Voorbeeld 1
Het rekenen met machten is eenvoudig als je de betekenis kent:
> 174= 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 83521
> (−17)4= −17 ⋅ −17 ⋅ −17 ⋅ −17 = 83521
> −174= −17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = −83521
> 100000 − 174= 100000 − 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 100000 − 83521 = 16479 Je ziet dat machten voorrang hebben op optellen en aftrekken. En verder:
> 23⋅ 24= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27
Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op.
> 2274 =2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅22⋅2⋅2⋅2 =2⋅2⋅21 = 23
Bij delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af.
> 2233 =2⋅2⋅22⋅2⋅2= 1 en 2233= 20.
Een getal tot de macht 0 is altijd 1.
> (23)4= 23⋅ 23⋅ 23= 23+3+3= 212
Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten. Opgave 6 Bereken: a 34 b 3 ⋅ 26 c 71 d (12)4 e (223)3 f (27)0 g (−3)5 h −3 ⋅ 24 i −2 ⋅ (−3)2
Opgave 7
Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen! a 395⋅ 3114 b 3311495 c 380⋅335411 d (312)5 e (3 15)10 350⋅3100 Voorbeeld 2
De inhoud van een kubus met ribben van 4 is: 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43. De inhoud van een kubus is altijd een derde macht.
Een beroemd probleem uit de Oudheid is de ‘verdubbeling van de kubus’: Het altaar van de tempel van Delphi is een kubus van 1 bij 1 bij 1 m, welke afmetingen moet eenzelfde altaar krijgen met een 2 keer zo grote inhoud?
Omdat het bestaande altaar een inhoud heeft van 13 = 1 m3, moet de vergrote kubus een inhoud hebben van 2 m3. Dus geldt voor de zijde u� van dit altaar: u�3= 2.
Bij terugrekenen vanuit een kwadraat moet je worteltrekken.
Zo heet het terugrekenen vanuit een derde macht wel ‘derdemachts wortel trekken’. De oplossing van het probleem van Delphi is de derdemachts wortel uit 2.
Je schrijft: u� =√2.3
De uitkomst hiervan vind je door inklemmen, net als bij Voorbeeld 2 op pagina 8. Probeer maar eens:
3
√2 ≈ 1,25992105. Opgave 8
Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 24.
a Hoe bereken je de lengte van de zijde van een kubus als je de inhoud van die kubus weet? b Ga uit van een kubus met een inhoud van 8 m3. Leg uit waarom √8 = 2.3
c Bij het probleem van de verdubbeling van de kubus gaat het om een kubus met een inhoud van 2 m3. Leg uit waarom √2 geen geheel getal is.3
d Benader met behulp van inklemmen 3
√2 in drie decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoord met behulp van je rekenmachine.
Opgave 9
Bereken (probeer dit zoveel mogelijk uit het hoofd te doen): a 3 √216 b 3 √1728 c 3 √3,375 d √3278
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
Opgave 10
Benader met je rekenmachine op twee decimalen nauwkeurig: a 3 √18 b 3 √100 c √493 d √4003
Verwerken
Opgave 11 Bereken: a 45 b 34⋅ 23 c (23)4 d (135)3 e (−2)6 f −24⋅ 33 Opgave 12Je ziet hier een kruisgetallenpuzzel. Vul de puzzel in.
Horizontaal Verticaal 1 114 1 53 4 242 2 262 6 26 3 210 7 922 5 42⋅ 72 6 43 Opgave 13
Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen! a 216⋅ (210)3
b 4⋅222026
c 214⋅226 (220)2
Opgave 14 Bereken: a √10003 b √10000003 c √103 6 d 3 √0,001 e 3 √0,000001 f 3 √0,125 Opgave 15
Je hebt een kubus met een inhoud van 20 liter.
a Hoeveel bedraagt de lengte van elke ribbe van deze kubus in mm nauwkeurig? b Bereken de totale oppervlakte van deze kubus in mm2nauwkeurig.
Opgave 16
Je kunt van een getal eerst de derde macht uitrekenen en dan op de uitkomst de derde machtswortel toepassen. En ook de omgekeerde volgorde is mogelijk.
a Neem het getal 6 en bereken √63 3. Wat doe je eerst, de derde macht of de derde machtswortel? b Bereken ook √63 3.
c Doe hetzelfde als bij a en b maar nu met het getal 17.
