Werkblad 5: serie 1
Opgave 1Het vermogen van een windmolen wordt gegeven door de formule:
P = 0,00013 · v3 · D2.
Voor een bepaalde waarde van D (de rotordiameter) vind je een verband tussen P en v.
a. Teken op roosterpapier een grafiekenbundel bij D = 5, D = 10, D = 15 en
D = 20 meter. Ga er van uit dat 0 ≤ v ≤ 40.
b. Lees in de grafiekenbundel de waarde van P af als v = 8 en D = 10. Omschrijf hoe je dat doet. Controleer je antwoord met de formule. c. In de grafiekenbundel kun je zien hoe het vermogen bij een bepaalde
diameter afhangt van de windsnelheid. Arceer het gebied waarvoor geldt: de diameter ligt tussen de 10 en de 20 meter en de windsnelheid is
maximaal 90 km/h.
d. Hoeveel bedraagt nu het maximale vermogen dat kan worden opgewekt?
Opgave 2
Een gemeente wil het water in haar buitenzwembad op 20°C houden. Dit hoopt men te bereiken door een verwarmingsinstallatie aan te leggen. Omdat je in de zomermaanden ook van de zonnewarmte kunt profiteren, voorspelt een
verwarmingsdeskundige dat de verwarmingskosten k zullen voldoen aan de formule: k = 800 60u 50t, waarin u het gemiddelde aantal zonne-uren per dag is en t het aantal graden Celsius is dat de buitentemperatuur afwijkt van de 20°C. k wordt gerekend in euro per dag.
a. Welke betekenis heeft het getal 800 in deze formule?
b. Op een bepaalde dag is de gemiddelde temperatuur 16°C. Dan is t = -4. Als er die dag 3,5 zonne-uren zijn, hoe groot zijn dan de
verwarmingskosten?
c. Onder welke omstandigheden blijft de temperatuur van het zwembad kosteloos op 20°C? Beschrijf een paar mogelijke situaties.
d. Teken op roosterpapier een grafiekenbundel voor k afhankelijk van u voor
t = 2, t = -1, t = 0, t = 1 en t = 2.
e. Geef in je grafiekenbundel aan hoe hoog de verwarmingskosten zijn als op een bepaalde dag de zon 6 uur schijnt en de temperatuur 22°C bedraagt. Bereken dit antwoord ook met de formule.
f. In een bepaalde week varieert de temperatuur tussen de 18°C en de 22°C. Het aantal uren zon per dag varieert van 4 uur tot maximaal 10 uur. Tussen welke twee bedragen liggen de totale verwarmingskosten voor het
zwembad in die week?
Opgave 3
De ANWB adviseert om bij het autorijden een afstand d (in m) te bewaren die de helft is van je eigen snelheid v in km/h.
Geef de formule van d als functie van v.
Gemiddeld is een auto 4 m lang. De afstand tussen de voorbumpers van twee auto's is dus s = 4 + d m. Neem aan dat alle auto's zich aan het advies van de ANWB houden, 4 m lang zijn en dezelfde snelheid v hebben.
a. De tijd t in seconden tussen twee auto's is nu te berekenen met de formule:
b. Stel een formule op voor t als functie van v door formules te combineren. c. Het aantal auto's N dat per minuut een bepaald punt passeert is: N = 60t.
Schrijf de formule op van N als functie van v.
d. Er passeren 29,9 auto's per minuut. Hoe groot is de snelheid v van deze autostroom?
