(f (P1), f (P2), . . . , f (Pq−1)) : f = k−1 X j=0 cj xj yj, ci∈ Fq
Zetten we de punten van P zoals boven in de vorm (αi : 1 : 0), dan zien we dat f (Pi) =Pk−1
j=0cjαji een polynoom is in αialleen. Door alle f ∈ L(D) te doorlopen, krijgen we alle polynomen van graad ≤ k − 1. We kunnen onze code dus ook beschrijven als:
C(P, D) = {(f(α1), f (α2), . . . , f (αq−1)) : f ∈ Pk}
waar Pkweer de verzameling van alle polynomen van graad < k is. Dit is de narrow sense Reed-Solomon-code RNSq(k) (zie opmerking 2.30).
2.6 Morfismen tussen krommen
In deze paragraaf bespreken we wat er met algebra¨ısch-geometrische codes gebeurt onder transformaties van de onderliggende krommen. Om het begrip “transformaties” in de vorige zin precies te maken hebben we eerst het concept van de rationale afbeelding nodig.
Definitie 2.47. Zij C/k ⊂ P2(K) een projectieve kromme. Een rationale afbeelding ϕ : C −→ Pm over k wordt gegeven door m + 1 rationale functies {f0, f1, . . . , fm} met fi ∈ k(C) en niet alle fi gelijk aan de nulfunctie. We noteren ϕ ook wel met ϕ = (f0 : f1 : · · · : fm). Twee rationale afbeeldingen (f0: f1: · · · : fm) en (g0: g1: · · · : gm), met fi, gi∈ k(C), defini¨eren dezelfde rationale afbeelding dan en slechts dan als er een h ∈ k(C)∗ bestaat zodanig dat gi= hfi voor alle i.
We kunnen elke rationale afbeelding ook uitdrukken met homogene polynomen. Hiertoe vermenigvul-digen we alle fi, geschreven als quoti¨enten van homogene polynomen fi= Gi/Hi, met het product van hun noemers. Een rationale functie wordt dan geschreven als een uitdrukking van de vorm (F0: F1: · · · : Fm) met Fi∈ k[X, Y, Z] homogene polynomen van gelijke graad. Merk hierbij op dat de Fi zelf niet in k(C) zitten.
Definitie 2.48. Zij C ⊂ P2(K) een projectieve kromme en P ∈ C een punt op de kromme. Een rationale afbeelding ϕ : C −→ Pm over k is regulier in P als ϕ kan worden geschreven als ϕ = (f0: f1: · · · : fm) met fi ∈ OP voor alle i en fi(P ) 6= 0 voor tenminste ´e´en i. De afbeelding ϕ is regulier als ze in alle punten van C regulier is.
Als we ϕ = (F0 : F1 : · · · : Fm) weer in termen van homogene polynomen hebben geschreven is regulariteit in P equivalent met de voorwaarde dat ´e´en van de Fi geen nulpunt heeft in P .
In punten waar een rationale afbeelding regulier is kunnen we spreken van de waarde van zo’n afbeel-ding. Zij ϕ : C −→ Pm een rationale afbeelding die regulier is in het punt P . Dan kunnen we dus ϕ schrijven als ϕ = (f0: f1: · · · : fm) met fi∈ OP en fi(P ) 6= 0 voor zekere i.
We kunnen ook hier weer de schrijfwijze in homogene polynomen gebruiken. Als we ϕ schrijven als een (m + 1)-tal homogene polynomen ϕ = (F0 : F1 : · · · : Fm), dan stelt (F0(P ) : F1(P ) : · · · : Fm(P )) eenduidig een projectief punt voor.
Stelling 2.50. Zij C een gladde projectieve kromme en ϕ : C −→ Pm(K) een rationale afbeelding. Dan is ϕ regulier.
Bewijs. [vLvdG, §2.1].
Opmerking 2.51. De voorgaande stelling lijkt niet erg strenge voorwaarden op te leggen aan reguliere afbeeldingen. Men kan zich afvragen of er ¨uberhaupt voorbeelden van niet-reguliere afbeeldingen te geven zijn. Hiervoor hebben we volgens stelling 2.50 krommen C nodig die niet glad zijn, zoals de kromme gegeven door Y2− X3= 0 die we al zagen in paragraaf 1.2.2. De afbeelding ϕ : C −→ P1 gegeven door (Y : X) is non-regulier in het punt (0 : 0 : 1).
We zijn nu in staat om rationale afbeeldingen tussen krommen te defini¨eren.
Definitie 2.52. Zijn C1, C2⊂ P2(K) projectieve krommen, dan is een rationale afbeelding ϕ : C1−→ C2
gedefinieerd als een rationale afbeelding ϕ : C1 −→ P2 zodanig dat ϕ(P ) ∈ C2 voor alle P ∈ C1 waar ϕ regulier is.
