Veralgemening

3.6

UITBREIDING:

Voor elke k ∈ N kunnen we de (2k_{− 1, 2}k_{− k − 1)-Hammingcode defini¨eren. Deze}

bestaat uit codewoorden van lengte 2k_{− 1 waarvan 2}k_{− k − 1 informatiebits. In}

alle gevallen kan deze code één fout verbeteren. Zij is zeer economisch voor grote waarden van k. Voor k = 7 is het bijvoorbeeld voldoende om 7 bits toe te voegen aan een boodschap van 120 bits opdat één fout verbeterd kan worden. Het is precies die Hammingcode (met k = 7) die gebruikt werd door France-Telecom voor de verzending van Minitel, de voorloper van het moderne Internet.

Oefening 40. Bereken de informatieverhouding van de Hammingcode voor k = 7 zodat je kan zien dat deze code zeer economisch is.

Oefening 41. Hoe lezen we uit de notatie voor de Hammingcode met k = 7 af dat de boodschap uit 120 bits bestaat?

3.7 Projecten

1. Veronderstel dat we volgende variant op onze versie van de Hammingcode gebruiken:    c5 = a2+ a3 + a4 c6 = a1+ a3 + a4 c7 = a1+ a2 + a4

i. Welke van de volgende Venn-diagrammen hoort bij deze Hammingcode?

a) b)

c) d)

ii. Encodeer de volgende boodschappen aan de hand van bovenstaande Ham- mingcode:

iii. Decodeer de volgende woorden aan de hand van bovenstaande Hamming- code: (merk op dat er hoogstens 1 fout is opgetreden.)

1011101 0011111 1111101.

2. Veronderstel dat we een code gebruiken waarbij aan 7 informatiebits op de volgende manier 4 correctiebits worden toegevoegd:

       c8 = a1 + a2+ a4+ a5+ a7 c9 = a1 + a3+ a4+ a6+ a7 c10 = a2+ a3+ a4 c11 = a5+ a6+ a7

i. Welke van de volgende Venn-diagrammen hoort bij deze Hammingcode?

a) b)

c) d)

ii. Encodeer de volgende boodschappen aan de hand van bovenstaande Ham- mingcode:

0101010 1101100 0111010.

iii. Decodeer de volgende woorden aan de hand van bovenstaande Hamming- code: (merk op dat er hoogstens 1 fout is opgetreden.)

01101010001 11111110111 10110001000.

3. a) We gebruiken de (15,11)-Hammingcode, dus de Hammingcode voor k = 4, om een boodschap waarin ten hoogste ´e´en fout is gebeurd, te verbeteren. Hoe ziet de controlematrix H er dan uit?

b) Stel dat de ontvangen boodschap gelijk is aan

w = (1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1). Trad er een fout op bij de verzending? Zo ja, welke?

c) Stel dat we gebruik maken van de (2k _{− 1, 2}k _{− k − 1)-Hammingcode.}

Waaraan moet k minimaal gelijk zijn als we niet meer dan 10% van het aantal originele bits willen toevoegen.

Hoofdstuk 4

Priemvelden

4.1 Inleiding

In het vorige hoofdstuk hebben we leren rekenen in Z2. Herinner je dat dit mod-

ulorekenen werd genoemd. In hoofdstuk 2 hebben we gerekend modulo 2. Het is echter ook mogelijk om modulo 3, 4, 5, . . . te rekenen. Het modulorekenen geeft ons enkele mooie eigenschappen en interessante toepassingen. Daarom besteden we er ook hier een hoofdstuk aan.

In de lagere school reeds wordt er aan ieder van ons geleerd hoe wij de klok moeten lezen. We hebben geleerd dat er 24 uur in 1 dag zit, maar stel nu dat iemand aan jou vraagt hoe laat het is om 5 uur ’s avonds, dan zeg je niet dat het 17 uur is, maar dat het 5 uur is. De uren van middernacht tot ’s middags noemen we gewoon 1 tot 12 uur, maar na 12 uur ’s middags beginnen we gewoon terug met 1 uur, 2 uur,. . . . 13 uur wordt 1 uur genoemd, 16 uur wordt 4 uur genoemd, enzovoort. We rekenen dus eigenlijk modulo 12 : als het resultaat groter dan of gelijk aan 12 is, dan vervangen we het door zijn rest bij deling door 12.