Opgave 4
Hoeveel brandstof een personenauto verbruikt, hangt onder andere af van de af te leggen afstand, de rijstijl en het wachten voor verkeerslichten. We gaan dit met behulp van een wiskundig model nader onderzoeken. In dit model wordt het brandstofverbruik B (in mL) van een auto berekend met de volgende formule:
B = a ⋅ L + b ⋅ S + c ⋅ D
met:
L = ritlengte in km;
S = aantal stops onderweg;
D = totale wachttijd voor verkeerslichten in seconden.
a en b zijn getallen die van de rijsnelheid V (in km/h) afhangen en c is een
constante. Voor a, b en c geldt:
a = 170 4,55V + 0,049V2
b = 0,0077V2
c = 0,39
We laten in dit model optrekken en afremmen buiten beschouwing, zodat we in de uitdrukkingen voor a en b steeds een constante waarde voor V kunnen invullen.
a. Neem een rit over 1 km met een snelheid van 50 km/h, 2 stops onderweg en een totale wachttijd van 40 seconden. Bereken hoeveel procent van het totale brandstofverbruik gebruikt wordt voor de stops en het wachten. Twee auto’s staan voor verkeerslicht P. 600 m verderop staat een verkeerslicht Q. Als de auto’s tussen P en Q met een snelheid van 50 km/h rijden, springt het verkeerslicht Q precies op tijd op groen en kunnen ze doorrijden. Houd geen rekening met afremmen en versnellen.
Auto 1 rijdt tussen P en Q steeds met een snelheid van 50 km/h en kan dus doorrijden bij Q. Auto 2 rijdt met een snelheid van 70 km/h, zodat deze zal moeten stoppen en wachten bij Q.
b. Laat met een berekening zien dat auto 2 ruim 12 seconden voor verkeerslicht Q moet wachten.
c. Bekijk de eerste 900 m na verkeerslicht P. Na Q komt er geen verkeerslicht meer en auto 1 rijdt ook daar 50 km/h en auto 2 rijdt daar weer 70 km/h. Onderzoek of auto 2 meer dan twee keer zo veel brandstof nodig heeft als auto 1.
Opgave 5
Bij de verkoop van een bepaald artikel gelden de formules TO = p ⋅ q en
q = 200 0,5p, waarin TO de totale maandelijkse opbrengst bij de verkoop van
dat artikel is. p is de prijs (in €) en q is de verkochte hoeveelheid per maand. a. Combineer deze twee formules tot een formule voor TO als functie van q. b. Voor de maandelijkse winst TW geldt: TW = TO TK waarin
TK = 40q + 9000 de totale maandelijkse kosten voor dit artikel zijn.
De meeste schoenen worden met veters dichtgemaakt. De schoen heeft dan twee rijen gaatjes waar een veter doorheen gehaald moet worden. Als je daarna een knoop legt in de overblijvende stukken, zit de schoen dicht. In deze opgave bekijken we drie manieren om schoenveters te rijgen: Amerikaans (zigzag), Europees (recht) en Schoenverkoper (snel).
Voor schoenen met drie paar gaatjes is er iets bijzonders aan de hand: twee van de drie manieren van rijgen geven hetzelfde resultaat.
a. Maak voor elk van de drie manieren van rijgen een schets, zoals in de figuur hierboven, en laat daarmee zien welke twee manieren hetzelfde resultaat geven.
Bij elk van de drie genoemde manieren van rijgen hoort een formule voor de benodigde veterlengte. Daarbij laten we het deel van de veter waar de knoop in komt buiten beschouwing, omdat dat deel voor elke manier van rijgen even lang is.
Voor de veterlengte l gelden dan de volgende formules. Amerikaans: l 4 2( n1) d2 16
Europees: l 4(n1) 2 d2 16 ( n2) 4d2 16 Schoenverkoper: l 4(n1) ( n1) d2 16 (n1)2 d2 16 Hierbij is n het aantal paren gaatjes en d de afstand tussen de opeenvolgende gaatjes. De veterlengte l en de afstand d zijn in centimeters. Voor de formules is de afstand tussen de linker- en
rechtergaatjes op 4 cm gesteld. De formules gelden voor schoenen met ten minste twee paar gaatjes.
Ga uit van een schoen met acht paar gaatjes, waarbij de afstand tussen de opeenvolgende gaatjes 1,8 cm is.
b. Bereken het verschil in veterlengte l tussen de manieren Europees en Schoenverkoper.
