The L-shaped Method

Het oplossen van een stochastisch lineair programma met recourse neemt veel tijd in beslag als er veel

ver-schillende scenario’s mogelijk zijn. The L-shaped Method is een efficiënt algoritme dat stochastisch

program-meren met recourse oplost. De referentie die hierbij het belangrijkst is, is [13]. Het algoritme begint met het

oplossen van het oorspronkelijke probleem, om vervolgens extra constraints toe te voegen als de oplossing

niet toegelaten (feasibility cut) of niet optimaal (optimality cut) is.

Het stochastisch lineair programma in (131) is equivalent met het volgende deterministisch lineair programma:

min

x

c

^T

x +Q(x)

s.t. x ≥ 0, ⁽¹³⁴⁾

met Q(x) als volgt gedefinieerd:

Q(x) := E

_ξ

Q(x,ξ(ω)), (135)

Q(x,ξ(ω)) := min

_y

q(ω)

T

y

s.t. A(ω)x + M(ω)y ≤ b(ω),

y ≥ 0.

(136)

Het algoritme gebruiktθ om de functie van de kosten Q(x) van recourse te schatten. Er wordt gebruikt dat

θ ≥ Q(x). De door het algoritme nieuw gegenereerde optimality constraints geven de grenzen van θ aan.

Om het algoritme beter te begrijpen, wordt eerst het bewijs gegeven. Hieruit valt af te leiden waar de constraints

in (146) vandaan komen.

3.3.1 Bewijs van het algoritme

In dit bewijs wordt gebruik gemaakt van notatie (6). Er wordt constructief bewezen dat de constraints E

m

x+θ ≥

e

_m

, m = 1,..., s supporting hyperplanes van de functie Q(x) zijn en dat het algoritme convergeert naar de

opti-male oplossing. Dit bewijs komt uit [13], waarbij gebruik is gemaakt van [48].

Merk op dat het stochastisch lineair programma in (134) equivalent is met het oplossen van

min

x,θ

^c

T

x + θ

s.t. Q(x) ≤ θ,

x ≥ 0, θ ∈ R.

(137)

In stap 3 van het algoritme wordt (149) opgelost voor elke i = 1,...,K . Dit geeft de optimale simplex multipliers

S

^v_i

, i = 1,...,K . Vanuit de dualiteit van lineair programmeren volgt dat ∀i :

Q(x

^v

,ξ

i

) = (S

^v_i

)

^T

(b

_i

− A

i

x

^v

), (138)

En aangezien Q(x,ξ

i

) een convexe functie is, volgt uit de subgradiënt ongelijkheid dat:

Q(x,ξ

i

) ≥ (S

^v_i

)

^T

b

_i

− (S

^v_i

)

^T

A

_i

x. (139)

De verwachting van deze twee ongelijkheden nemen geeft respectievelijk:

Q(x

^v

) = E(S

^v

)

^T

(b − Ax

^v

) =

K

X

i =1

p

_i

· (S

^vi

)

^T

(b

_i

− A

i

x

^v

) (140)

en

Q(x) ≥ E(S

^v

)

^T

(b − Ax) =

K

X

i =1

p

_i

(S

^v_i

)

^T

b

_i

−

Ã

K

X

i =1

p

_i

(S

_i^v

)

^T

A

_i

!

x. (141)

Uit het feit datθ ≥ Q(x), volgt dat (x,θ) toegelaten is voor (137) dan en slechts dan als θ ≥ E(S

v

)

^T

(b − M x),

wat precies overeenkomt met de tweede rij constraints in (146) met E

_m

en e

_m

gedefinieerd zoals in (150). Dit

definieert dus de volgende constraints:

E

_m

x + θ ≥ e

m

met E

_m

=P

K i =1

p

_i

(S

^v_i

)

^T

A

_i

en e

m

=P

K i =1

p

_i

(S

_i^v

)

^T

b

_i

.