Als we dag per dag kijken, rekenen we eigenlijk modulo 24, want als we morgen naar 9 uur kijken, dan is dit 24 uur later dan vandaag 9 uur en toch zeggen we niet 33 uur, maar gewoon 9 uur.

Oefening 42. Vul de optellings- en vermenigvuldigingstabel over Z3 = {0, 1, 2} in, waar-

bij je modulo 3 rekent:

+ 0 1 2 0 . . . 1 . . . 2 . . . · 0 1 2 0 . . . 1 . . . 2 . . .

Algemeen

Als we rekenen modulo n, dan rekenen we in Zn. We rekenen in deze verzame-

ling enkel met de getallen 0, 1, 2, . . . , n − 1. Er geldt dus : Zn = {0, 1, . . . , n − 1}.

Optellen en vermenigvuldigen in de verzameling Zn doen we op de gekende manier,

maar wanneer het resultaat van de bewerking niet meer tot de verzameling behoort, vervangen we het door zijn rest bij deling door n. Getallen die gelijk zijn modulo n en dus slechts een veelvoud van n van elkaar verschillen, noemen we congruent modulo n.

Oefening 43. Los op :

18 + 7 (mod 20) = 2 − 6 (mod 8) = 7 · 13 (mod 14) =

4.2 _Z

We oefenen het modulorekenen eerst even in en in dit paragraafje gaan we rekenen in Z7. We rekenen dus modulo 7.

Oefening 44. Los op :

3 + 6 (mod 7) = 3 − 4 (mod 7) = 6 · 4 (mod 7) =

Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} en is dus een verzameling van 7 getallen. Voor deze 7 getallen

gaan we nu het tegengestelde in Z7bepalen. Herinner je hierbij wat het tegengestelde

betekent:

Het tegengestelde van een getal x is een getal y zodat x + y = 0.

Oefening 45. Vul volgende tabel aan:

Getal Berekening Tegengestelde

0 0 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 0 in Z}7 is . . . .

1 1 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 1 in Z}7 is . . . .

2 2 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 2 in Z}7 is . . . .

3 3 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 3 in Z}7 is . . . .

4 4 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 4 in Z}7 is . . . .

5 5 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 5 in Z}7 is . . . .

6 6 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 6 in Z}7 is . . . .

Vervolgens gaan we voor alle getallen die niet nul zijn het omgekeerde in Z7 bepalen.

4.3 Z6 47

Het omgekeerde van een getal x is een getal y zodat x · y = 1.

Het omgekeerde bepalen is iets ingewikkelder en daarom gaan we eerst een voorbeeld uitwerken:

Het omgekeerde van 5 in Z7:

Vermenigvuldig elk getal uit Z7 met 5 en kijk daarbij welk getal ervoor zorgt dat

de vermenigvuldiging met 5 gelijk is aan 1 in Z7:

• 5 · 0 = 0 6= 1 in Z7.

• 5 · 1 = 5 6= 1 in Z7.

• 5 · 2 = 3 6= 1 in Z7.

• 5 · 3 = 1 in Z7 en dus geldt er dat 3 het omgekeerde is van 5 in Z7.

Oefening 46. Vul volgende tabel aan:

Getal Berekening Omgekeerde

1 1 · . . . = 1 _{Het omgekeerde van 1 in Z}7 is . . . .

2 2 · . . . = 1 _{Het omgekeerde van 2 in Z}7 is . . . .

3 3 · . . . = 1 _{Het omgekeerde van 3 in Z}7 is . . . .

4 4 · . . . = 1 _{Het omgekeerde van 4 in Z}7 is . . . .

5 5 · 3 = 1 _{Het omgekeerde van 5 in Z}7 is 3.

6 6 · . . . = 1 _{Het omgekeerde van 6 in Z}7 is . . . .