Een fabrikant maakt een model schoenen in de maten 38 tot en met 45. Om de veters te rijgen gebruikt hij de Amerikaanse manier.
Voor schoenmaat 38 geldt n = 6 en d = 1,5. De totale afstand tussen het eerste paar en het laatste paar vetergaatjes is dan 7,5 cm.
Bij een grotere schoenmaat moet die afstand 9 cm worden. Daarvoor kan de fabrikant kiezen uit twee mogelijkheden:
I één paar vetergaatjes erbij;
II geen paar vetergaatjes erbij, maar de afstand d vergroten.
c. Bereken het verschil in veterlengte l tussen beide mogelijkheden. Naar aanleiding van het resultaat van vraag 14 besluit de fabrikant het model in elke maat met 6 paar vetergaatjes te maken (dus n = 6). Voor de fabrikant wordt de formule dan:
Amerikaans: l 4 10 d2 16
Om de stevigheid rond de voet te garanderen bij grotere schoenmaten maakt de fabrikant de afstand tussen de vetergaatjes volgens deze tabel. tabel 2
Voor een fatsoenlijke knoop is bij dit type schoen ten minste 42 cm extra veter nodig.
d. Onderzoek bij welke schoenmaten je een veter van 90 cm kunt gebruiken. Licht je antwoord toe.
Voor de andere twee manieren om schoenveters te rijgen, luiden de formules voor de veterlengte van schoenmodellen met zes paar vetergaatjes (n = 6) als volgt:
Europees: l 20 2 d2 16 4 4d2 16 Schoenverkoper: l 20 5 d2 16 25d2 16
De fabrikant wil zo kort mogelijke veters in de schoenen doen, want kortere veters zijn goedkoper. Daarbij zijn er drie mogelijke manieren van rijgen: Amerikaans, Europees en Schoenverkoper.
e. Is er een manier van rijgen die voor alle schoenmaten van de tabel het goedkoopst is? Zo ja, welke? Licht je antwoord toe.
Schoenmaa
t 38 39 40 41 42 43 44 45
Werkblad 5: serie 2
Opgave 1Het subsidiebedrag B dat een sportclub jaarlijks ontvangt hangt af van het aantal seniorleden s en het aantal junioren j. Er geldt: B=1000+10j+5s.
Hoeveel subsidie krijgt een sportclub met 60 junioren en 115 senioren?
a. Maak op roosterpapier bij deze formule een grafiekenbundel met B=1000, B=1500, B=2000, B=2500.
b. In een bepaald jaar ontvangt men een subsidie van 1600 euro. Er zijn dat jaar 80 senioren. Geef in je grafiek aan hoeveel junioren de club dat jaar heeft. Bereken dit aantal met de formule.
c. Al jaren lang ontvangt men een subsidie van tussen de 1500 en de 1800 euro. Geef in je grafiek het bijbehorende gebied aan.
d. Het aantal seniorleden blijft ook al jaren constant, ongeveer 80 personen. Tussen welke aantal heeft het aantal juniorleden dan gevarieerd? Geef dit in de figuur aan.
Opgave 2
Een beroemde maat voor iemand's gezondheid is de Quetelet-index (QI) of tegenwoordig ook wel "body-mass-index" (BMI) genoemd. De QI is een maat voor het al of niet hebben van overgewicht. De formule ervoor is:
2 G QI
l
waarin G het gewicht in kg en l de lengte in m is.
a. Teken een grafiekenbundel voor G als functie van l voor de waarden 20, 25 en 30 van de QI.
b. Bij een QI vanaf 20 tot 25 heb je een normaal gewicht. Hoe zwaar weegt iemand van 1,75 m lengte met een normaal gewicht?
c. Er zijn mensen die beweren dat je een normaal gewicht hebt als het voldoet aan de formule G = 100(l – 1). Stel voor mensen met een normaal gewicht een formule op voor de QI afhankelijk van alleen de variabele l.
d. Laat zien dat voor mensen met een normaal gewicht de QI inderdaad tussen de 20 en de 25 blijft.
