vijf onbekenden (H, h, L,T en λ). Als de waarde van drie van de vijf grootheden gegeven is, blijven er twee grootheden als onbekende over. We hebben dan dus twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Met een numerieke methode kunnen we uit de bovenstaande vergelijkingen (4.51) en (4.52) 1. gegeven de waardes van H, h en L de waardes van T en λ bepalen, of
2. gegeven de waardes van H, h en T de waardes van L en λ bepalen.
We hebben dan de waardes van alle grootheden uit de vijfde-orde Stokes benadering van Skjelbreia en Hendrickson.
4.3 Hogere-orde Stokes benaderingen
In principe is het mogelijk de Stokes benadering tot willekeurig hoge orde te ontwikkelen. Het afleiden van de vijfde-orde Stokes benadering kost echter al zo veel tijd, dat nog hogere-orde benaderingen afleiden niet aantrekkelijk lijkt.
Toch bestaat er een methode waarmee op een computer Stokes benaderingen van hoge orde (bijvoorbeeld orde 110) kunnen worden opgesteld. Deze methode is in 1977 bedacht door Cokelet. Cokelet kiest een slimme expansieparameter, maakt gebruikt van Pad´e bena-deringen en gebruikt handigheidjes die zorgen voor betere convergentie. We zullen de Stokes benaderingen van Cokelet hier niet bespreken. De ge¨ınteresseerde lezer verwijzen we naar het artikel van Cokelet [Cok77].
Hoofdstuk 5
Benaderingen voor lange golven
In onze bespreking van de nauwkeurigheid van de tweede-orde Stokes benadering zagen we dat deze benadering niet bruikbaar is voor golven die veel langer zijn dan de gemiddelde waterdiepte. In de literatuur worden deze golven meestal lange golven genoemd. Het blijkt dat Stokes benaderingen in het algemeen slecht bruikbaar zijn voor zulke golven. Bij lange golven zullen we dus toevlucht moeten nemen tot andere benaderingen. In de literatuur staan deze bekend als lange golven benaderingen.
Het afleiden van lange golven benaderingen is erg ingewikkeld. Men begint met het be-naderen van de hydrodynamische vergelijkingen. Dit leidt tot de Boussinesq vergelijkingen of de Korteweg-de Vries vergelijkingen. Het blijkt dat deze benaderde vergelijkingen in som-mige gevallen analytisch kunnen worden opgelost. Voor een ge¨ıdealiseerde golf vindt men bijvoorbeeld een benadering die in de literatuur bekend staat als de cnoidale benadering en voor golven met maar ´e´en top kunnen benaderingen worden opgesteld die bekend staan als solitonen.
We zullen de afleiding van lange golven benaderingen in deze scriptie niet uitwerken. Voor een uitgebreide verhandeling verwijzen we naar [Sve06, hoofdstuk 9]. Een korte inleiding in de lange golven benaderingen kan worden gevonden in [Sor97, §3.3 en §3.4].
Hoofdstuk 6
Stroomfunctie benaderingen
De benaderingen die we in de vorige hoofdstukken hebben besproken waren geschikt voor diep water (lineaire en Stokes benaderingen) of voor ondiep water (lange golven benaderingen). Dit roept de vraag op of er ook benaderingen zijn die geschikt zijn voor zowel diep als ondiep water. In dit hoofdstuk presenteren we zo’n benadering; de stroomfunctie benadering.
In de literatuur zijn verschillende varianten van de stroomfunctie benadering te vinden. De bekendste zijn de stroomfunctie benadering van Dean [Dea65] en de stroomfunctie benadering van Rienecker en Fenton [RF81]. Deze benaderingen verschillen niet veel van elkaar. Omdat de benadering van Rienecker en Fenton iets vaker toepasbaar is, zullen we hier deze benadering presenteren. Voor de benadering van Dean verwijzen we naar zijn artikel [Dea65].
Voor het afleiden van de benadering van Rienecker en Fenton wordt het stelsel vergelijkin-gen van ons model geschreven in termen van de stroomfunctie ψ in plaats van de potentiaal-functie φ. Deze nieuwe vergelijkingen worden dan dimensieloos gemaakt. Vervolgens wordt een soort Fourierreeks voorgesteld als oplossing van deze vergelijkingen.
