«f' w + 4
- ■■ ■ .
Daarentegen geeft rechtstreeksche ontwikkeling van / (x 4" — «) naar T
aylor:
/ (x + £ a) =/W + £ a f M _|_ i/s £. « 4- . . . •
Door het gebruik van gemiddelde E. D. ontstaat dus een fout, die bij benadering
«■' f (x) = >/. (w « — p) f’ (x) is.
+
afrondingen,
Het produkt {m — p) =
/ (x + + « s f M -f- Qj
Tafel VIII.
= M cotg ’/. x,
«
2S
Rechtstreekscheinterpolatie.
J I •
m
“1 +“-“=•
771
Bij rechtstreeksche interpolatie tusschen twee tafelwaarden is de fout, afgezien van afrondingen, — (fn — p) f" (x),
2 m~
daar dan n = i is.
4 nv
de berekening
±^(,n
2 m~
/«I + (l
Daar aj en a« beiden = ~y-p~ zÖn’ '<an niet te boven gaan.
Voegt men hierbij de fout, die door afronding van het E. D. ontstaan kan, dan ziet men, dat de grootst mogelijke fout ---|- ’/8 as f' (ar) niet kan over
schrijden.
. p , , 0,5
a, -+- -£— an de waarde—~~
11 m ‘ io5
bereikt zijn maximum voor — = V#*
m m \
De maximum fout door interpolatie bedraagt dus a* f (x).
o
Bepaalt men bij rechtstreeksche interpolatie de evenredige deelen uit het verschil der twee opvolgende Zto/^Zwaarden, dan kunnen die 4z/£Zwaarden ieder een fout hebben, die "*~5" is.
De waarde, die men berekent, is dus
/<’>+«■ + £
=/w +4 |/<x +
a>-Daar aj en a2 beiden = ”
In deze tafel is y — f (x) = log sin
„. ... , . ,, , x M sin x 2 M sin x cos Hieruit volgt / (x) = --- =---. ■
& I — cos x 2 sin2 ’/s /• (ar) =--- cosec2 >/. X.M
In deze uitdrukkingen is M de modulus van het Briggiaansche logarithmen- stelsel — 0,43429448.
Voor ar = ou tot ar = iu wordt rechtstreeksche interpolatie toegepast. Het interval is daar 2360 = ~ ^5 1 $ radialen.
206265
vers x = log (1 —cos x).
'/, x
De gemiddelde E. D. zijn becijferd, door het verschil van f(x -|- n a) en f (ar) in zóóveel decimalen te nemen, dat dit verschil als een exacte waarde mag worden beschouwd.
Echter gaat men i°. tot het zoeken van de waarde van /(ar -j- ~~ x) van de
tó/Wwaarde van / (ar) uit, welke ■ met de exacte waarde kan verschillen; 2°. zijn de E. D. tot geheelen afgerond en kunnen zij daardoor f°ut
zÜn-Hieruit volgt, dat een geïnterpoleerde waarde op de grenzen van het interval dat gebezigd is voor de berekening van de gemiddelde E. D., een fout zou kunnen hebben van -^r- + (>n n — p) f" (ar).
De fout der interpolatie is dus ten hoogste — Vs X
Voor x — 5m is de absolute waarde hiervan
X Vs M cosec2 Vs
, voorx = iu2Om reeds
Tafel IX. De tafel geeft
126 Voor x = o°3o' is dit
Van i° tot 6°3o' wordt tafelinterval is hier echter o', 5 =
0,121 ios
van gemiddelde E. D.
. . NI a X — cosec' /°
2
de fout door de rechtstreeksche interpolatie bedraagt dus als maximum i a2 f’ (x) = | X 6- X M cosec2 x.
0,060 105 eveneens
_ 3P_
206265 de fout door interpolatie ten hoogste J- X
Voor x = 10 is dit 106
X M cosec- x bedraagt.
o , , , t 0,126. , 144 slechts — q|. ■ bedraagt.