Opgave 3
Swatch, het trendy Zwitserse horlogemerk, heeft een nieuw tijdsysteem
bedacht naast het huidige tijdsysteem. In ons gewone tijdsysteem geven we de tijd aan in uren, minuten en seconden. Het nadeel hierbij is dat het niet overal op aarde even laat is. Daarom moet je goed nadenken hoe laat je vanuit
Nederland moet bellen om bijvoorbeeld iemand in New York tijdens zijn lunch te bereiken.
In dat nieuwe tijdsysteem is het overal op de wereld even laat. Het nieuwe systeem werkt als volgt. Een etmaal van 24 uur wordt verdeeld in 1000 eenheden, beats genaamd. Daarbij heeft men afgesproken dat 000 beat valt op middernacht in Zwitserland, waar Swatch vandaan komt. Wanneer het daar 570 beat is, is het overal op de wereld 570 beat.
De notatie in beats is als volgt: @570.
a. Toon aan dat 1 beat 86,4 seconden duurt.
De aarde is verdeeld in 24 verschillende tijdzones. Deze zones zijn vastgelegd ten opzichte van de nulmeridiaan die door Greenwich in Groot-Brittannië loopt. Zo ligt Zwitserland net als Nederland in tijdzone GMT+1. Dat wil zeggen dat het hier 1 uur later is dan op de nulmeridiaan. De stad New York, waar het 5 uur vroeger is dan op de nulmeridiaan, ligt in tijdzone GMT−5.
Je neemt vanuit Taiwan om @470 contact op met iemand in Nederland.
b. Bereken in minuten nauwkeurig hoe laat het dan in Nederland is volgens het gewone tijdsysteem.
Hiernaast zie je een horloge dat de tijd weergeeft volgens beide tijdsystemen.
c. Van welke tijdzone geeft dit horloge de tijd aan? Licht je antwoord toe.
Met een formule kan elk tijdstip in Zwitserland (in uren, minuten en seconden) worden omgerekend naar beats. Deze formule is van de volgende vorm:
B = a . U + b . M + c . S
Hierbij zijn U, M en S respectievelijk de aantallen uren, minuten en seconden in het huidige
tijdsysteem en B de bijbehorende tijd in beats. d. Bereken in 4 decimalen nauwkeurig de
waarden van a, b en c.
Opgave 4
In de ergernis-top-10 van automobilisten staat bumperkleven hoog genoteerd. Automobilisten vinden het blijkbaar nogal ergerlijk als andere automobilisten op zeer korte afstand achter hen rijden.
Voor het bepalen van een veilige afstand tussen twee auto’s bekijkt men vaak de remweg. Dat is de afstand die een automobilist nodig heeft om, vanaf het moment dat hij gevaar herkent, zijn auto tot stilstand te brengen.
De remweg bestaat uit twee gedeelten:
I de afstand die wordt afgelegd tussen het moment van het herkennen van het gevaar en het moment van het intrappen van de rem
II de afstand die remmend wordt afgelegd tot de auto stilstaat In de figuur worden deze gedeelten verduidelijkt.
De formule voor de remweg bestaat dus ook uit twee gedeelten (zie figuur 6):
2 reactie 1 1 3, 6 254 r v t v c Hierin is:
treactie de reactietijd in seconden, dat wil zeggen de tijd tussen het moment van het herkennen van het gevaar en het moment van het intrappen van de rem
c de wrijvingscoëficiënt tussen de weg en de banden.
Voor een aantal wegtypen en weersomstandigheden geeft de tabel enkele waarden van c.