Voor de onbekenden uit deze reeks kan een stelsel analytische vergelijkingen worden op-gesteld dat met een numerieke methode opgelost kan worden. Omdat het oplossen gedaan kan worden door de computer kan zonder veel moeite een reeks van heel hoge orde worden opgesteld. Dit betekent dat we eenvoudig een heel nauwkeurige benadering kunnen verkrijgen. Hieronder zullen we de stroomfunctie benadering afleiden. We beginnen met het opstellen van de uitgangsvergelijkingen voor de stroomfunctie benadering.
6.1 De uitgangsvergelijkingen opstellen
z = 0 η
Figuur 6.1: Het model dat gebruikt wordt voor het verkrijgen van de stroomfunctie benadering
Als uitgangspunt nemen we het model waarbij de bodem ligt op z = 0 en het waterop-pervlak gegeven wordt door z = η. Het bijbehorende stelsel vergelijkingen is eerder bij (2.7)
z xstilstaand c z x c
Figuur 6.2: Bij het afleiden van de stroomfunctie benadering hebben we te maken met twee co¨ordinatenstelsels. In het stilstaande stelsel (links) beweegt de golf vooruit met de golf-snelheid c. In het meebewegende stelsel (rechts) beweegt de bodem achteruit met golf-snelheid c. gegeven. φxx+ φzz = 0 φz = 0 als z = 0 ηt= φz− φxηx als z = η φt+ 1 2 φ 2 x+ φ2z + pα ρ + gη = C(t) als z = η (6.1) In het voorgaande hebben we telkens gesteld dat aan dit stelsel vergelijkingen moet worden voldaan als we de golf bekijken vanuit een co¨ordinatenstelsel dat stil staat ten opzichte van de bodem. De natuurwetten moeten echter ook gelden als we eenparig bewegen in zijwaartse richting. In het bijzonder moeten de bovenstaande vergelijkingen gelden als we met de golf meebewegen zodat het lijkt alsof de golf stilstaat. Bij de afleiding van de stroomfunctiebe-nadering bekijken we de golf vanuit zo’n meebewegend co¨ordinatenstelsel. De horizontale co¨ordinaat van dit stelsel noemen we x. Deze meebewegende x is gerelateerd aan de stil-staande co¨ordinaat x door
x = xstilstaand− ct
waarin c de golfsnelheid is gemeten vanuit het stilstaande co¨ordinatenstelsel.
Vanuit het meebewegende stelsel gezien verandert de golf niet van vorm. Dit betekent dat de tijdsafgeleide van functie die het golfprofiel geeft ηtgelijk is aan 0. We nemen aan dat de meebewegende potentiaalfunctie φ ook constant is ten opzichte van de tijd. Tenslotte stellen we dat de atmosferische druk pα op het wateroppervlak verwaarloosbaar is.
ηt= 0 , φt= 0 en pα= 0
In het meebewegende co¨ordinatenstelsel krijgt het stelsel vergelijkingen (6.1) nu de volgende vorm. φxx+ φzz = 0 φz = 0 als z = 0 0 = φz− φxηx als z = η 1 2 φ 2 x+ φ2z + gη = C als z = η . (6.2)
6.1. DE UITGANGSVERGELIJKINGEN OPSTELLEN 49
In de onderste vergelijking is de som links van het gelijkteken constant ten opzichte van de tijd. Hieruit volgt dat C ook constant is ten opzichte van de tijd. Hiermee hebben we al rekening gehouden door de afhankelijkheid van t niet te noteren.
We zullen nu het bovenstaande stelsel vergelijkingen herschrijven in termen van de stroom-functie ψ. De stroomstroom-functie is sterk gerelateerd aan de potentiaalstroom-functie. We sommen eerst enkele belangrijkste eigenschappen van stroomfunctie ψ op. Voor een afleiding van deze eigenschappen verwijzen we naar [VV07, §2.2].
1. De stroomfunctie ψ en de potentiaalfunctie φ zijn gerelateerd door
ψz = φx= u en ψx= −φz = −w . (6.3) 2. In rotatievrij water voldoet de stroomfunctie aan de Laplace vergelijking.