Kennelijk heffen de bewerkingen derde macht en derde machtswortel elkaar op. d Onderzoek of dit ook voor negatieve getallen geldt.
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting. Opgave 17: Papier vouwen
Als je een blaadje papier steeds opnieuw dubbel vouwt, krijg je steeds meer lagen. Lees hierover in > www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen
a Laat zien dat je na 8 keer vouwen 256 lagen papier hebt. b Hoeveel lagen heb je na 10 keer vouwen?
c Hoeveel keer moet je vouwen om een laag papier van 10 cm dik te krijgen? d En na hoeveel keer vouwen heb je een laag papier van 10 m dik?
Opgave 18: Rente op rente
Als je bepaald bedrag tegen een vaste rente op de bank laat staan en er verder niets mee doet, dan wordt het door de rente steeds meer. Lees hierover in
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
a Reken de bedragen na 1 jaar, na 2 jaar en na 3 jaar zelf na. Hoe reken je? b Hoeveel heb je na 10 jaar?
Verkennen
Opgave 1
‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor het rekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken, dan Optellen en tenslotte Aftrekken.
a Bereken 144 /4 × 3 − 4 + 23 door deze ezelsbrug letterlijk op te volgen.
b Wat maakt je rekenmachine van 144 /4 × 3 − 4 + 23? Leg uit hoe je dit tegenwoordig uitrekent. c Laat zien hoe je dit tegenwoordig uitrekent.
Opgave 2
In deWikipedia: Bewerkingsvolgordestaat deze rekenopgave uit een rekenboekje uit 1958.
Een leuke uitdaging: Wat komt er uit als je de ezelsbrug uit de vorige opgave hanteert?
Uitleg
‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor het rekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken, dan Optellen en tenslotte Aftrekken. Tegenwoordig wordt die volgorde niet langer strikt gehanteerd, maar toch zijn er (vanwege de moderne rekenapparatuur) een aantal duidelijke afspraken.
Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:
> H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;
> MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;
> VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;
> OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.
Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.
Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: ‘Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland’ als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.
Opgave 3
Bekijk de berekening 8 + √9 ⋅ 23.
a In deze berekening komen vier bewerkingen voor. In welke volgorde moet je die uitvoeren? b Bereken de uitkomst.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
Opgave 4
In de volgende berekeningen zijn de voorrangsregels niet goed toegepast. Verbeter ze. a 2 ⋅ 33= 63= 216 b √36 /4 = √9 = 3 c √9 + √16 = √25 = 5 d 36 /4 + 23= 36/ 4 + 8 = 36 /12 = 3 e 65− 63= 62= 36 f (2 + 3)4= 24+ 34= 16 + 81 = 97
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1 Bereken: 2 ⋅ √16 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6) /23. 2 ⋅ √16 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6) /23= = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 8 /8 = = 8 + 6 − 32 /8 = = 14 − 4 = 10 Opgave 5Let op de voorrangsregels en bereken: a 4 ⋅ 25− 400 /√16 b (23+ 32)2/17 − 3 √64 c (2 ⋅ 3 √2)3 Opgave 6
Door op de goede plaats haakjes te zetten krijg je een correcte berekening. a 34/8 − 5 = 27
b 25− √256 /23= 2 c 3 ⋅ 32/√49 − 4 = 27
Voorbeeld 2
Je hebt gezien dat je de rekenvolgorde Haakjes-MachtenWortels-VermenigvuldigenDelen-OptellenAf-trekken moet hanteren. Maar soms kun je door een bijzondere schrijfwijze te gebruiken de volgorde wijzigen.
Drie bekende voorbeelden zijn:
> de lange breukstreep: 5−36⋅2 =122 = 6 (aftrekken gaat hier voor delen)
> de lange streep aan het wortelteken: √6 + 2 ⋅ 15 = √6 + 30 = √36 = 6 (vermenigvuldigen en optellen gaan hier voor worteltrekken)
Op je rekenmachine moet je in deze gevallen de weggelaten haakjes weer toevoegen. Opgave 7
Bereken zonder rekenmachine: 12−2⋅6/321+√25 .
Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te laten uitvoeren.
Opgave 8
Bereken zonder rekenmachine: √2 +2212+2.
Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te laten uitvoeren.
Verwerken
Opgave 9
Bereken zonder de rekenmachine te gebruiken: a 35/32+ 34 b 34⋅ 23 c (√196 − 32)3 d (2 ⋅ 3 √15)3 e 6 ⋅ 23/(43− 7 ⋅ 23) f (23)√9⋅ 1,53 Opgave 10
Bereken eerst zonder de rekenmachine te gebruiken en controleer daarna je berekening door hem in zijn geheel in de rekenmachine in te voeren.
a √2 ⋅ 70 + 4 = 12 b 212⋅33−4 c 24+√1625 d 3 √ 1 3 − (13)3 Opgave 11
Onderzoek of de volgende berekeningen correct zijn. Licht steeds je antwoord toe. a 23⋅ 24= 27
b 26/23= 26/3 = 22 c (22)3= 25
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
Opgave 12
Bij het rekenen met wortels kun je door slim herleiden soms wortels optellen die op de eerste blik niet gelijksoortig zijn.
a Laat zien, dat √18 = 3√2 en dat √8 = 2√2.
b Bereken nu de exacte uitkomst van (√18 + √8)2. Geeft je rekenmachine dezelfde uitkomst als je de berekening in één keer invoert?
c Bereken (√75 − √27)2door beide wortels te herleiden. Controleer je antwoord met de rekenmachine.
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting. Opgave 13: Graankorrels op een schaakbord
Lees over de legende van de uitvinding van het schaakspel in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Meneer Van Dalen > Toepassen
Om een idee te krijgen van het aantal graankorrels dat koning Shirham moest uitbetalen kun je eens kijken naar machten van 2.
a Waarom moet je naar machten van 2 kijken? b Bereken nu: > 20 > 20+ 21 > 20+ 21+ 22 > 20+ 21+ 22+ 23 > 20+ 21+ 22+ 23+ 24 > 20+ 21+ 22+ 23+ 24+ 25 > 20+ 21+ 22+ 23+ 24+ 25+ 26
c Vergelijk alle uitkomsten bij b. Wat valt je op? (Tel er eventueel telkens 1 bij op.)
d Hoeveel graankorrels wilde Sissa dus van de koning hebben? Schrijf je antwoord met een macht van 2. e Nu je weet dat Sissa meer dan 18.000.000.000.000.000.000 (18 triljoen) graankorrels zou moeten krij-gen, kun je misschien wel schatten hoeveel m3graan dat zou moeten zijn. Stel dat je dit graan wilt opslaan in een grote schuur met een vloeroppervlakte van 1000 m2. Hoe hoog moet die schuur dan worden?
Verkennen
Opgave 1
Onze planeet Aarde heeft (ongeveer) de vorm van een bol. De omtrek van die bol is de lengte van de evenaar en bedraagt 40.000 km.
a Hoeveel mm is 1 km? En hoeveel mm is dus de omtrek van de Aarde?
b Je had voor de berekening bij a natuurlijk geen rekenmachine nodig. Maar doe hem eens op je reken-machine. Waarschijnlijk krijg je als antwoord 4 ⋅ 1010. (Of iets wat dit moet voorstellen zoals 4E10.) Leg uit waarom dit hetzelfde is als jouw antwoord bij b.
c Waarom is het beter om 4 ⋅ 1010te schrijven dan 40000000000?
d Voor getallen met veel nullen worden ook wel woorden als miljoen en miljard en dergelijke gebruikt. 1 miljoen hetzelfde als 1 ⋅ 106. Hoeveel is 1 miljard?
Opgave 2
Wij werken met getallen in het tientallig stelsel. We hebben dus tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enzovoorts. Dat zijn allemaal machten van 10. Dus kun je getallen schrijven als machten van 10. Zo is 1234 = 1 ⋅ 103+ 2 ⋅ 102+ 3 ⋅ 101+ 4.