I. Uit y — log sin x volgt f' (x) = M cotg x en f’ (x) — — M cosec2 x.
Van o°3o' tot i° wordt rechtstreeksche interpolatie toegepast. Het tafelinterval is o',i — —ƒ radialen.
206265
De absolute waarde van , p a2 , ontstaat, is dus — f "np" n
-'hx-^-x
4
68
2062652
. . , „ 1,060
en bedraagt de grootste totale fout rechtstreeksche interpolatie toegepast. Het
radialen, zoodat de absolute waarde van
3°s
206265’
Voor x = 10 is dit , terwijl die fout b.v. bij x = I y = log sin x.
II y = log tg *■
Omdat log cos x = log sin (900 — x), log sec x — — log sin (900 — x), log cosec x = — log sin x en log cotg x — — log tg x, ligt het onderzoek van de functies y — log cos x, y = log sec x, y — log cosec x en y = log cotg x in dat van de beide bovengenoemde opgesloten.
2X I5\2
/
, bij x = iom reeds 1,121
105
0,2 „ „ , . 0,12
—voorx = iu2O m reeds <.-- =-■
106 > 10“
De grootste totale fout der gevonden geïnterpoleerde waarden is dus vanaf x = iu steeds kleiner dan —4—1,2
IOB
Is de hoek niet in volle seconden afgerond (wat slechts zal voorkomen als zeer groote nauwkeurigheid wordt verlangd) dan verdient het aanbeveling rechtstreeks tusschen twee tafelwaarden te interpoleeren.
is, 2S en 3S zijn gegeven.
ten hoogste 32’ = 8 X
4S-n — 8 e4S-n is hoogste4S-ns i, mits me4S-n 206265
0,483 105
Vanaf x = iom is de grootst mogelijke totale fout dus —
De waarden der functie voor x = iu tot x = I2U zijn gegeven met intervallen van 4S, waarbij de gemiddelde E. D. voor is, 23 en 3’ zijn gegeven. Deze laatste zijn becijferd als gemiddelde waarden over
Het interval is dus ^5 *ƒ radialen, 206265
uitgaat van de naaste tafelwaarde.
De maximum waarde van de fout die door het gebruik
— p} X Vs M cosec2 Vs
/4X I5V
\2o6265/
Voor x — iu is de absolute waarde hiervan =
tiende deelen van minuten en van
Als maximum
2 1° tot 900 toe, dan neemt
II. Uit y — log tg x volgt f' (x) en f’ (x~) = — 4 M cosec* 2 x cos 2 x.
nauwkeurig gevonden kan worden, door de opgaven met o',i interval (uitgaande van
bij 6°3o' ; bij 9°3o'
als men interpoleert voor seconden.
Laatstgenoemde fouten worden veroorzaakt, doordat de E. D. voor o', r in tiende deelen, die voor seconden in honderste deelen nauwkeurig zijn gegeven. J)
Van 6°3o' tot 9°3o' zijn de gegeven E. D. gemiddelde waarden over een interval van 7',5. De absolute waarde van de hierdoor ontstane interpolatiefout is n — tosec- x, waarbij, uitgaande van de naaste tafelwaarde (waartoe
Hierbij kan zich nog voegen een fout van waarvan men uitgaat en door de afronding •
de naaste tafelwaarde) een fout van
—nr- door de fout in de tafelwaarde ios
van het gevonden E. D., benevens als men interpoleert voor
hier de tafelinrichting dwingt), ~ n = 15 en a 2Qg2^ƒ
is de waarde hiervan en wel voor x — 6°3o'. De grootst mogelijke totale fout I 26
eener geïnterpoleerde waarde in dit gedeelte der tafels is dus —
Van 9°3o' tot 210 zijn de E. D. gemiddelde waarden over 15'. Gaat men van de naaste tafelwaarde uit, dan is in de formule ƒ (»; n —p) X M cosec° x, — = 1/s,
terwijl n = 30 en a — 2Og2g^- Hieruit volgt, dat deze fout voor x — 9°3o' Q 2 c
reeds < -2--. - js. Gaat men niet uit van de naaste tafelwaarde, dan is deze fout 105
altijd kleiner dan
-Hierbij kan zich weder een fout van voegen.
