7.1 Hoe snel kun je vermenigvuldigen?
De eerste vraag is: wat bedoel je met snel? Rekenen met een stuk papier en een pen gaat al gauw sneller dan uit het hoofd; met een zakjapanner gaat het sneller dan op papier; tegen een computer kan geen mens op en die computer waar je 10 jaar geleden zo enthousiast over was vind je nu tergend sloom: zelfs je mobiel doet het nu nog beter.
Dat bedoelen we dus niet met snelheid. We willen snelheid onafhankelijk van hulpmiddelen kunnen uitdrukken: het gaat erom hoe goed je methode (of: algoritme) is. Dat noemen we: complexiteit van algoritmen.
Op school begon het leren vermenigvuldigen met herhaald optellen. Maar het wordt je al gauw afgeleerd om het zo te blijven doen. Waarom? Omdat de methode van herhaald optellen slechte com-plexiteit heeft, en er een, ook makkelijke, methode bestaat met veel betere complexiteit: de “basisschoolmethode”, je kent hem nog wel.
7 Praktikum
Benne de Weger
7.1 Hoe snel kun je vermenigvuldigen?
De eerste vraag is: wat bedoel je met snel? Rekenen met een stuk papier en een pen gaat al gauw sneller dan uit het hoofd; met een zakjapanner gaat het sneller dan op papier; tegen een computer kan geen mens op en die computer waar je 10 jaar geleden zo enthousiast over was vind je nu tergend sloom: zelfs je mobiel doet het nu nog beter.
Dat bedoelen we dus niet met snelheid. We willen snelheid onafhankelijk van hulpmiddelen kunnen uitdrukken: het gaat erom hoe goed je methode (of: algoritme) is. Dat noemen we: complexiteit van algoritmen. Op school begon het leren vermenigvuldigen met herhaald optellen. Maar het wordt je al gauw afgeleerd om het zo te blijven doen. Waarom? Om-dat de methode van herhaald optellen slechte complexiteit heeft, en er een, ook makkelijke, methode bestaat met veel betere complexiteit: de “basisschoolmethode”, je kent hem nog wel:
74 23 ---- x 222 148 ---- + 1702
We zullen in dit praktikum zien dat optellen lineaire complexiteit heeft, vermenigvuldigen door herhaald optellen exponenti¨ele complexiteit, en de “basisschoolmethode” kwadratische complexiteit. Nu is het zo dat vrijwel alle mensen daar blijven steken, voor de rest van hun leven. Maar wij vanaf vandaag niet meer. We gaan ontdekken dat vermenigvuldigen echt sneller kan dan kwadratisch.
83 We zullen in dit praktikum zien dat optellen lineaire complexiteit heeft,
vermenigvuldigen door herhaald optellen exponenti¨ele complexiteit, en de “basisschoolmethode” kwadratische complexiteit. Nu is het zo dat vrijwel alle mensen daar blijven steken, voor de rest van hun leven. Maar wij vanaf vandaag niet meer. We gaan ontdekken dat vermenigvuldigen echt sneller kan dan kwadratisch. Dit verrassende feit, dat tot mijn verbazing onder wiskundigen niet goed bekend is, is ontdekt in 1960 door Anatolii Karatsuba (uit Rusland).
Ook over zoiets triviaals als vermenigvuldigen valt dus nog iets te leren! Als er tijd over is kunnen we nog iets doen aan de complexiteit van machts-verheffen (maar dan wel in het kader van modulo-rekenen). Dat snellere vermenigvuldigen blijkt dan ook nog nuttig te zijn in cryptografische toe-passingen. Het zou zomaar in je bankpasje kunnen zitten.
7.2 Elementair is niet hetzelfde als triviaal
Sommige wiskundigen denken dat, dat elementair en triviaal hetzelfde is (zie het “Ten geleide” van Jan Wiegerinck1in dit boekje). Ik vind van niet. Een redenering die volslagen elementair is kan razend ingewikkeld zijn, en heel lastig om op te komen; maar als je eenmaal ziet hoe het moet, kan het stap voor stap goed te volgen zijn, en blijkt er niets moeilijks of abstracts te gebeuren. Als voorbeelden daarvan gaan we in dit praktikum een paar Diophantische vergelijkingen oplossen; dat zijn vergelijkingen waarbij we uitsluitend gehele getallen als oplossingen toestaan. Vaak zien die proble-men er triviaal uit. Soms zijn ze dat ook: de vraag welke machten van 2 en 3 precies 1 verschillen is vrijwel triviaal op te lossen.
Een beroemde Diophantische vergelijking is die van Ramanujan-Nagell: kan een kwadraat vermeerderd met 7 precies een macht van 2 opleveren? Ja, dat kan: 1812= 32761, en 32768 = 215. En er zijn nog een paar kleinere oplossingen, die je zo kunt vinden. Maar er is een grotere? Srinavasa Ramanujan (uit India) vermoedde in 1915 van niet, en Trygve Nagell (uit Noorwegen) bewees dat voor het eerst, in 1948. Geen elementair bewijs, laat staan triviaal. Sindsdien zijn er vele andere bewijzen van gegeven, maar bij de meeste daarvan heb je nog op z’n minst een stukje serieuze algebra¨ısche getaltheorie nodig, en dat noem ik niet meer “elementair”. Maurice Mignotte (uit Frankrijk) vond in 1984 een echt elementair bewijs. “Elementair” betekent hier dan zoiets als: er wordt geen theorie gebruikt die verder gaat dan modulo-rekenen, en je moet weten waarom√
2 irratio-naal is. Een eerstejaarsstudent kan het begrijpen, en ik denk dat je het bij Wiskunde D ook wel moet kunnen doen. Maar triviaal is het zeker niet: het bewijs zit ingenieus in elkaar, en er gebeurt ook nog wel een wondertje. We beginnen met een vergelijking van hetzelfde type: x2+ 2 = 3n, waarbij de door Mignotte gebruikte technieken een stuk eenvoudiger uitpakken. En dan kijken we hoever we met het oplossen van x2+ 7 = 2n komen. In de elektronische versie van dit boekje, die na afloop van de cursus op de PWN-website gepubliceerd wordt, zal ik de oplossing helemaal uitschrijven.
1Overigens geeft het Van Dale Etymologisch Woordenboek (van Veen en van der Sijs, 1997) ook een interessante verklaring voor de afkomst van het woord triviaal: “trivi-aal [onbeduidend]{1553} < frans trivial [idem] < latijn trivialis [algemeen toegan-kelijk, alledaags], van trivium [wegsplitsing, driesprong, de straat] (innati triviis [zij die opgegroeid zijn op de straat, het straatpubliek]), van tri- [drie-] + via [weg].”.