9: Vier stellingen
Vooraf
In deze paragraaf bewijzen we vier meetkundige stellingen met behulp van algebra. Het zijn stellingen over speciale lijnen in de driehoek. Allicht gebruiken we wat we nu van lijnen weten!
De eerste is de stelling van Thales. Die ken je al uit een eerder blok, maar het algebraïsch bewijs levert een mooi extraatje op in de vorm van een onverwachte vergelijking.
De tweede is de beroemde stelling dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan. Daar zijn veel meetkundige bewijzen van, die er van alles bij halen: hoeken, afstanden, Pythagoras, enzovoort. In het algebraïsche bewijs wordt gebruikt waar het om gaat: loodrechte stand en meer niet.
De derde stelling is die van de drie middelloodlijnen van een driehoek. Die gaan ook door een punt! Er is een meetkundig bewijs voor het feit, dat zo’n punt er is, maar met de algebraïsche methode vinden we als extraatje ook de coördinaten van dat punt.
De vierde stelling zegt dat het zwaartepunt, het hoogtepunt en het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek op één lijn liggen. Na de eerdere stelling is een eenvoudig berekening van een gewogen gemid-delde hier afdoende!
Thales en Descartes
9.1 Rechthoekige driehoek
In deze figuur zijn A en B vaste punten. Driehoek APB is recht in P.
P kan dan niet zomaar overal liggen; wat we willen is een verband tussen de coördinaten van P aflei-den uit de meetkundige situatie, d.w.z. uit de lig-ging van A en B en de loodrechtheid van de lijnen PA en PB.
We gebruiken wat we weten over lijnen en
richtin-gen. Misschien hebben we niet eens de vergelijkingen zelf van de lijnen nodig. a. De richtingscoëfficiënten van de lijnen PA en PB kun je uitdrukken in x, y en r. Hoe? b. Pas de voorwaarde voor loodrechte stand toe op het resultaat van a en leid hieruit af dat c. Welke mededeling staat hier over de afstand van P tot O?
d. Geef een beschrijving in woorden van de meetkundige betekenis van deze vergelijking, waarin je uit-legt wat de figuur is die gevormd wordt door alle mogelijke punten P.
Thales
Rond 600 voor Christus
Descartes Rond 1630 na Christus A(r; 0) B(-r; 0) P:(x; y) O
x
2+y
2= r
29: Vier stellingen
De hoogtelijnen van de driehoek
De hoogtelijnen van de driehoek zijn de loodlijnen vanuit de hoek punten op de zijden tegenover die punten. (het heeft dus meer met ‘loodrecht’ dan met ‘hoogte’ te maken!)
Er geldt de volgende stelling:
We gaan deze stelling bewijzen met coördinaten!
Voor het bewijs leggen we de hoekpunten van de driehoek op de assen. Dat vereenvoudigt waarschijnlijk het rekenwerk, om de doodeenvoudige reden dat veel coördinaten dan gelijk aan 0 zijn en je wat minder ‘schrijfwerk’ hebt.
9.2 Bewijsvoorstel ter nadere uitwerking
Kies driehoek ABC met: A(a; 0), B(b; 0) en C(0; c). a. Teken de hoogtelijnen in het schetsje hiernaast.
De hoogtelijn uit C is een weggevertje: de y-as, ofwel: de lijn x = 0.
Van de hoogtelijnen weet je één punt en de richting. Later moet je snijpunten vinden. Je hebt dan echt de vergelijkingen wel nodig.
b. Stel de vergelijkingen op van de loodlijn uit A op BC en van de loodlijn uit B op AC.
Als de drie hoogtelijnen door één punt gaan, ligt dat punt op de y-as, want dat is de hoogtelijn uit C. c. Laat dus zien dat de twee hoogtelijnen uit A en B de y-as in hetzelfde punt snijden. Door x = 0 in te
vullen vind je die y-waarde(n) direct.
d. De coördinaten van het hoogtepunt H heb je nu gevonden. Noteer ze.
Hoogtelijnenstelling De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.
!
A(a; 0) B(b; 0)
C(0; c)
O
Waarschuwing en Tip
Gebruik heel nauwkeurig de formules voor richtingscoëfficiënten en het opstellen van vergelijkin-gen te gebruiken, zonder te kijken of getallen a, b en c negatief zijn of niet. Die formules kun je in alle gevallen blindelings vertrouwen als je ze zuiver en correct gebruikt!
9: Vier stellingen
De middelloodlijnen van de driehoek
De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt; dat is de te bewijzen stelling.
Ook hier gaat het om loodlijnen op de drie zijden. Niet zo gek dat de dit bewijs en het vorige als tweelingen op elkaar zullen lijken.
9.3 Bewijsvoorstel ter nadere uitwerking
Houd het op dezelfde driehoek ABC met: A(a; 0), B(b; 0) en C(0; c).
a. Teken de middelloodlijnen in het schetsje hiernaast. De vergelijking van de middelloodlijn van AB is een wegge-vertje: .
b. Stel de vergelijkingen van de middelloodlijnen van BC en
AC op.
Als de drie middelloodlijnen door één punt gaan, ligt dat punt op de lijn , want dat is de middelloodlijn van AB uit C.
c. Laat dus zien dat de twee middelloodlijnen van BC en AC die lijn in hetzelfde punt snijden. Door in te vullen vind je de y-waarden vrij snel.
Wat zijn de coördinaten van het snijpunt M? Noteer ze !
d. Uit de meetkunde weet je dat M op gelijke afstanden van A, B en C moet liggen. Wat weet je dus van de cirkel met middelpunt M die door A gaat?
Samenhang tussen de drie punten:
De lijn van Euler
Leonard Euler ontdekte (en bewees) dat drie belangrijke drie-hoekscentra, namelijk het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt van de omgeschreven cirkel M, op één lijn lig-gen en dat Z het lijnstuk HM verdeelt in de verhouding 1 : 2. Die lijn heet dan ook: de lijn van Euler.
9.4 Bewijs bij de Euler-lijn
a. Teken de drie punten in één driehoek.
b. Uiteraard ga je de coördinaten van de punten gebruiken. Die van het zwaartepunt kunnen gevonden worden met behulp van het gemiddelde van drie punten, zoals in blok II stond.
c. De aangegeven ligging van Z ten opzicht van H en M moet nagerekend worden. Te laten zien:
Z is het gewogen gemiddelde van H en M bij gewichten 1 en 2.
Voetnoot
Ook Euler bewees de stelling via rekenen met coördinaten. Maar hij gebruikte niet de handige voorstelling van de driehoek in deze paragraaf. Euler had een groot algebraïsch uithoudingsvermogen en tempo. Maar dit heeft hem meer werk gekost dan deze bladzijde suggereert, dat blijkt uit zijn aantekeningen!
A(a; 0) B(b; 0) C(0; c) O