Op dewebsite van het C.B.S.staat een bevolkingsteller. Nederland telde 16.736.398 inwoners op vrij-dag 6 april 2012 om 11:25.15 uur.
Schrijf dit getal in het tientallig stelsel met machten van 10.
Uitleg
Omdat je in het tientallig stelsel werkt, spelen machten van 10 een grote rol bij het opschrijven van getallen. Met behulp van de rekenregels voor machten kun je bij eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc., werken met machten van 10. Dat zelfde geldt voor tienden, honderdsten, duizend-sten, etc.
De rekenregels voor machten van 10 (en ook voor andere machten) zijn:
> bij vermenigvuldigen van machten tel je de exponenten op: 105⋅ 103= 108
> bij het delen van machten trek je de exponenten van elkaar af: 105/103= 102 Hieruit volgt: > 1 = 101/101= 101−1= 100 dus 100= 1 > 101 = 100/101= 10−1 > 1001 = 100/102= 10−2 > 10001 = 100/103= 10−3 enzovoorts.
Hele grote getallen zoals 135 miljard = 135.000.000.000 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk te lezen. Je schrijft zo’n getal daarom als:
135.000.000.000 = 1,35 100.000.000.000 = 1,35 ⋅ 1011.
Ook hele kleine getallen zoals 31 miljoenste = 0,000032 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk te lezen. Je schrijft zo’n getal daarom als:
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
Deze manier van opschrijven van getallen noem je de wetenschappelijke notatie.
Je schrijft een groot getal dan in de vorm u� ⋅ 10u� en een klein getal in de vorm u� ⋅ 10−u�, waarbij 1 ≤ u� < 10.
Opgave 3
Bekijk de Uitleg op pagina 32. a Schrijf 100000 als macht van 10.
Het getal 304586 bestaat uit 3 honderdduizendtallen, 0 tienduizendtallen, 4 duizendtallen, 5 honderd-tallen, 8 tientallen en 6 eenheden.
b Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10. c Schrijf 0,00001 als macht van 10.
Het getal 30,4586 bestaat uit 3 tientallen, 0 eenheden, 4 tienden, 5 honderdsten, 8 duizendsten en 6 tienduizendsten.
d Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10. Opgave 4
Grote getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoen en 1 miljard. a Schrijf deze getallen als macht van 10.
Kleine getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoenste en 1 miljardste. b Schrijf deze getallen als macht van 10.
Opgave 5
Enkele uitspraken met grote en kleine getallen.
> Ongeveer 3 miljoen jaar geleden zijn de dinosauriërs uitgestorven.
> Sommige eencelligen zijn slechts 2,5 miljoenste mm breed.
> Volgens het ministerie komt ons nationaal inkomen uit op 468 miljard. Schrijf deze getallen in de wetenschappelijke notatie.
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Delichtsnelheidis in vacuüm (het luchtledige) gelijk aan 299.792.458 m/s. Deze waarde is exact door-dat ze wordt gebruikt als definitie van de lengte van de standaardmeter: een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt.
Het licht legt dus ongeveer 3,0 ⋅ 100000000 m per seconde af. De wetenschappelijke notatie van de lichtsnelheid is 3,0 ⋅ 108m/s. Hoeveel km/uur is dat.
Om de lichtsnelheid in m/s om te rekenen naar km per uur moet je dit getal vermenigvuldigen met 3600 (het aantal seconden in een uur) en vervolgens delen door 1000 (het aantal m in een km). Dus is de lichtsnelheid ongeveer 3,6 ⋅ 3,0 ⋅ 108= 10,8 ⋅ 108= 1,08 ⋅ 109km/uur.
Opgave 6
Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 33. Je ziet hoeveel de lichtsnelheid in m/s bedraagt. a Waarom is dit getal in de wetenschappelijke notatie 3,0 ⋅ 108en niet 2,99792458 ⋅ 108?
b Het omrekenen van m/s naar km/uur kan in twee stappen. Bereken eerst de lichtsnelheid in m/uur. c Reken de lichtsnelheid in m/uur nu om naar km/uur.
Opgave 7
De omtrek van de Aarde is 40.000 km. Als mensen hand in hand staan met de armen gespreid zitten de middens van hun lichamen ongeveer 1,5 m van elkaar.
a Hoeveel mensen moeten er hand in hand staan met de armen gespreid om de Aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.