4.3 _Z

In dit paragraafje gaan we rekenen in Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. We rekenen dus modulo

Oefening 47. Los op :

3 + 3 (mod 6) = 1 − 3 (mod 6) = 4 · 3 (mod 6) =

Z6 is een verzameling van 6 getallen.

Ook voor deze 6 getallen gaan we nu het tegengestelde en voor alle getallen die niet nul zijn, het omgekeerde in Z6 bepalen.

Oefening 48. Vul volgende tabel aan:

Getal Berekening Tegengestelde

0 0 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 0 in Z}6 is . . . .

1 1 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 1 in Z}6 is . . . .

2 2 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 2 in Z}6 is . . . .

3 3 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 3 in Z}6 is . . . .

4 4 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 4 in Z}6 is . . . .

5 5 + . . . = 0 _{Het tegengestelde van 5 in Z}6 is . . . .

We kunnen voor de getallen in Z6 een optellingstabel opstellen en deze ziet eruit als

volgt:

Tabel 4.1: De tabel van de optelling van de getallen uit Z6.

+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4

Uit de tabel voor de optelling kan je het tegengestelde van elk getal aflezen: je moet in de rij van dat getal zoeken naar de 0. Het getal boven de kolom waarin deze 0 optreedt, is het tegengestelde. Voor het getal 3 zien we in de 4de _{kolom een 0 staan}

en boven deze kolom staat de 3. Dit wil zeggen dat het tegengestelde van 3 gelijk is aan 3 in Z6.

We kunnen voor de getallen in Z6 ook een vermenigvuldigingstabel opstellen en

deze ziet eruit als volgt:

Tabel 4.2: De tabel van de vermenigvuldiging van de getallen uit Z6.

· 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1

4.4 Priemvelden 49

De vermenigvuldigingstabel kan je gebruiken om omgekeerden te zoeken. Dit doe je door in de tabel op zoek te gaan naar een 1 in de rij van het getal waarvoor je het omgekeerde zoekt. Het getal boven de kolom waarin deze 1 optreedt, is het omgekeerde. We zien echter dat er in een aantal rijen geen 1 voorkomt. Als we bijvoorbeeld kijken naar de rij van het getal 4 zien we het volgende :

• 4 · 0 = 0 6= 1 in Z6. • 4 · 1 = 4 6= 1 in Z6. • 4 · 2 = 2 6= 1 in Z6. • 4 · 3 = 0 6= 1 in Z6. • 4 · 4 = 4 6= 1 in Z6. • 4 · 5 = 2 6= 1 in Z6.

We kunnen 4 dus met geen enkel getal uit Z6 vermenigvuldigen zodat we 1 krijgen.

We besluiten dat 4 geen omgekeerde heeft in Z6.

Oefening 49. Vul volgende tabel aan:

Getal Berekening Omgekeerde

1 . . . _{Het omgekeerde van 1 in Z}6. . . .

2 . . . _{Het omgekeerde van 2 in Z}6. . . .

3 . . . _{Het omgekeerde van 3 in Z}6. . . .

4 / _{Het omgekeerde van 4 in Z}6 bestaat niet.

5 . . . _{Het omgekeerde van 5 in Z}6. . . .

4.4 Priemvelden

We hebben gezien dat elk getal behalve 0 een omgekeerde heeft in Z7. Dat zorgt er

voor dat het rekenen modulo 7 precies dezelfde eigenschappen heeft als het rekenen met re¨ele getallen. We sommen al die eigenschappen even op:

1. Als je twee getallen uit Z7 optelt of vermenigvuldigt, krijg je als resultaat een

getal uit Z7. Met andere woorden: ∀x, y ∈ Z7 : x + y ∈ Z7 en x · y ∈ Z7. We

zeggen dat de optelling en de vermenigvuldiging in Z7 intern zijn.

