In section 7.2 the results of the path following method are presented. Numerical errors are present, resulting in unstable solutions. Especially around f = 3.0831 Hz many unstable solutions have been found with Floquet multipliers lying outside the unit circle.
Table (2.1: Floquet multipliers for two unstable solutions at f = 3.0381 Hz
x 103 v = 20 mmh, f = 3.0381 Hz u n P
I I
Figure G.l: Steady state time plot for f = 3.30831Hz
Table G.l lists the Floquet multipliers for two unstable solutions, both found at f =
3.0381 Hz. A Floquet multiplier first leaves the unit circle through -1 and at the following
unstable solution the Floquet multiplier leaves the unitcircle through 1.
The time history plots of the three state variables are depicted in figure G.1. Nothing indicates an unstable solution. This is confirmed by figure G.2, which shows the phase projections of the various states.
Figure G.2: The phase projections at f = 3.0381 Hz
[I] Ni, Y.Q., KO, J.M., Wong, C.W. Identification of non-linear hysteretic isolators from periodic vibration tests. Journal of sound and vibration, 217:753-756, 1998.
[2] Ni, Y.Q., KO J.M., Wong, C.W., Zhan, S. Modelling and identification of a wire-cable vibration isolator via a cyclic loading test. Part 1: experiments and model development.
Journal of Systems and Control Engineering, 213:163-171, 1999.
[3] Ni, Y.Q., KO, J.M., Wong, C.W., Zhan, S. Modelling and identification of a wire-cable vibration isolator via a cyclic loading test. Part 2: identification and response. Journal
of Systems and Control Engineering, 213:173-182, 1999.
141 Aanhold, 3.E. van. Vibrational response of a multi-purpose floating floor (mpE). Techni- cal report, TNO Building and Construction Research, 1999. TNO-report 98-CMC-R1822.
[5] Beckwith, T.G., Marangoni, R.D., Lienhard, J.H. Mechanical Measurements. Addison- Wesley Publishing Company, Inc, 5 edition, 1995. ISBN: 0-201-56947-7.
[6] Bellizi, S., Bouc, R. Identification of the hysteresis parameters of a nonlinear vehicle suspension under random excitation. In Nonlinear Stochastic Dynamic Engineering Sys- tems, pages 467-476. Springer-Verlag, Germany, 1988.
[7] Bhatti M A . , Pister K.S. A dual criteria approach for optimal design of earthquake- resistant structural systems. Earthquake engineering and structural design, 9:557-572, 1981.
[8] Bouc, R. Forced vibration of a mechanical system with hysteresis. In Proc 4th. conference on Non-Linear Oscillation, page 315, Prague, Czechoslowakia, 1967.
[9] Chassiakos, A.G., Masri, S F . , Smyth, A.W., Caughey, T.K. On-line identification of hysteretic systems. Journal of applied mechanics, 65:194-203, 1998.
[lo]
Demetriades G.F., Constantinou M.C., Reinhorn, A.M. Study of wire rope systems for seismic protection of equipment in buildings. Engineering structures, 15:321-334, 1993.[ll] Fujita, T., Sasaki, Y., Fujimoto, S. Tsuruya, C. Seismic isolation of industrial facilities using lead-rubber bearings. JSME International journal: Series 111, 3:427-434, 1990.
[12] International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland. IS0 6954 - Me- chanical vibration and shock - Guidelines for the overall evaluation of vibration in mer- chant ships, 1984.
98 BIBLIOGRAPHY
[13] KO, J.M., Ni, Y.Q., Tian, Q.L. Hysteretic behavior and empirical modelling of a wire- cable vibration isolator. International Journal of Analytical and experimental modal
analysis, 7:111-127, 1992.
[14] Leenen, R. The modelling and identification of a hysteretic system. Technical report, Eindhoven University of Technology, department of Mechanical Engineering, 2002. DCT- report 2002.72.
[15] Leine R.I., Wouw N. van de. Numerical methods for computing periodic solutions.
Technical report, Department of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Tech- nology, 2001. Lecture notes, Nonlinear dynamics course 4J520.
[16] Lin, J.-S., Zhang, Y. Nonlinear structural identification using extended Kalman filter.
Computers and Structures, 52:757-764, 1994.
[17] Nayfeh, A.H., Balachandran, B. Applied nonlinear dynamics, Analytical, Computational and experimental methods. Wiley Series in nonlinear science. Wiley, 1995. ISBN: 0-471- 59348-6.
[I81 Nielsen H.B. damping parameter in marquardt's equation. Technical report, IMM Center for mathematical modelling, Technical University Denmark, 1999. IMM report 1999-05.