Er zijn ongeveer 7 miljard mensen op Aarde.
b Hoeveel keer kunnen die op de beschreven manier de Aarde te omspannen? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.
Voorbeeld 2
Een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt. Hoe lang doet het licht over het afleggen van 1 seconde? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in drie decimalen nauwkeurig.
Als je deze deling met de rekenmachine uitvoert, dan krijg je waarschijnlijk 3 ⋅ 10−9 seconden. Dat is niet in twee decimalen nauwkeurig.
Maar je kunt de rekenmachine in de wetenschappelijke notatie zetten. Dan wordt de berekening ineens veel nauwkeuriger. Je vindt dan ongeveer 3,336 ⋅ 10−9. De vraag is natuurlijk wel of je die nauwkeurig-heid nodig hebt...
Opgave 8
Neem voor de lichtsnelheid 3,0 ⋅ 108m/s. De afstand van de Aarde tot de Zon is ongeveer 1,5 ⋅ 108km. Hoe lang is het licht onderweg vanaf de Zon naar de Aarde?
Opgave 9
Hier zie je een foto van de huisstofmijt. Deze diertjes leven van menselijke huidschilfers, in een hoofdkussen van je bed kunnen er wel 12000 voor-komen en dan ben je echt niet onhygiënisch. Sommige mensen zijn aller-gisch voor hun uitwerpselen. Zo’n huisstofmijt weegt gemiddeld slechts 1,5 ⋅ 10−3 gram en heeft afmetingen van ongeveer 0,3 mm breed tot 0,5 lang. Je kunt ze met het blote oog niet zien.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
Voorbeeld 3
Voor 1 ⋅ 10100bestaat de naam googol.
Deze naam is omstreeks 1920 bedacht door een negenjarig neefje van de Amerikaanse wiskun-dige Edward Kasner. De naam Google is een ver-bastering hiervan gemaakt door Larry Page, één van de grondleggers van deze zoekmachine. Veel rekenmachines hebben dit getal als grens van de getallen die erop kunnen worden weer-gegeven.
Het is ongeveer zo groot als 70⋅69⋅68⋅...⋅3⋅2⋅1. 1 googolplex = 1 ⋅ 10googol, een 1 met googol nullen. Best groot...
Opgave 10
Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 35. Je ziet hoeveel ‘googol’ is. a Hoeveel is 1 googol2?
b En hoeveel is √googol?
Opgave 11
In de strip spreekt Schröder van een kans van ‘googol to one’.
Hoe groot is die kans als je hem in de wetenschappelijke notatie schrijft? En in procenten?
Verwerken
Opgave 12
Schrijf als macht van 10: a 1000 b 100000000 c 10 miljard d 0,001 e 1000001 f 10 miljardste Opgave 13
Schrijf in de wetenschappelijke notatie: a 123 miljoen
c 0,00001496 d 0,00000000000042
Opgave 14
Gebruik bij de volgende berekeningen de wetenschappelijke notatie. Geef je antwoord ook in die vorm. a In Nederland wonen ongeveer 16 miljoen mensen. Het gemiddeld inkomen van een Nederlander is
ongeveer €18.000,=. Bereken het nationaal inkomen (het inkomen van alle Nederlanders samen). b In Nederland zijn er jaarlijks ongeveer 1,5 miljoen middelbare scholieren. Zo’n scholier kost de
over-heid gemiddeld €4500,=. Hoeveel geeft de overover-heid jaarlijks ongeveer uit aan middelbaar onderwijs? Opgave 15
Bacteriën zijn micro-organismen. Een bepaald soort bacterie heeft een gewicht van 2,4 ⋅ 10−8 kg. a Op een plant bevinden zich 3,2 miljoen van deze bacteriën. Hoeveel wegen deze bacteriën samen? b Hoeveel van deze bacteriën wegen samen 1 kg?
Opgave 16
Uit Wikipedia (13-11-2009):
Een amoebe (spreek uit als ‘ameube’) is een eencellig organisme dat bestaat uit protoplasma met één of meerdere kernen. Het endoplasma (binnenste laagje) is troebel en korrelig terwijl het ectoplasma (buitenste laagje) meestal helder is. Het organisme behoort tot de wortelpotigen en varieert afhankelijk van de soort tussen de 30 en 800 μm.