2. De optelling en de vermenigvuldiging in Z7 zijn associatief :

∀x, y, z ∈ Z7 : (x+y)+z = x+(y +z) = x+y +z en (x·y)·z = x·(y ·z) = x·y ·z

3. De optelling en de vermenigvuldiging in Z7 zijn commutatief :

∀x, y ∈ Z7 : x + y = y + x en x · y = y · x

4. De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in Z7:

∀x, y, z ∈ Z7 : x · (y + z) = x · y + x · z

5. 0 is het neutraal element voor de optelling en 1 is het eenheidselement voor de vermenigvuldiging:

6. _{a) Elk getal in Z}7 heeft een tegengestelde voor de optelling:

∀x ∈ Z7, ∃y ∈ Z7 zodat x + y = 0.

b) Elk getal in Z7 behalve 0 heeft een omgekeerde voor de vermenigvul-

diging:

∀x ∈ Z7, ∃y ∈ Z7 zodat x · y = 1.

Een rekensysteem dat aan al deze eigenschappen voldoet, wordt in de wiskunde een veld genoemd. Dus Z7, +, · is een veld. Omdat Z7 een eindig aantal elementen heeft,

gaat het over een eindig veld. Eindige velden worden ook wel Galoisvelden1genoemd. R, +, · en Q, +, · en C, +, · zijn oneindige velden. Om te benadrukken dat Z7 met de

bewerkingen optelling en vermenigvuldiging een veld vormt, zullen we Z7 voortaan

noteren als F7. Voor het rekenen modulo 6 gelden al de bovenstaande eigenschappen

behalve 6b): we zagen dat niet elk getal verschillend van 0 een omgekeerde heeft. Z6, +, · is dus geen veld.

Oefening 50. Z is geen veld. Welk van de voorgaande eigenschappen gelden namelijk niet in Z?

Geef hierbij een voorbeeld.

Oefening 51. We werken in Z4.

Welke getallen zitten er allemaal in Z4 en geef voor elk van deze getallen het tegengestelde

voor de optelling en voor de getallen verschillend van 0 het omgekeerde voor de vermenigvuldiging.

In het algemeen is het zo dat Zn een veld is als n een priemgetal is en geen veld

is als n geen priemgetal is. De velden Fp, +, · (waarbij p een priemgetal voorstelt)

noemen we priemvelden .

Samenvatting

- Zn = {0, 1, . . . , n − 1}.

- Rekenen in Zn noemen we rekenen modulo n.

- Zn is een veld als n een priemgetal is.

- Fp, +, · (waarbij p een priemgetal voorstelt) noemen we een priemveld.

1_{genaamd naar de befaamde wiskundige Evariste Galois (1811-1832). Op twintigjarige leeftijd overleed}

hij aan de gevolgen van een duel. Galois had toen al een wiskundige theorie ontwikkeld, die nu zeer algemeen wordt toegepast en die de geschiedenis is ingegaan als de Galoistheorie. Het leven van Galois is een interessante, maar tragische episode uit de geschiedenis van de wiskunde.

4.5 Toepassingen op modulorekenen 51

4.5 Toepassingen op modulorekenen

4.5.1 Bankrekeningnummers

Sommigen onder jullie zullen ondertussen misschien een bankrekening hebben. Ieder bankrekeningnummer bestaat uit 12 cijfers (dus ook dat van jou). Als je je bankrekeningnummer moet doorgeven aan iets of iemand, dan kan het echter gebeuren dat je een fout nummer doorgeeft of dat de ontvanger een fout nummer noteert. Komt dit geld dan op de bankrekening van iemand anders? Dit kan gebeuren, maar in zeer veel gevallen is dit niet zo.

Als iemand een overschrijving wil doen en een bankrekeningnummer ingeeft waarin een fout geslopen is, zal de computer of bankautomaat bijna altijd een foutmelding geven. Heeft onze computer een lijst met alle bankrekeningnummers en kan hij zo beslissen of een bankrekeningnummer bestaat? Neen, ieder bankrekeningnummer is een code die zorgvuldig is opgebouwd en daardoor vaak fouten kan ontdekken. Onze Belgische rekeningnummers zijn zo gemaakt dat het getal gevormd door de eerste 10 cijfers min het getal gevormd door de laatste twee cijfers steeds deelbaar is door 97. Dit wil dus zeggen dat we de laatste twee cijfers kunnen krijgen door het getal gevormd door de eerste 10 cijfers modulo 97 te bekijken.

