eerste figuur wordt de frequentie-as weergegeven. ωs

stelt de samplefrequentie voor. Volgens het Nyquist criterium moet ωs groter of gelijk zijn aan 2x ωB. De frequentieresolutie ωf bepaalt hoe groot de frequentiestappen zijn. ωs enωf

bepalen samen het aantal samples N (= ). [8]

Figuur 30: Het frequentiedomein

Aan de hand van onderstaande formules, wordt de relatie aangetoond tussen het

frequentiedomein en het tijdsdomein. De samplefrequentie bepaalt de sampleperiode Ts in het tijdsdomein. De frequentieresolutie bepaalt de periode Tf.

Figuur 31: Het tijdsdomein Ts

ωs

ωf

Radialen

De metingen uit paragraaf 4.3 en 4.4 kunnen beschouwd worden als een

frequentiesampling. De maximale frequentie waarbij een meting is gebeurd, is gelijk aan 300MHz. Dit heeft tot gevolg dat de tijdsresolutie gelijk is aan 10ns¹⁴. De resultaten

bekomen aan de hand van de basic fitting kunnen dus niet vergeleken worden met de PMT-pulsen vanwege een te kleine tijdsresolutie. In appendix V wordt meer uitleg gegeven over de techniek zeropadding.

Hierbij moet opgemerkt worden dat de bekomen polynomen maar betrouwbaar zijn tot 300MHz. Een eventuele oplossing hiervoor kan zijn om handmatig punten toe te voegen via extrapolatie. Om een tijdsresolutie te verkrijgen van 1ns, moet de frequentie gesampled worden tot 3,14GHz ( ). Dit betekent dat 92,75%¹⁵ van de frequentiepunten afkomstig zijn van extrapolatie i.p.v. de meting. Daarom is extrapolatie voor het verkrijgen van de gewenste tijdsresolutie niet toepasbaar.

Toch kunnen er enkele zaken worden afgeleid uit de bekomen impulsresponsie, met name demping en dispersie. Op de onderste plot van Figuur 29: Responsie via basic fitting zijn twee pulsen te zien. De blauwe puls stelt de oorspronkelijk puls aan het begin van de kabel voor. De groene puls representeert de puls op het einde van een 9m lange coaxiale kabel van de fabrikant DRAKA. Indien de amplitude van beide pulsen met elkaar vergeleken

worden, wordt vastgesteld dat de puls op het einde van de kabel in amplitude is afgenomen.

Daarnaast is de puls ook langer geworden ten gevolge van dispersie.

Om toch te kunnen werken met een grotere tijdsresolutie, dus een kleinere Ts, wordt de kabel in het volgende hoofdstuk benaderd aan de hand van een mathematische voorstelling.

5.3 Model aan de hand van een transferfunctie Model:

Dit model wordt afgeleid op basis van de transferfunctie voor transmissielijnen. Tijdens deze implementatie wordt rekening gehouden met het skineffect. Per frequentie wordt de

weerstand van de kabel opnieuw bepaald aan de hand van de skindiepte. De zelfinductie L wordt bepaald aan de hand van volgende formule . C werd overgenomen uit de specificatie van de kabel en wordt als constant beschouwd.

Aan de hand van bovenstaande, wordt onderstaande transferfunctie verkregen:

14 (2*pi)/(2*300MHz)= 10,4ns

15 ((3,14GHz – 300MHz)/6,28GHz)*100=92,75%

Figuur 32:Model via transferfunctie

Op de onderste plot in bovenstaande figuur wordt een puls van 50ns geconvolueerd met de impulsresponsie van de kabel. Op de plot wordt een grid getekend dat ervoor zorgt dat de verschillende time slices (25ns integratie-interval) beter van elkaar onderscheid kunnen worden. Het theoretisch model beschrijft niet de waargenomen staarten van het QIE-signaal.

In onderstaande tabel wordt de meting en het theoretische model met elkaar vergeleken.

Beide pulsen hebben een breedte van ± 20ns nadat de puls over de kabel is gepropageerd.

Daarnaast moet er opgemerkt worden dat in beide gevallen de puls binnen het interval van 25ns blijft.

Meting van een puls Theoretische model

Tabel 7: Vergelijking meting - model

38 5.3.1 Besluit

Met het theoretisch model voor transmissielijnen kunnen de waargenomen staarten van het signaal niet worden verklaard. Om toch een oorzaak te vinden is interessant om de QIE-kaart te onderzoeken, meerbepaald de amplitudeafhankelijke impedantie waarlangs de condensator wordt ontladen. De benodigde testopstelling om dit te onderzoeken is niet tijdig gerealiseerd. De realisatie van deze testopstelling valt buiten het kader van deze thesis.

