getrokken tussen aan de ene kant de verzameling objecten waaraan het predikaat ‘kaal’(of ‘klein’ etc) zeker wel toekomt en aan de andere kant verzameling de objecten waaraan dat predikaat zeker niet toekomt — er zijn objecten waarvoor het onbepaald is of het predikaat in kwestie eraan toekomt. Maar er liggen wel scherpe grenzen tussen het “positieve”gebied en het “onbepaalde”gebied en tus- sen het “onbepaalde”gebied en het “negatieve gebied”. De theorie suggereert dat we in staat zijn om twee precieze getallen aan te geven, zeg k en m (met k < m, zodanig dat we eenieder met niet meer dan k haren ‘kaal’ noemen, eenieder met niet minder dan m haren ’niet kaal’, en bij alle anderen onze schouders ophalen. Een tweede lijn van kritiek op dit raamwerk sluit aan bij (ii) van de opgave. Heel algemeen gesteld komt deze kritiek hierop neer: ook tussen zinnen waarvan de waarheidswaarde onbepaald is kunnen logische relaties bestaan. Deze worden in de theorie echter niet verantwoord. Voorbeeld: ook al is de waarheidswaarde van de zin ‘Jan is kaal’ onbepaald, dat wil nog niet zeggen dat waarheidswaarde de zin ‘Jan is kaal en Jan is niet kaal’ onbepaald is. Die zin zou gewoon de waarheidswaarde ‘onwaar’ moeten krijgen. Het predikaat ‘kaal’ is vaag, maar hoe we het ook preciseren, bij geen enkele precisering kan het voorkomen dat een object zowel in de positieve extensie als in de negatieve extensie van ‘kaal’ komt te vallen. Ander voorbeeld: ook al is het niet duidelijk of het jurk van Marie nu geel is of oranje, daarmee is nog niet gezegd dat de zin ‘Marie’s jurk is geel of oranje’ geen waarheidswaarde toekomt. Die disjuncie kan best waar zijn terwijl beide disjuncten onbepaald zijn. Ook al zijn de predikaten ‘geel’ en ‘oranje’ allebei vaag, er is wel een betekenisrelatie tussen, zelfs in het gebied waarin het voor beide predikaten onduidelijk is of ze van toepassing zijn.
3.3
Poging 2: Supervaluaties
Hoe verantwoord je betekenisrelaties tussen vage predikaten in een mathematisch model? De hieronder geintroduceerde manier is bedacht door de logicus Kit Fine. (Zie [9]).
Definitie 38 Zij L een taal van de predikatenlogica. Een supermodel M voor L is een geordend paar hD, J i, waarbij
(i) D een niet lege verzameling is, het domein van het model;
(ii) J een (niet lege) verzameling (parti¨ele) interpretaties is zodanig dat (a) elke I ∈ J aan elke individuele constante a een element I(a) van D
toekent;
(b) elke I ∈ J aan elk n-plaatsig predikaat P een parti¨ele functie I(P )
van Dn in 0, 1 toekent.
Daarbij gelden nog de volgende restricties:
68 HOOFDSTUK 3. VAAGHEID
(d) er is een I0 ∈ J zodanig dat voor alle I ∈ J geldt: I is een precisering
van I0;
(e) voor alle I ∈ J is er een I0 ∈ J zodanig dat I0 een totale precisering
van I is. Toelichting
Het idee dat aan de bovenstaande definitie ten grondslag ligt is dit: de betekenis van een vaag predikaat is gegeven met alle mogelijke manieren waarop het gepre- ciseerd kan worden. Het domein D, samen met de onder d) genoemde zogenaamde
basisinterpretatie I0 vormen samen een geheel hD, I0i dat u kunt vergelijken met
de modellen uit de vorige paragraaf: met I0 wordt voor elk van de predikaten
vastgelegd wat de ”vage¨extensie ervan is op het domein D. Elk van de andere interpretatiefuncties I ∈ J vormt samen met D een model hD, Ii dat u het best
kan opvatten als een toegelaten precisering van hD, I0i. Niet alle logisch mogelijke
preciseringen zijn toegelaten; alleen die preciseringen die de betekenisrelaties tus- sen de verschillende predikaten respecteren. Met Clausule e) wordt gesteld dat het altijd mogelijk is alle predikaten zo te preciseren dat alle vaagheid uitgebannen wordt. “We zouden wel precies kunnen zijn als we maar zouden willen”.
