moet natuurlijk ook het e doorgangspunt van KA liggen. Het was dus niet noodzakelijk dit doorgangspunt te bepalen

+V +Z

FIG. 32

_7,12, Twee evenwijdige vlakken

Als twee vlakken evenÎvijdig zijn en ze worden gesneden door een derde vlak, dan lopen de beide snijlijnen evenwijdig,

Van evenwijdige vlakken moeten daarom de gelijknamige doorgangen evenwijdig

ZlJn, (zie figuur 33)

FIG. 33

Par. 8 Opgaven (ruimtefiguur en konstruktiefiguur)

(], Gegeven zijn de punten'A

(1,4,2)'

en B

(5,1,1).

Bepaal de doorgangspunten van de rechte AB en geef aan door welke ruimte-hoeken de rechte gaat.

\§·

Dezelfde vraag als in opgave

1;

maar nu ZlJn de punten: A

(0,1,-5)

en

B (5,-3,2).

~ De rechte astaat loodrecht op n

1. Het doorgangspunt I

1 heeft de koÖrdina-ten

(4,0,3),

Teken de rechte a.

~)·Een rechte b heeft de volgende doorgangspunten I

(-3,0,-1);

II

(-3,5,0).

Teken de rechte b.

Schrijf de koÖrdinaten van de doorgangspunten van de in figuur

34

gepro-jekteerde rechten a, ben c op. (Opmeten in cm)

Welke bijzonderheden heeft de lijn c?

z _y

~,1 '

_\ '

ïC ·

'

^.

(._ ((!:Je: C,)I('.))

't ,-:-~ ,, ('_\ t; lt

J , , ? ' ^{J )}

xz

34

®

Teken een punt in een vlak dat loodrecht op ~

1 is, Doorgangen van a 1: I I

(6,o,o)

en I I I

(o,o,4).

(t\

Gegeven een viliak a door de punten (7,0,0), (0,5,0) en

(o,o,6). ·

Teken de projekties van een vierhoek, waarvan de hoekpunten op de door-gangen liggen van dit vlak, Ben C op a

1, A op a

3 en Dop a 2.

(~ Teken een vlak door de punten A (1,2,-4), B (5,1,-1) en C (1,6,~1).

Par.

9

Gemengde opgaven .(ruimtefiguur en konstruktiefiguur)

Paf. 10 Het neerslaan van vlakken

Uitwerking: Er wordt een standvlak (B)_l__a

1 als hulpvlak aangebracht(~ ABC

+V

+Z

1 1 1 1

11

Il

11 1 1

lk---1---... r .

FIG. 35a

(ruimtefiguur)

38

FIG. 35b

(konstruktiefiguur)

Par. 11 Opgaven

Gevraagd: Bepaal de snijkromme van de cirkelcylinders.

40

Par. 12 Scheve parallelprojektie

De orthogonale projektie zoals wij die tot nu toe hebben behandeld is een onmisbaar hulpmiddel bij het exact weergeven van technische wensen en be-doelingen.

Een nadeel is soms, dat men uit orthogonale projektietekeningen vaak wat moeilijker een ruimtelijke indruk krijgt.

Het beste wordt een ruimtelijke indruk verkregen door een perspektivische projektie. Dat is een centrale projektie, waarbij alle projekterende lijnen van het voorwerp naar één punt (het oog) lopen en onderweg de projektie van het punt tekenen op het projektievlak (het tafereel).

Een houtsnede van Durer laat zien hoe een door lijnen verdeeld glas hulpmiddel is om perspectivisch te tekenen.

Voor snel en maatvast tekenwerk is de perspektief echter onbruikbaar.

Toch is soms behoefte aan een projektiemethode waarbij wel een redelijke ruimtelijke indruk wordt gewekt en toch het tekenwerk eenvoudig blijft, Dan kan de scheve (parallel-) projektie worden gebruikt, waarbij door even-wijdige lijnen in eeri willekeurig te kiezen richting wordt geprojekteerd op

TI2, Figuur

43

laat zien hoe een dergelijke scheve projektie eruit ziet.

In deze figuur is een voorwerp met 3 armen, die even lang ziJn en in de x-, de y- en de z-richting zijn georiënteerd geplaatst op TI

1.

In een willekeurig aangenomen projekteerrichting 1 is dit voorwerp geprojek-teerd op TI

2. Hoe men de figuur kqnstrueert zal met behulp van figuur

44

wor-den aangegeven.

Eerst willen wij echter enige bijzonderheden van deze projektie vermelden, Het blijkt wel, dat de ontstane scheve projektie een betere ruimtelijke in-druk biedt dan de orthogonale projektie.

