Bereken de oplossing van de volgende kwadratische vergelijkingen. a u�2+ 5u� + 1 = 0 b 2u�2− 3u� − 2 = 0 c −5u�2− 7u� = 1 d u�(2u� + 3) = 3 e u�(2u� + 3) = 3u� f u�(2u� + 3) = 0 g (u� + 3)(u� − 5) = 2 h (u� + 3)(u� − 5) = 0 i (2u� + 5)2= 5 Opgave 15
Onderzoek hoeveel oplossingen de volgende kwadratische vergelijkingen hebben (dus uit hoeveel waar-den de oplossing bestaat).
a 2u�2+ 5u� − 1 = 0 b 5u�2− u� = 1 c −2u�2+ 6u� = 18 d (1 − 2u�)2= 12 e (u� − 1)2+ 4 = 0 Opgave 16
Je ziet hier de grafieken van twee kwadratische functies en een lineaire functie. Ga er van uit dat de roosterpunten die op de grafieken lijken te liggen dat ook inderdaad doen.
Bij het berekenen van snijpunten of nulpunten, moet je telkens een ver-gelijking oplossen. Aan de discriminant van die verver-gelijking kun je zien hoeveel snijpunten er zijn. Geef in de volgende gevallen aan of die discri-minant negatief, positief of 0 is en ook of die discridiscri-minant een kwadraat is. a u�1= u�3 b u�1= u�2 c u�2= u�3 d u�3= 0 e u�2= 0
Opgave 17
Hieronder zijn telkens twee formules gegeven. Bereken de eventuele snijpunten van de bijbehorende grafieken. Geef waar nodig benaderingen in één decimaal nauwkeurig.
a u�1= −2u�2+ 8u� en u�2= 2u� − 36. b u�1= (u� − 10)2− 50 en u�2= 10 − 5u�.
Toepassen
Opgave 18: Een kwadraat afsplitsen Bekijk in
> www.math4all.nl > 3 HAVO > Kwadratische vergelijkingen > Toepassen
hoe je een kwadratische functie door kwadraat afsplitsen kunt schrijven in de vorm u� = u�(u� − u�)2+ u�.
a Wat is het voordeel van die vorm? b Laat zien, dat u�2+ 8u� = (u� + 4)2− 16.
c Schrijf nu de kwadratische functie u� = u�2+ 8u� + 2 in een vorm waarin je de top kunt aflezen.
Kwadraat afsplitsen werkt ook als er mintekens in de formules voorkomen, alleen kun je dan niet altijd meer een figuur erbij tekenen. Splits een kwadraat af bij de volgende kwadratische functies.
d u� = u�2+ 6u� − 12 e u� = u�2− 4u� + 9
f u� = u�2+ 5u�
Opgave 19: Een vergelijking oplossen door kwadraat afsplitsen
Je kunt nu het kwadraat afsplitsen toepassen bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Elke kwadratische vergelijking kun je er mee oplossen...
Neem eerst de vergelijking u�2+ 6u� + 1 = 0.
a Splits nu aan de linkerzijde van het isgelijkteken een kwadraat af. Los vervolgens de vergelijking op door terugrekenen.
Op dezelfde manier kun je de volgende vergelijkingen oplossen. b Los op: u�2+ 8u� − 15 = 0.
c Los op: u�2− 8u� + 2 = 0. d Los op: 2u�2− 8u� + 2 = 0.
Opgave 20: Een lastig geval
Kwadraat afsplitsen is een manier om elke kwadratische vergelijking op te lossen. Los op: 3u�2+ 7u� + 1 = 0.
Verkennen
Opgave 1Je wilt de vergelijking 2u�2+ 12u� = −10 oplossen.
Doe dit op zoveel mogelijk verschillende manieren. Welke manier is het handigst? Opgave 2
Je wilt de vergelijking 2u�2+ 12u� = 0 oplossen.
Laat zien hoe je dit op de handigste manier kunt doen.
Uitleg
De vergelijking 2u�2+ 12u� = −10 kan op meerdere manieren opgelost worden.