Daar het model niet overeenkomt met de beschikbare data, kan dit niet worden gebruikt voor de ontwikkeling van een corrigerende filter.

LUT LUT

6 FIR filter

6.1 Wat is een FIR filter?

Een FIR¹⁶ filter gebruikt van een eindige impulsresponsie om de gewenste karakteristiek te bekomen. Het filter bestaat uit een aantal geheugenelementen weergegeven door z^-1. Het aantal geheugenelementen is gelijk aan de orde van de filter. Hoe groter de orde, hoe meer de gewenste filterkarakteristiek bekomen wordt. Daarnaast geldt ook dat naar mate de orde van de filter toeneemt, de filter scherper wordt. Elke tak van de FIR wordt vermenigvuldigd met een coëfficiënt. De reeks van coëfficiënten kan berekend worden aan de hand van de impulsresponsie van de filter (zie paragraaf 6.2: Bepalen van filtercoëfficiënten).[8] [17]

Figuur 33: Structuur FIR filter

Bij het ontwerpen en implementeren van een filter moet er gekeken worden naar het volledige systeem. Dit kan voorgesteld worden aan de hand van volgend

signaalstroomschema:

Figuur 34: Signaalstroomschema

16 Finite Impulse Response

C++

Om de coëfficiënten van het FIR filter te bepalen wordt er een simulatieomgeving gecreëerd.

Het eerste gedeelte van het signaalstroomschema wordt verzorgd door een

C++-programma. De andere delen worden in HDL geschreven. Niet-lineaire QIE-data wordt door het zelfgeschreven software programma verwerkt. Voor meer informatie over de

dataverwerking, wordt er verwezen naar hoofdstuk 7: Software. In de software wordt de niet-lineaire QIE-data omgezet naar bitvectoren die als ingangssignalen zullen gebruikt worden tijdens de Modelsim-simulatie.

Het signaalpad:

Het signaal van de PMT wordt vervormd door de coaxiale kabel. Vervolgens komt het signaal aan in de QIE-kaart. Deze digitaliseert de data (zie paragraaf 1.4: QIE). De QIE-data wordt aangeboden aan de HDL module: TriggerPath. Met behulp van een tabel , LUT¹⁷, wordt de niet-lineaire QIE-data omgezet in lineaire data.[22] Vervolgens wordt de LUT-output per drie opgeteld. Zo ontstaan er vier subtriggers: tow11, tow12, tow13 en tow14. Ten slotte

worden de vier subtriggers met elkaar opgeteld en vormen het uiteindelijke triggersignaal.[7]

tow11 <= InLut1DOut + InLut2DOut+InLut3DOut;

tow12 <= InLut4DOut + InLut5DOut+InLut6DOut;

tow13 <= InLut7DOut + InLut8DOut+InLut9DOut;

tow14 <= InLut10DOut+InLut11DOut+InLut12DOut;

Implementatie :

Er zijn verschillende implementaties van de filter mogelijk.

 Een eerste mogelijkheid is om per QIE-signaal een FIR filter te implementeren. Deze implementatie zal in hardware de meeste logische cellen innemen. Het voordeel bij deze implementatie is dat er in principe voor elk kanaal een aparte set coëfficiënten berekend kan worden en zo dus voor de beste onderdrukking van de signaalstaart kan zorgen.

17 LUT : Look up Table

 Daarnaast kan er ook per subtower een filter geïmplementeerd worden. Het is een afweging tussen de onderdrukking van de signaalstaart en het aantal nodige logische cellen.

 Ten slotte kan er ook maar één filter geïmplementeerd worden per

triggersignaal/sector. Daar er vier¹⁸ triggers zijn, zal deze oplossing evenveel FIR filters bemoedigen als de oplossingen met de subtower en zal daarom niet verder worden uitgewerkt.

De manier van implementeren is afhankelijk zijn van verschillende factoren. Enerzijds moet er rekening gehouden worden met de hoeveelheid onderdrukking die geleverd kan worden.

Anderzijds zal er gekeken moeten worden naar het aantal logische cellen die de filter zal innemen op de FPGA.

6.2 Alternatief: Feedback filter

Als alternatief op de FIR filter, is er het filter met feedback. Op onderstaande figuur is de structuur van dergelijk eerste orde filter te zien.