Definitie 39 (Waarheidsdefinitie) Zij M = hD, J i een supermodel, en ϕ een zin. Per definitie zal dan gelden:
◦ WM(ϕ) = 1 desda VhD,Ii(ϕ) = 1 voor alle totale I ∈ J .
◦ WM(ϕ) = 0 desda VhD,Ii(ϕ) = 0 voor alle totale I ∈ J .
◦ In andere gevallen is WM(ϕ) onbepaald.
WM(ϕ) is de waarhedswaarde van ϕ in het supermodel M. U weet uit de
vorige paragraaf al hoe u VhD,Ii(ϕ) kan bepalen. Daar is ook gebleken dat voor
totale I VhD,Ii(ϕ) samenvalt met de waarheidswaarde die ϕ in hD, Ii zou krijgen
volgens de waarheidsdefinitie van Tarski.
Fine licht de waarheidsdefinitie als volgt toe:
A sentence is true if it is true for all ways of making it completely precise. As such it is a sort of principle of non-pedantry: truth is secured if it does not turn upon what one means. Absence of meaning makes for absence of truthvalue only if presence of meaning could make for diversity of truth value.
Definitie 40 Zij M = hD, J i een supermodel.
M0 = hD0, J0i is een restrictie van M desda
(i) D = D0.
(ii) Er is een I ∈ J zodanig dat
3.3. POGING 2: SUPERVALUATIES 69
De zin van deze definitie is gelegen in de volgende stelling.
Stelling 21 Zij M = hD, J i een supermodel. De waarheidsdefinitie die hierbo- ven gegeven is, is de enige definitie die beantwoordt aan de volgende principes:
Betrouwbaarheid Als J = {I} voor zekere totale I, dan geldt WM(ϕ) = 1
desda VhD,Ii(ϕ) = 1 volgens de waarheidsdefinitie van Tarski.
Stabiliteit (i) Als WM(ϕ) = 1, dan WM0(ϕ) = 1 voor alle restricties M0 van
M;
(ii) Als WM(ϕ) = 0, dan WM0(ϕ) = 0 voor alle restricties M0 van M.
Resolutie (i) Als WM(ϕ) 6= 1, dan is er een restrictie M0 van M zodanig dat
WM0(ϕ) = 0;
(ii) Als WM(ϕ) 6= 0, dan is er een restrictie M0 van M zodanig dat
WM0(ϕ) = 1.
Bewijs Dat de waarheidsdefinitie aan de genoemde principes voldoet is onmid- dellijk duidelijk. Dat het ook de enige is die aan deze principes voldoet is als volgt in te zien. Elke andere waarheidsdefinitie zou (minstens) een van de vier volgende situaties toelaten:
(a) voor een of ander supermodel M zou kunnen gelden dat WM(ϕ) = 1,
terwijl toch voor zekere totale I ∈ J , VhD,Ii(ϕ) = 0. Maar dat zou in
strijd zijn met het genoemde principe van stabiliteit.
(b) voor een of ander supermodel M zou kunnen dat WM(ϕ) 6= 1, terwijl toch
voor alle totale I ∈ J , VhD,Ii(ϕ) = 1. Maar dat zou in strijd zijn met het
genoemde principe van resolutie.
(c) voor een of ander supermodel M zou kunnen gelden dat WM(ϕ) = 0,
terwijl toch voor zekere totale I ∈ J , VhD,Ii(ϕ) = 1. Dit zou net als (a)
in strijd zijn met het principe van betrouwbaarheid.