Allereerst merk je op dat het een kwadratische vergelijking en een drieterm is. Je herleid dan eerst op 0:
2u�2+ 12u� + 10 = 0
Je kunt nu de abc-formule gebruiken om de vergelijking op te lossen. Maar delen door 2 maakt hem in ieder geval eenvoudiger:
u�2+ 6u� + 5 = 0
Nog steeds kun je de abc-formule toepassen, of je kunt een kwadraat afsplitsen, maar nu is ontbinden met de som-en-product-methode handiger.
Bij drietermen kies je meestal voor ontbinden (als je snel een ontbinding ziet) of anders voor de abc-for-mule. Maar hoe werk je bij een tweeterm?
Stel je wilt de vergelijking 2u�2+ 12u� = 0 oplossen.
De abc-formule kan natuurlijk met u� = 2, u� = 12 en u� = 0. Maar dat is wel erg onhandig. Gewoon de GGD buiten haakjes halen gaat echt veel sneller...
Opgave 3
Kwadratische vergelijkingen kun je beter niet altijd met de abc-formule oplossen. Die formule is als het ware de laatste mogelijkheid als je geen snellere manier kunt vinden.
a Bekijk eerst de vergelijkingen in de Uitleg op pagina 27. Als je deze vergelijkingen nog niet hebt opgelost, doe dit dan alsnog.
Bekijk de vergelijking 0,5u�2= 4u� − 6.
b Wordt deze vergelijking na op 0 herleiden een drieterm of een tweeterm?
c Kun je deze vergelijking oplossen door ontbinden in factoren? Los de vergelijking verder op. Bekijk de vergelijking 0,5u�2= 4u� − 5.
d Waarom kun je deze vergelijking alleen met de abc-formule oplossen? Laat zien hoe je dat doet. Bekijk de vergelijking 0,5u�2− 4u� = 5u�.
abc-for-Opgave 4
Zoek bij de volgende vergelijkingen steeds de handigste manier van oplossen. Bereken vervolgens de exacte oplossingen. a 0,1u�(u� − 2) = 1 b 0,1(u� − 2)2= 1 c 0,1u�(u� − 2) = 0 d 0,1u�(u� − 1) = 2
Theorie en voorbeelden
Een kwadratische vergelijking (of tweedegraads vergelijking) kun je op meerdere manieren oplossen. De abc-formule lukt altijd als je hem in de vorm u�u�2+ u�u� + u� = 0 hebt geschreven (met u� ≠ 0). Maar regelmatig is de abc-formule niet nodig. Hier zie je welke keuzes je daarbij kunt maken.
> Komt de variabele maar op één plaats voor? Ga dan terugrekenen, met name worteltrekken.
> Heeft de vergelijking de vorm van een ontbinding die op 0 uitkomt? Splits de vergelijking dan in twee eenvoudiger vormen.
> Komen er in de vergelijking haakjes voor, maar kun je niet meteen ontbinden in factoren? Werk dan eerst de haakjes uit.
> Kun je na op 0 herleiden alle termen door hetzelfde getal delen? Doe dit dan en maak de vergelijking eenvoudiger.
> Kun je na op 0 herleiden en vereenvoudigen ontbinden in factoren? Doe dit dan en lees de oplossing uit de ontbinding af.
> Kun je na op 0 herleiden en vereenvoudigen niet ontbinden in factoren? Gebruik de abc-formule of splits een kwadraat af.
Als je deze stappen in deze volgorde doorloopt, kun je elke kwadratische vergelijking op zo handig mogelijke manier oplossen.
Voorbeeld 1
Je ziet hier een drietal kwadratische vergelijkingen die op elkaar lijken.
> (u� − 2)(u� + 3) = 6
> (u� − 2)(u� + 3) = 7
> (u� − 2)(u� + 3) = 0
Van welke van deze vergelijkingen kun je de oplossingen ‘zo zien’? En welke kun je alleen oplossen met de abc-formule?