Figuur 35: Feedback filter

Daar de coaxiale kabel niet te beschrijven is als een eerste orde systeem zal ook het filter met feedback van een hogere orde zijn. Naar implementatie in hardware toe, is er geen of weinig verschil ten opzichte van de FIR filter.

Bij hogere orde filters van dit type, is het garanderen van de stabiliteit een moeilijke opgave omwille van afrondingen. Bovendien moet ervoor gezorgd worden dat dit type filter over een continue datastroom kan beschikken. Dit is wel het geval indien het filter wordt geïmplementeerd maar er is geen continue datastroom beschikbaar om het filter te ontwerpen. Daarom is dit soort filter niet verder in de beschouwing opgenomen.

18 2 Energietrigger: 1 per sector, 1 Noleveltrigger, 1 Muontrigger

42 6.3 Bepalen van de filtercoëfficiënten

In het tijdsdomein kunnen de coëfficiënten van de filter bepaald worden aan de hand van een stelsel lineaire vergelijkingen.

Door het gebrek aan een model dat de QIE-signaalstaarten exact beschrijft, wordt in software een gemiddelde impulsresponsie bepaald aan de hand van statistische data. Voor meer informatie over hoe de gemiddelde impulsresponsie berekend wordt, wordt er

verwezen naar het hoofdstuk 7: Software. Bovenstaande vergelijkingen kunnen herschreven worden in matrixvorm. In het onderstaande voorbeeld is de gemiddelde impulsresponsie gelijk aan [1067 157 48 27 19].

De laatste kolom bevat de waarde die als output van de filter verwacht worden. Er zal worden getracht om enkel de eerste waarde van de impulsresponsie, hierboven 1067, door het filter te laten passeren. De andere waarden van de impulsresponsie moeten onderdrukt worden. Om dit te bereiken zullen voor de verwachte waarde nullen ingevuld worden.

Nu dat de matrix is opgesteld, kan via het rref-commando van Matlab of soortgelijke software, opdracht gegeven worden om het stelsel vergelijkingen op te lossen. Indien bovenstaande stelsel wordt opgelost, wordt volgende matrix verkregen.

De laatste kolom representeert de coëfficiënten van de filter, in dit geval een 4^de order filter.

Op te merken valt dat de berekende coëfficiënten relatief klein zijn, zeker indien deze geïmplementeerd moeten worden in hardware. De FIR filter is een lineaire bewerking. De coëfficiënten kunnen dus vermenigvuldigd worden met een factor. Uiteraard moet deze factor op het einde van de berekeningen gecorrigeerd worden.

6.4 De orde van de filter

De orde van de filter wordt bepaald aan de hand van de lengte van de (gemiddelde)

impulsresponsie van het ingaande systeem. Hoe hoger de orde van de filter genomen wordt, hoe meer de gewenste filterkarakteristiek bekomen wordt. Dit heeft ook een keerzijde:

filters met een hogere orde hebben meer kans om een oscillatorisch gedrag te vertonen. Dit kan resulteren in een toename van het residu.

Aan de hand van onderstaande grafieken, wordt de keuze voor de orde van de filter

verantwoord. Er worden 3 ordes besproken: 3^de orde filter, 4^de orde filter en 5^de orde filter.

Onderstaande coëfficiënten werden bekomen, door gebruik te maken van de methode vermeld in de vorige paragraaf.

3^de orde coëfficiënten 4^de orde coëfficiënten 5^de orde coëfficiënten 1

Om de resultaten van de verschillende orde filters met elkaar te kunnen vergelijken, wordt gelineariseerde QIE-data aan de verschillende systemen aangelegd. Zo wordt onderstaande grafiek verkregen.

Bovenstaande grafiek zegt eigenlijk weinig. Er kan enkel gezegd worden dat de 3^de orde filter bij signalen met hoge amplitudes na de puls opnieuw een piek vertoont. Daarnaast moet er ook opgemerkt worden dat wanneer de pulsvorm groter is dan de gemiddelde

impulsresponsie, er overcompensatie van het signaal ontstaat.

Om een beter beeld te vormen van de verschillende onderdrukkingen wordt als volgt te werk gegaan: er wordt aangenomen dat de 5^de orde filter de maximale onderdrukking levert.