Er valt nog iets anders op: had men bij de orthogonale projektie steeds de pnojektie op tenminste TI

1 en TI

2 en vaak ook op TI

3 nodig om voldoende de vorm van het voorwerp vast te leggen; bij de scheve projektie is eigenlijk steeds wel met alleen de projektie op te volstaan. Dit komt omdat deze scheve

pro-- pro-- pro-- pro-- ~

' _' '

^\.

'

^\.

+ij-as ' ,

+x-as

t..2

FIG. ,3

- - ~

'\.

"

^'\.

'\.

' _{' '}

FIG.44a

t,

1 D=Di

1 1 1 1

1

l 2

D2 1

FIG.44b

44

Men brengt een hulpvlak_l1r

2 door 1 en een hulpvlak

_J_

1r

Als men een methode vindt om het met 2 lijnen te doen bespaart men 1 /3 van

korte methode van konstrueren FIG.

t.t.

d willekeur bepalen in welke richting men lijnstukken P

1P

2 wil projekteren en welke verlengings- of verkortingsverhouding men daarbij wil toepassen.

Deze lengteverhouding lengte der scheve projektie werkelijke lengte

Wil men dus op een gemakkelijke wijze van een figuur in het ~

Men kan ook een andere me.thode volgen en b . v. nemen:

richting P

1Ps onder een gemakkelijk te tekenen hoek van b.v.

45°

en P1P

2 ⁼ P

1Ps (figuur

45)

Dit werkt in de praktijk iets sneller en. overzichtelijker omdat men duidelijker ziet waar het in scheve projektie getekende punt vandaan komt. Déze WlJZe van projektietekenen is echter wel echt een "maniertje", een "recept" geworden, waaraan men niet gemakkelijk meer ziet wat men eigenlijk doet (in wezen werkt men dan met 1

2 ⁽⁼ richting van de z-as in scheve projektie) = onder 22~⁰ links omhoog en n ~

3/4,

zie figuur

47.

f:1G 47 De in ~

1 liggende plattegrondfiguur van figuur

46

is in figuur

48

nog eens ge-tekend met laatstgenoemd recept.

FlG 48

Tot hiertoe is alleen nog maar gesproken over de scheve projektie van pun-ten of figuren, die in rr

1 liggen; figuren, die in het horizontale vlak liggen;

technisch dus over "plattegronden", "boven-" of "onderaanzichten".

Het is van belang plattegronden in scheve projektie te kunnen tekenen, maar ook de "opbouw", datgene wat boven of onder het horizontale vlak ligt, moet in scheve projektie kunnen worden getekend.

Om te zien dat zulks ook bijzonder eenvoudig is beschouwen we figuur

43

nog eens. Door de evenwijdigheid der projekterende lijnen worden vertikale lijn-stukken als vertikale lijnen op rr

2 geprojekteerd in onveranderde lengte.

De eenvoudige manier om in scheve projektie een punt Paf te beelden dat

"a" cm boven rr

1 ligt bestaat dus hierin, dat men eerst de 1e projektie P 1 van dat punt in scheve projektie afbeeldt en dan de scheve projektie van het punt zelf vindt op '.'a" cm vertikaal boven de scheve projektie van P

1.

Als we de scheve projektie nu eens beschouwen in relatie tot de normale

.- wordt uitgegaan van de . eerste (orthogonale) proj ektie ( de plattegrond);

- dat deze eerste (orthogonale) projektie in scheve projektie wordt gebracht door de Z-ordinate~ (P

1P

2) van ieder punt vanuit P

2 op de x-as)te tekenen 1n 1

2-richting en daarop de lengte P

8^P2 ⁼ n.P 1P

2 vanuit P

2 af te zetten;

- dat bij deze bewerking x-ordinaten evenwijdig aan de x-as blijven en hun lengte behouden;

- aat tenslotte de scheve projekties van de boven resp. onder ~

1 gelegen punten van het voorwerp worden gevonden door de y-ordinaten, onveranderd van lengte en richting boven resp. onder de in scheve projektie gebrachte eerste projekties af te zetten.

Als voorbeeld nemen we nu nogmaals de figuur ABCDEF van figuren 46 en 48 (AB

=

8).

Gesteld dat dit de plattegrond van een huis is, dat een zadeldak heeft met goothoogte 3 en nokhoogte

6.

Figuren 49 en 50 geven dan de scheve projek-tie weer,

FIG 49

so

F'IG '50

FIG'. 51

Par. 13 Nog verdere vereenvoudiging

In figuur 5·1 is de scheve projektie gekonstrueerd van een kwadratennet aan-gebracht in n

1 als n = 1 wordt aangehouden en voor de richting van 1 2 de richting 1 : 2 met de x-as.