Definitie 2.53. Een morfisme ϕ : C1−→ C2over k is een rationale afbeelding over k die overal regulier is.
Een belangrijke klasse van morfismen is die der isomorfismen.
Definitie 2.54. Een isomorfisme ϕ : C1−→ C2(over k) is een morfisme (over k) waarvoor een morfisme ψ : C2 −→ C1 (over k) bestaat zodanig dat ψ ◦ ϕ = idC1 en ϕ ◦ ψ = idC2. Als C1 en C2 projectieve krommen zijn waartussen een isomorfisme ϕ (over k) bestaat, dan heten C1 en C2 isomorf (over k).
Het is niet heel lastig om te bewijzen dat isomorfie een equivalentierelatie definieert op de verzameling van krommen over k.
Opmerking 2.55. Met idC wordt het identiteitsmorfisme bedoeld waarvoor idC(P ) = P voor alle P ∈ C. Dit morfisme kan bijvoorbeeld worden gegeven als idC = (X : Y : Z). In affiene co¨ordinaten x = X/Z, y = Y /Z is dit equivalent met idC= (x : y : 1).
Definitie 2.56. Zij ϕ : C1−→ C2 een morfisme. Zij D =P
niPi een divisor op C1. Dan defini¨eren we ϕ(D) :=P
niϕ(Pi).
Neem nu voor C1/Fq en C2/Fq twee gladde projectieve krommen waartussen een isomorfisme ϕ bestaat met inverse ψ. Beschouw P = {P1, . . . , Pn} ⊂ C1 en een divisor D = P
niPi op C1 over Fq. Deze leveren ons op de vertrouwde wijze een code. Men kan zich nu afvragen wat er gebeurt als we in plaats hiervan naar C2 kijken en P′
:= {ϕ(P ) : P ∈ P} en D′ := ϕ(D) nemen. (Merk op dat we niet eisen dat supp(D) ∩ P of supp(D′
) ∩ P′ leeg zijn: met definitie 2.35 in het achterhoofd is dit ook geen enkel probleem.)
Stelling 2.57. De codes zijn identiek: C(P, D) = C(P′, D′).
Alvorens we deze stelling bewijzen hebben we nog een extra lemma nodig. Het morfisme ϕ induceert een terugtrekking ϕ∗: k(C2) −→ k(C1) met inverse ψ∗: k(C1) −→ k(C2).
We zullen nu aangeven hoe deze terugtrekking er concreet uitziet. Schrijf ϕ = (F0: F1: F2) met Fi ho-mogene polynomen van gelijke graad en zij f = G/H ∈ k(C2), dan is ϕ∗(f ) = G(F0, F1, F2)/H(F0, F1, F2). In [Shafarevich, §1.4.3] wordt aangetoond dat ϕ∗en ψ∗ zelfs een lichaamsisomorfisme k(C1) ∼= k(C2) de-fini¨eren.
Lemma 2.58. Zijn C1/k, C2/k ⊂ P2(K) projectieve krommen, P ∈ C1, f ∈ k(C2), en zij ϕ : C1−→ C2
Bewijs. Zij t ∈ k(C2) een lokale uniformisant in ϕ(P ). We tonen aan dat ϕ∗t een lokale uniformisant is in P . Hiertoe moeten we aantonen dat iedere g ∈ k(C1) te schrijven is als g = u(ϕ∗t)r met r ∈ Z en u ∈ O∗
P. Omdat t ∈ Oϕ(P ) een lokale uniformisant is kunnen we ψ∗g schrijven als ψ∗g = vtr met r ∈ Z en v ∈ O∗
ϕ(P ). Passen we links en rechts in deze vergelijking terugtrekking toe en gebruiken we dat ϕ∗een lichaamsisomorfisme is, dan vinden we g = ϕ∗v (ϕ∗t)r. Dit maakt het bewijs compleet, mits we aantonen dat ϕ∗v regulier is in P en (ϕ∗v)(P ) 6= 0. Dit volgt direct uit v(ϕ(P )) 6= 0.
Nu we hebben aangetoond dat “de orde van een functie in een punt” behouden blijft onder isomor-fismen, valt eenvoudig na te gaan dat ϕ∗ en ψ∗ de ruimten L(D′) en L(D) bijectief op elkaar afbeelden. Zij {f1, f2, . . . , fk} een basis voor L(D′). Via ϕ∗
zien we dat {ϕ∗f1, ϕ∗f2, . . . , ϕ∗fk} een basis is van L(D). Om een voortbrengermatrix te construeren moeten we deze bases evalueren in respectievelijk P′= {ϕ(P1), ϕ(P2), . . . , ϕ(Pn)} en P = {P1, P2, . . . , Pn}.