In de Theorie op pagina 28vind je een lijstje met keuzes die je kunt maken bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Dit lijstje kan je helpen bij het beantwoorden van de vragen hierboven. Bij geen van deze vergelijkingen komt de variabele op één plek voor, dus terugrekenen is nu onmogelijk. De derde vergelijking heeft bestaat echter uit een ontbinding waar 0 uit komt. Die kun je dus heel snel
Bij beide andere vergelijkingen moet je eerst de haakjes uitwerken en op 0 herleiden. Dan zul je zien dat bij de tweede vergelijking de abc-formule nodig is. Of je moet een kwadraat afsplitsen, dat werkt ook altijd wel...
Opgave 5
Bekijk de drie vergelijkingen in Voorbeeld 1 op pagina 28.
a Ga na, dat je van de derde vergelijking inderdaad vrijwel direct de oplossing kunt opschrijven. b Los nu de eerste vergelijking zo handig mogelijk op.
c Los ook de tweede vergelijking op. Opgave 6
Je wilt de vergelijking (2u� − 7)2− 1 = 9 oplossen. a Waarom is nu het uitwerken van de haakjes niet handig? b Los nu deze vergelijking zo handig mogelijk op.
Opgave 7
Los de volgende vergelijkingen op de handigste manier op. a 3u�2+ 6u� = 9 b 15u�(u� − 1) = 30 c 12u�2= 32 d 14u�2= 3u� e (u� − 4)2− 8 = 5 f 4u� + 1 = 6u�2 g (u� − 2)(u� + 2) = 1 h u�2= 2u� − 1 Voorbeeld 2
Bereken de oplossing van de vergelijking (u� + 2)2= (5 − 2u�)2.
Misschien denk je aan haakjes uitwerken en dan ontbinden of de abc-formule toepassen? De oplossing hieronder is dan totaal anders, echt ‘out-of-the-box’ denken.
Beide zijden worteltrekken geeft: u� + 2 = 5 − 2u� ∨ u� + 2 = −(5 − 2u�)
Dit zijn twee lineaire vergelijkingen die je met de balansmethode kunt oplossen. Je krijgt: u� = 1 ∨ u� = 7.
Opgave 8
InVoorbeeld 2 op pagina 29wordt een kwadratische vergelijking op een onverwachte manier opgelost. a Los deze vergelijking eerst zelf op door de haakjes uit te werken.
Opgave 9 Los op: a (u� + 1)2= (2u� + 4)2 b (u� − 2)2= (−u� + 3)2 c (2u� − 2)2= 36 d (5 + 3,5u�)2= u�2 Voorbeeld 3
Bereken de oplossing van de vergelijking 2u�(u� + 4) = 3u� + 12.
Misschien denk je aan haakjes uitwerken en daarna ontbinden of de abc-formule toepassen? De oplossing hieronder is dan totaal anders, alweer ‘out-of-the-box’ denken.
Schrijf de vergelijking als: 2u�(u� + 4) = 3(u� + 4)
Omdat beide zijden van de vergelijking nu een factor u� + 4 bevatten, kun je hem direct splitsen in: 2u� = 3 ∨ u� + 4 = 0
En de oplossing wordt u� = 1,5 ∨ u� = −4.
Dat gaat een stuk sneller dan haakjes uitwerken, op 0 herleiden en dan de abc-formule... Opgave 10
InVoorbeeld 3 op pagina 30wordt een kwadratische vergelijking op een onverwachte manier opgelost. a Los deze vergelijking eerst zelf op door de haakjes uit te werken.
b Bekijk nu de manier van oplossen die in het voorbeeld wordt gebruikt. Waarom mag je niet gewoon beide zijden delen door u� + 4?