Als men nu van een technisch voorwerp de scheve projektie wil tekenen en men heeft van dit voorwerp b.v. op andere tekeningen de orthogonale projekties, dan kan men de plattegrond (de eerste projektie) van dat voorwerp ook direkt in scheve projektie tekenen door de x- en z-maten van het voorwerp uit te zetten in het scheefhoekige x -z -koÖrdinatensysteem (en daarna boven de in

s s

scheve projektie gebrachte plattegrond de y-ordinaten vertikaal uit te zet-ten.

Dat ^lS ook een vaak gebruikte snelle methode, Men neemt dan meestal de x-as aan de onderzijde van het papier en zet de z-ordinaten scheef rechts naar bovèn· uit~

Deze methode is in vele variaties in gebruik, waarvan sommige een eigen naam hebben gekregen.

Zo heet:

figuur

52 (45°,

n = 1) de timmermansprojektie en figuur

53 (45°,

n =

0,5

à O,î) de cavalierprojektie.

FIG '52.

52

Het is natuurlijk ook mogelijk een kwadratennet van n

1 dat een hoek maakt met de assen in scheve projektie te brengen, hetgeen vaak verhoging van het

ruim-·, telijk effekt van de tekening tot. gevolg heeft, Voorbeelden daarvan zijn:

figuur

54 (30°, 30°,

n = 1) hetgeen isometrische projektie heet en

figuur

55 (42°, 7°,

n

= 0,5)

hetgeen dimetrische projektie wordt genoemd.

FIG '5'4

FIG 5'5'

Men kan ad libitum variaties daarop verzinnen, b.v. figuur

56 (45°, 30°,

n=1).

Op deze weg voorgaande kan men het kwadratennet zelfs transformeren tot een perspektivisch-verkleinend net.

Als men dan ook nog een raster voor perspektivisch verkleinend uit te zetten

. .

hoogten y toevoegt heeft men een ondergrond, waarmee heel bruikbare perspek-tiefschetsen zijn te maken.

Dergelijke vellen zijn in de handel.

~14

Projectie van krDrrnnen.

In principe wordt een krDrrnne geprojecteerd door ieder punt van die krDm-rne te projecteren.

Meestal kan men de projectie sneller tekenen door gebruik te maken van meet-kundige eigenschappen.

bv. constructie van ellips met gegeven assen (fig 1)

en constructie van ellips op toegevoegde middellijnen (fig. 2a en 2b)

A

A ^{FIG. 1}

Projecties van lichamen met gekrom:le oppervlakken.

In principe worden deze geprojecteerd door hun begrenzingen

af

te beelden; b.v. een kegel wordt geprojecteerd door de projectie's van grondvlak en top te bepalen en deze met lijnen te verbinden.

Een bol projecteer;t tz;ich steeds als cirkel.

Een torus is op te vatten als de meetkundige plaats van bollen van gelijke diameter, die hun middelpunt op een c~rkel hebben. Bij projectie van een torus projecteert men dus de hartcirkel, tekent daarop de bollen en voltooit de pro-jectie van de torus door de omhullende van de getekende bollen te trekken.

Als voorbeelden (1° en 2° projectie) zie fig.

3,4,5,

B 2

z

V

xz

Doorsnijdingen.

Doorsnijdingen van ruimtelijke lichamen met een plat vlalc of eventueel met elkaar kunnen in 't algemeen geprojecteerd worden door van de doorsnijdings-figuur op zo gem3kkelijk mogelijke wijze punten te construeren.

Als voorbeelden (1° en 2° projectie)

zie fig.

6:

doorsnijding van staande kegel en bol. Te construeren door het aanbrengen van een serie horizontale hulpvlalcken die met de kegel zowel als met de bol cirkels hebben die direkt zijn te tekenen.

- - - J - - - : - l f - - - - h - - - ' > . ~ - - - - 2

1

- - - , f - - - ' j f - t - - H - - - i : ~ - - - \ - - - -

3

xz

en fig.

7 :

doorsnijding van staande kegel met liggénde cylinder te constru-eren door het aanbrengen van een hulplijn door de top van de kegel en evenwijdig aan de as van de ,ylinder.

Een serie hulpvlakken door dez, hulplijn geeft zowel met de kegel als met de cylinder rechte snijlijnen. Zo zijn punten van de door-snijdingskromme gemakkelijk te bepalen.

60

xz

·--·-r---§45.