Bewijs. Het bewijs is tenslotte voltooid met de constatering dat de twee resulterende voortbrengermatri-ces identiek zijn:
ϕ∗f1(P1) ϕ∗f1(P2) · · · ϕ∗f1(Pn) ϕ∗f2(P1) ϕ∗f2(P2) · · · ϕ∗f2(Pn) .. . ... . .. ... ϕ∗fk(P1) ϕ∗fk(P2) · · · ϕ∗fk(Pn) = f1(ϕ(P1)) f1(ϕ(P2)) · · · f1(ϕ(Pn)) f2(ϕ(P1)) f2(ϕ(P2)) · · · f2(ϕ(Pn)) .. . ... . .. ... fk(ϕ(P1)) fk(ϕ(P2)) · · · fk(ϕ(Pn))
Stelling 2.59. Zij C/Fq een gladde kromme en D, D′ lineair equivalente divisoren op C over Fq. Zij P = {P1, P2, . . . , Pn} een verzameling punten op de kromme met (supp(D) ∪ supp(D′)) ∩ P = ∅. Dan zijn de codes C(P, D) en C(P, D′) equivalent.
Bewijs. Neem aan dat D − D′= (f ) met f ∈ Fq(C). We defini¨eren de isomorfe afbeeldingen π(g) = f g en ξ(h) = h/f zoals in stelling 2.6. Als dus {g1, . . . , gk} een basis is voor L(D), dan is {fg1, . . . , f gk} een basis voor L(D′). We hebben dan de volgende voortbrengermatrices:
C(P, D) := im g1(P1) g1(P2) g1(P3) · · · g1(Pn) g2(P1) g2(P2) g2(P3) · · · g2(Pn) .. . ... ... . .. ... gk(P1) gk(P2) gk(P3) · · · gk(Pn) , C(P, D′) := im f (P1)g1(P1) f (P2)g1(P2) f (P3)g1(P3) · · · f (Pn)g1(Pn) f (P1)g2(P1) f (P2)g2(P2) f (P3)g2(P3) · · · f (Pn)g2(Pn) .. . ... ... . .. ... f (P1)gk(P1) f (P2)gk(P2) f (P3)gk(P3) · · · f (Pn)gk(Pn) Merk op dat f wegens (f ) = D − D′
alleen nulpunten en polen kan hebben in supp(D) ∪ supp(D′). Dit betekent dus dat f (Pi) is gedefinieerd en dat geldt f (Pi) 6= 0 voor alle i. De tweede matrix kan uit de eerste worden gevormd na een herschaling van de i-de kolom met een factor f (Pi). De twee codes zijn dus equivalent.
We willen met de aldus verkregen middelen aantonen dat een “grote” klasse van codes verkregen uit krommen van geslacht nul equivalent zijn aan Reed-Solomon-codes. Hiervoor hebben we enkele lemma’s nodig.
Lemma 2.60. Zij X /Fq de kromme gegeven door Z = 0 en D een divisor overFq op X met deg D = 0. Dan is D een hoofddivisor: er is een f ∈ Fq(X ) zodanig dat D = (f).
Bewijs. [Shafarevich, §3.1.1, Example 2].
Lemma 2.61. Zij C/Fq een gladde kromme van geslacht nul en X zoals hierboven. Dan zijn C en X isomorf overFq.
Bewijs. [Shafarevich, §3.6.6, Corollary 3].
Zij nu C/Fq een kromme van geslacht nul. Door lemma’s 2.60 en 2.61 te combineren concluderen we dat elke divisor van graad nul op C een hoofddivisor is.
Gevolg 2.62. Hieruit volgt ook dat twee divisoren D en D′ op een gladde kromme C/k van geslacht nul, waarvoor deg D = deg D′
, lineair equivalent zijn. Immers deg(D−D′
) = 0 =⇒ ∃f ∈ K(C) : D−D′= (f ). Vervolgens hebben we nog een eigenschap nodig van de meetkunde van de kromme X /Fq gegeven door Z = 0, zoals we die eerder tegenkwamen in voorbeeld 2.46.
Lemma 2.63. Zij X als hierboven. Zijn {P1, P2}, {P3, P4} ⊂ X (Fq) twee paren van onderling verschil-lende punten van X . Er bestaat een isomorfisme ϕ : X −→ X waarvoor ϕ(P1) = P3 en ϕ(P2) = P4. Bewijs. We zoeken een isomorfisme van de vorm (X : Y : 0) 7−→ (aX + bY : cX + dY : 0). We stellen Pi= (ξi: ηi: 0). We drukken de eigenschap dat ϕ(P1) = P3, ϕ(P2) = P4 uit in lineaire vergelijkingen:
aξ1+ bη1 = ξ3s cξ1+ dη1 = η3s aξ2+ bη2 = ξ4t cξ2+ dη2 = η4t
waarbij s en t schaalfactoren zijn waarmee rekening gehouden wordt met verschillende representaties van hetzelfde projectieve punt. We schrijven bovenstaand stelsel als een matrixvermenigvuldiging:
ξ1 η1 0 0 0 0 ξ1 η1 ξ2 η2 0 0 0 0 ξ2 η2 a b c d = ξ3s η3s ξ4t η4t
De determinant van de matrix links is −(ξ1η2− ξ2η1)2= − det ξ1 η1 ξ2 η2 2 . Deze uitdrukking is 6= 0 omdat P1 en P2 verschillende projectieve punten zijn. Dat wil zeggen dat de matrix inverteerbaar is en er a, b, c, d te vinden zijn die aan de vergelijking voldoen.