(d) voor een of ander supermodel M zou kunnen dat WM(ϕ) 6= 0, terwijl toch
voor alle totale I ∈ J , VhD,Ii(ϕ) = 1. En dit is net als (c) in strid met
principe van resolutie.
De volgende definitie legt vast wanneer een redenering ∆/ϕ geldig is in deze opzet.
Definitie 41 ∆ |= ϕ desda voor alle supermodellen M geldt: als WM(ψ) = 1
voor alle ψ ∈ ∆, dan WM(ϕ) = 1.
Stelling 22 ∆ |= ϕ desda ∆/ϕ is geldig in de klassieke zin van het woord. Bewijs Van rechts naar links: Stel ∆ 6|= ϕ. Dan is er een supermodel M = hD, J i
zodanig dat WM(ψ) = 1 voor alle ψ ∈ ∆, terwijl WM(ϕ) 6= 1. Gegeven het
resolutieprincipe er een restrictie M0 van M zodanig dat WM0(ϕ) = 0. Beschouw
70 HOOFDSTUK 3. VAAGHEID
stabiliteit zal gelden WM00(ϕ) = 0, en ook WM00(ψ) = 1 voor alle ψ ∈ ∆. Dat
betekent dat ∆/ϕ ook ongeldig is in de klassieke zin van het woord. Met M00 is
een een Tarskiaans tegenmodel tegen ∆/ϕ gegeven. Van links naar rechts: triviaal.
Sorites: Volgens deze aanpak hebben vage predikaten dus dezelfde logische ei-
genschappen als precieze predikaten. Zo geldt dat |= P a ∨ ¬P a of P nu vaag is of niet. En wat de Sorites betreft: ook volgens deze theorie is die redenering geldig, en ook voorstanders van deze theorie zullen dus als ze aan de conclusie van een Soritesargument willen ontsnappen, de premissen moeten bestrijden. Ze kunnen daarbij iets subtieler te werk gaan dan de (imaginaire) aanhangers van de theorie uit de voorgaande paragagraaf. Deze aanpak stelt je in staat te beweren dat er
een getal k is zodanig dat de zin P ak → P ak+1 onwaar is, zonder je daarmee te
verplichten ook zo’n getal k te speciferen. Bij elke volledige precisering van de
taal is er een getal k zodanig dat P ak → P ak+1 onwaar is, maar dat getal k hoeft
niet voor elke volledige precisering hetzelfde te zijn.
Kritiek: De hier behandelde theorie gaat er vanuit dat vaagheid een kwestie
van luiheid is - we zouden wel precies kunnen zijn als we dat zouden willen, zo stelt clausule e) van de definitie van supermodel, maar waarom zouden we precies worden daar waar alle verdere precisering toch niets uitmaakt? Het is echter de vraag of dit een juiste stelling is. Als Michael Dummett, wiens theorie we in de volgende paragraaf zullen behandelen gelijk heeft, dan kunnen we niet precies zijn, tenminste niet zonder in botsing te komen met een fundamenteel semantisch principe dat aan het gebruik van alle vage predikaten ten grondslag ligt.
3.4
Dummett’s Diagnose
Variants of the Sorites - if you want more variants than the ones given in section 1
are easy to come by.1 In fact, it appears from [8] that the supply is inexhaustible.
All you need is a vague predicate P , preferably one with a comparative form, the use of which is guided by the following rule:
If two objects are observationally indistinguishable in the respects relevant to P , then either both satisfy P or else neither of them does.
Following Kamp [1981], we will refer to this principle, which expresses the Equi- valence of Observationally Indistinguishable objects, as EOI.
With such a vague predicate P , one can nearly always associate a domain D and a relation R with the following properties:
1. Wat volgt is een bewerking van een deel van een artikel dat in samenwerking met R. Muskens in het Engels geschreven is.