c Wanneer kun je deze handige oplossingsmethode toepassen? Opgave 11
Los op:
a 5u�(u� − 3) = 6u� − 18 b u�(u� + 1) = 5u� c u�2= 6u�
d (4u� + 1)(2u� − 5) = u�(2u� − 5)
Verwerken
Opgave 12
Los de volgende vergelijkingen op. Probeer steeds een zo handig mogelijke manier te vinden. a u�2= u�
e u� − u�2= 5 f u�2+ 2u� − 7 = 3 g u�2+ 2u� + 1 = 0 h (u� + 3)(u� − 3) = 9
i (u� − 4)(u� + 5) = 6 j u�(2 − u�) = 3u�
Opgave 13
Los de volgende vergelijkingen op. Probeer steeds een zo handig mogelijke manier te vinden. a (2u� − 3)(u� − 1) = 3 b (2u� − 3)(u� − 1) = 0 c (u� − 3)2+ 5 = 0 d 4(u� + 1)2− 7 = 2 e u� − (u� − 1)2= −4 f (u� − 2)2= (4 − 3u�)2 g 3(u� − 1)2= (u� − 1)2 h 3u�(u� − 1) = (u� + 1)(u� − 1)
i (u� − 4)2= 5 − u� j 0,5u�2− 4u� = 10
Opgave 14
Een parabool wordt beschreven door de formule u� = 0,25(u� − 2)2+ 5. Een lijn gaat door de punten 𝐴(0,6) en 𝐵(10,12). De snijpunten van deze lijn en deze parabool zijn 𝐴 en 𝐶.
Opgave 15
Een bedrijft maakt Blu-ray spelers. De winst die het bedrijf per week maakt wordt berekend met de formule 𝑊 = −6u�2+ 100u� − 250. De winst (𝑊) is hier in duizenden euro en het aantal per week verkochte spelers (u�) in honderdtallen.
a Bereken voor welke waarden van u� winst wordt gemaakt. Om welke aantallen Blu-ray spelers gaat het daarbij?
b Bij welk aantal wekelijkse verkochte Blu-ray spelers is de winst zo groot mogelijk? Hoe groot is deze maximale winst?
Toepassen
Opgave 16: Handige oplossingstechnieken Bekijk in
> www.math4all.nl > 3 HAVO > Handig oplossen > Toepassen
hoe je vergelijkingen handig kunt oplossen door ontbinden en worteltrekken. Je kunt daaruit nog weer snellere stappen afleiden.
a Welk voorbeeld maakt gebruik van de strategie dat een vergelijking van de vorm 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶 kan worden geschreven als 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶? Laat zien hoe deze aanpak volgt uit ontbinden in factoren. b Laat ook zien, dat een vergelijking van de vorm 𝐴𝐵 =𝐶𝐷 kan worden geschreven als 𝐴 ⋅ 𝐷 = 𝐵 ⋅ 𝐶. c Leid zelf af dat een vergelijking van de vorm 𝐴𝐵 =𝐴𝐶 kan worden herleid tot 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶
Opgave 17: Vergelijkingen met hogere machten
Los de volgende vergelijkingen op. Maak gebruik van handige oplossingstechnieken. a u�3= 4u�
b 3u�2(u� − 5) = u�2 c 4(u� − 1)3= u� − 1 d (u�2+ 1)2= 4
e (2u� + u�2− 4)2= (u� + 1)2
Opgave 18: Vergelijkingen met breuken
Los de volgende vergelijkingen op. Maak gebruik van handige oplossingstechnieken. a u�+1u�+2=2u�+3u�+3
b 2u�−1u� =1−u�2u� c 2u�−13u� =2u�−1u�+2 d u�−22u� =2u�5
Samenvatten
Met kwadratische verbanden heb je al leren werken. In dit onderwerp is die kennis herhaald en uitge-breid. Het begrip kwadratische functie is ingevoerd en je hebt geleerd hoe je een grafiek moet maken van een kwadratische functie als de formule ervan is gegeven. Ook het werken met (kwadratische) ver-gelijkingen om snijpunten en nulpunten te berekenen is voorbij gekomen, met name de abc-formule, maar ook technieken om kwadratische vergelijkingen handig op te lossen.
De onderstaande opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Kwadratische verbanden’ te krijgen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3 en 4 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken. De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen.