(142)

Hierbij komen de simplex multipliers S

^v_i

uit iteratie v, behorende bij scenario i . E

m

en e

m

worden

geconstru-eerd als er reeds m − 1 constraints van deze vorm aanwezig zijn. m is simpelweg een teller in het algoritme

Als (x

^v

,θ

v

) een optimale oplossing is voor (137), geldt dat Q(x

^v

) = θ

^v

, omdatθ geen andere restricties heeft

danθ ≥ Q(x). Dit gebeurt wanneer θ

v

= E(S

^v

)

^T

(b − Ax

^v

), wat hetzelfde is als het criterium om te stoppen in

stap 3. Wantθ

v

≥ w

^v

= e

m+1

− E

m+1

x

^v

= E(S

^v

)

^T

(b − Ax

^v

) = Q(x

^v

).

Dus in elke iteratie geldt òfθ

v

≥ Q(x

^v

), wat betekent dat je klaar bent, òfθ

v

< Q(x

^v

). In het laatste geval

geeft geen van de al bestaande optimality cutsθ ≥ Q(x), dus wordt een nieuwe verzameling van simplex

mul-tipliers S

^v_i

gedefinieerd om een geschikte constraint te genereren. Het algoritme convergeert vanuit het feit

dat er maar een eindig aantal verschillende combinaties K van de multipliers S

_i

zijn, omdat elk bij één van de

eindig aantal verschillende opties hoort.

Nu moet nog bewezen worden dat er een eindig aantal constraints D

_l

x ≥ d

l

nodig zijn zo dat geldt:

A

_i

x + M

i

y = b

i

M

i

y = b

i

− A

i

x. ⁽¹⁴³⁾

Dit betekent dat

b

_i

− A

i

x ∈ pos

⁸

M (ω), i = 1,...,K . (144)

In stap 2 wordt het deelprobleem (147) opgelost. Daarin wordt getest of b

i

− A

i

x

^v

∈ pos M(ω) voor i = 1, ..., K .

Als dit niet het geval is, betekent dit dat voor sommige i = 1,...,K ,b

i

− A

i

x

^v

∉ pos M(ω). Dan moet er dus een

hyperplane zijn die b

i

− A

i

x scheidt van pos M (ω). Deze hyperplane moet voldoen aan σ

T

t ≤ 0,∀t ∈ pos M(ω)

enσ

T

(b

i

− A

i

x

v

) > 0. In stap 2 wordt deze hyperplane verkregen door σ te vervangen door σ

^v

, de simplex

multipliers van het deelprobleem (147).

Door sterke dualiteit geldt in stap 2 dat w

0

> 0 hetzelfde is als (σ

^v

)

^T

(b

_i

− A

i

x

^v

) > 0. Daarnaast wordt

vol-daan aan (σ

v

)

^T

M (ω) ≤ 0, omdat σ

v

optimale simplex multipliers zijn en, bij het optimum, de gereduceerde

kosten geässocieerd met y niet negatief moeten zijn.

Dus heeftσ

v

de gewenste eigenschappen. Daaruit volgt dat een noodzakelijke voorwaarde voor x

toegela-ten, is (σ

v

)

^T

M (ω) ≤ 0, wat precies overeenkomt met de eerste rij constraints in (146) met D

l

en d

_l

gedefinieerd

zoals in (148). Dit definieert dus de volgende constraints:

D

_l

x ≥ d

l

met D

_l

= (σ

^v

)

^T

A

i

en d

_l

= (σ

^v

)

^T

b

i

.

(145)

Er zijn een eindig aantal van deze constraints, omdat er maar een eindig aantal optimale basissen zijn voor het

deelprobleem (147).

3.3.2 Het algoritme

In dit gedeelte wordt het algoritme gegeven. In 3.3.3 worden de stappen van het algoritme uitgelegd. Het

algo-ritme ziet er als volt uit:

Stap 0: Neem r = s = v = 0.

Stap 1: Neem v = v + 1. Los het volgende deterministisch lineair programma op:

min

x,θ

^c

T

x + θ

s.t. D

_l

x ≥ d

l

, l = 1,...,r

E

_m

x + θ ≥ e

m

, m = 1,..., s

x ≥ 0, θ ∈ R.

(146)

Neem (x

^v

,θ

v

) een optimale oplossing. Als er geen constraint E

m

x + θ ≥ e

m

aanwezig is, neemθ

v

= −∞ en

neem deze niet mee in de berekeing voor x

^v

.

