In deze scriptie houden we ons bezig met verschillende benaderingsvraagstukken. We zullen functies op het complexe vlak gaan benaderen door middel van rationale functies. Rationale functies zijn functies van de vorm
f (z) = anz
n+ a
n−1zn−1+ . . . + a0
bmzm+ bm−1zm−1 + . . . + b0
,
dus een polynoom gedeeld door een polynoom, waarbij de ai en bj complexe getallen zijn.
Hierbij wordt aangenomen dat an 6= 0 en bm 6= 0. Als m ≥ 1, dan zijn er waarden van z
waarvoor we door nul delen. Deze waarden worden polen genoemd.
We vragen ons af voor wat soort verzamelingen X in het complexe vlak we bepaalde klassen van functies goed kunnen benaderen. We zullen niet dieper ingaan op wat verza- melingen nu eigenlijk zijn, maar om er een beeld bij te krijgen, kun je denken aan X als een vierkant (met of zonder inwendige), cirkels, schijven en driehoeken (met of zonder inwendige). Dit zijn echter nogal tamelijk brave voorbeelden. Je kunt je indenken dat er ook wat minder brave voorbeelden zijn. Een voorbeeld hiervan is de Zwiterse kaas1,
verzonnen door de Zwiterse wiskundige Alice Roth. Een Zwitserse kaas ziet eruit als Figuur 7.1 en wordt gemaakt door uit de eenheidsschijf (een bolletje met straal ´e´en)
Figure 7.1.: Een Zwiterse kaas.
telkens kleine bolletjes weg te snijden, op zo’n manier dat de randen elkaar steeds niet raken.
De verzamelingen X die we zullen bekijken, blijken gesloten, begrensd en nergens dicht te moeten zijn. Een verzameling X heet gesloten als je om elk punt in het vlak dat niet in X zit een klein cirkeltje kunt tekenen waarvan het inwendige niet met X overlapt. Een verzameling X heet begrensd als je een cirkel kunt vinden zodat X volledig aan de binnenkant van die cirkel ligt.
Om te bekijken wat het betekent voor een gesloten, begrensde verzameling X om ner- gens dicht te zijn, zullen we bij kaas blijven. Omdat X begrensd is en in het vlak ligt, kunnen we de rand van X zien als een potloodtekening. Stel dat we op de getekende pot- loodlijnen verticaal flinterdunne opstaande randjes plaatsen, zodat we een uitsteekvorm krijgen. Stel nu dat je moeder of vader kaasverslaafd is. Hij of zij eet voortdurend puck-
Figure 7.2.: Een uitsteekvorm verkregen uit een potloodtekening, in dit geval een tekening van een sneeuwvlok.
vormige Mini Babybels2 van allerlei verschillende stralen: de fabrikant van Mini Babybel
kan zo’n vraag niet aan, dus de Mini Babybel-machine produceert Mini Babybels van willekeurige stralen (zowel willekeurig groot als willekeurig klein). Stel nu dat je met
Figure 7.3.: Een Mini Babybel.
deze kaasverslaafde iets hebt afgesproken. Voor elke Mini Babybel die hij of zij eet, voltrekken jullie de volgende procedure: hij of zij legt de Mini Babybel plat op tafel en jij
mag blind met je uitsteekvorm proberen de kaas te raken. Wat in jouw uitsteekvorm zit, mag jij opeten en de rest is voor hem of haar. Een gesloten, begrensde verzameling X heet dan nergens dicht, als de bijbehorende uitsteekvorm ervoor zorgt dat de kaasverslaafde nooit bang hoeft te zijn dat jij door middel van deze procedure de hele Mini Babybel naar binnen kunt werken.
De Zwitserse kaas X zoals die door Roth is gemaakt, is ook een gesloten, begrensde, nergens dichte verzameling. Wat echter ook belangrijk is, is dat onder bepaalde voor- waarden op de verwijderde schijfjes, voor die verzameling geldt dat R(X) 6= C(X). Wat dit betekent, zullen we nu uitleggen.
We hebben een natuurlijk afstandsbegrip op de complexe getallen: voor twee complexe getallen a + bi en c + di is de afstand ertussen gedefinieerd als
d(a + bi, c + di) = |(a + bi) − (c + di)| = |(a − c) + (b − d)i| =p(a − c)2+ (b − d)2
waarbij de verticale strepen de modulus van een complex getal aangeven. Een functie f op X is een functie waarvoor waardes gedefinieerd zijn voor alle punten x in X. Deze waardes zijn ook weer complexe getallen. Een functie f op X heet continu als f (x) en f (y) een kleine afstand tot elkaar hebben, zodra x en y dicht bij elkaar liggen.
De collectie C(X) staat voor de collectie van alle functies f op X die ook nog continu op X zijn. De gelijkheid R(X) = C(X) geldt nu wanneer het volgende waar is: neem functie f die continu is op X. Dan moet er een rationale functie R zijn waarvan de polen buiten X liggen, zodat de functie f gelijkmatig (uniform) op X goed door R wordt benaderd.