Na 21° zijn de E. D. gemiddelde waarden over 30'. In de meergenoemde formule is n = 60 en voor x = 210 vindt men voor de fout door gebruik van gemiddelde E. D. reeds minder dan , mits men van de naaste tafelwaarde
uit-021
gaat (anders wordt dit -). Neemt de hoek van bovengenoemde fout steeds af.
*) Door empirisch vergelijken, is gebleken dat slechts één geïnterpoleerde log. in totaal 1,25
meer dan —- fout is. Men kan in een volgenden druk er voor zorg dragen, dat de geïnterpoleerde waarde altijd tot op 1,25
voort te zetten tot ï°3o'.
als men
2 M sin 2. x
De uitkomsten van het onderzoek zijn praktisch dezelfde als bij log sin Men vindt nl. voor de grootste fout die in het totaal op zou kunnen treden bij interpolatie: bij o°3o' ; bij i° ; bij 6°3o' ; bij 9°3Oz i
“ n — 15 en a = m <<
o en
kleiner dan —terwijl voor
Hieruit volgt: f' (ar)
a =
128
Terugzoeken van het argument, dat bij een gegeven waarde van de functie behoort.
—a zijn. Laat de juiste waarde van P = x-|- — a zijn.
na 450 komen de fouten in bij 21° 1 • Bij 450 is de genoemde fout o
omgekeerde volgorde terug.
a
—A,
Tafel X. De tafel geeft y — log x., M ,, , , M Hieruit volgt f (x) — — en f (x) = —
Daar steeds rechtstreeksche interpolatie wordt gebezigd, is de daardoor ontstane interpolatiefout ten hoogste ’/s a° f’ W, waarin a = 1. Voor x = 104 is de fout kleiner dan terwijl voor x = 1000 het bedrag te verwaarloozen is.
Voegt men hierbij een bedrag van ■ voor mogelijke fout in de tafelwaarde en van voor afronding van het E. D., dan volgt uit het feit, dat men bij interpolatie altijd gebruik maakt van de mantissen der logarithmen van 1000 tot 10000, dat de door interpolatie gevonden logarithme ten hoogste fout kan zijn, onverschillig of men al dan niet van de naaste tafelwaarde uitgaat.
Stel dat f (x) volgens de tafel = Yo, terwijl de exacte waarde Yo + fo is, en dat f (x a) volgens ae tafel = Y1(
Tafel XI. De tafel geeft y — sin x. Hieruit volgt: f' (x) = cos x en f' (x) = — sin x. Daar steeds rechtstreeksche interpolatie wordt gebezigd, is de daardoor ontstane interpolatiefout ten hoogste ’/8 a* f' (x), waarin a = '2Qg2^^ 60
radialen. Zelfs voor x900 is het bedrag hiervan volkomen te verwaarloozen.
Daar cos x — sin (900— x), is een afzonderlijk onderzoek voor ƒ — cos x overbodig.
Onverschillig of men al dan niet van de naaste tafelwaarde uitgaat, is een door interpolatie verkregen waarde altijd tot op ten minste (fout in tafelwaarde, fout afronding E. D.) nauwkeurig.
Bij gebruik van gemiddelde E. D.
terwijl de exacte waarde Yi 4* f is.
Gegeven: y, en de afgeronde tafelwaarde van de E. D. voor ~ 111 terwijl y — Yo +
A-Gezocht: P uit / (P) = y.
ƒ Volgens de tafel zou P — x -f- ■ —
Conclusie: Door interpolatie vindt men de logarithme van de goniometrische 1,25 verhouding van een hoek met een geheel aantal boogseconden steeds tot op nauwkeurig, mits men van de naaste tafelwaarde uitgaat.
a" f’ (x), terwijl/(x) = Y o +/0,
zoodat y = Y o + /o +
(O-f' W,
f' (*) (2).
<j~P
+
I nemen.
129 9