Je hebt geleerd
> de begrippen kwadratische functie, top, extreme (uiterste) waarde (Theorie op pagina 8);
> nulpunten en top bepalen, drie gedaantes van de formule bij een kwadratische functie her-kennen (Theorie op pagina 14);
> de abc-formule gebruiken om een kwadratische vergelijking systematisch op te lossen, de discriminant van een kwadratische vergelijking gebruiken (Theorie op pagina 21);
> kwadratische vergelijkingen handig oplossen, onder andere door ontbinden in factoren, te-rugrekenen en de abc-formule (Theorie op pagina 28);
Voorkennis
> basisalgebra, werken met machten, wortels, breuken;
> werken met lineaire verbanden en bijbehorende formules en grafieken;
> vergelijkingen oplossen met terugrekenen, de balansmethode, ontbinden in factoren.
Opgave 1
Een afgeschoten kogel volgt bij benadering een baan die de vorm van een parabool heeft. Een voorbeeld van zo’n kogelbaan is de parabool met formule ℎ = −0,0001(u� − 150)2+ 4. Hierin is ℎ de hoogte van de kogel boven de grond en u� de afstand die de kogel horizontaal heeft afgelegd.
a Op welke hoogte wordt de kogel afgeschoten? b Welk punt is het hoogste punt dat de kogel bereikt? c Na hoeveel m komt deze kogel op de grond?
Opgave 2
Bij een kwadratische functie hoort de formule u� =12(u� − 3)2−12.
a Laat zien, dat deze formule kan worden geschreven als u� = 12u�2− 3u� + 4.
b Welke extreme waarde heeft deze kwadratische functie? Is het een minimum of een maximum? c Laat zien dat deze formule kan worden geschreven als u� =12(u� − 2)(u� − 4).
Opgave 3
Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = −0,3(u� + 2)(u� − 5). Bereken de top van de bijbehorende parabool en teken hem.
Opgave 4
Los de volgende kwadratische vergelijkingen exact op. a u�2+ 3u� − 5 = 0 b u�2+ 3u� − 4 = 0 c 2u�2− 4u� = 48 d 12u�2+ 5u� = 0 e 3u�2+ u�√3 = 2 f u�(u� − 3) = 2 + u�2 Opgave 5
Los de volgende vergelijkingen zo handig mogelijk exact op. a (2u� − 6)2= 11 b u�(u� − 2) = 5u� − 10 c (u� − 3)(2u� − 5) = 15 d (u� − 3)(2u� − 5) = 0 e (u�2− 3)2= (2u� + 1)2 f (u�2− 4)(u� − 3) = 12 Opgave 6
Gegeven is lineaire functie u� = 4u� en de kwadratische functie u� = −0,5u�2+ 6u�.
a De grafiek van de lineaire functie heeft twee punten gemeen met de grafiek van de kwadratische functie. Toon dit aan met behulp van de bijbehorende vergelijking.
b Bereken beide snijpunten.
De lijn met formule u� = 4u� + 2 is evenwijdig met grafiek van de lineaire functie.
Testen
De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 4 van het onderwerp ‘Kwadratische verbanden’ voldoende beheerst.
Opgave 7
De brug over de rivier de Tyne in het noordoosten van Engeland wordt vaak als voorbeeld genoemd voor een parabolische boog, een boog in de vorm van een pa-rabool. Uitgaande van een assenstelsel waarin de u�-as langs de verticale rechterwand van de linkertoren ligt en de u� over de bovenkant van het horizontale wegdek ligt, zou dit op grond van afstand tussen beide torens en de plaats van de top van de parabool de bijbehoren-de formule
u� = −0,0084(u� − 81)2+ 33
moeten zijn. In deze opgave ga je uit van deze formule. a Hoeveel meter zit de top van de parabool boven het
wegdek?
b Hoeveel meter is de afstand tussen beide torens?
c Op hoeveel meter onder het wegdek zit de parabool aan de torens bevestigd?
d Hoeveel meter zit er tussen de punten die de parabool met de bovenkant van het wegdek gemeen heeft? Geef je antwoord in dm nauwkeurig.