Hoe bepalen we of f goed en gelijkmatig op X wordt benaderd door R? We doen dit door te kijken naar de afstand tussen f (x) en R(x) voor alle punten x in X. Het blijkt dat voor een zeker punt x0 in X geldt dat de afstand |f (x) − R(x)| nooit groter wordt dan
|f (x0) − R(x0)| voor alle punten x in X. We zullen in het vervolg x0 gebruiken voor zo’n
speciaal punt waarvoor de onderlinge afstand tussen f (x) en R(x) op X gemaximaliseerd wordt (er kunnen meerdere zulke punten zijn). In het algemeen zal het zo zijn dat voor verschillende rationale functies R met polen buiten X, het punt x0verschilt. Als nu blijkt
dat voor elk positief geval er een rationale functie R met polen buiten X gevonden kan worden, zodat de maximale afstand |f (x0) − R(x0)| kleiner is dan , zeggen we dat f
goed en gelijkmatig op X benaderd wordt door rationale functies met polen buiten X. De gelijkheid R(X) = C(X) geldt dan als alle functies f die continu zijn op X, goed en gelijkmatig op X benaderd kunnen worden door rationale functies met polen buiten X.
In deze scriptie ligt de nadruk op het maken van verzamelingen met verschillende eigenschappen. Voorbeelden van zulke verzamelingen zijn de Cantorverzameling (zie Figuur 7.4) en de theebiscuitverzameling (zie Figuur 7.5). Voor zulke verzamelingen vragen we ons bijvoorbeeld af of R(X) gelijk is aan C(X). Voor de Cantorverzameling geldt inderdaad dat R(X) = C(X), maar voor de theebiscuitverzameling geldt dit niet. (Voor de Cantorverzameling geldt de gelijkheid R(X) = C(X), omdat de oppervlakte van de En heel klein wordt als n heel groot wordt. Dit is een toepassing van de stelling
Q
E
1
E
2
E
3
Figure 7.4.: Constructie van de Cantorverzameling.
Bibliography
[1] D. R. Adams and L. I. Hedberg. Function spaces and potential theory, volume 314 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1996.
[2] J. E. Brennan. Invariant subspaces and rational approximation. J. Functional Anal- ysis, 7:285–310, 1971.
[3] J. E. Brennan. Approximation in the mean and quasianalyticity. J. Functional Analysis, 12:307–320, 1973.
[4] J. E. Brennan. Point evaluations, invariant subspaces and approximation in the mean by polynomials. J. Funct. Anal., 34(3):407–420, 1979.
[5] J. E. Brennan and C. N. Mattingly. Approximation by rational functions on compact nowhere dense subsets of the complex plane. Anal. Math. Phys., 3(3):201–234, 2013. [6] J. E. Brennan and E. R. Militzer. Lp-bounded point evaluations for polynomials and
uniform rational approximation. Algebra i Analiz, 22(1):57–74, 2010.
[7] M. Capi´nski and E. Kopp. Measure, integral and probability. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London, second edition, 2004. [8] J. B. Conway. A course in functional analysis, volume 96 of Graduate Texts in
Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1985.
[9] P. de Paepe and J. Wiegerinck. Analyse 3: Functietheorie. 2012.
[10] C. Fefferman. The multiplier problem for the ball. Ann. of Math. (2), 94:330–336, 1971.
[11] J. F. Feinstein and M. J. Heath. Swiss cheeses, rational approximation and universal plane curves. Studia Math., 196(3):289–306, 2010.
[12] C. Fernstrøm. Bounded point evaluations and approximation in Lp by analytic func-
tions. In Spaces of analytic functions (Sem. Functional Anal. and Function Theory, Kristiansand, 1975), pages 65–68. Lecture Notes in Math., Vol. 512. Springer, Berlin, 1976.
[13] C. Fernstr¨om. On the instability of capacity. Ark. Mat., 15(2):241–252, 1977. [14] C. Fernstr¨om and J. C. Polking. Bounded point evaluations and approximation
in Lp by solutions of elliptic partial differential equations. J. Functional Analysis,
[15] G. B. Folland. Real analysis. Pure and Applied Mathematics (New York). John Wiley & Sons, Inc., New York, second edition, 1999. Modern techniques and their applications, A Wiley-Interscience Publication.
[16] D. Gaier. Lectures on complex approximation. Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 1987. Translated from the German by Renate McLaughlin.
[17] T. W. Gamelin. Uniform algebras. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1969. [18] J. Garnett. Positive length but zero analytic capacity. Proc. Amer. Math. Soc. 24
(1970), 696-699; errata, ibid., 26:701, 1970.
[19] W. Gautschi. Some elementary inequalities relating to the gamma and incomplete gamma function. J. Math. and Phys., 38:77–81, 1959/60.
[20] L. I. Hedberg. Approximation in the mean by analytic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 163:157–171, 1972.
[21] L. I. Hedberg. Bounded point evaluations and capacity. J. Functional Analysis, 10:269–280, 1972.
[22] L. I. Hedberg. Non-linear potentials and approximation in the mean by analytic functions. Math. Z., 129:299–319, 1972.
[23] N. G. Meyers. A theory of capacities for potentials of functions in Lebesgue classes. Math. Scand., 26:255–292 (1971), 1970.
[24] W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York-D¨usseldorf- Johannesburg, second edition, 1974. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. [25] W. Rudin. Functional analysis. International Series in Pure and Applied Mathe-
matics. McGraw-Hill, Inc., New York, second edition, 1991.
[26] B. P. Rynne and M. A. Youngson. Linear functional analysis. Springer Undergrad- uate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London, second edition, 2008.
[27] X. Tolsa. Painlev´e’s problem and the semiadditivity of analytic capacity. Acta Math., 190(1):105–149, 2003.
[28] L. Zalcman. Analytic capacity and rational approximation. Lecture Notes in Math- ematics, No. 50. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968.