Oefening 52. Vul volgende bankrekeningnummers aan :

733-8902787- . . 310-160 . 597-12

001-2155815- . . 063-01 . 3456-10

4.5.2 De ISBN-code van 10 cijfers

Vrijwel elk boek heeft een unieke code, die we het Internationaal Standaard Boek Nummer noemen. Vroeger (voor 2008) bestond dit nummer uit 10 cijfers. Het was opgedeeld in vier groepen. De eerste drie groepen van cijfers staan respectievelijk voor de taal- of landaanduiding, de uitgever- en productaanduiding en de titelaanduiding. Het laatste cijfer stelt het controlecijfer voor. Dit cijfer wordt als volgt bepaald :

Stel dat de ai, met i = 1, . . . , 10, verwijzen naar de 10 cijfers van het ISBN-nummer.

Het controlecijfer c10 wordt dan gekozen als de rest van de som

i=1iai bij deling

door 11. Als de rest bij deling door 11 gelijk is aan 10, wordt het controlecijfer een X.

Een voorbeeld van zo’n ISBN-nummer is : 0-201-11954-4. Het laatste cijfer (4) werd als volgt bepaald :

1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 1 + 6 · 1 + 7 · 9 + 8 · 5 + 9 · 4 = 158 = 4 (modulo 11) zodanig dat c10 = 4.

Oefening 53. Vul volgende ISBN(10)-nummers aan :

90-14-02143- . 076-86-5479- .

We kunnen ook andere cijfers van het ISBN-nummer terugvinden. Stel dat ´e´en van de cijfers van het nummer onleesbaar geworden is, bijvoorbeeld door een vlek. Kijk terug naar het voorbeeld en stel dat het zesde cijfer onleesbaar is: 0-201-1 . 954-4. Als we vervolgens de voorgaande som bepalen:

i=1iai = 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 1 + 6 · a6+ 7 · 9 + 8 · 5 + 9 · 4 = 152 + 6a6

Omdat het controlecijfer gelijk is aan 4 weten we het volgende: 152 + 6a6 = 4 (mod 11)

We weten dat 152 = 9 (mod 11), dus geldt er dat 6a6 = 4 − 9 = −5 (mod 11) en

deze laatste gelijkheid geldt als 6a6 = 6 ofwel a6 = 1. Het onleesbare cijfer is dus

gelijk aan 1 en op die manier kunnen we ´e´en fout verbeteren.

Oefening 54. Vul volgende ISBN(10)-nummers aan :

90- . 156016-8 90-209-65 . 1-3

4.5.3 INFO: De ISBN-code van 13 cijfers

Sinds 2008 zijn de tiencijferige ISBN-nummers vervangen door ISBN-nummers van 13 cijfers. Zo’n nieuw ISBN heeft nu dezelfde structuur als de EAN-productcodes. De nummers bestaan uit vijf opeenvolgende blokken :

• Het prefix onderscheidt een ISBN van andere EAN-productcodes. EAN Inter- national heeft aan ISBN’s twee prefixen toegewezen, elk van drie cijfers: 978 en 979. In 2008 is alleen het prefix 978 in gebruik en in 2009 is men al begonnen met de prefix 979.

• De registratiegroep is een cijferreeks van uiteenlopende lengte en geeft door- gaans het land van publicatie aan, maar kan ook het taalgebied vertegen- woordigen. Belgi¨e heeft het nummer 90 als groepsnummer en heeft dus een registratiegroep van 2 cijfers.

• De uitgeversaanduiding is een cijferreeks, opnieuw van uiteenlopende lengte, die de uitgever definieert. Hoe groter het uitgeversfonds is, des te korter is de uitgeversaanduiding. Zo blijft er opnieuw optimale ruimte over voor de titelaanduiding.

• De titelaanduiding identificeert de titel, zoals dat woord in het boekenvak wordt gebruikt: een bepaald werk in een bepaalde uitvoering, en uitgegeven door een bepaalde uitgever. In deze groep kunnen in het Nederlandstalige gebied maximaal vijf cijfers worden toegekend.

In document leerlingentekst (pagina 43-53)