Stap 2: Voor i = 1,...,K , los het volgende deterministisch lineair programma op:

min

υ+,υ−,y

w

⁰

= e

^T

υ

+

+ e

^T

υ

−

s.t. M

i

y + I υ

⁺

− I υ

⁻

≤ b

i

− A

i

x

^v

y ≥ 0, υ

⁺

≥ 0, υ

−

≥ 0,

(147)

met e

^T

= (1, . . . , 1), totdat voor een k de optimale waarde w

⁰

> 0. Neem in dit geval σ

^v

de simplex multipliers

⁹

van de optimale oplossing van (147) en definieer

D

_{l +1}

= (σ

^v

)

^T

A

_i

d

_{l +1}

= (σ

^v

)

^T

b

_i

(148)

om een nieuwe constraint (feasibilty cut) te genereren. Voeg deze constraint toe aan het systeem (146) en

neem r = r + 1. Als ∀i , w

⁰

= 0, ga naar Stap 3.

9De simplex multipliers (S1, . . . , Sm) van een oplossing zijn de veelvouden van hun initiële systeem van vergelijkingen dusdanig dat, als al deze vergelijkingen worden vermenigvuldigd met hun simplex multiplier en van de doelfunctie afgehaald worden, de coëfficiënten van de basisvariabelen nul zijn. Dus (S1a_{1 j}+ S2a_{2 j}+ · · · + Sma_{m j}= cj).

Stap 3: Voor i = 1,...,K , los het volgende deterministisch lineair programma op:

min

y

w = q

^T_i

y

s.t. M

_i

y ≤ b

i

− A

i

x

^v

y ≥ 0

(149)

Neem nu S

_i^v

de simplex multipliers van de optimale oplossing van probleem i van (149) en definieer

E

_m+1

=P

K i =1

p

_i

· (S

_i^v

)

^T

A

_i

e

_m+1

=P

K i =1

p

_i

· (S

_i^v

)

^T

b

_i

(150)

Neem w

^v

= e

m+1

− E

m+1

x

^v

. Alsθ

v

≥ w

^v

, stop; x

^v

is een optimale oplossing. Anders, neem s = s + 1, gebruik

(150) om een nieuwe constraint (optimality cut) te genereren en ga terug naar Stap 1.

3.3.3 Uitleg van het algoritme

Omdat een probleem met recourse erg veel oplostijd kan vergen als er veel mogelijke scenario’s zijn, lost dit

algoritme het probleem in hapbare stukken op.

In de eerste stap wordt er een optimale oplossing gezocht voor de doelfunctie zonder de oorspronkelijke

constraints. Er zijn weinig tot geen constraints aanwezig, waardoor dit snel gebeurt.

In stap 2 wordt er gekeken of deze optimale oplossing toegelaten is. Dit gebeurt door te minimaliseren over

υ

+

,υ

−

en y. Hierbij is de kandidaat-oplossing (x

^v

,θ

v

) al bekend en gaat het dus vooral om y. (147) vindt dus

een optimale oplossing (υ

+

,υ

−

, y) gebaseerd op x

^v

. Omdat e

^T

= (1, . . . , 1), is het minimum voor w

⁰

gelijk aan 0.

Dit minimum wordt bereikt alsυ

+

= υ

⁻

= 0. Dan is x

^v

dus toegelaten voor scenario i , omdat dan geldt

M

_i

y + I υ

⁺

− I υ

⁻

= M

i

y ≤ bi − A

i

x

^v

. (151)

Dus als de gevonden optimale oplossing (x

^v

,θ

v

) voor een scenario i niet toegelaten is, geldt w

⁰

> 0 en moet er

een nieuwe constraint toegevoegd worden, zodat deze oplossing niet meer gevonden kan worden. Vandaar de

naam ‘feasibility cut’.

In stap 3 wordt er gekeken of de gevonden optimale oplossing van stap 1 daadwerkelijk optimaal is in alle

gevallen. Hier draait het vooral om de kosten van de recourse (q

_i^T

y). In het bewijs van het algoritme wordt er

laten zien waarom er aan de voorwaardeθ

v

≥ w

^v

moet worden voldaan om x

^v

een optimale oplossing te laten

zijn.

In document Stochastisch Lineair Programmeren (pagina 31-34)