Opgave 8
Gegeven zijn de kwadratische functie met formule u� = −2u�2− 8u� + 12 en de lineaire functie met formule u� = 2u� + 12.
a Bereken de snijpunten van de parabool met de u�-as.
b Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van beide functies. Opgave 9
Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. Geef daarna de eindantwoorden exact of (waar nodig) in twee decimalen nauwkeurig.
a u�2+ 3u� = 4 b 2u�2+ 15u� = 36 c 3u�2= 48 d (2u� − 4)(u� − 3) = 12 e (2u� − 4)(u� − 3) = 0 f (u� − 4)2+ u�2= 40
i u�3− 5u�2+ 6u� = 0 j 16 − (3 − u�)2= 0 k 2u�2= u� + 8
l u�4− 8u�2= 9 Opgave 10
Een boer heeft een stuk land dat zuiver rechthoekig is en aan de twee lange zijden en aan één van de twee korte zijden omgeven is door een boswal van 5 m breed. Alleen aan de kant van de weg zit geen boswal, maar een sloot voor de afwatering. Het stuk land is twee keer zo lang als het breed is.
Als deze boer de boswal volledig bij zijn land trekt, wordt de oppervlakte precies twee keer zo groot. Bereken de afmetingen van het stuk land als de boswal nog intact is. Gebruik daarbij een vergelijking en rond je antwoord af op dm nauwkeurig.
Opgave 11
De geitenfokvereniging van Oldeberkoop wil bij een resibureau een busreis boeken naar Zwitserland, een bekend geitenland in Europa. Die reis kost elk van de 40 leden van die vereniging €600,=. Omdat het reisbureau echter een bus voor 54 personen moet inzetten, melden zij de geitenfokkers dat elke extra passagier waarvoor zij kunnen zorgen voor elke deelnemer aan de reis een korting van €10,= betekent.
Onderzoek of dit voor het reisbureau gunstig is. Bij welk aantal deelnemers is de opbrengst voor het reisbureau zo hoog mogelijk?
Toepassen
Opgave 12: Maximale lengte Lees in
> www.math4all.nl > 3 HAVO > Totaalbeeld > Toepassen
dat er tussen de grafieken van de functies die daar zijn beschreven het lijnstuk 𝑃𝑄 zit.
De lengte van dit lijnstuk kan variëren, je wilt de maximale lengte weten, want de minimale lengte is 0. a Waarom is het minimum van de lengte van het daar beschreven lijnstuk 0?
b Noem de u�-waarde van beide punten u�. Welke coördinaten hebben 𝑃 en 𝑄 dan? c Leg uit dat de lengte van lijnstuk 𝑃𝑄 gelijk is aan 𝐿 = −2u�2− 10u�.
Opgave 13: Winstmaximalisatie
In de micro-economie wordt het volgende rekenmodel voor de winst van de verkoop van een bepaald product gehanteerd als het bedrijf de enige aanbieder is.
Het aantal verkochte producten hangt alleen af van de prijs u� in euro per stuk. Hoe hoger de prijs, hoe lager de hoeveelheid u� die van dit product wordt verkocht per tijdseenheid. Bijvoorbeeld kan per week gelden u� = 500 − 2u�.
De inkoopkosten hangen weer af van de prijs per eenheid en de voorraadkosten. Bijvoorbeeld kan een eenheid product €5,= kosten en de voorraadkosten kunnen €2000,= per week zijn.
Voor de opbrengst als wekelijks de hele voorraad wordt verkocht geldt 𝑇𝑂 = u�⋅u�, de wekelijkse kosten noem je 𝑇𝐾 en de winst is 𝑇𝑊 = 𝑇𝑂 − 𝑇𝐾.
a Waarom is 𝑇𝑂 = u� ⋅ u�?
b Laat zien dat 𝑇𝑊 = u�(500 − 2u�) − (2000 + 5u�).
Als je in de formule bij b u� = 500−2u� substitueert, dan kun je hem herleiden tot 𝑇𝑊 = −2u�2+510u�− 4500.
c Laat dat zien.
De winst is in dit rekenmodel een kwadratische functie van u�. d Bereken de maximale winst.