Een automobilist rijdt met nieuwe banden onder zijn auto op een droog wegdek van beton met een snelheid van 50 km/uur. Zijn reactietijd is 0,4 seconden. a. Toon met een berekening aan dat zijn remweg ruim 17 meter is.
Een automobiliste rijdt met een snelheid van 60 km/uur op oude banden in een regenbui, waardoor er 1 mm water op de weg ligt. Het begint harder te
regenen: de hoeveelheid water op de weg neemt toe tot 2 mm. Haar reactietijd blijft 0,3 seconden.
b. Bereken met hoeveel procent haar remweg toeneemt als zij haar snelheid niet aanpast.
Droog wegdek Nieuwe banden Oude banden
Beton Asfalt Zandweg 0,85 0,80 0,50 0,95 0,90 0,50
Nat wegdek Nieuwe banden Oude banden
1 mm water 2 mm water IJs 0,55 0,45 0,10 0,40 0,30 0,10
In het vervolg van deze opgave geldt treactie = 0,5 en c = 0,75. De formule voor de remweg wordt dan gegeven door:
r = 0,14 . v + 0,005 . v2
c. Toon dit aan.
Men zegt wel eens dat bij lage snelheden de reactietijd de belangrijkste bijdrage levert aan de remweg, terwijl bij hoge snelheden de snelheid de belangrijkste bijdrage levert.
d. Bij welke snelheid is de bijdrage aan de remweg als gevolg van de
reactietijd net zo groot als de bijdrage aan de remweg als gevolg van het remmen? Licht je antwoord toe.
e. Bereken de waarde van de helling van de grafiek van de remweg r voor
v = 120 en leg uit wat dit getal betekent voor de remweg. Opgave 5
Uit biologisch onderzoek blijkt dat vogels, vleermuizen en insecten op een vergelijkbare manier met hun vleugels bewegen als vissen met hun staartvin. Onderzoekers hebben een verband ontdekt tussen de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of staartvin), de slaggrootte (de afstand tussen de uiterste staartvin- of vleugelstanden tijdens een slag) en de
kruissnelheid (de gemiddelde snelheid).
Voor dieren als vissen, dolfijnen, vogels en insecten is het verband hetzelfde. Er geldt namelijk:
0, 3
f d v
Dit wordt wel de formule van Strouhal genoemd. In deze formule is:
f de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of
staartvin);
Een kolibrie heeft een slaggrootte van 8 cm en een kruissnelheid van
13,5 meter per seconde.
a. Toon aan dat een kolibrie een slagfrequentie van ruim 50 heeft.
De tuimelaar (een dolfijnensoort) heeft een kruissnelheid van 15 meter per seconde. Voor de tuimelaar kan f worden uitgedrukt in d:
4,5
f d
b. Laat zien hoe deze formule ontstaat uit de formule van Strouhal.
Een tuimelaar moeder en kind zwemmen naast elkaar met een snelheid van 15 meter per seconde.
c. Het verhouden zich de lengte van de staartvin van de moeder en de lengte van de staartvin van het kind? Licht je antwoord toe en gebruik daarbij de formule.
De gewone huisvlieg is ook onderzocht. De slaggrootte van de huisvlieg is kleiner dan die van de vleermuis (zie figuur 4). De punten in figuur 5 geven de hoogte aan van het uiteinde van de vleugels van de vlieg tijdens de vlucht.
In de figuur hieronder is ruim 3½ slag te zien. Als je weet hoe lang één slag duurt, kun je natuurlijk uitrekenen hoeveel slagen er in één seconde passen en heb je precies de slagfrequentie gevonden.
Verder is gegeven dat de slaggrootte van een huisvlieg 6,5 mm is. d. Bereken de kruissnelheid van de huisvlieg. Licht je antwoord toe
Eén werkblad met van alles op het gebied van algebraïsche vaardigheden door elkaar
Opgave 1
Los deze vergelijkingen algebraïsch op. Geef eventueel benaderingen van je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.
a. 1220 + 0,35q = 2056 + 0,12q b. 0,15(x + 25)2 + 15 = 0 c. 4t 2t = 16 d. 350 2 20 0, 25d = 7 Opgave 2
Los de volgende vergelijking op met behulp van de grafische rekenmachine. Geef een benadering in drie decimalen nauwkeurig.
x2 + 2 x = 20
Opgave 3
Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem. Voor een doosje gebruikt hij 800 cm3 karton. Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft.