[I91 Ozdemir, H. Nonlinear transient dynamic analysis of yielding structures. PhD thesis, University of California, Berkely, 1976.
[20] Parker, T.S., Chua, L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. Springer- Verlag, United States, 1989. ISBN: 0-387-96689-7.
[21] Sauter, D., Hagedorn, P. On the hysteresis of wire cables in stockbridge dampers. In- ternational Journal of Non-linear mechanics, 37:1453-1459, 2002.
[22] Socitec. datasheet for socitec polyval mp 14series. www.socitec.com.
[23] Sues, R.H., Mau, S.T., Wen, Y.K. . System identification of degrading hysteretic restoring forces. Journal of engineering mechanics, 1145333-846, 1988.
[24] Tinker, M. L., Cutchins, M.A. Damping phenomena in a wire rope vibration isolation system. Journal of Sound and Vibration, 157:7-18, 1992.
[25] Visintin, A. Dzfjerential models of hysteresis, volume 1 of Applied mathematical science.
Springer-Verlag, Germany, 1994. ISBN: 3-540-54793-2.
[26] Wen, Y. K. Method for random vibration of hysteretic systems. Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, 102:249-263, 1976.
[27] Wiek, L. Staalkabels, Geometrie en Eevensduur. PhD thesis, Technische Universiteit Delft, 1986. In Dutch.
[28] Wong,C.W., Ni, Y .Q., KO, J.M. Steady-State oscilliation of hystereric differential model.
I: Response analysis. Journal of engineering mechanics, 120:2271-2298, 1994.
[29] Wong,C.W., Ni, Y .Q., KO, J.M. Steady-State oscilliation of hystereric differential model.
11: Performance analysis. Journal of engineering mechanics, 120:2299-2325, 1994.
[30] Yar, M., Hammond, J.K. Parameter estimation for hysteretic systems. Journal of sound and vibration, 117: 161-172, 1987.
100 BIBLIOGRAPHY
Symbol Description [Unit]
Symbol Description [Unit]
In dit rapport wordt gekeken naar de modellering van het quasi-statische en dynamische gedrag van een staaldraadveer in de trek- en drukrichting. Een staaldraadveer is een niet- lineaire trillingsdemper, wiens voornaamste toepassing in de scheepvaart ligt. Wanneer de veer belast wordt, wordt er ten gevolge van het langs elkaar heen bewegen van de draden energie opgenomen. Dit verschijnsel wordt hysterese genoemd. Hieraan ontleent de staaldraadveer zijn dempende werking.
Het Bouc-Wen model is een zeer gangbaar model, dat frequent wordt toegepast om sys- temen met hysterese te beschrijven. Dit model bezit vier parameters, a,
P,
y en n. Door een juiste keuze voor de parameters0
en y is het model in staat om softening, quasi-lineair of hardening gedrag te beschrijven. Echter, voor softening gedrag kunnen verschillende com- binaties van waarden voor deze twee parameters tot bijna identieke hysterese curves leiden.Door het aanleggen van een constraint kan dit redundant karakter worden verminderd. Een tweede oplossing kan zijn om een aangepaste versie van het Bouc-Wen model t e gebruiken waarin de parameter y is weggelaten.
Door middel van het aanbrengen van quasi-statische cyclische belastingen is echter aange- toond dat het resulterende hysterese karakter niet door het Bouc-Wen model beschreven kan worden. De resulterende hysterese curve heeft namelijk een asymmetrisch karakter met toene- mende stijfheid onder trek- en een afnemende stijfheid onder drukbelasting. Verder blijkt dat voor kleine amplitudes softening gedrag wordt gevonden dat via quasi-lineair gedrag overgaat in hardening gedrag voor toenemende uitwijkingen. Dit wordt soft-hardening genoemd. Een laatste karakteristieke eigenschap van de hysterese curve is dat voor toenemende amplitudes de afgelegde weg hetzelfde is. Dit wordt hardening overlap genoemd.
Om de waargenomen fenomenen te kunnen beschrijven is een aangepaste versie van het Bouc-Wen model aangenomen. Dit heeft echter tot gevolg dat de set parameters die gei'den- tificeerd moet worden uit negen elementen bestaat en dus vrij groot is. Samen met het redundant karakter van het Bouc-Wen model zelf heeft dit tot veel problemen geleid tijdens de identificatie van de parameters. Uiteindelijk zorgde een drietraps identificatie methode voor bevredigende resultaten. Voor grote uitwijkingen beschrijft het model het werkelijke gedrag vrij goed, maar voor kleine uitwijkingen blijft een afwijking aanwezig.