ψxx+ ψzz = 0
3. Lijnen waarop de stroomfunctie ψ constant is zijn stroomlijnen van het water. 4. De stroomlijnen en de equipotentiaallijnen snijden elkaar loodrecht.
5. De volumeflux Fvol tussen de stroomlijnen ψ = ψonder en ψ = ψboven is gelijk aan ψboven− ψonder (zie figuur 6.3).
6. De volumeflux Fvol tussen de stroomlijnen ψ = ψonder en ψ = ψboven is gelijk aan ψboven− ψonder (zie figuur 6.3).
ψ = ψboven
ψ = ψonder
Fvol
Figuur 6.3: De volumeflux tussen deze twee stroomlijnen is Fvol = ψboven− ψonder.
Met behulp van deze eigenschappen kunnen we het hierboven genoemde stelsel vergelijkingen herschrijven in termen van de stroomfunctie. We beginnen met de bovenste vergelijking.
φxx+ φzz = 0
Door deze vergelijking met behulp van de (6.3) te herschrijven tot φzx= φxz
kan worden ingezien dat aan deze vergelijking voldaan wordt als de stroomfunctie ψ tweemaal continu differentieerbaar is in alle variabelen. We zullen verderop een nette reeks voorstellen voor de stroomfunctie ψ. Zo’n reeks voldoet dus aan de bovenstaande Laplacevergelijking. We zullen deze vergelijking daarom niet meer noemen.
We kunnen de Laplacevergelijking voor de potentiaal wel vervangen door een andere lacevergelijking. Volgens eigenschap 2 voldoet de stroomfunctie ψ namelijk ook aan de Lap-lacevergelijking.
We vervangen de bovenste vergelijking daarom door deze Laplacevergelijking voor ψ. Nu bekijken we de tweede en de derde vergelijking.
φz= 0 als z = 0 0 = φz− φxηx als z = η
Dit zijn de bodemconditie en de kinematische vrije-oppervlaktconditie. Deze vergelijkingen zijn de wiskundige formulering van het principe dat er geen water door de bodem en het wateroppervlak kan stromen. Hieraan wordt voldaan als we eisen dat de bodem en het wateroppervlak stroomlijnen zijn. Met behulp van eigenschap 3 kunnen we dit als volgt opschrijven in termen van de stroomfunctie ψ.
ψ = 0 als z = 0
ψ = constant = −Q als z = η (6.5) Merk op dat uit eigenschap 5 volgt dat de totale volumeflux gemeten vanuit het meebewegende co¨ordinatenstelsel nu gelijk is aan ψ|z=η− ψ|z=0= −Q − 0 = −Q.
Nu moeten we nog de vierde vergelijking uit het stelsel (6.2) herschrijven in termen van de stroomfunctie ψ.
1 2 φ
2
x+ φ2z + gη = C als z = η
In deze vergelijking kunnen we direct de relatie (6.3) gebruiken. Dit geeft ons een nieuwe vergelijking voor de dynamische vrije-oppervlakteconditie.
1 2 ψ
2
x+ ψz2 + gη = C als z = η (6.6) De vier vergelijkingen (6.4), (6.5) en (6.6) vervangen het stelsel vergelijkingen uit (6.2). Hier-onder staan de nieuwe vergelijkingen nog eens bij elkaar.
ψxx+ ψzz = 0 ψ = 0 als z = 0 ψ = −Q als z = η 1 2 ψ 2 x+ ψz2 + gη = C als z = η (6.7) Merk nogmaals op dat de stroomfunctie ψ uit dit stelsel vergelijkingen de stroming in het meebewegende stelsel beschrijft.
Bij het afleiden van de stroomfunctie benadering gebruiken Rienecker en Fenton het bo-venstaande stelsel vergelijkingen in dimensieloze vorm. Voor het dimensieloos maken van de variabelen gebruiken zij de gemiddelde waterdiepte h.
h = 1 L
Z L 0
η(x) dx
We middelen hier alleen over de ruimtelijke co¨ordinaat, omdat vanuit het meebewegende stelsel gezien de golf op elk tijdstip hetzelfde is.
Met de gemiddelde waterdiepte h maken we de de grootheden uit het probleem dimen-sieloos. Hierbij schrijven we f0 voor de dimensieloze variant van f . Merk op dat we ook