De hoogte van zo’n doosje wordt aangegeven met h en de zijde van het grondvlak met x.
a. Laat zien dat het verband tussen h en x beschreven wordt door de formule: 4xh + 2x2 = 800.
b. De verpakkingsmachine laat een maximale hoogte van 12 centimeter toe. Bepaal de waarde van x bij h = 12 cm. Geef de benadering in mm
nauwkeurig.
c. Is een nauwkeuriger benadering van x zinvol in deze situatie? Geef aan waarom.
Opgave 4
Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte h van de vuurpijl hangt af van de tijd t dat deze onderweg is. Er geldt: h = 100 + 40t 5t2. Hierin is h in meter en t in seconden gemeten.
a. Breng de grafiek van h in beeld op je grafische rekenmachine.
b. Op welke hoogte boven de begane grond werd de vuurpijl afgeschoten? Na hoeveel seconden was de vuurpijl weer op diezelfde hoogte?
c. Na hoeveel seconden was de vuurpijl op het hoogste punt in zijn baan? Hoeveel meter boven de begane grond was hij op dat moment?
d. Na hoeveel seconden kwam de vuurpijl op de grond terecht?
e. Kun je met deze gegevens de baan van de vuurpijl in beeld brengen? Verklaar je antwoord.
Opgave 5
De opbrengst R (in €) bij de verkoop van een bepaald artikel hangt af van het aantal stuks q dat je verkoopt en van de prijs p (in €) per stuk. In bepaalde
d. De verkoop van een bepaald product levert een zekere opbrengst op, maar brengt ook vaak kosten met zich mee. De winst is daardoor lager dan de opbrengst. Geef twee redenen waarom er kosten worden gemaakt. Geef ook een reden waarom die kosten van q af zullen hangen.
e. Er is een verband tussen R en q. Stel een formule op die dat verband aangeeft.
f. Voor de kosten K geldt: K = 5000 + 15q. Voor de winst W geldt: W = R K.
Stel een formule op voor de winst afhankelijk van q en bereken bij welke verkochte hoeveelheid de winst maximaal wordt.
Opgave 6
Koolmonoxide (CO) is één van de stofen die via de uitlaat van een auto de lucht inkomt. De hoeveelheid CO die uitgestoten wordt is afhankelijk van de
temperatuur van de motor en van de rijsnelheid.
Voor de CO-uitstoot bij de warme motor geldt: u = 4,4 + 196, 0
v .
Bij een koude motor geldt: u = 6,9 + 298,5
v .
Hierin is u de uitstoot in gram per kilometer en v de snelheid in kilometer per uur. a. Hoe kun je aan de formules zien dat de uitstoot afneemt als de snelheid
toeneemt?
b. De uitstoot van een koude motor bedroeg 14 g/km. Hoe hard reed deze auto?
Iemand is geïnteresseerd in het verschil tussen de uitstoot bij een koude en bij een warme motor. Hij onderzoekt hoeveel procent de uitstoot bij een koude motor meer is dan bij een warme motor. Dat percentage hangt af van de snelheid. c. Hoe groot is dat percentage bij een snelheid van 30 kilometer per uur? Er bestaan ook formules waarbij de CO-uitstoot gegeven wordt afhankelijk van de ritlengte en de rijtijd. Voor een warme benzinemotor geldt:
utot=4,4L + 0,054T.
Hierin is utot de totale hoeveelheid CO in gram uitgestoten tijdens de rit, L de ritlengte in kilometers en T de rijtijd in seconden.