Perspektief tekenen

Persp.ekti vi sch tekenen is het afbeelden van voorwerpen volgens centrale projektie van.uit het oog op een plat-vlak-van-tekening (het ¹¹tafereel") dat (gewoonlijk) tussen oog en voorwe.rp is geplaatst (fig. 1),

De beginselen van deze methode, voldoende om technische werken perspek-tivisch te tekenen, zullen hier worden behandeld. is aangebracht in de perspektief-tekening verschijnt.

De oorsprong is gemakkelijk te vinden, want die.ligt_al in het tafereel; grondvlak in het (horizontale) vlak(// grondvlak). Alle ..,_verre punten van het grond.vlak (en van alle daaraan evenwijdige - ook horizontale -

vlajt-Het is wel duidelijk dat die lijn de "horizon" wordt genoemd.

Hoe gaat men nu daadwerkelijk perspektief-tekenen?

Dat het tekenpapier het tafereel zal moeten zijn is duidelijk! waar-van de perspektivische·afbeelding samenvalt met het punt zelf,

Zo'n lijn x = n is een lijn in de. Y-richting, die loopt dus naar het

• . , • : • • • , ! een vereenvoudigde methode aangegeven worden voor het in perspektief brengen van een· in het grondvlak gelegen tekening (een bovenaanzicht, een platte-grond of een situatietekening),

We nemen aan dat in die plattegrond of situatie een X-Y-as~eµkruis 1s aan-gebracht ten opzichte waarvan van alle punten gemakkelijk de koördinaten kunnen worden opgemeten.

We moeten dan nog een eenvoudige methode hebben om diezelfde koördinaten

•1:

in de perspektivische plattegrond uit te zettep, zonder gedwongen te zijn gebruik te maken van het onderste 1/3 gedeelte van figuur 2b, dus zonder gebruik.te maken van het neergeslagen grondvlak.

Als we dan letten op de grondlijn,aangegeven in fiBuur 2b, dan ziet men,

Men zou natuurlijk best voorbedrukt perspektieftekenpapier kunnen m,aken waarop rechts en links van O zulke schalen met eei;iheid =~en ee~he~d = 2 zouden zijn aangegeven.

Men kan echter ook een ,ander tekenhandigheidje toepassen, waarmee men be-reikt dat men de X- en Y-koördinaten in de perspektief. kan uitzetten op dezelfde s.c.paal, waarop ze in de plattegrond:figuur worden. opgemeten ( zie

Links

van

C{ staan op de ·groridlij n eenheden 2 x

zo

groot als

·die·

der platte..:

grondf'1gl1tir·ëlri"dè Y-koördfoatén van de plattegrondfiguur moeten op de 2

x

zo grote scha.al worden uitgezet en verbonden met V.

X

Indien men nu op halve hoogte tussên horizon en grondlijn een naar.links lopende.hu.lpschaal aanbrehgt evenwijdig aan dé grondlijn, met zîri (),.:.punt

64

koördinaten in de plattegrond gemeten zijn moet deze hulpschaal getrokken worderi op èen afstand. van de horizon die zich verhoudt tot. de afstand·

horizon-grondlijii. als V3: 2 dus als lange rechthoekzijde van een 30-60-90°

driehoek ·st·aat tot zijn hypothenusa.

Op deze wijze werkende met de beide hulpschalen · kan men in de perspektief· op._·

\. ..

1

Het zal duidelijk zijn dat zulks in de werkelijkheid gaat met een horizon-tale lijn vanaf de Z-as naar

Q,

Die horizontale lijn is evenwijdig met O-Q 1• Nu is O-Q

1 in de perspektie~tekening gemakkelijk te tekenen (immers Q heb-ben we op de grondlijn en

Q

1 kunnen we met h~t assenkruis konstrueren).

O-Q1 is dus in perspektief te tekenen en die lijn is door te zetten tot we op de horizon het verdwijnpunt van alle lijnen

in

de O-Q1-richting vin-den.

Van de hoogte z op de Z-as kunnen we nu dus de perspektief van de lijn van de Z-as naar

Q

op hoogte z boven het grondvlak gemakkelijk trekken naar 'dit gevonden verdwijnpunt.

De perspektief van Q vinden we in de vertikaal door de perspektief van

Q

₁ (in figuur

4

is punt 2, 1,

4

in perspektief gebracht).

' ... · .

.

Met vórenstaa.ade summiere kennis van de perspektief zijn heel aanvaard-bare perspektivische tekeniOBen van technische werken te maken.

Figuur f"

/ .

~

-

^{./ /}

/~.pr./

~ /

/ /

r

In document Technische Hogeschool Delft (pagina 35-69)