Een volgende stap is het uitvoeren van simulaties om zo een indruk te krijgen van het dynamische gedrag van zowel het Bouc-Wen model als ook het aangepaste Bouc-Wen model.
Hieruit blijkt dat het model een niet-lineaire responsie bezit met een resonantie frequentie, die amplitude afhankelijk is. Daarnaast zijn er diverse superharmonische resonanties gevonden.
Zeer opvallend is dat de responsies voor verschillende combinaties van
P
en y nu we1 duidelijk zichtbare verschillen vertonen. Een verklaring hiervoor is helaas niet gevonden en dit punt verdient zeker meer aandacht.Aangezien de meeste interesse uitgaat naar het dynamisch gedrag van de staaldraad-
veer zijn er diverse frequentie sweeps uitgevoerd, die resulteren in frequentie amplitude curves. Hieruit volgt dat de staaldraadveer een aantal kenmerkende niet-lineaire dynamische eigenschappen bezit: een amplitude afhankelijke resonantie frequentie, die voor toenemende uitwijkingen naar een lagere frequentie verschuift wat op softening gedrag duidt, en een aantal superharmonische resonantiepieken. Door de grote hoeveelheid hysterese demping zijn er geen subharmonische responsies aanwezig. Verder zijn er diverse schokexperimenten uitgevoerd die aantonen dat de staaldraadveer zeer geschikt is om schokken te dempen. Dezeifde schok sim- 111aties zijn uitgevoerd om 'net model te vergeiijken met de werkelijkheid. De frequenties van de resulterende trilling komen redelijk goed overeen maar net inschakelverschijnsel van beide bewegingen verschilt duidelijk. Een mogelijke reden is het gebruik van een frame om de op- stelling op de schokbank geplaatst te krijgen. Er is namelijk vanuit gegaan dat de damping hierin verwaarloosd kan worden en daarom is het excitatiesignaal gemeten op de schoktafel zelf.
Het uitvoeren van frequentie sweeps voor het gemodifeerde Bouc-Wen model met de geidentificeerde parameter set toont aan dat kwalitatief het gedrag hetzelfde is. Voor grotere uitwijkingen komt het gedrag ook kwantitatief vrij goed overeen, alhoewel het lijkt alsof het model iets te licht gedempt is. Voor kleine uitwijkingen zijn er echter duidelijke kwantitatieve verschillen tussen de simulaties en de experimenten. Nu is het model te veel gedempt. Het lijkt er dus op dat de staaldraadveer eec gedrag vertoont d2t giet door het gemodificeerde Bouc-Wen model kan worden beschreven met maar ken set parameters. Mogelijke oplossin- gen hiervoor zijn het gebruiken van een tweede set parameters voor kleine amplitudes of het amplitude afhankelijk maken van S n of meerdere parameters. Hieraan dient duidelijk meer aandacht besteed te worden in een mogelijk vervolgonderzoek.
De shooting methode in combinatie met path following is gebruikt om periodieke oplossin- gen te berekenen. In eerste instantie leidde dit tot diverse instabiele oplossingen ten gevolge numerieke onnauwkeurigheden. Deze worden waarschijnlijk veroorzaakt door het niet gladde karakter van het Bouc-Wen model, aangezien er geen instabiele oplossingen zijn gevonden wanneer een gladde benadering van het Bouc-Wen model wordt gebruikt.
This master thesis project has been performed partly at the Eindhoven University of Tech- nology and partly at TNO-CMC in Delft. Therefore, I would like to thank TNO-CMC for letting me visit for four months and creating the opportunity for my experiments, which have been crucial for my research. Furthermore, I would like to thank Loggers BV for receiving three wire rope springs.
I owe many thanks to Prof. Dr. Henk Nijmeijer, Dr. Ir. Rob Fey and Ir. Hans van Aanhold for the supervision during this thesis. Without their useful1 help and their critical comment it would have been much more difficult. Furthermore, I would like to thank all the people in DCT-lab with whom I had a lot of laughs and discussions, especially thanks to Bart Janssen for supplying a lot of comment on my writing style.
Thanks to all my friends for helping me where possible and supporting me during my whole study. I espcially would like to thank my girlfriend Jacobi Mulder, who made me realise during the last year that there is more than just my master thesis project, Sandra Cools, who assured I never missed a lunch even when things weren't going the way they supposed to be and Maurice Setton and Joost van Eekelen for all the hours talking about everything when drinking coffee.
Last, I want to thank my parents and my brother for supporting me all those years. They not only has made it possible for me to study but they also allowed me to develop myself during my study.