Per filter wordt de onderdrukking berekend door de oorspronkelijke data te verminderen met de gecorrigeerde waarde. Vervolgens wordt de relatieve onderdrukking berekend ten opzichte van het resultaat van de 5^de orde filter. Zo wordt volgende grafiek verkregen.

-500

Aan de hand van vorige grafiek wordt het verschil tussen de verschillende orde filters

duidelijk. Er kan duidelijk gezien worden dat de onderdrukking van de 3^de orde filter 40% tot 60% lager ligt dat die van de 4^de en 5^de orde filter. Daarnaast kan er ook een klein verschil opgemerkt worden tussen de 4^de en 5^de orde filter van ongeveer 5 %.

6.4.1 Besluit

De 3^de orde FIR filter heeft significant minder onderdrukking dan de 4^de en 5^de orde filter.

Aan de hand van vorige grafieken is de 5^de orde FIR filter de beste keuze. Er zal getracht worden de 5^de orde filter te implementeren in hardware (zie hoofdstuk 8: Hardware). Indien de 5^de orde filter te veel resources gebruikt, kan er teruggevallen worden op de 4^de orde filter.

6.5 Methodiek voor het ontwerp van de filters

Figuur 36: Methodiek Run data – QIE-data

Software C++

Dataverwerking

Lineaire QIE-data Bitvectoren

Software FIR filter

Maken van tekstbestand

Hardware TriggerPath – FIR-filter

Hardware TEXTIO

Maken van tekstbestand Software

Bereken effectiviteit Indelen in bereiken

Software

Maken van tekstbestand

Vergelijken van SW en HW FIR filter

Excel Grafiek effectiviteit

Figuur 36: Methodiek beschrijft de manier waarop te werk is gegaan voor het simuleren van de filters. Omwille van het feit dat simulaties van hardware redelijk wat tijd innemen zeker wanneer het hardware project in grootte toeneemt, werd er besloten om ook een FIR filter te implementeren in software.

Onbewerkte CASTOR data van een run in 2010 wordt verwerkt door het programma. De tijd tussen twee botsingen in deze run is meerdere microseconden. Dit houdt in dat er geen overlapping is van twee opeenvolgende signalen wat deze data zeer bruikbaar maakt als uitgangspunt om het filter te ontwerpen en te beoordelen.

Om de hardware te simuleren, moet de niet-lineaire QIE-data geconverteerd worden naar een bitvector en dit per module van CASTOR. Per module wordt een tekstbestand

aangemaakt waarin alle bitvectoren van de betreffende module worden in opgeslagen. Deze tekstbestanden worden ter beschikking gesteld aan het progamma dat zorgt voor de

hardwaresimulatie, namelijk Modelsim. De output van de filters wordt weggeschreven in een tekstbestand.

Daarnaast is het ook mogelijk om de software de rundata te laten lineariseren. Deze

operatie is equivalent met de LUT’s in de hardware. Na de linearisatie kan de data aangelegd worden aan een FIR filter in de SW. Net zoals bij de hardware moet hier ook een reeks coëfficiënten meegegeven worden. De output van de SW FIR filter wordt ook hier weggeschreven naar een tekstbestand. Nu kunnen de resultaten van de HW filter met de resultaten van de SW filter vergeleken worden. De resultaten komen goed overeen. De fout bedraagt gemiddeld 2 LSB’s (=4) per filter. Een mogelijke oorzaak van deze afwijking kan zijn dat de deling nauwkeuriger gebeurt op een computer. Er wordt besloten dat de resultaten voldoende overeenkomen om de optimalisatie van het FIR filter met behulp van de software uit te voeren.

Ten slotte bevat de software ook de mogelijkheid om de effectiviteit van de filter te bepalen voor bepaalde amplitudebereiken. De output van deze functionaliteit zijn tekstbestanden waarin het gemiddelde residu van het signaal voor en na de correctie in wordt opgeslagen.

Meer informatie hiervoor in hoofdstuk 7: Software.

7 Software

Het doel van de software tijdens dit project is voornamelijk dataverwerking. Om VHDL-simulaties te kunnen uitvoeren moeten decimale getallen omgezet worden in binaire vectoren met een bepaalde lengte. Daarnaast is het ook mogelijk om een FIR filter in software te implementeren. De software implementatie van de digitale filter zorgt ervoor dat er tijd gewonnen wordt tijdens het ontwerpproces. De gebruikte software IDE is Code::Blocks, hierbij wordt de GNU GCC compiler gebruikt.

In document Ontwerp van een digitale filter voor dispersiecorrectie (pagina 39-0)