1 μm is10001 mm. Hoeveel meter is een amoebe van 800 μm? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting. Opgave 17: Lichtjaren
Een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt. De lichtsnelheid is ongeveer 3 ⋅ 108 m/s. Een astronomische eenheid is de gemiddelde afstand van de Aarde tot de Zon: 1 AE = 149,6 miljoen kilometer. Vooral in de sterrenkunde zijn lichtjaar en AE nuttige maten.
Dedubbelster Alpha Centaurivormt samen met de veel zwakkere Proxima Centauri een drievoudig systeem, dat zich van alle sterren het dichtst bij ons zonnestelsel bevindt. De afstand tot de Zon be-draagt 4,36 lichtjaar.
a Hoeveel km is 1 lichtjaar? En hoeveel AE?
b Hoeveel km is Alpha Centauri van onze Zon verwijderd? En van de Aarde?
c Stel je voor dat je in een ruimteschip met 20000 km/uur van de Aarde rechtstreeks naar de Zon zou kunnen vliegen. Hoe lang doe je daar dan over? En hoe lang doe je over de reis naar Alpha Centauri?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS
Opgave 18: Schaalmodel
OnsZonnestelselbestaat uit een ster (de Zon) en 8 planeten. Je wilt een schaalmodel maken van het zonnestelsel dat nog in een schoollokaal past. Zoek de afmetingen van deze plane-ten en hun onderlinge afstanden op.
Bereken hoe groot je de afmetingen van de planeten moet maken en hoe groot je de (bijna) cirkelvormige banen om de Zon moet maken. Geef een overzicht van alle afmetingen.
Verkennen
Opgave 1
In deze videoclip hoor en zie je verschillende soorten getallen voorbij komen. Schrijf op welke soorten getallen er voor komen en waaraan je ze herkent.
Uitleg
De wiskunde kan niet zonder getallen...
Om te beginnen zijn daar de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, 5, ..., 7420, ... Omdat in onze tientallige schrijfwijze een nul nodig is wordt het getal 0 meestal ook een natuurlijk getal genoemd:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Doe je niks anders dan optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen, dan heb je aan de natuurlijke getallen genoeg. Maar ja, er worden ook getallen afgetrokken, gedeeld en er wordt wortel getrokken... Om getallen altijd te kunnen aftrekken heb je ook negatieve getallen nodig, want anders kun je bij-voorbeeld 5 − 9 niet uitrekenen. Dus eerst voeg je −1, −2, −3, etc., toe aan de natuurlijke getallen. Je krijgt dan de gehele getallen:
ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Om getallen altijd te kunnen delen heb je ook breuken nodig, want anders kun je bijvoorbeeld 2 /3 niet uitrekenen. Voeg je de breuken toe aan de gehele getallen, dan krijg je de rationale getallen ℚ (‘ratio’ betekent ‘breuk, verhouding’).
Die naam is niet zo gek, want ook gehele getallen kun je als breuk schrijven. Bijvoorbeeld: 3 =31. En hiermee is het nog niet afgelopen...
Opgave 2
Bekijk de Uitleg op pagina 38. De Oude Grieken kenden alleen de natuurlijke getallen. Cijfers en het tientallig stelsel was ze onbekend, ze gebruikten letters om getallen weer te geven. De Romeinen gebruikten ook letters om getallen weer te geven, hoewel ze ‘Romeinse cijfers’ genoemd worden. Tot ver in de Middeleeuwen waren deze Romeinse cijfers in Europa de enige manier om getallen weer te geven.
De Romeinse cijfers bestaan uit de symbolen I voor 1, V voor 5, X voor 10, L voor 50, C voor 100, D voor 500 en M voor 1000.
De eerste tien getallen zijn I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX en X. a Hoe wordt 4 voorgesteld in Romeinse cijfers?
b Hoe zou 24 er in Romeinse cijfers uitzien? c Welk getal is MDCCXXIX? En hoe ziet 1999 er uit?