Tenslotte moet nog worden aangetoond dat ϕ een isomorfisme is, dus dat er een morfisme ψ bestaat met ψ = ϕ−1. We zoeken een ψ van de vorm (X : Y : 0) 7−→ (a′X + b′Y : c′X + d′Y : 0). We kunnen nu precies hetzelfde voortgaan als hierboven. Het enige verschil is dat we nu nodig hebben dat P36= P4.
Dit alles leidt tot de volgende stelling.
Stelling 2.64. Zijn C/Fq een gladde kromme van geslacht nul, P ⊂ C(Fq) een verzamelingFq-rationale punten van C met #P = q − 1 en D een divisor over Fq op C zodanig dat supp(D) ∩ P = ∅ en 0 ≤ deg D < #P. Dan is C(P, D) equivalent met een narrow-sense Reed-Solomon-code RNSq(k) voor zekere k.
Met andere woorden: algebra¨ısch-geometrische codes over Fq van lengte q − 1 en afkomstig van krommen van geslacht nul zijn equivalent met Reed-Solomon-codes.
Bewijs. We vormen een keten van drie equivalentierelaties tussen C(P, D) en een onvervalste narrow-sense Reed-Solomon-code.
Volgens lemma 2.61 is C isomorf met X , waarbij X de kromme is zoals in paragraaf 2.5. Zij ϕ : C −→ X een isomorfisme. Nu gebruiken we stelling 2.57 die zegt dat de code C(P′, D′) van de kromme X identiek is aan de code C(P, D), waarbij P′ = ϕ(P) ⊂ X (Fq) en D′ = ϕ(D).
We hebben #P′ = #P = q − 1, dus er zijn twee Fq-rationale punten op X niet bevat in P′. Noem deze Q1en Q2. Volgens lemma 2.63 is er een isomorfisme ψ : X −→ X zodanig dat ψ(Q1) = (1 : 0 : 0) en ψ(Q2) = (0 : 1 : 0). Gebruiken we wederom stelling 2.57, dan vinden we dat C(P′, D′) en C(ψ(P′), ψ(D′)) permutatie-equivalent zijn.
We kiezen nu de symbolen P1, P2, . . . , Pq−1, P∞zoals in voorbeeld 2.46. Zij vervolgens k := deg ψ(D′) (= deg D) en D′′ := kP∞. De divisoren D′′ en ψ(D′) hebben gelijke graad en zijn dus lineair equivalent volgens gevolg 2.62, dus uit 2.59 volgt dat C(ψ(P′), ψ(D′)) en C(ψ(P′), D′′) equivalente codes zijn (niet noodzakelijk permutatie-equivalent).
Merk nu op dat ψ(P′
) = {P1, P2, . . . , Pq−1}. Aan de hand van voorbeeld 2.46 zien we dat de code C(ψ(P′), D′′) een narrow-sense Reed-Solomon-code is. Uit onze keten van equivalenties volgt nu inderdaad dat C(P, D) equivalent is met een narrow-sense Reed-Solomon-code:
C(P, D) = C(P′, D′) ∼ C(ψ(P′), ψ(D′)) ∼ C(ψ(P′), D′′)
Opmerking 2.65. In de literatuur (zie het boek van Huffman en Pless [5]) is bovendien sprake van extended narrow-sense Reed-Solomon-codes en de generalized Reed-Solomon-codes. Dit zijn respectievelijk [q, k, q − k + 1]- en [q + 1, k, q − k + 2]-codes over Fq. Van deze codes kan op exact dezelfde wijze worden aangetoond dat ze precies corresponderen met algebra¨ısch-geometrische codes van krommen van geslacht nul met lengte q resp. q+1. Het ietwat onoverzichtelijke scala aan verschillende typen Reed-Solomon-codes kan dus op een elegante manier worden geherformuleerd in termen van algebra¨ısch-geometrische codes afkomstig van krommen van geslacht nul, waarbij het resulterende type Reed-Solomon-code eenvoudigweg van de lengte van de code afhangt, oftewel van de cardinaliteit van P.